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MATHESIS RECUEIL MATHÉMATIQUE A L'USAGE DES ÉCOLES SPÉCIALES BT DBS ÉTABLISSEMENTS D'INSTRUCTION MOYENNE PUBLUi PAS P. MANSION KT J. NETTBBBG élève de l'icole normale des tdences, ordinaire à rUnhrertité de Gand, Bbre de TAcadémie rojrale de Belgique, etc. Ancien élère de l'ioole normale det idencea, Profetaenr ordinaire à l'Unirereité de Liège, Correspondant de l'Académie royale de Belgique, etc. ATIO U COLLABORATIOI Dl PLU8IIUBS PSOFUSIUKS BlUnS Tt ÉTRAlOIEt. Ui Piêiw^ maêhniil Pm. BUffOM. DEUXIÈME SÉRIE. TOMB VI. — ANNÉE 1896. (tOMI ZTI Dl LA COLLICTIOII.) GAND AD. HOSTE, ÉDITEUR IMPRIMSUB-UBRAIBB 47, RUS DBB CHAICPS, 47 PARIS OAUTHIER-VILLARSAPILS IMPRI1IBUR8-UBRAIRB8 55, QUAI DBS GRANDS-AUOUSTINS, 55 OA2f D, IMPRIlftXBIB C. ANNOOT-BBABCKlf AN, AD. H08TB, 8UCCB88BUR 1896 ABmÉTIAVIOMS. B. B. BolletinB de l'Académie royale de Belgique. C* R« Comptes rendus de TÂcadëmie des scienceB de Paria. N. A. M. NoaTelles Annales de Mathématiques (depuis 1842). C. G. Q. Correspondance physique et mathématique fondée en 1825, par Gabmib et QuBTBLST, continuée par Qubtblbt. N. C. M. NouTelle Correspondance Mathématique (1874-1880). J. M. B. (ou J. M. S). Journal de Mathématiques élémentaires (ou Journal de Mathématiques spéciales), fondé en 1877 par Bourqst, continué par G. DB LONQCHAIIPS. L M. Intermédiaire des Mathématiciens fondé en 1894, par MM. Laiïïâjst et Lbmoinb. A. F. Association française pour Tayancement des sciences. Crelle, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par Cbbllb en 1826, continué successivement par Borchardt, Kronuckbb et Wbibr- STRASS» par Kronbckbr et par Fuchs (en allemand surtout). Liouvillef Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par Liouvillb en 1896, continué d'abord par Rbsal, puis par Jordan. (2), III, 327-333 signifie : Deuxième série, tome troisième, pages 821 à 383. \ OCT '/ 1 i960 .X/IATHEMATI08 5/' / ^ MATHESIS SUR LBS VALEURS PRINCIPALES DES RADICAUX; par M. Bb Tillt(*)« On a vu, dans les éléments, que la racine fnr* principale d*une Viantité positive a est sa racine arithmétique, positive. On peut complé- ter cette notion par ces deux autres règles : la racine m"*' principale de —a l'obtient, si m est impair i en prenant ayec le signe — la racine m"*' iritkmétique de a. La racine m"*' principale de — a s'obtient, si m est amplement pair, en multipliant la racine mr* arithmétique de a par Les racines indiquées dans ces trois règles sont considérées comme frincipales, parce qu'elles sont plus simples que toutes les autres : eeila de la première règle est la seule qui soit réelle et positive ; celle de la seconde, la seule qui soit réelle; celle de la troisième est l'une des deux seules qui soient imaginaires simples, et elle a le signe -{- , tiodis que Tautre a le signe — . Dans les trois cas, les autres racines de a ou de — 6 s'obtiennent en Boltipliant la racine principale par les racines m"*" de l'unité, autres Ce qui caractérise les racines des quantités réelles -|- a et — a, c'est kar parfaite continuité. Si a varie continûment de 4~ ^ ^ — <^ 9 chaque racine de a varie aussi d'une manière continue, 0 étant la limite de séparation entre deux séries distinctes de valeurs. Il n'en est pas de même pour la racine m"^ de a -|- i \/ — 1, laquelle peut s'exprimer par J/P^^. (ce H^ + p/^ sin i±^) . Quelque combinaison que l'on adopte, aucune de ses m valeurs ne peut n Résumé et complément de rarticle publié dans le tome précédent, pp. 177-188. 217-223. - 6 — constituer une fonction continue, lorsque a et d varient eux-mémee continûment de -f* à — co • Nous signalerons deux combinaisons principales, dont Tune réalise le maximum de simplicité, l'autre le maximum de continuité, ces deux conditions ne pouvant pas être réunies. t. Le maximum de simplicité s*obtient en laissant l constant, pour toutes les valeurs de a et de b, dans une même racine algébrique. Alors on choisira pour racine principale celle qui correspond à il := 0, et les autres s'obtiendront en multipliant celle-ci par les m — 1 racines de Tunité différentes de -|- 1 . Le choix de la racine principale est déterminé ici, non seulement par la simplicité de la valeur 0, mais en outre par le fait que cette racine jouit, comme les racines principales des quantités réelles, de la propriété v/ -v^F-v/^ ce qui n*est vrai pour aucune autre racine du P, ni pour aucune racine non comprise dans le 1*. 9. Le maximum de continuité s'obtient en faisant varier h, pour une même racine algébrique, conformément au tableau suivant : VALEURS DB k. I a>0, b>0. 1 a>0,h<0.\ a<0, m — 1 m — 1 w— 1 î(m-l) Hm-2) 0 m impair 0 m simplement pair 0 m doublement pair 0 On trouve ainsi la racine principale ; les autres s'obtiennent comme au 1*. Le choix de la racine principale est déterminé ici par le fait qu'elle est toujours d*accord, sans ambiguïté, avec les trois règles préli- minaires, au moment où b s'annule, ce qui n'est vrai pour aucune autre racine du 2*, ni pour aucune racine non comprise dans le 2<' (il j a des exceptions, dans ce dernier cas, pour m doublement pair, parce qu'alors la règle relative aux racines de ~ a n'existe pas). Si l'on considère le cas où «» := 2, et si l'on reprend la formule des traités élémentaires pour ce cas : — 7 — où l'on doit prendre le signe — , an second membre» quand S est négatif, on yoit qu'elle est en désaccord avec notre 2* quand a < 0 et i < 0, et en désaccord ayec notre 1* dans ce même cas et en outre quand i>0, *<0. Ces trois solutions, pour Va -\- h \/ — 1, sont les trois seules qui ne resfennenty dans toute retendue possible des valeurs de a et de i, qu'une seule discontinuité. Quelle que soit la solution que Ton adopte, il A*j a jamais ^mur formellet puisque le choix d'une racine prineipdle t^aalqae chose d'arbitraire. SUR LA 6É0HËTRIB NON EUCLIDIENNE. Lettre à M. le Professeur Màmsioh. Mon cher Collègue, Tout en tous remerciant de Yotre appréciation bienveillante de mon Cpgri de MithoiologU mathématigueO, je désire répondre brièvement aax objections que vous opposez au paragraphe que je consacre à la Métagéométrie. Je crois ne pouvoir mieux faire, pour mettre vos Iseteurs à même de porter un jugement sur les points où nous sommes es désaccord, que de rappeler succinctement mes idées sur la géométrie •on euclidienne. Les géomètres euclidiens acceptent, au moins pour la plupart, les scions de droite et de plan comme des notions premières qu'on ne peut nmener à d'autres plus simples, et ils admettent sans démonstration le postulat de la parallèle unique ou tout autre qui lui soit équivalent. On ne saurait conclure de là que la géométrie euclidienne manque de rigueur ou de certitude ; car il est évident, et tout le monde admet, qu'il faut prendre comme points de départ certaines choses qu'on ne peut pas définir et certaines propositions qu'il est impossible de démontrer. On n'a, en définitive, d'autre critérium pour juger de la rigueur des propositions qui font l'objet des mathématiques, que ce sentiment clair de la vérité que les définitions et les démonstrations éveillent en nous. n Voir : Mêtkêtit^ décembre 1895, p. S69 à 379. — 8 - et soni ce rapport U certitude des propofitioni de la géométrie encli- dienne est complète dès que les points de départ sont admis. Mais il 7 a lieu de se demander si les notions de droite et de plan ne peuvent être ramenées à d'autres plus simples, et si certains axiomes ne doirent pas être rejetés. En ce qui concerne le premier point. Monsieur le général De Tilly, dont TOUS ayez adopté les idées, a cru pouToir ramener les notions de droite et de plan à la notion de distance, en se fondant sur oertsines formules algébriques(*). Il s'appuie pour cela sur les relations analy- tiques qui existent, dans un système de points distribués d'une manière quelconque dans l'espace, entre les distances de ces points considérés deux à deux. Mais pour être autorisé à faire usage de semblables équations, il fsnt concevoir la possibilité d'exprimer les distances en nombres et on ne voit pas comment cela se pourrait quand on écarte la notion de ligne droite. Pour le géomètre euclidien, les distances sont des longueurs qu'il peut additionner en les portant à la suite les unes des autres, sans interrup- tion, sur une droite indéfinie. Il peut aussi subdiviser les distances et par conséquent les mesurer et les représenter par des nombres ; mais cela est impossible quand on ne connaît pas la ligne suivant laquelle les distances augmentent. Aussi M. De Tillj veut-il, après avoir défini analjtiquement la ligne droite, démontrer que c*est sur cette ligne que les distances s'igoutant, et pour faire cette démonstration il a recours à une intégration ; mais son intégration est une addition de distances élémentaires, et cette opération no peut avoir aucune signification quand on ne sait pas com- ment il faut placer les éléments les uns à la suite des autres pour les additionner ; ce qui est ici le cas, puisque la manière d'additionner les distances est précisément ce que l'on cherche. La notion de distance est donc plus complexe que la notion de ligne droite et ne devient claire que quand colle-ci est admise. Il suit do là que tM. De Tillj fait usage d*équations dans lesquelles les (♦) De Tilly, Kssai de (i^métrie amlytique générale^ extrait du tome XLYII des Mém. cour, et autros de TAcad. roy. de Belgique, 1B92 (ou lopplément à JMAsKi, 1893). — 9 — sjmboles qui représentent les distances n'ont aucune signification précise ; dès lors ces équations elles-mêmes sont vides de sens. L*axiome de la distance sur lequel M. De Tillj a voulu fonder la géométrie est donc très vague. Suivant une expression empruntée à un ouvrage de haute valeur (*) il flotte dans Tair, et tel qu*il est présenté il est impossible d'en tirer aucune conclusion. En 06 qui concerne les postulats, on admet en géométrie euclidienne la postulat de la parallèle unique et celui de la possibilité d'une augmen- tation indéfinie de la distance. Si Ton rejette le premier, on trouve le fjstàme de géométrie de Lobatchewski ; si Ton rejette le second, le •jstème de Riemann; et selon vous, si l'on demande au mathématicien laquelle des trois géométries idéales, toutes les trois absolument rigou- reuses» est réalisée dans la nature, il doit répondre : Je n'en sais rien (^. Quant à moi, je crois plutôt qu'il devrait dire : La question est mal posée. Elle se comprendrait si la nature s'était plu à tracer sur des ijrstèmes matériels des figures géométriques, offrant des lignes suscep- tibles d'être indéfiniment prolongées, que nous considérerions comme droites, et s'il nous fallait vérifier à quel système de géométrie appar- tiendraient ces droites ; mais il ne s'agit évidemment pas de cela. A ce point de vue, on doit dire qu'aucun des trois systèmes de géométrie a'est réalisé dans la nature. Ce que l'on peut se demander, c'est quel est celui des trois systèmes éfâiimêni possibles analptiquement, auquel correspondent des figures réelles. A cette question il faudrait répondre : C'est le système euclidien, œ qui pourrait encore s'exprimer en disant que l'espace dans lequel nous vivons est euclidien. En e£bt, quiconque a étudié la géométrie élémentaire se fait une idée très nette, très précise, de toutes les figures qu'on envisage dans cette idenoe et comprend qu'il serait possible qu'elles fussent réalisées. Noos voyons clairement, à la lumière de notre intelligence, quelle en israit la forme si elles étaient exécutées matériellement. n nsaris dsr TroÊisfftrmatUmsgruppen^ dritter und letzter Abschnitt, unter Mitwirkang Ton Prof. Dr. Friedrich Bngel, bearbeitet von Sophus Lie. Leipiig, T«amer, 1883, p. 526. O Principes fondamentaux ds la géométrie non euclidienne de Jiiemann^ par P«llaiision; appendice III, sur la portée philosophiqae de la Métagéométrie. — 10 - On peut aussi se faire une idée très claire des plans lobatchewskiens avec leurs droites sécantes ou non sécantes et avec leurs triangles dont la somme des angles est moindre que deux droits; car on sait que cette planimétrie revient à la théorie des surfaces pseudosphériques et de leurs lignes géodésiques. Ces figures peuvent donc aussi être considérées comme ayant une existence réelle. Mais on ne l'a appris que par les travaux de M. Beltrami. Cela est si vrai qu'avant la belle découverte de cet illustre géomètre, la géométrie de Lobatchewski a porté le nom de géométrie imaginaire, tandis que nous savons aujourd'hui qu'il 8*agit de figures réelles qu'on pourrait construire à Taide des pnncipes de la géométrie euclidienne. Des considérations analogues s'appliquent aux plans riemauniens avec leurs droites qui se coupent en deux points opposés et leurs triangles dont la somme des angles surpasse deux droits ; ce sont aussi des figures réelles de la géométrie euclidienne, puisqu elles ne sont autre chose que des sphères avec leurs grands cercles et leurs triangles sphériques. Les figures non euclidiennes à deux dimensions ont donc une existence réelle; mais aussi elles appartiennent à la géométrie euclidienne et onj considère improprement comme des droites et des plans, des lignes et des surfaces qui, en réalité, sont courbes. Les choses se passent autrement quand il s'agit de figures non eucli- diennes à trois ou à un plus grand nombre de dimensions. On se trouve alors en présence de théories, importantes sans doute, surtout au point de vue de l'analyse, mais où l'on emploie, par extension, une ter- minologie qu'il n'est pas permis de prendre à la lettre. M. Beltrami n'a pas réussi à trouver Tinterprétation de la stéréométrie non eucli- dienne et, sans aflSrmer qu'il serait impossible de la trouver, il a fait voir cependant qu'il est très peu probable qu'on la trouve. L'expérience ne donne pas, dites-vous, aux notions de la ligne droite et du plan la précision nécessaire pour qu'on puisse établir la théorie des parallèles sans postulat. Cela est incontestable ; mais il est non moins certain qu'on ne saurait établir sans postulat aucun système de géométrie. La question est de choisir ceux qui se présentent à nous avec une entière évidence. Or, l'admission d'une stéréométrie non euclidienne donne prise à des objections qui me semblent irréfutables. J'ai fait allusion, dans mon Cours de Méthodologie mathématique, à ces difflcaltés que je rappellerai ici sous une forme un peu plus générale : — 11 - En géométrie euclidienne, les plans qull est possible de concevoir dans Tespace se coupent deux à deux suivant des droites, à moins qu'ils ne soient parallèles. En géométrie non euclidienne, ces plans devraient être des surfaces sphériques ou pseudosphériques se coupant deux à deux loivant des lignes géodésiques, parfois rejetées à Tinfini. Dans le sys- tème de RiEMANN on se heurterait donc à cette impossibilité de sphères se coupant toutes, deux à deux, suivant des grands cercles; et dans le ijsttene de Lobatchbwski on aurait des surfaces pseudosphériques se coupant toutes, deux à deux, suivant des lignes géodésiques, ce qui est aussi contradictoire, puisque si Ton considère deux surfaces pseudo- sphériques ayant même axe de révolution, elles se coupent suivant un parallèle et non suivant une ligne géodésique. Vous me répondez que ce n'est pas ainsi que les choses doivent être entendues et que les géomètres non euclidiens prennent cette phrase : L$ plan riemannien est une sphère euclidienne^ dans un autre sens que les euclidiens; mais alors je demande que vous me disiez comment il faut l'entendre et que vous m'indiquiez un moyen de concevoir, à priori, les droites et les pians non euclidiens aussi nettement que les euclidiens com- prennent, sans démonsti*ation, ce que c'est qu'une droite et un plan ; car on ne saurait nier que cette conception leur est familière ; c'est ainsi que les artistes qui construisent des miroirs plans pour les instruments d'astronomie connaissent parfaitement les procédés qu'ils doivent mettre en pratique pour réussir. Ils n'ignorent pas qu'ils ne peuvent atteindre à la perfection ; mais la crainte qu'ils ne puissent fatalement produire que des plans non euclidiens serait chimérique. Avant de révoquer en doute la géométrie euclidienne et d'accorder aux deux autres systèmes de géométrie la même valeur, j'attendrai donc que vous m'indiquiez un moyen de me représenter, à priori, des droites qui se coupent en deux points opposés, aussi nettement que je me représente la droite, le plan et tootea les figures euclidiennes qui s'en déduisent, y compris cer- taines figures de la géométrie non euclidienne. Subsidiairement, je vous ferai remarquer que quand vous dites : € Nos sensations sont d'accord aussi bien avec une géométrie non « enclidienne de paramètre très grand qu'avec la géométrie eucli- < dienne », vous semblez reconnaître que c'est bien avec la géométrie •oelidianne que nos sensations sont d'accord ; car cela revient à dire faa pour mettre nos sensations d'accord avec la géométrie rieman- — 12 — nienn6| par exemple, nous devrions regarder le plan riemannien comme une sphère d*un rayon si grand que nous pourrions commettre Terreur de la confondre avec un plan ; ou encorci que neus ne saurions nous figurer an système de plans riemanniens qu*à la condition de les faire ressembler tellement à un système de plans euclidiens, que la diffé- rence deviendrait insensible pour nous. En résumé, voici mes conclusions : 1* Aucun des trois systèmes de géométrie n*est réalisé dans la nature, ceci étant entendu dans le sens expliqué plus haut. 2? Les figures euclidiennes à deux et à trois dimensions sont des figures idéales, mais réelles; c'est-à-dire qu'on peut les concevoir réalisées dans des systèmes matériels. 3* Les figures non euclidiennes à deux dimensions sont aussi des figures réelles ; on peut les construire en se fondant sur les principes de la géométrie euclidienne. 4* L'impossibilité des figures non euclidiennes à trois dimensions est, sinon rigoureusement démontrée, au moins à peu près certaine ; et si l'on découvrait qu'il existe de telles figures, on ne pourrait les com- prendre, les dessiner, les construire, qu'eu se fondant sur les principes de la géométrie euclidienne, qui resterait toujours ainsi la vraie géo- métrie. Il n'est pas probable que l'un de nous parvienne à convaincre l'autre, puisque nous nous sommes l'un et l'autre fait une conviction après une étude attentive de la question. Mais si je désirais exposer ici ma manière de voir, c'est que j'attache une certaine importance à mes conclusions, parce que j'estime qu'il serait dangereux de laisser croire que les prin- cipes sur lesquels doit nécessairement reposer tout enseignement élé- mentaire de la géométrie sont d'une vérité douteuse. Il convient de dire franchement que l'on s'appuie sur certains postulats ou vérités expéri- mentales; mais ce n*en sont pas moins des vérités, qu'on ne doit pas présenter avec des commentaires qui seraient de nature à les obscursir. Agréez, je vous prie, l'expression des sentiments de haute estime de Votre dévoué collègue, Dauoe. Note. Nous espérons publier, en 1896, en supplément à AfathesU, un exposé des premiers principct de la géométrie non euclidienne, où, — 13 — explicitement, noas ne recourrons pas plus à la notion de distance que ne le fait Euciide ou Legendre. Voici, dès à présent, notre réponse à la question posée plus haut (p. Il) par M. Dauge. La droite et le plan des géomètres non euclidiens ee sont h droite et le plan tels gu*tls sont définis par Bnclide ou Legendre. Un âl tendu nous donne Vimage de la droite ; la surface d'une eau tranquille nous donne Vimage d*un plan. Les géomètres non euclidiens partent des mêmes définitions, axiomes et postulats que les géomètres euclidiens, à pari un postulat {le &"* ùuUe^ postulat d'JBuelide) fue les euclidiens admettent bn plus. Ils Tadmettent d'ailleurs sans aucune nécessité logique, puisque, avec un postulat de moins, Ton peut faire deux systèmes complets de géomé- trie, autres que la géométrie euclidienne : la géométrie lobatche&- kienne, si l'on rejette le &"• postulat d'Euclide, la géométrie rieman- nienne, si l'on rejette le 6'**(*). Dans ses nombreux écrits, par exemple, dans sa Pangéométrie, Lobatcbefskj a donné un exposé du premier aussi bien dans l'espace que dans le plan; M. De Tillj les a fait connaître tons deux dans son Bssai de 1878, aussi pour le plan et pour l'espace. Le premier système a été appelé imaginaire un instant, probablement parce que la géométrie physique ou réelle semble être très approxima- tiTement la géométrie euclidienne. Ce sont les géomètres euclidiens qui attribuent aux géomètres non euclidiens les notions suivantes, inexactes et conduisant bien vite à l'absurde comme le montre très bien M. Dauge : < le plan, en géométrie c lobatchefiskienne, est identique à une pseudosphère euclidienne; en c géométrie riemannienne, à une sphère euclidienne». Le plan non euclidien contient des droites dans tous les sens; il n'a pas de ligne singulière, comme la pseudosphère, ni de centre unique, comme la sphère. 11 n'est donc identique ni à l'une ni à l'autre. Mais les figures rectilignes tracées dans le plan non euclidien (comme d'ailleurs celles du plan euclidien) ont beaucoup de propriétés communes avec les figures formées par des géodésiques sur la pseudosphère ou la sphère. (P. M.). {*) On ne peut pas les rejeter tous les deux : Qaand on rejette le 6"** postulat, le t^ est on théorème que Ton peut démontrer comme couséquence des proposi- tions antérieures; par suite, inversement, le rejet du 5"* implique Tadmission 4aô-«. — 14 - SUR LBS TRIANGLES ÉQUILATÉRAUX INSCRITS A UNS CONIQUE, par M. E.-N. ButisiBN. t. Soit ABC on triangle éqoilatéral inscrit à Tellipse a V + J V — û V = 0. (1) Prsnoni réqoation da cercle circonscrit sous la forme **-+-y« - 2A# ^2By + C = 0. (2) Sment {s%^ jfi), (#i, ys), (d^, ys) les coordonnées des points A, B, G, et (^% ft) celles du quatrième point P où se coupent les deux courbes. On trouTS facilement, après aToir éliminé d? ou y entre (1) et (2) : 4Aa' ABb* #*+jp,+aPi+«,«— . yo+yi+y>+y» = — ^- (3) Le triangle étant équilatéraU le centre u (A. B) de la circonférence circoBScrite cothcide arec le centre de gravité, de sorte que 4P.+Xi + JP,«3A, y, +|f, 4- y, = 3B. (4) De (3) et (4) on conclut A(ii^+3»>) B (M + 3é>) X* — • y* — ^5 » (o) ^ ^*'' B«---?*-- (6) Li> r\Y^Mi K d# la oirv\ui(îNr^nv^ AIH? e^it dv^uné par On vvnt ^u*;)^ oKs^Uf^ jsùul l* d^ IVlU^vw vvrr^pond un triangle éHuilaWr^l AHv\ — 16 - ou les coordonnées de ce point sont Si a <=» i 1/5, le lieu se rédait au petit axe de Tellipse. 4. Cherchons le maximum ou le minimum du triangle ABC. En posant â;« =: a cos f» y« =» i sin qp, on obtient L(a« + 33»)» ^ (3a« + S«)« J ' Le maximum et le minimum de R, et par suite ceux de AB, corres- TT pondent respectivement à9 = ~»9«=>0et ont pour expressions ft. Z« Km dit esntres des triangles équilatéraua inscriii à une hyper- hoU ét/uilatêre eti rhpperbole elle même. Cela résulte de ce que la courbe passe par Torthocentre d'un triangle inscrit, et aussi de Téquation (8) où Ton fait a» = — b*. On trouye aussi, dans ce cas A== — «0, B = --yo; ce qui donne ce théorème connu : Si P, P' sont les extrémités d'un diamètre d'une hyperbole équïlatère, U cereU éU centre P etde rayon PP' rencontre r hyperbole en trois autres points A, B, C qui sont les sommets d'un triangle équilatéral^). SUR LA PODAIRB DE L'BLLIPSB ; par M. Jbbabbx. 1 . Soient E et F les foyers, 0 le centre et S le cercle principal d'une ellipse e. On sait que la circonférence S est la podaire de chacun des foyers. r) Questions 1507 et 1641 (N. A. M., 1885, 882 et 1892, 46*). Voir aussi un Mémoire de M. H. Brocard sur la trisection de l'angle (Alger, 1874). Pour les triangles équilatéraux circonscrits, yoir N. A. M., quest. 541, 1894, 45*. - lÔ - Donc si Ton mène les droites parallèles EP, FN qui coupent S en P et N, la droite PN sera tangente à e. Considérons maintenant la podaire d'un point quelconque A. Proje- tons A en M sur NP, et F en B sur AM; M est un point de la podaire de A, et le point B appartient à la circonférence (a>) décrite sur AF comme diamètre. Prolongeons MA de AM' = MB = NF. Le point M' a pour lieu géométrique la circonférence S' symétrique de S par rapport au milieu &> de FA. On en conclut cette génération de la podaire qui rappelle celle de la cissoïde : Par un point fiofê A cTune circonfirenoé (eo), on mène une sécanU quel- conque qui coupe cette courbe et une seconde circonférence donnée S' aux points B et M', et Von porte sur AB une longueur AM = M'B. Le point M décrit une podaire de conique. Lorsqu'on substitue à e une parabole, les cercles S et S' sont rempla- cés par des droites, et Ton retrouve la podaire de la parabole comme cissoïde générale. •. La tan<^ente à la podaire se déduit facilement de ce qui précède. En effet, si Ton mène par A une seconde sécante qui coupe les cercles (co) et S' en C et Q', et qu'on porte sur AC la longueur AQ = Q'C, Q est encore un point de la podaire. Or les deux droites MQ, M'Q' sont des transversales réciproques du triangle ABC; elles rencontrent donc le - n - o6té BC en deax points isotomiques R, R'. Passons à la limite : Les tan- gentes en M à la podaire et la tangente en M' au cercle 0' rencontreront la tangente en B au cercle (&>) en deux points T, T' symétriques par rapport à B. BIBLIOGRAPHIE. Exercices méthodiques de Calcul Intégral, par Bd. Braet, docteur en idencae physiques et mathématiques, etc. Bruxelles, Hayez, éditeur, 1895 <( Vol. in-8dea01 p.). Prix: Sfrs. Ce liTre est le complément nécessaire d*on autre ouTrage du même auteur, publié, il y a déjà un assez grand nombre d'années, sous le titre : Sœereieei mitJuh Hque» d€ calcul diférenHel, Tout le monde reconnaît que dans renseignement des sciences il couTient de ûdre BUffcher de firent la théorie et les applications, aussi bien dans les parties élevées te mathématiques que dans les parties élémentaires. Si cette pratique est néces- sdre dans le calcul différentiel, elle devient surtout indispensable dans le calcul intégral. Bn effet, la recherche de l'intégrale d*une différentielle donnée est loin de se tkire d'après des règles sûres et précises comme la différentiation ; elle ne consiste guère qu*en des tâtonnements que V habitude surtout enseigne à diriger convena* blement. Par un grand nombre d'exemples, M. Brahy met en relief les idées principales que Ton peut suivre pour arriver au but. Ainsi, lorsqu'il s'agit de Tinté- gration immédiate, il s'attache à ûdre remarquer que s'il est rare qu'une expression éiflérentielle rentre immédiatement dans l'un des types simples dont il donne le tibleao; on peut souvent y démêler l'une de ces formes en fkisant porter l'intégra- tion non pas sur â?, mais sur une fonction de â?, en introduisant, s*il le làut, des iKtears constants qui complètent un type intégrable. L'Auteur traite un grand nombre de questions avec tout le développement qu'elles comportent : ce sont les exemples; puis, pour permettre aux élèves d'es- nyêr leurs forces, il en propose d'autres dont la solution seule est indiquée : ce mt les exercices. Il en est ainsi dans chacun des XVni chapitres dont se compose Touvrage. Chacun d'eux commence par un exposé succinct de la théorie qu'il s'agit d'appliquer; viennent ensuite les exemples, puis les exercices. Les six premiers chapitres sont consacrés à l'intégration immédiate, à l'intégra- tion per substitution, par parties, par décomposition ; à l'intégration des fractions istîoonelles et des expressions irrationnelles, surtout celles du second degré, qui se rencontrent le plus fréquemment; aux intégrales définies, etc. Les quatre suivants S0 rapportent aux quadratures, aux cubatures, etc. On y emploie parfois les coor- données rectangulaires, d'autrefois les coordonnées polaires, qui abrègent souvent lei ealcQls. Tous ces exemples ou exercices sont bien choisis et quelques-uns 4'«Btrs eux sont très curieux. - 18 - Les chapitres qui suivent sont relatifs à Tintëgration des fonctions de plusieurs Yariables indépendantes: à Tintëfirration des équations différentielles du premier ordre; à Tintéf^tion des équations différentielles linéaires d'un ordre supérieur au premier à coefficients constants ou à coefficients variables ; enân à l'intégra- tion par séries et Tintégration des équations aux dérivées partielles. Cette collection d'exercices forme une mine très riche à exploiter et ceux qui répuiseront pourront se flatter de savoir intégrer Pour terminer nous rappellerons (comme nous l'apprend l'éditeur) ce que disait du manuscrit de Touvrage, un critique des plus rigoureux, Bugène Catalan, dont la science déplore la mort récente : « Le livre est fort bien fait et pourra rendre de grands services, n (J. M.) Annuaire ponr Tan 1896, publié par le Bureau des longitudes, Paris, Gauthier- Villars et fils, 1896 (in-18 de iv-894 pages avec 2 cartes magnétiques). Prix : 1 fr. 50. L'Annuaire pour 1896 renferme une foule de renseignements pratiques réunis dans ce petit volume pour la commodité des travailleurs, On y trouve également des articles dus aux savants les plus illustres sur les Monnaies, la Statistique, la Géographie, la Minéralogie, etc., enfin les Notions suivantes : Les Forces à distanee et les ondulations, par M. A. Cornu. — Les Travaux de Fresnel en Optique, par M. A. Cornu. — Sur la construction des nouvelles Cartes magnétiques du Globes entreprises sous la direction du Bureau des Longitudes, par M. db BBRNABDiàRS8. Sur une troisième ascension à r observatoire du sommet du mont Blanc et les travaux exécutés pendant V été de 1895 dans le massif de cette montagne^ par M. J. Janssbn. — Notice sur la vie et les travaux de contre-amir al Fleuriais^ par M. db Bbknab- DiÈRES. — Allocutions prononcées aux funérailles de M. B. Brunner, par MM. J. JaNSSEN et F. TlSSBBAND. NOTBS EXTRAITES DE LA CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. {Suite, voir (2), V pages 138 et 195). Y. Problème de géométrie solide. Dans le tome II, pp. 211-215| Hachette publie une notice historique sur le problème suivant : Connaissant, dans une pyramide triangulaire DABC, la hase ABC et les angles BDC = a, CDA = (3, ADB = y, construire le sommet D ; autre- ment dit, couper un triêdre donné D par un plan de manière que la section ABC soit semblable à un triangle donné. Nous allons résumer cette notice. Dans le tome II des Savants étrangers, Académie de Paris, année 1754, Estè?e, de la Société royale des sciences de Montpellier, met le — 19 - problème en équation en prenant pour inoonnnes les angles DAB «= x^ DAC =»]f, DBC «» f ; il n'achève la solution que dans le cas où y = f et tronye alors une équation bicarrée en sin y. Lagrange {Mémoires de VAe, de Berlin, 1773) prend pour inconnues 1m loDgaeors des arêtes DA = X, DB = T, DG = Z ; les équations du problème sont alors a« — Y*+Z« — 2YZcosa, S«=...., (?•=-..., et réqnation finale en X est du 8« degré. En 1795, Lagrange traite cette question plus spécialement dans ses lepons aux écoles normales et fait observer qu'en prenant pour incon- X X nues Xy ^f •=-» on arrive à une équation finale du 4* degré. Les calcolt ont été développés dans ce sens par Hachette dans le tome II de la Carrupondance iur V École Polytechnique. Monge, dans ses leçons aux Écoles normales, traite le problème par la géométrie descriptive; il détermine D par l'intersection des tores engen- àïèê par les segments capables des angles a, ^, y décrits sur BC, CA, AB et tournant autour de ces droites. Il indique l'existence de 64 solu- tions, mais cette erreur a été corrigée dans Tédition de sa Géométrie dascriptive, de 1811. On peut encore consulter sur ce problème la (Géométrie descriptive de Hâdiette, édition de 1822. t. ProbUme de Bruno. Le problème précédent est un cas particulier d'ane question proposée et résolue sjnthétiquement par Bruno, de Naplei, dans un opuscule de 20 pages ayant pour titre : Solusione /eewuirica di un difidle prohlema di silo. Voici l'énoncé de cette question : BUni donnée un point A $t deux droites t, e dans Vespace, trouver sur l •M point ^ et sur c un point G, tels que le triangle ABG soit semtlable à m triangle donné a^. La COQ a publié de ce problème une solution géométrique et une solution analytique dues à Quetelet (t. II, pp. 145 et 215) et une due à Hachette (t. II, p. 142); ces solutions ont paru in extenso dans les Non- HOUX Mémoires de r Académie de Bruxelles, t. IV, avec un résumé de celle de Bruno. Voici comment Quetelet traite la question. Prenons sur b un point qneloonque Bf et construisons dans le plan A( le triangle AB'G' sem- - 20 - bUble à a^y\ soit D' la projection de G' sur AB'. Si Tod fait tourner le triangle AB'C autour de AB', le point C engendre une circonférence r' ayant pour centre D' et située dans un plan perpendiculaire à AB'. Lorsque B' parcourt la droite t, la circonférence F' engendre une surface du 4* ordre Z, qui est le lieu du sommet d*un triangle semblable à a^ et ayant pour base une droite quelconque allant de A yers t. Le point cherché esta Tintersection de e avec 2; on cherchera donc la courbe suivant laquelle un plan mené par e coupe 2 ou le lieu des pointa d*ia« tersection de ce plan ayec le cercle Tariable V. Pour faciliter la construo- tion de plusieurs positions de I^, on obserye que D' décrit une parallUe à t et que C parc )urt une droite dans le plan Âb. Voici une solution analytique peu différente de celle de Hachette. Par A et la plus oourte distance DB des droites i et o faisons passer on plan P; ■oient il et Ci les projections de t et c sur P, Bi et Ci les projections de A BUT ht et Ctf Bi et Gi celles de B et G sur bt eiCt. Les données de la question sont DB, « EG, » a, AB, — /. AG, — /, angle (J, J) — i, angle (c,c) «= d', et nous prendrons pour inconnues les distances DB ^ «, EG =: y. Lee triangles rectangles AB|B, AGiG et le trapèie birectangleBGGtBi donnent AB* ^J^ + BBJ =»/• + a* + »» - 2«# coa a, _ ÀCV /•-! ce: -/» + «»+ y>-2*ycosd', BC*"-B,C^HBB,--CC,)»«.(A-r)'-h(«ot>«d— yooaa')»-H«siDa-yainaO* Rn exprimant que les rapports AR : AC. AB : BG sont connus, on obtient deux équations en x et f. que Ton peut interpréter comme ropri» sentant deux hyperbolt'S dont I«mi p\Huts d^intersection ont pour coordon- nées les Taleure oherohé^^ de # et p. Pour la solution de Bruno» nous renvoyons aux IfntwmuM Méwurirm iê FÀc. de Brm3ril0$. Si Ton $up(H>ee que le* dn^itee ♦ et c et» coupent ou scoeit parallèlee, on tombe sur le problème de U noie 7 ou sur o^'lui de la section d*un priame triangulaire. (A omHmêr). - 21 — ""SDR LB CAS GÉNÉRAL DB LA DIVISION DBS NOMBRES BNTIBBS, par M. M. Stottakbt, professear à TAthénée de Gand. La démonstration relatiye à ce cas comporte lea troia points saivants : 1* détermination de Tordre da 1*' chifi&e da quotient; 2* détermination de ce premier chiffi^ ; 3* détermination des chiffires sûYants. Le 2* est le point délicat ; il est traité de façons très diverses. L'ex« ceilent liyre de M. Qéiïn en donne une démonstration rigoureuse, et pent-étre celle qnifidt le mieux Toir la raison &eê choses. Son raison- nement se trouve répété, identiquement au fond, mais sous une forme on peu différente dans le théorème qui suit le cas général. Voici ce tliéorème : Pour diviser un nombre par un {H^oduit de deux facteurs, on pent le diviser par un de ces facteurs, puis diviser la partie entière du quotient par le second facteur. Ainsi si N = a . g -{- r et si f=ih.f''\-r'UL partie entière du quotient de N par àb est q' et le reste est ar' -|- r. Tout revient à prouver que ar' -f" ^ < **> c® ^^i ^* très fadie. Qn peat, en plaçant ce théorème avant le cas général, simplifier la âimoBstnUion relative à celui-ci. Voici, dans cette méthode, l'ordre das propositions : 1* Lbmmb. Pour diviser un nombre par 10, 100, ... on sépare sur la droite autant de chiffres qu*il j a de zéros au diviseur; la partie à gauche flit le quotient, celle à droite est le reste. 2* Le théorème énoncé oi^essus. 3* CoROLLAiRBS. I. On obtient le même quotient entier en divisant N par « puis le quotient par S, qu*en divisant N par h puis le quotient par a. II. Si le diviseur est terminé par des zéros on peut les supprimer et barrer autant de chiffres à la droite du dividende, sans altérer le quo- tient. 4* Cas de la division où le quotient n'a qu'un chiffre. 5i* Cas général. Soit 75854 à diviser par 87. On traite le premier point comme d'habitude : le premier chiffre du quotient exprime des centaines. Deuxième point. En divisant 75854 par 87, puis le quotient par 100, on obtient, d'après le lemme, le chifBre des centaines du quotient, mais, — 22 — d*aprët le corollaire I, on trouye le même résultat en divisant 75854 d*abord par 100, pais le quotient entier 758 par 87 ; etc. Troisième point : comme d'ordinaire. HiiiÀRQUB. Dans la préface de TArithmétique de Hdmbbrt, M. Tam- MBRY signale l'avantage qu'il j a à exposer les propositions résultant de la définition des opérations fondamentales avant la théorie de ces opérations (Voir Maih$ii$, 1803, p. 106). SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. (Voir Matkêiii, {%). IV, p. 104). DimfmÈnr Vintigrah r^- TT a»» + 1/4 (a* — JO »• + é* i) ou (y» f 8#V ^- 4it V + 2*V, équation qui, transformée eu ooi>rdonnéee polaires» devient , Aa^ iH^» 6 f 8*« sin|^ ^ *" ^«ill» 0 4-;? iW vv~ * Ou »nt la courbe une seconde fois en A', B\ C ; dési^rnons par (jTi , p%), (#t« yiK (#s, jft) les coordonnées des points d'incidence A, B» 0 et |var (#,,>,)» (#,% jr',)» (#»> f ,i c«Uûb des points W B\ C*. On sait qu ^.-('-B' ^•-('■+I0 (2) Le cercle k!B'C' doit avoir son centre sur l'axe de la parabole ; par suite, les points A' et B', par exemple, soient symétriques par rapport à Taxe ou bien y\ -f- y\ = 0. Au moyen des valeurs (2), Tégalité précé- d^ite se transforme en celle-ci (on néglige la solution yi + l^i = 0) : 2p''Vy^yt = 0. (3) Des relations (3) et (1) on tire successivement y.= -P, yi + y, = (3. P» = 2pa-4j)«. La dernière équation représente le lieu cherché. im. J. Gn.LST et Drox-Farnt déduisent lasolation de la question 945 immé- dialament de l*éqaation da cercle A'B'C que Ton rencontre dans la Etvuê de MM. ^édÊlesde Niewenglowski, 1. 1, p. 315, et dans le J. M. 8., 1898, p. )95. (Voir àfathesii, (2) IV, p. 151). On sait que Texpreuion (a* + 1^)^ est uiu somme de deux carrés. Déwumtrer qu'on peut la mettre sous la forme d'une somme de trois ou de fumtre carrés. (E. Fauqubmberoub.) Solution par M. Soons (Tirlemont). En remplaçant (a* + ô*)* par *)', somme de trois carrés ; 8» («»—»«)• -f 4fl«}» (a» — }«)• + 4a»J« (a* + J*)» (a» — h*y + 4a«J» (a* 4- i^Yf (a» + *»)* (a* — J«)» + 4a«J» (a» — }•)• + 16a*** (a« — 5*)» + lôa'J* (a» + J")* (a» + b^Y (a» — A»)» + 4a*b* (a> +*>) (a« — *•) + 16a*** (a« — »•)« + 64a«J» ; sommes de quatre carrés distincts. ^QnestUn •91. (Voir Mathesit, (2), IV, p. 240). On donne dâua points A, B et une droite d non rituA dam mn mime plan. Trouver sur la droite un point X dont la somme des distances XA. -|- XB aua points donnés soit un minimum. Solution par MM. Soons, Ha.ckbn, François (La Haye), Klompbrs» Pairon, Jban Jonbsoo, Poort, Brocard. Rabattons le plan Bd aatonr de d sur le plan kd^ de manière que A et B soient de part et d'autre de d. La droite qui les joint alors coupe d au point X demandé et est*en même temps la somme XA -f- XB. Si Ton rabat le plan Bd sar A4, de manière que A et B soient dn^mdme côté de d^ la droite AB ira couper d en un point Y qui rend maximam la diflérenoe des distanoea de A et B à un point de d. (Klompers, Poort.) Si Ton mène AA\ BB' perpendiculaires à d^ les anf^les AXA\ BXB* sont égaux» et X ilîTist^ AB' additivement dans le rapport AA' : BB' (Fairon); de même T diTiie AB' soustractÎTemont dans le même rapport. Autre solution» analytique et ir^mètrique, très bien déTeloppée, par M. Cris- tMCU. M. Brocard indique 4|pdement une solution analytique. iVoir ifaiWiit, K»^ V. p M.) Qtieh sont les nombres tr%4n^ula%res fui, âufwmUés ifras mtt^ sani 4fems à des cJirrés f (Di RocguiQNT.) Solnié0n par M. B. FAl^)CtMaaHauB. C« problèw a éU réMln par — 29 — Biil«r dans un Mémoire(^ (1778) sur la résolution, en nombres entiers, d« réquation générale ««• + (S« + y=Cy* + ny + 0. Toiitei les solutions de l'équaticm on ac* — 2 = y* + y, sont données par les formules dans lesquelles n est un nombre entier quelconque. Les premières solutions sont sr = l, 4, 23, 134, 781, etc. |f==0, 5, 32, 189, 1104, etc. x = 2, 11, 64, 373, 2174, etc. y = 2, 15, 90, 527, 3074, etc. Ces suites sont récurrentes. La loi de récurrence est Un = ^yUn-i — ¥»_a pour a? et Un = ^n-i — 1*»-2 + ^ pour y. Solution analoc^ue par M. H. Brocard qui ramène Tequation à résoudre à IL Boimif , par les snbstitntionsi lamine Téqustion (1) à p* — S^* = — 1 ; il présente aussi quelques considérations WÊT réquation plus générale ^_y(y+i)H, Œf* = — rn a. 2 M. J* JoMBflOO établit la relation entre les solutions des deux équations 2 ' ' 2 «B asontrant qu'une solution de la première est ya:J(8ii±K8i*"+l — 1). (^ Toir Lbokh. BulkrIi CûmmênMionu ArUhm$ii€a$ colkekn^ t U| p. 268* — 30 — $oe»U«o i094. (Voir Maikêêis, (3), V. p. 163.) L'égnaiUm dans laquelle p ut un nombre pair, et g un nombre diférent de i^éro, n'a pas de racine eniiire. (S. Rbàlu.) Solution par M. FAUQUBMBBRauB. Cette équation peut 8*écrire oa anoore, à oauie de l'identité 2L« (L* + 3M*) «= (L* + M)» + (L« — M)S [1] («• + qy + (a?« - y)* = 10 ipxY . D'autre par^, d'aprèa B. Lucas (N. A. M., 1878, p. 425), pour que l'équation X' 4~ ^' **^ ^* ^^^^ possible en nombres entiers, il faut et il suffit que A soit de la forme Xf {w -j- y)> débarrassée de ses facteurs cubiques. Or le nombre 10 n'est pas de cette forme ; donc l'équation [1], c'est- à-dire l'équation proposée, est impossible en nombres entiers, et cela sans restrictions pour les valeurs de ;? et de j^ (^. Pour des équations analogues et une généralisation que nous en ayons donnée» Toir Matkesis, (1)» VU» p. 96. Solution analogue par II. Cristmou. QUESTIONS D^BXAMBN. f 14. TrouTer l'anomalie excentrique d'un point M d'une ellipseï tel qu'en abaissant des deux fojers P et P' les perpendiculaires PP et P'P' sur la tangente en M» la longueur PP' soit égale au petit axe. (B. N. Barisibm.) 81 f est l'anomaUe de M et « l'angU de U tangente en If iTec le grand axe, on a PP' dK I »i tt« CdS « ( t|r « 9* .. - X, *»., ,)*oÙ Sittfss-;* e p\n f c" • » ^ . (^) L'Impossibilité %U V^\\tk\[\\t\ (1) «n n«mtbNm ^nti^^re résulte encore de ce théorime dA à II* HyUc^itur» N. A. M. giitf < L'équation X* |- V* ^ A/.* mit tm|M)MilO« ^%\\\f k-^p^tp, ip\ f% 3f% 4^,^ et 9 étant d«s nombres premier» «te Tune ites (\triHes lH^i f ft et l<^ + IL • Vcâr L c, 1619, p. Mil U solutlott il'lM* Lvii>««» — 31 — Vtl. Si, dans an tnangle ABC, on a b' + e* = a» (*■ + c«), on a antti tg«Â = tgBtgC, Jc = tt«oo8(B-C), ^î^=n' 81Q 2C ^* cotg A >' 8in B _ ain (C -~ A) ootgB""c«* sin C "~ 8in (A — B) ' A 3A 1 cotg^ cotg — + tg»-(B - C) = 0; «i Tangle de Brocard est complémentaire de l'angle A. 9iS. Béaoudre le système y* + s' + «* — X (y 4- « + «) = a, «« + s» -f- «» — y (a? 4- « + «) =» ô , a?* + y » + «• — s (fl? + y + «) = c , ^* + y* + *' -" • (^ + y + ^) = <^» ViV. Poor que le système tg«tg(y — «) = a, tgytg(« — fl:) = J, tg s tg(a?— y) = (?, soit compatible, on doit ayoir û + * + c + «Se = 0. Ces éqostioDS p«aTent prendre la forme 1 — tf co8(» + y — s) , 1— fl 1 — * i— c , . :^ «_^_^___— — _— . • donc ■ • — — • ' = 1 , l + a co8(s»— y + f)' " 1+tf 1+* 14-c Compsier Matkisù {% Uf 212. Vt9. Résoudre le système gin» 0 ^ sin* (y — jj) « a, sin* y — sin* (2 — a?) = é, gin» z — sin» (a? — y) = c. QUESTIONS PROPOSÉES, §•48 (corrigé). Chercher le lieu du foyer d'une parabole touchant en on point âxe A une circonférence donnée et passant par les extré- mités B, C d'un diamètre variable de cette circonférence , et le lieu du point de rencontre de l'axe de la parabole avec la droite BG. (E.-N. Barisibn.) — 32 - ^tSfti. A un triangle donné ABC, on inscrit un triangle quelconque A'B'C et on circonscrit un triangle A"B"C" dont les côtés sont respecti- vement parallèles à cenx de A'fi'C. 1* On a BA[ C^ CF_A^ AC' irc A'C "* AB" ' B'A "" BC" ' C'B "" CA" * 2* Si A% B% C sont les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABG| et que la parallèle par A'' à B'C rencontre AB en M, AC en N, on a MA" = A"N, MB = BC = CN. MN*=a«(3-2cosA + 2co8B + 2co8C) = a«(l + 8sin|Acos{Bcos|C}. (J.N.) tOA9. Par le sommet A d*une ellipse on mène une corde quelconque AB. Trouver Tenveloppe de la circonférence qui touche la droite AB en B et qui a son centre sur Taxe OA de Tellipse. (Défrbz.) ^tOAS. Étant donné un triangle équilatéral ABC, on prend sur les côtés ABy BG, GA respectivement les segments AM ^^ â?, BN = 2â;, CP = 3w. On demande pour quelles valeurs de a le triangle MNP est rectanglCi ou isoscèle. Peut-il se réduire à un segment de droite? Peut-il être semblable à un triangle quelconque ? (H. Broouid.) iOA4. Trouver le lieu des centres des coniques passant par trois points donnés A» B, G et ajant leurs axes parallèles à deux directions rectangulaires données (Par la géométrie analytique et par la géométrie projective). IM^A. La podaire de la Kreuzcurve par rapport à son centre est une courbe fermée dont l'aire est égale à SniK (E.-N. Bàkisibn.) - 33 - 'SUB LBS TRIANGLES FORMÉS PAR LES TANGENTES COMMUNES A TROIS CERCLES DONNÉS ; par M. B.-N* Barisibn. Soient Oi, Ot» Of les centres, et Ri, Ri, R5 les rayons de trois cercles donnés, qae nous supposons extérieurs l'un à l'autre. Désignons par Di| Ds, Di les distances des centres OiOs, OiOi, OiOi, et par : a, a' les deux tangentes communes extérieures des cercles Oa, Oi , P,^' » > > > > Of,Oi, 7,/ > > > > > Oi,Ot; \m tangentes communes intérieures seront dénotées respectivement par «i»«lt/3|,P;,7i,7i'. Si nous limitons ces tangentes à leurs points de contact, nous aurons: «-«'=j/DÎ-(R,-R,)', a, = «; = |/d; - (R. + R,)% P = p' - /D» - (R, - R,)\ /3. = p; = p/DÎ - («,+ R.)', y = / = j/DÎ - (R, _ R,)«, y, = /, = |/DÎ - (R, + R.)». Le triangle OiOiOf a pour aire U = i J/2DÎDÎ + 2D\D\ + 2DÎDÎ — D} - DJ — DJ. CelA posé, nous nous proposons d*étudier les triangles formés par trois tangentes communes aux cercles (Oa, Oi), (Os, Oi), (Oi, Oi). Ces trian- glee, au nombre de 64, peuvent se répartir en trois groupes, que nous appellerons respectivement triangles extérieurs, triangles intérieurs, triangles mixtes suivant que les trois côtés sont des tangentes extérieu- res ou des tangentes intérieures ou que ce ne sont pas des tangentes de même espèce. Nom avons les 8 triangles extérieurs : aP7, a'(3y, a/5'y, a^y', «'Py. «^V, Oi'^\ a'Ç^'yi las 8 triangles inUriears : «Ayt» «'.i^.y.. «.P'.y.. «.|3,7'„ «'.ft/,. «./3'./., «'.P./;, «ft'.. «'.Py. «P'.y. «Py>t«- 3 - 34 - Appelons ABC Tan quelconque de ces triangles ; a, i, e, set cAiés et A» B, G ses angles; r, fi,rs,rsi les rayons des cercles tritangents, et R le rayon du cercle circonscrit; S, la surface ABC. Nous introduisons encore les notations suivantes : a4-J + c = 2p, — a + J + c — 2;>,, a — J + c — 2pi, a + J — c = 2pi, de sorte que p^^p^af pt=p-t, fi=p'~C, p=pt+pi + pi\ ensuite «•+Pi + y«=2^ - a,+P,+y.=2/i, «, - (3, +y, =2/,, «i+(3,— yi=2l,. On sait que A f^ ri Çi Pi _S^ €î£î« ^2^pi~^^rl^rf'^pp^'^ S , B r r» Pi pt S pipi ^2 pi p ri ri ;?;?i S • tir^=si — =— =?i=s?î = — =a?î^. ^2"pi'™ j)™ra~r,™jppf'^ S Trianglei eatérieurs. Nous allons chercher les éléments du triangle a^ dont les sommets sont A, B, C. En projetant les contours BOtOfC, COsOiA, AOiOtB respeotiTement sur BC, CA, AB| on trouve les relations B C a =» a + Ri cotg^+ Ri cotg-^ t C A } =3 P 4- R, cotg ^ + R I cotg - . J Q) e=y + R^ cotg g + R« co^ -g * Or, eotg|-Ç, cotg?-Ç. cotg|-Ç5 (2) — 35 — l«i 4galitis (1) peikTent donc s'écrire a = a'{ r p^R.y. + R,j). , ^^^ Ri;>i + Rip, /"t f r On en tire; en calculant i -^ 6 — a» c-^a — i, a-f-i — Cf r r r irconaéqnent . . rsi r$% rsz ,^. ^ r — R, ^ r — Rt ^ r — Ri ^ ' Lee Taleore de ]ii, j^ti p% et par suite celles de a, ^, c seraient con- tt Ton connaissait r. Or S «s pr = l/^pptptpt ; remplaçant dans cette relation ji par pi +j'a + P«» ®^ ?<• i'ti l'i P^ 1«* yaleors (5)| on tfOBTe r — Ri^r— R."^r — R,'^(r — R,)(r — R,)(r — R,)* Cette équation déyeloppée et ordonnée devient rV - rIaRi + 2*iRtRi — t,^,^, = 0. (6) On en tire les deux râleurs de r : 2aR, db 2U ^ « + P + 7 i»eSi4y la quantité sous le radical a pour expression P«R, _ 2a2 (-. a + P + j^ R,R, + i (2 Vat/3« 2a*) O -2««R;4.2%R.R,— 2(^«+2^+y>--a«)RtR,+i2a»(/3*+y«— a«) - 2«> (R, - R,) (Ri — Ri) + 1 2a» ((L« + y» — a«) (♦•) -}2[DÎ-(R.-R,)«][D;-*-DÎ -DÎ+2(R,— R,)(R. — r,)] - î 2d; (d; + d; - d;) = 4u« c^). (>»rfA=^(« f /i+y)(-«+/i+y) («-/î+y) («+/î--y) = î^ (22«'/î' - 2«*) » r) /l« + 7*— • = DÎ + D|-DÏ-tR,-R.)«-(R|-Rt)«+lRt-R,)« = DH.P|-D|-2(R|-R,)(R,-R,). f^ Loieque les trois points O19 Ot, Ot sont en ligne droite, let triangles c/i/i I — 36 — L*aiie des yalears de r convient au triangle a^, Tautre an triangle a'^'y\ Les autres éléments de l'an de ces triangles ontponr expi*6Ssion rti . rst rit r — Ri ^ r — Ra ^ r — R» a '•+'-ir^+7^) • •• ^ r-R, (r-R,)(r — R,)(r — R,)' . A r r — Rj S «rfif ^2 p, «I ' p, (r — R,)(r— R,)' • •• Les formules précédentes conviennent à tous les triangles extérieun pourvu qu'on change les signes de certaines quantités. Le triangle a'^'f est encore représenté par ABC| les centres de cercles donnés étant maintenant 6i>i, oh, ui(^). Pour passer de a^y a'Çfy, il suffit de changer Ri, Rs, Ri en — Ri, _ R«, _ R, dans le formules (1) ou, ce qui est plus simple, r en ^ r dans les égalités (1) Il résulte de là que le rigron du cercle inscrit au triangle a'^'y et donné par la racine négative de Téquation (6), ou que — 2«Ri + 2U Considérons le triangle a'^^ qui correspond aux centres 0,, 0',« 0', Les droites AO^i B0|, GOg concourent maintenant au centre I| d cercle oxinsorit qui correspond à Tangle ▲• Les équations (1), (2), (3] (4)« (5) sont remplacées par les suivantes : «-« + R.(g5^R,tg?. >-13-R.tg5 + R.cotg^. 2 e — y + RiCotgç — Rttgç «'/i>' sont iym^trtquM par rapport à la droite OiOiOt; par suits dans oe oaa. on U « 0| — JNt— l>i# *f — ti, — tt. Il reste à faire les mêmes changements dans l'équation (6) pour obtenir ri ; la racine positiye convient au triangle a'^^ la racine négative au triangle a^Y (centres des cercles : ••..o;',o;). On voit facilement comment on passe aux autres triangles extérieurs. (il continuer). SUR LES CONIQUES QUI SE TOUCHENT EN DEUX POINTS DONNÉS; par M. y* Jbrabbk. Le lien des foyers et l'enveloppe des axes des coniques qui touchent fiialra droites données ont occupé différents géomètres (^). Dans le cas partienlier où les coniques touchent deux droites fixes AB» AC aux mêmes points B, G, les foyers se trouvent sur une strophoïde, et les axas enveloppent une parabole. Nous allons d*abord étudier cette parabole en rapport avec le triangle ABC, puis le système des coniques bitangentes en B et G. (^ Voir, par exemple, un article de Schrôter dans les Math, Ânn., t. V, pp. 50- et de Dorège, ibid., pp. 6S-94.Voir aussi Sieinen Vorlesunçen ueher diê TheoHê étr ZepOêehmUti, i. U, pp. 266 et 909, et une note de M. Pelz dans les Wiener 1. Soit DQ triangle fondamental ABC. Les perpendiculairaa en B, C BDF A.B, AC ae rencontreot «n un point D, axtrémitA dn diamètre AO de la oirconféreace ABC. Menons deax droite! quelconques, AX et AT, isogonalea par rapport i l'angle BAC et rencontrant BD, CD en X. Y (on CD, BD en X', Y'). Lea trianglea ABX, AGY étant Hmblables, lea points X, Y engendrent deux ponctuelles semblables dont le rapport d« .AB Par suite, l'esTeloppe de la droite XY (et de X'Y") est une parabole ir ayant pourtangentea DO, DB, BC. «. La banteor AH et le diamètre AOD étant des lignes iaogonalM par rapport i l'angle BAC, la pramlère renoontre BD, CD au points — 39 — J» K qui sont les correspondants de D dans les ponctuelles semblables PL), (T); J et K sont donc les points de contact de tt avec DG» Dfi, et lahaatenr ÂH est la polaire de D par rapport à tt. Diaprés un théorème oonna, le sommet Z du parallélogramme construit sur DX, DY se trouve sur AH. Les droites AX, AY peuvent coïncider avec l'une des bissectrices AN, AP de Tangle BAC; ces bissectrices sont donc tangentes à n. La perpendiculaire OM au milieu de fiC passe aux milieux Xi, Yi des segments DJ, DK; c*est donc une tangente de tt. S. Comme A et M sont les sommets de deux angles droits NAP, XiMB circonscrits à ir, la médiane AM est la directrice de tt. Le foyer/ est à Tlutersection de la circonférence ABC avec la sjmé- dîane issue de A; en effet, la circonférence ABC est circonscrite au triangle des tangentes DC, DB, BC, et la circonférence circonscrite au triangle des tangentes BC, AN, AP a pour axe radical avec la première la sjmédiane issue de A. A. Les perpendiculaires élevées en A sur AC, AB rencontrent respec- tÎTement DB, DC aux points Xi, Y2; comme elles sont isogonales par rapport à Tangle BAC, la droite Xs Yi est une tangente de ir. Les eîroonférences circonscrites aux triangles ABXi, ACYt touchent en A \m côtés AC, AB ; donc, d'après une proposition connue, elles se cou- pent en un point A", qui est le milieu de la corde sjmédiane A/ et le centre de similitude de deux figures semblables construites sur BA et AÇ. L*angle AA^Xt étant droit (AXi est un diamètre du cercle ABXs), la tangente XsTt passe par le centre 0 du cercle ABC, et le point A'^ projection du fojer/sur XtYs, appartient à la tangente au sommet de ir. IL ë. Considérons maintenant toutes les coniques qui touchent AB en B et AC en C. Soient E, F les foyers de Tune de ces courbes. Les normales en B, C, rencontrent l'axe focal EF en deux points X, Y, tels que les droites AX, AY, sont isogonales par rapport à Tangle BAC(^). On voit par là foa Taxe EF enveloppe la parabole n définie ci-dessus. AC A R (^ Poor établir cette propriété il suffit de ûdre Toir que ;t^ = ^^ • Or, si 2/i,2y — 40 — Le fécond axe enveloppe la même parabole. Car le centre (y est sur la directrice AM de tt, la perpendiculaire en 0' sur XY est également une tangente. •• Le cercle passant par A et les foyers E, F de la conique passe par le foyer / de la parabole. En effet, il coupe le second axe de la conique en deux points N, P appartenant aux bissectrices de l'angle EAF qui sont aussi celles de l'angle GAB ; donc il est circonscrit au triangle formé par trois tangentes NP, AN, AP de tt. V. Le lieu des foyers E, F est une strophoïde ayant pour foyer le point A", pour directrice AM. En effet, la médiane AM et la symédiane A/ du triangle ABC sont isogonales par rapport à l'angle BAC et aussi par rapport à l'angle EAF ; AM étant aussi la médiane du triangle AEF, A/ est la symédiane du même triangle, et comme le cercle circonscrit passe par/, A'' est le centre de similitude de deux figures semblables construites sur BA et AE. Il résulte de là que l'angle A"EA = A"AP = MAE ; donc si A"E coupe AM en m, on a mE «= mk, 9. Dans la première définition de it on peut remplacer le triangle ABC par AEF ; car n toucbe EF, les bissectrices AN, AP de l'angle EAF et la médiatrice NP de EF. On en conclut que tt toucbe aussi les per- pendiculaires élevées en E, F sur AE, AF; E, F sont donc les projec- tions de A sur deux tangentes de tt ; par suite la stropboïde est la podaire de A par rapport à la parabole tt. On voit aussi que B, C sont les foyers d'une conique touchant AE, AF en E, F. Si le point A se transporte à l'infini sur la droite MO' supposée fixe, les coniques considérées ont un double contact aux extrémités B, C d*un AC B sont les longueurs des diamètres paralUMes aux tanfrentes AC, AB, on a — = ° • AB 7 D*autre |)art, si AC coupe BK en T, et qu*on désigne par f, /, if, les '^ist^ncfts des fbyers K, F et du centre O' à la tani^nte AC, la division harmonique TTEF donne TY = iïlw^ TBJ '-fF?rB' ^""^ CVrf = c/=B-, SA et SB désignant les longueura des aies de la courbe. Mais d*sprès un ihéorime d*ApoUonlus, fd s AB ; donc — v- « et par analogie — = - 1 etc. ^ ^ 7 A (J. NJ - 41 - dimmètre âxe. Soient BB|, GCi les tangentes en B, C. Les foyers E, F de Tiine de ces courbes sont symétriques par rapport au milieu M de BC; les droites BE, BF étant également inclinées sur BBi, il en est de même de BBy CE. Par suite le lieu des foyers est engendré par deux faisceaux sjmétriqQement égaux, ayant leurs centres en B, C; c'est donc une hjperbole équilatère. Dn autre cas particulier à remarquer est celui des coniques qui ont entre elles en un point donné B un contact du troisième ordre. Le lieu dee foyers est une strophoïde ayant pour foyer le point B et pour le diamètre commun. NOTES MATHEMATIQUES. ^t. Un triangle est iioscèîe s'il a deux bissectrices intérieures égales (Démonstration indépendante du posiulatum d*Euclide). Lemmb. Dans mm quadrilatère convexe dont les diagonales se coupent mutuellement en fortiês égales, deux côtés opposés ne peuvent se rencontrer, car ils for- ment ayee les diagonales des angles alternes internes égaux. TeioRBMB. Soient BB', CC deux bissectrices égales du triangle ABC. Soit M le milieu de C'B'. Prolongeons la droite BM d*une quantité MD^BM, et joignons DC, DB'. La droite B'D ne peut être à rintérieur de Tangle G'B'A ; autrement B'D rencontrerait BC, ce qui est contraire au lemme précédent. Par suite, B' est à Tintérieur du triante GC'D. Soit maintenant, s*il est possible, AB ^ AC et, par suite, angle C < angle B, angle C'CB' < angle C'BB' ou C'DB'. Les triangles BCB' et CBC ayant le côté BC conunun, le côté BB' =- ce, et l'angle B'BC > CCB, on a B'C > BC = B'D. Donc angle B'CD < angle B'DC. Par conséquent, CCD = B'CD + CCB' < CDB' -f B'DC = CDC, et, enfin, BB' =» CD < ce ; ce qui est absurde. (G. Tarrt, J. M. £. 1895, p. 169-170.) é - 42 — ti. Un théorime de James Cfregory. Les courbes y = f(ic) en coordon- nées rectangulaires et r = F (9) en coordonnées polaires, telles que dx ont même longueur; la première a une aire double de Tautre; enfin Tangle de la tangente avec Taxe des y dans la première est le même que l'angle du rayon vecteur ayec la tangente dans la seconde. En effet, on trouTê sans peine . . dx rdO [/dy^ + (te« = l/rfr« + rH^\ ydx = r^dO, J-^"^^ M. Aubry(J. m. s., 1893, pp. 130-134, 145-146, 172-180) a signalé Gregorj comme le premier auteur de ces théorèmes remarquables qui ont été retrouvés maintes fois depuis le 17* siècle, entre autres par Steiner, M. Habich et plus récemment par M. A. Demoolin. NOTES EXTRAITES DE LA CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. {Suite, Toir (2), Y pages 138 et 195; VI, p. 18). •. Mémoire iur les propriétés générales des courbes algébriques , par MiCHBL Rkiss, de Francfort, docteur en sciences (C. G. Q., IX, 1837, pp. 249-308). Dans ce mémoire, dont Tintroduction est datée de Bruxelles, 25 avril 1832, Tauteur étudie les relations entre les segments détermi- nés sur une sécante u par les points où elle coupe une courbe algébrique, les relations entre les tangentes en ces points ou entre les rayons de courbure correspondants, lorsque la sécante tourne autour d*un point fixe. Il démontre les théorèmes de Newton, Cotes, Carnot et Maclaurin et en établit plusieurs corollaires ou signale des cas particuliers remar* quables. Une formule se rapportant aux rajons de courbure appartient en propre à Keiss; elle a été récemment retrouvée ou étudiée dans ses conséquences par MM. d'Ocagne, Dcmoulin, Servais et Gob. £n voici une démonstration assez simple. Soit y"» -|- {aw 4- *) y"*"* + (co^* + da + e) y"-' -] — =0, - 43 - réqamtion de la eourba, et désignons par yi , yt, ..., y», les ordonnées des points Ai, Ai, ..., A» où la courbe rencontre une sécante u paral- lèle à Oy ; nous aurons yi + yiH f-y- = — («» + *), (i) m représentant Tabscisse de u. Si Ton appelle r le rayon de courbure au point (Xt y) et a Tangle de la tangente avec Oy, on a s y' = cotga, r = ^ ^^f ' , d'où y" = y" r sin* a Or» si Ton dérive deux fois de suite Téquation (1) par rapport à œ, on obtient par conséquent, cotg Al + cotg «! + ••• + cotg a» = — a, (2) ri sin' «1 * rt sin' «t Tm sin' a» L'égalité (3) constitue le théorème de Reiss. La constante — a qui figure dans Tégalité (2) est égale à la somme des cotangentes des angles que forme Taxe Oy avec les directions asjmptotiques de la courbe. L'égalité (1) exprime que le centre des moyennes distances des points Al, As, ...y A», lorsque la sécante « pe déplace parallèlement à elle- même, décrit une droite (Théorème de Newton). Voici une démonstration du théorème de Maclaurin. L'équation de la courbe peut se mettre sous la forme Qo + pQi + p»Qt H h p*Qm = 0, où p, <ù sont les coordonnées polaires d'un point et Qp une fonction homo-> gène de degré /) en sin ca et cos (o. En divisant par p"*, on trouve — I 1 1 = — --=A8inû)+Bcos«; (4) pi pi pm Qo Oi. pt, ..., pm désignent les rayons vecteurs des points Ai, As, ..., A» où une sécante u menée par l'origine 0 coupe la courbe, et A, B sont des constantes. Si l'on dérive les deux membres de (4) par rapport à u, on obtient Pa+^H 1-^== — Acosw + Bsinw. (5) Pî Pi pi — 44 — Soient Ti, Ti, ... les points où les tangentes menées en A«, At, ... coupent une perpendiculaire élevée en 0 sur u, et soient 1,^1, ... les sous-tangentes polaires OTi, OTi, ...; régalité(5) pourra s'écrire - + - — I f- — = — A cos « + B sin «. (6) Mais si AfTf rencontre l'axe Oâ; en}Ui, et qu'on exprime que le triangle OAiTi est la somme (ou la différence) des triangles OT1U4 et OUiAi, on trouTe 1 sin u cos u H • ou. ti * pi Dès lors on déduit facilement des égalités (4) et (6) : 1^ r\Ti I 1^ njj OU. ' ou. • • OUm Ainsi, lorsque la sécante u tourne autour de 0, la somme des inverses des distances de 0 aux points où les tangentes menées en Ai , A2, ...» A^ rencontrent une droite fixe Oa, est constante. BIBLIOGRAPHIE. Compléments d'algèbre élémentaire à Tusage de renseignement moyen et des candidats aux écoles spéciales, par B, Colart, professeur de mathématiques supérieures à TAthénée royal de Huy. Bruxelles, A. Castaigne, 1895 (163 pp. în-8*»). Prix : fr. 3-00. Ce volume fait suite au Traité d*aîgèbre élémentaire du même auteur (Bruxelles, A. CastaigDe, 1891), ouvrage couronné par le Jury du concours De Keyn, analysé dans MathetU (1895, p. 255). SoM M AiRK. I. Méthode des coeficients indéterminés, 1 . Conditions dMdentité des polynômes (mieux établies que dans beaucoup d^autres traités) ; 2. Application de la méthode à quelques exemples (bien choisis et pas trop nombreux). II. Nombres incommensurables , définis par la limite commune de deux séries, l'une croissante, Tautre décroissante ; puis l'éf^alité, Tinëgalité de ces nombres et les opérations fondamentales sont définies avec^rigueur et clarté. m. Expressions imajinaires. Bonne théorie de ces expressions avec la forme trigonométrique, la formule de Moivre, etc. (rauteur emploie le mot •< argument • qu'il a oublié de définir). lY. Fractions continues, La théorie établie au chapitre II permet de traiter ici a^ec une rigueur satisfîiisante la question des (htctions continues périodiqueSt — 45 — Y. AmalffH indHerminéè. Équations et systèmoB da !•' degré et quelques cas particoliers du 2^ àegré. Résolution en nombres entiers, puis en nombres positifti srec le théorème de Paoli. VL Amalgse eomHnoMre. Permutations; arrangements; combinaisons; défini- tion de U probabilité ; triangle de Pascal. VIL Puissënees et racinei de degré quelconque. Binôme de Newton et ses appli- cations; puissance d'un polynôme; racine n«M d*un nombre et d'un polynôme. YIIL Badicaux quelconques. Radicaux arithmétiques. Radicaux algébriques. Exposants fractionnaires, incommensurables, négatifs. Nous n*aimons guère l'em- ploi des formules trigonométriques pour démontrer qu'un radical algébrique a • ▼aleors; on devine que cette méthode a pour but d'éviter le théorème : toute équation a une racine. IX. Baponentielles. Fonction exponentielle et résolution de l'équation exponen- tielle. IL Logarithmes définis par les exposants (la définition au moyen de deux pro- greasions a été exposée dans le Traité du même auteur). XI. Déterminamts. Permutations d'éléments à un et deux indices; propriétés des déterminants et application aux équations linéaires. Ce chapitre suit pas à pas les premières pages de la Théorie des Déterminants de M. Mansion. Appendice, Propriétés des fractions continues périodiques avec application au problême de Pell, dont l'auteur donne, d'après Legendre, une infinité de solutions, 12. Prix : fr. 1-25. Cosmographie, par Jablonsxi, 70 pages in-18. Prix : fr. 1-25. Ces volumes font partie des manuels des baccalauréats de l'enseignement secondaire classique et moderne, publiés par la Société d'éditions scientifiques (Paris, rue Antoine-Dubois, 4). Nous avons déjà signalé à nos lecteurs deux autres livres de la même collection : A Igèbre^ par Gérard ; Trigonométrie^ par L. Gérard (voir MaihesiSt 1895, pp. 46 et 113). Ceux que nous annonçons ai^ourd'hui se recommandent par les mêmes qualités : clarté, simplicité et précision. Ils peu- vent rendre de grands services non seulement aux candidats aux divers baccalau- réats, mais aussi aux candidats aux diverses écoles du gouYemement (Saint-Cyr, Navale, Centrale, etc.). Les aspirants à nos écoles spéciales belges et les étudiants qui suivent les cours du grade de candidat-ingénieur ou de candidat en sciences physiques et mathématiques y trouveraient également un excellent guide pour revoir sous une forme résumée et substantielle quelques-unec dec - 47 - matières do programme de Tépreuve à sabir, oa se préparer à suiTre avec fruit un «Bselgnement plus développé. Outre les manuels du baccalauréat dont nous venons de parler, la Société d'édi» ticBB scientifiques publie des Cours de Sciences^ sous la direction de B. Nieweii» gioirsldy inspecteur de l'Académie de Paris. Quoique les sciences naturelles n» revirent pas dans le programme de MatkeiiSy nous annonçons ici le volume suivant de cette collection, dont la lecture rapide nous a laissé une impression favorable. Priai de êciêncet natureUes, Anatomie et physiologie animales et végétales, à l*iHiige des candidats à l'Institut agronomique, à TÉcole normale secondaire de Sevras, etc. et des élèves des lycées et collèges de garçons et de Jeunes filles, etc. par J. Anglas, préparateur des travaux pratiques de zoologie à la Faculté des Seisneea de Paris. Un vol. in-8<», de iz-S24 p., avec 52 fig. dans le texte (Prix : 5 fr^ Th. Lambbbt, ingénieur honoraire des Mines, ancien professeur de mathéma^ tiqaes. Géométrie élémentaire en deux parties. Namur, Wesmael, 1895 (168 et 188 pages in-12) (^). La première partie est destinée aux élèves des classes d'humanités; la seconde ans élèves qui se préparent aux écoles spéciales. Plana and Solid Geometry by W. W. Bbman, Professer of Mathematics in tbaUniversity ofMichegan, and D. B. Smith, Professer of Mathematics in the Midiigan State Normal School. Boston, U. S.A. and London, Ginnand Co 1896 (IX-3S0 p. in.l2). Kxarcicas de Géométrie comprenant Texposé des méthodes géométriques et 900O qoestions résolues par F. J. Troisième édition. Tours, Mame : Paris, Pou» sielgQ^» 18M (In-8* de xiz-1185 pages). The Science Absolote of Space, independent of the Truth or Falsity cf Baelid*s Axiom XI (which can never be decided a priori) by John Bolyai, trans- latedfirom the Latin by Dr. Q. Br. Halsted, Président of the Texas Academy of Science. Fourth Edition. Pubiished at The Neomon, Austin, Texas, U. S. A. 1896 (xxx-71 p. in-8). Prix : Un dollar. Laçons snr le frottement par P. Painlkvé, Maître de conférences à la Faculté deaSdenots de Paris. Paris, A. Hermann, 1895 (Autographie de VIIM09 pages iB-4*). Prix : 6 fjrancs. Goura d'analyse professé par M. Dbmartrbs et rédigé par M. B. Lbmairi. Troisième partie. Équations différentielles et aux dérivées partielles. Paris, Her- mann. 1893 (Autographie de v-156 pages in-4®). Prix : 8 ft^ancs. Saaai anr la théorie des nombres. Premiers éléments, par T.-J. STisLTjsa, proCsaseor à la Faculté des Sciences de Toulouse (Sur la divisibilité des nombres* Des oongmences. Équations linéaires indéterminées. Systèmes de congruenœs I). Paris, Gauthier-Villars et fils, 1895 (]n-4<>, 103 pages). (*) Nous donnerons désormais dans chaque numéro le titre exact des ouvrages ues reçus par la Rédaction, sauf à revenir ultérieurement sur an nombre d*entee eux. NÉCROLOGIE. J. GRAINDOROE. J08SPR Qraindorob, né à Liège le 9 août 1^8, vient de mourir en cette ville, le 93 Janvier 1896. A r Athénée de Liège, après avoir brillamment terminé ses humanités* il suivit les cours de mathématiques supérieures donnés avec tant de succès par V. Falisse. Bn 1867, il conquit le diplôme de docteur, en 1871, celui de docteur spécial, en sciences physiques et mathématiques. Attaché à rUniversité de Liège dès 1868 en qualité de répétiteur à l'École des Mines, il Ait chargé en 1876 de l'enseignement des théories dynamiques de Jacobi et Hamilton, cours nouvellement créé; en 1881, il fût nommé professeur à TUniversité de Liège. Les Nouvelles AnnaUs de Mathématiques , les Mémoires de la Société Repaie des Sciences de Liège, et le Journal de,LiouvilU renferment un grand nombre de notices dues à Qbaindorgb. Nous signalons surtout son Mémoire sur Vintégratiou des équations auw dérivées partielles des deuw premiers ordres (1872), sa dissertation de doctorat spécial intitulée Mémoire sur Vintégration des équations de la dynamique (1871; deuxième édition, augmentée, en 1890). Signalons aussi son Cours de Mécanique en trois volumes ; des Baer- cices de calcul intégral à l'usage de ses élèves, une traduction partielle du second volume du Compendium der kàheren Analgsis de Schlômilch; U Frotté d'Algèbre élémentaire qu*il a publié en 1871 avec son ancien professeur Falisse (le tome I est arrivé à sa onzième édition, le tome n à la quatrième; Touvrage a été traduit en hollandais), manuel très clair mais parfois peu rigourt'ux sur des points délicats. Bn 1895, Graindorob a f^t paraître une nouvelle éri)x un excellent professeur. Les qualités dominantes de son enseignement étaient une grande clarté d'exposition et une Juste mesure dans les développements d*un pro- gramme aasea chargé. {Héléacti^m^) — 49 — SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES- (Voir MalhesUy (2), IV, p. 299). Uns droite (A) rencontre une lemniseate de Bernoulli aux pointé A, B, C D. Si P est la projection du point double sur (A) et si a désigne la Ion- ffuemr du demi-axe de la courbe, on a la relation OA . OB . OC . OD = 25pV a». (E. N. Barisibn.) Solution par MM. Droz-Farnt, D^prez, Klompbr8, Sogni, Hackbm, Rbtali» Oillbt et un anonyme C^). La lemniseate et la droite ont respeo* tiTement pour équation p* = 2fl* C08 2û), p= ; r. ^ ^ C08 (w — a) De la première égalité on déduit facilement cos a> et ain &>; en subati- tnant les yaleurs dans la aeconde, on obtient p* + 4aY cos 2a + 4a' (a* cos« 2a • rf» cos 2a) p* — Sa'dy + Wd' = 0, équation qui a pour racines OA, OB, OC, OD. On en déduit immédiate- ment la relation proposée. (Voir Mathesù, (2), IV, p. 264). \ Sur les cMs d'un triangle ABC on construit extérieurement les carrés ABDE, BCFG, CAHI. Soient : A', B', C les milieux des côtés du triangle ABC; A", B", C" les milieux des droites HE, DG, FI; 0., 0*, Oe les ottUres des carrés. Démontrer que les droites A' A'', B'B'', C'C sont éj/aks aux côtés du triangle OaO»0« et passent par le centre du cercle dreonserit à ce triangle. (Dâprez.) SoluiUm par MM. Droz-Farnt, Mandart, Hacxen, Dbschacht (LouTain) et Verebut (Anvers). Les triangles BAH et EAC ayant (^^ Prière à aot correspondants de signer chacune des solutions qu'ils nous eiiToient - 50 - ohaoun un angle égal 90* + ^ comprit entre des côtés égaux chacun à chacun sont égaux ; comme AH est perpendiculaire sur AC et AE per- pendiculaire sur AB, les troisièmes côtés BH et CE seront égaux et perpendiculaires. Le quadrilatère BEHC est donc un pseudocarré et par conséquent le parallélogramme A''0»A'Oo des milieux des côtés est un carré. A'A'' est donc égale à 0»0«et elle est médiatrice du triangle 0«ObO«. Autres solutions par MM. Elompbrs» Cristkscu, A. Francq, Delaratb* M. JoNSSCO se sert des équipoUences. Bn obsenrant que AA'' est perpendiculaire à BC et égale à { BC, et par suite égale et parallèle à 0«A', on Toit que A" A' et A0« sont des lignes égales et parai- lèlei. Le théorème de M. Déprez conduit donc facilement à la proposition que MM. Van Aubel et moi, nous avons signalée presque en môme temps dans la Nouvelle Correspondance, t. IV, pp. 42 et 142 : Les droites A0«, BOb« C0« sont res^ pectivement égales et perpendiculaires aux côtés du triangle OaO*Oe. La question 967 se déduit aussi de la propriété que A' est le centre d'un carré construit sur OftO* (loc. cit) ; comme on peut intervertir les rôles des triangles ABC, AHB, A'' est le centre du second carré construit sur ObOt. M. Dblahatb rappelle Tégalité suivante proposée dans le Journal de Vuiàertf t X, pp. 96 et 1 14 (Voir aussi loc. cit., p. 145) : 0«0»0. = ABC (l +5Cot V^ = ABC + g («• + *« + c«), V étant rangle de Brocard de ABC. (J. N.) 9aestt*B 9BB. (Voir Mathesis, (2) IV, p. 264). Toutes les paraboles qui touchent une droite donnée AB en un point donné A, et dont la directrice passe par un point fiweP^ ont une seconde tangente commune t. Si le point P parcourt une droite donnée d, la droite t enveloppe une parabole qui touche AB en A. (J. N.). Solution par MM. Droz-Farny, Déprbz, Buissbrbt et Gob. On sait que Torthocentre d*un triangle circonscrit à une parabole est sur la directrice de cette courbe. Donc, si l'on considère toutes les paraboles qui touchent deux droites données AB et AC et dont la directrice passe par un point donné P, elles admettront nécessairement une troisième tan- gente que Ton obtient en cherchant le troisième côté d'un triangle dont on donne deux côtés et Torthocentre P. La circonférence circonscrite à ce triangle sera le lieu des foyers de toutes ces paraboles. — 51 — Snppo8on8 les deax tangentes AB et AO infiniment voisines ; on trouye alors immédiatement que toutes les paraboles qui touchent une droite donnée AB en un point donné A et dont la directrice passe par un point fixe Pf ont une seconde tangente commune que Ton obtient ainsi : de P on abaisse la perpendiculaire PB sur AB et de B la perpendiculaire BD snr PA. BD sera la seconde tangente commune i. La circonférence pat» tant par A et B et tangente en B à ^ sera le lieu des foyers de toutes ces paraboles. La démonstration directe serait d'ailleurs très aisée. . Sopposons que P se meuve sur une droite donnée d. Il s'agit de démontrer que BD = t enveloppe une parabole. Abaissons de A une per- pendicalaire AE sur df et de E une perpendiculaire Eg sur AB. Prolon* geons Eff d'une longueur gF = E^, enfin menons par g une parallèle ^L à df, qui rencontre BD en M. ^ coupe ^L en M ; il est facile de démontrer que Fangle BMF = 90". Bn effet, dans le quadrilatère inscriptible BPEA on a angle BE^ = 90» — EBA = 90» — EPA — PAB. Mais angle BE^ = BF; et angle DML = PAE ; donc BF^ == BG^ «t par conséquent le quadrilatère BMF^ est inscriptible et BMF »B;P«r90*. Comme FA => AE il en résulte que t enveloppe une parabole admet- tant gL oonmie tangente au sommet, d comme directrice, F comme fi»jer et qui touche AB en A. Rbmarqub. Si d coupe AB en R sous un angle ty CD =:^ c du pseudocarré ABCD ; désignons par 0 l'intersection des diagonales AC, BD. Menons par les sommets des parallèles aux dia- gonales opposées ; nous formons ainsi quatre rectangles AOBX, OBYG, OCZD, ODUA. Comme OX = a, OY = 6, OC -» e. la question revient à mener par un même point 0 trois droites égales à a» i» c et dont les extrémités X, Y, Z soient les sommets d*un triangle rectangle isoscèle. Qr une rotation autour de Y qui amène YZ sur YX, fait prendre au triangle YZO la position YXW, et Ton aura XW » OZ = c. On con- struira donc le triangle rectangle isoscèle OYW sur OY=si puis le triangle OXW ayant pour côtés OX =: a, WX — c ; on achèvera le carré XYZU et les parallèles aux côtés par 0 feroat connaître les som- mets du pseudocarré. Solution i* après M. J. Jonbscu. On donne les côtés AB «a a, BC «= i» ADssi du pseudocarré ABCD. Menons DD', CC perpendiculaires sur AB ; les triangles rectangles ACC, DBD' dont les côtés sont deux à deux perpendiculaires et dont les hypoténuses sont égales, sont égaux, ai Ton a AC ^^ DIV , BD' = CC Menons encore DE perpendiculaire et égale à BG ; les projections de DE sur AB, CC sont égales à celles de BG sur GC', AB, ou égales à GC, C'B. De là on déduit que BE est per- pendiculaire et égale à AB. Par analogie, si l'on mène CG perpendiculaire et égale à AD, AO sera perpendiculaire et égale à AD. De li| la solution suivante : sur AB sa a construire un carré ABEQ ; — 1» — •or ÂE, BQ oonstroire dei triangles ADB, 0GB dont lei deux àntrtt côtés sont égaux ki^b. Les égalités AC = DB'i BD' s CG' sont dues à M. Jonbscu ; notre correspon- dant en a déduit par le calcul Texistence dp triangle ADB ayant pour côtés d, b^ a y 2 et pour angle DBA =: 45* — ABC. (J. N.) Une solution, analogue à celle de M. Jonescu, due à M* DiPBHX sera analysée plus tard. Qoesti^B ceux. (Voir N. C. M., t Itl, p. 82).- Sipetq iont des nonibrei nMen, difirenU de féro^ et si V^juation (1) y» + 2(2p — l)y» + 8j?y — (4;? — 1) = 0 a une racine enUèret de signe contraire à q^ V équation (2) «» + p« + j = 0 a au moins une racine réelle^ incommensurable. (S. Râaus.) Solution par M. Fauquembbboujb. Mettons Téquation (1) sous la forme On voit ainsi qu'elle ne peut avoir pour solutions y «a ih 1 ; autrement q serait nul, ce qui est contraire à l'h/pothèse. De plusi une racine entière ne peut être qu'impaire ; désignons«la par 2a 4- 1. nous aurons Tidentité (3) 2a«{a + l)« + 2pa(«+l) + j'(2a + l)s=0. Cela étant remarqué, remplaçons œ par a dans l'équation (2), et dési- gnons par /(a) le résultat de la substitution : /(a)=«««+;>a + î. Multipliant les deux membres de cette égalité par 2(a -|- 1)*, ce qui ne change pas le signe de /(a), et éliminant p au moyen de la relation (3), on trouTe : 2(« + l)V{a) — — 2a»(a4.1)«4.j(a + l). * Or» d'après l'hypothèse, 2a -|- 1 et ;, et aussi a -)- 1 et q sont de signes contraires. Donc / (a) est négatiye. Kn procédant de la même manière, on trouve « 2aY(a + 1) = 2a» (a + 1)« — qa. - 55 - Le produit fa étant négatif, d'après l'hypothèse, /(a ^ 1) est positiye. On en conclut que Téquation (2) a an moins une racine réelloi com- priee entre les deux entiers consécntifs a et a -[-If et par suite non entière. De plosy cette rsdne ne peut être fractionnaire puisque le coefficient de la plus haute puissance de a est Tunité ; donc elle est incomiçen- •orable. Parthenaj, 8 juin 1895. QUESTIONS D'EXAMEN. 919. Quand deux triangles (tétraèdres) ont leurs sommets deux à deux sur trois (quatre) droites parallèles entre elles» si Ton tire une IransTersale quelconque parallèle à ces droites, les segments compris sur cette transversale entre les angles (dièdres) du premier triangle (tétraèdre) seront proportionnels aux segments compris entre les angles (dièdres) correspondants du second triangle (tétraèdre). (Ghaslbs). 9ti#. Un plan qui se meut parallèlement à lui même, rencontre des droites données aux points Â, B, G,... Le centre de gravité de ces points pour des masses données a, (3, }^|... décrit une droite. (Ghaslbs). 791 • Une transversale qui se meut parallèlement à elle-mémCi rencontre des plans donnés aux points A, B, C,... Le centre de gravité de eee points pour des masses données a, ^, y,... décrit un plan. (Ghaslbs). 999. Soient A la valeur nominale d*un billeti E son escompte en dehors, # son escompte en dedans; on a Ee 1 1_1 ^=E-/ a'^I i' c*esi-à4ire que la valeur nominale d'un billeê est égale au produit dee eêcow^let en dehors et en dedans, divisé par leur différence; ou, autre- nent, que Vinverse de la valeur nominale d'un billet est égale à la difé- des inverses des escomptes en dedans et en dehors. (E. Qblin.) T9S. Étant donnés deux triangles quelconques ABG et A'B'G^, tra- un troisième triangle A|B|G| homothétique à A'Ç'G' et tel que les eôiée non correspondants des deux triangles ASG, AiBiGi se coupent en -B6 - six points apparianant à une mime circonférence. — Démontrer que ce problème est impossible ou admet une infinité de solutions. L'antiparallèle de B'C par rapport à Pangie BAC et Tantiparallèle de BC par rapport à l'angle B'A'C doirent avoir la même direction. — Les droites ÀÀo BB|| CX^i dont on détermine facilement les directions sont concourantes. 994I. Si un point A se meut sur un petit cercle d*une sphère et que B| G désignent les extrémités d'un diamètre de ce cercle, on a tgÀBC.tgACB — cos^BC, sin> i AB + sin^ AC = sin« { BC, 1 4- <^A BC = ces AB 4- cos AC. QUESTIONS PROPOSÉES, \. Soient A, B, C, D les sommets consécutifs d*un carré donné. Soit F un point tel que la droite de Brocard du triangle PBD passe par le pied de la symédiane issue de P dans le même triangle. Démontrer que le cercle de Brocard du triangle PAC passe par le pied de la bissectrice issue de P dans ce dernier triangle, et que le point P décrit une ellipse de Cassini, normale en P à la symédiane du triangle PAC. (Déprbz.) t9ft9. Si p est un nombre premier, on a [1.3.6.7.... X(P—2)P = (—1) » (mod. p.). (Stuyvabrt.) ^i9ft9. Démontrer que les nombres qui, divisés par a, b, e,.,, laissent respectivement les restes a', b\ c',... sont de la forme ml-^-Uf i dési- gnant un nombre entier quelconque. Signification des nombres m et n. (H. Brocard.) &•&•• Sur trois droites concourantes Oâ;, Oy, Oz on prend les couples de points AA', BB', CC. Les plans A'BC, B'CA, CAD se coupent en un points; la droite OS rencontre les plans ABC, A'B'C aux points D,D'. Démontrer que le rapport anharmonique (OSDD') a une valeur cons- tante. (J. N.) Meetlieatl#B8« » A la dernière ligne de la page 6, les petits radicaux doivent porter sur 0^4- ^seulement et non sur 4- tf et »«. — 57 - "THÉORÈME DE GÉOMÉTRIE('). Par M. SooNB, profeBSeur à Tirlemont. 0» projette ittiomnett d'«n triançU A.BC en Â', B', Cturunt droit» fmeleùugiu m du plan ABC; on mine eniuite Us droites A'A", B'B", C'C" ruftetivemtnt ptrptudiculttires sur BC, CA,AB. Cet droites concourent M «• «An« peint M. Zortçut m passtpar le ctntrs 0 du etrdt ABC, M est sur le eereU d$$ wtufpoiult du trianglt ABC. 1. Ls première partie de cette proposition eat connue. Qu*il me vMm» d'en rappeler Ja démonstration suivante : Si l'on appelle M, M' les points de rencontre de A'A" avec B'B", (*) Dana la question 112âe la JIT. C. if. (t. II, p. 189}, J'ai proposé la premièra partie da la proposition deM. Soons, ainBiqael'étudede la transformât ion (M, Ui. Cette première partie a M démoiitrë« gëomëtriquemect par U. H. Van Aubel (ibid., 1. 11, p. 310) ; la dénionatration analytique est très facile ai l'on prend m pour aie dae«i nue perpendiculaire pour axe des y. J'ai donné quelques déTeloppements ■or la tranaformalion (m, U) dans la N. C. M., t. IV, p- 379, mais sans remarquer la cnrieox théorème de M. Boons. La première partie est on cas partienlier du théorème des triangles orthologi- qnaa. Voir aiuai te /. M. B., 1884, p. 49. (J. N.) — 58 - C'C'etK celui de AA' avec BC, les triangles B'A'M, C'A'M' sont respectivement semblables aux triangles AKC, AKB parce que les côtés homologues sont perpendiculaires. On en conclut A'M : KG = B'A' : AK, A'M' : KB == C'A' : AK ; d*où, à cause de KC : KB = A'C : A'B', A'M = A'M'. •• Je vais d*abord démontrer la seconde partie par la géométrie analytique. Prenons pour axes coordonnés le diamètre OX parallèle à CB et le diamètre perpendiculaire. Les coordonnées des points B, CetTéquation de m étant H sin A, — R cos A ; — R sin A, — R cos A ; y cos a — a? sin a = 0, les équations des droites BB', CC sont y sin a 4~ ^ ^^^ " — R sin (A — «) = 0, y sin a + â? cos a 4- H. sin (A + a) = 0, et celles des droites B'B", C'C" : ysina-^-x cos a — il sin (A — a) -|- K (y cos a — x sin a) = 0, i y sin a -j- a? cos a -}- R sin (A -|- *) "h ^' {V <^os a — xaina)=sO.\ On détermine K et K' en exprimant que ces lignes ont respective- ment pour coefficient angulaire -^ cotg G, cotg B; ce qui donne K = tg(G-a), K'=-tg(B + «), et au lieu des équations (1) : y sin G -|- ^ cos G — R sin (A — a) cos (G — a) = 0, i — y sin B 4- â? cos B — R sin (A + a) cos (B -4- «) = 0. ( ' ' Le point M satisfait aux égalités (2); donc pour obtenir le lieu qu'il décrit lorsque m tourne autour de 0, il suffit d^éliminer a. A cet effet, transformons les produits de lignes trigonométriques en sommes : 2ysinG-[-2ircosG — Rsin(A — G) = R8in(B + 2a), | 2y8inB — 2a?cosB-.Rsin(A — B) = R8in(G- 2a); { ^ ^ après avoir développé sin (B'\-2a), sin (C — 2a), résolvons les équa- tions (3) p^ir rapport à sin 2a, cos 2a : Rsin2a = 2xcos(B— G)— 2ysin(B — G) — 2Rsin(B — C)cosA, Rco82a=.2a?sin(B — G)+2ycos(B— G)4-2Rco8( sin (B ~ 0) cos A , I i(B— C)co8A— R; j ^ ' — 59 — en ajoutant ces équations (4) après les avoir élevées au carré, nous aurons [R . xw. ^vV I r R cos (B — C) — 2R cos A V R* Le lieu cherché est donc le cercle des neuf points du triangle ABC. Soient D, E, F les milieux de BC, CA, AB ; en faisant passer m par Tan de ces points, on voit immédiatement que ces points appartiennent au lieu. Lorsque m est parallèle à un côté de ABC, M est au milieu de AH, BH ou CHy H désignant l'orthocentre ; lorsque m passe par A, B ou C, M est au pied d*une hauteur de ABC. S. Le lieu que nous venons de traiter par l'analyse, peut s'obtenir par la géométrie élémentaire. Sur OA, OB, OC comme diamètres décrivons trois circonférences 'y H« 7f e^l^s passeront respectivement par les points A', B', C et par les milieux de deux côtés de ABC. Les droites £F, FD, DE sont respectivement perpendiculaires au milieu des droites MA', MB', MC; autrement dit, les points F, D, E sont lea centres des cercles circonscrits aux triangles MA'B', MB'C, MCA'. En effet, AA' et BB' étant perpendiculaires à A'B', la perpen- dicoiaire au milieu de A'B' passe au milieu de AB ; de plus angle FB'A' = FBO = 90«» — BCA = 90- - B'MA' ; donc F est le centre du cercle MB'A'. La perpendiculaire au milieu de B'M passe donc par F, et comme elle est parallèle à AC, elle se con- fond avec FD. D'après cela, les projections de M sur les côtés du triangle FDE sont sur la parallèle à m menée à égale distance de M et m. M est donc un point de la circonférence circonscrite au triangle FDE. Réciproquement, M étant un point quelconque du cercle des neuf points d'un triangle ABC, les symétriques A', B% C de M par rapport aux droites joignant les milieux des côtés de ABC sont sur une même droite m passant par le centre du cercle ABC, et les perpendiculaires élevées sur m en A', B', C passent respectivement par A, B, G. NoTB. Prenons pour le point fixe O un point quelconque du plan ABC. La lieu décrit par M lorsque m tourne autour de 0 se ramène au suivant : - 60 - a eireon/ireneet |3, y se conptnt en un point 0. 0» mine par 0 une sécantt qnektnique m gui rencontre Us dsuxcourtà en B', C. Par cet points on mine des droites R'M, CM purallUes à dn directions donnits . Trouver le li«tt de leur point d'intersection M. Ce lieu eat uno agniquâ. ai nuits revenons au triangle ABC, trouvons iminûiliutenient neuf points do la conique (M) en considérai les positions où m est perpondiculairo ou parullèle à un cAtéde ABQ ou passe par un aoiuiucl. (J> N.) Triangles intérie\ "SURLBS TRIANGLES FORMÉS PARLES TANGENTES GOHMUNq A TROIS CERCLES DONNES; pftr M. B.-N. BiRisiSK. {Suite: voir pages 3&-Sr7.} Sgppoïons les centres des cercles donnëi t 0',, 0„ 0',(*). Noua avoM a^«,-l-R,tgiB-R,lgîC, *---;;. + K,tg*C-R,lg; C^y. + R.tgjA-H.lglB,] Ici, il ne faut pas obercberl ilélerminer r, on «urait équation trop eompliquée ; il a préféralile de chercher r,. Les équations (8) donnent, pd addition et soustraction, P-i, ;.,=,/. + R,tg;c-R,tei« p,_(,+ U,lglA-R,tjiC ,._l, + R,l|,iB_B,l8j^ (*) La fltfurH, qiiî te rapporto fc loua Im Cia rftndijfl, ■unît d^à 4fl p dani U livntUon précédents. - 61 — llaû A. r, r, B Pi C Pi parfaite, t . Rj|?3 RiTi '^ ri / Cet équatîont linéaires en ptfPifPi donnent Ti Ut + R,r, r, tii — Riri l^«-7 r. + R, ' P'^^^T-rr-^liV ^*~ +T r. + Rs ~ / r. — Ri Sobstitnant cet valeurs dans la relation pifx = V^ppxp*p^, on obtient r\ 10. + 7.)' - «î + 4R, (R, + R. + R.)] - 4r,< [|3, (R, + R,) - y, (R. + R,)] - /' [4R,R, + «J - ((5, - -/,)=] = 0. On en déduit Une permutation tournante effectuée sur ai, |3i, yi et sur Ri, Rs Rs donnera les yaleurs de rs et rg. Les deux signes placés devant U cor- respondent respectivement aux triangles a, (3,7, et cL\^\y\ ; toutefois, il faut changer le signe de l'une des valeurs de ri. 11 est maintenant facile de trouver les autres éléments des triangles Pour passer aux triangles (x-'fi^y^i ^fPi7i) ^^ cliange a en — a, et « en — a, P en — Rs, ai, ^i. On a donc, dans ce cas : — aiRi+ PiR» — yR5+2CJ *"• ~ ^p; +7"-~a, Nous laissons au lecteur le soin de chercher comment on obtient les autres triangles mixtes du premier groupe. Étudions maintenant le triangle a^j^i, pour lequel les centres des cercles donnés sont O'i, Os, Os. Nous avons B C a = et + Ri cotg ^ + ^» ^^% ô * Ô=P +R,cotg5-R.tg J,} (12) c — y, 4-RiCotg-4.Ritg -^ . — 63 — Posons a + /5 + y, = 2t>, — a + /5 + y, = 2©,, a — 13 + y, = 2l>,, a + /3— •/, =2i?s. Les relations (12) donneront Pi =i?it p, = r, + R, cotg - + R, tg ^ = r, + -^ + — , j,, = r,-f.R,cotg--R,tg- = r5H — — -. '*' ^ 7^ Vl Substituons ces valeurs dans la formule pr = \/pjpipipt ; réquation du second degré en r qu*on obtient ainsi ne diffère de celle relative au triangle intérieur o^^^iYt que par le cbangement de Rs, aiy Pi en — Rs^ a, P, de sorte que ^^'^'^ ^(p + y,)»-a« + 4R.(R.+R,-Rs) Les deux rayons obtenus par des formules analogues sont rs et ri. Donc, le second groupe do 24 triangles mixtes a toutes ses formules dépendant de celles des triangles intérieurs. Le lecteur trouvera facilement comment on passe du triangle a|3yi aux autres triangles du même groupe. La conclusion à tirer de cette étude est que les 64 triangles se ramènent à 2 types : 32 triangles dépendant par des combinaisons de signes et de permutations de lettres des formules des triangles extérieurs; les 'S2 autres s'obtiennent par les formules des triangles intérieurs. Cas particulier des cercles tangente entre eux. Nous supposons trois cercles tangents extérieurement deux à deux. Les triangles intérieurs nVxistent pas, puisque les trois tangentes intérieures passent par un même point. On a 8 triangles extérieurs, et 18 triangles mixtes dont 6 formés par deux tangentes intérieures et une extérieure, et 12 formés par une tangente intérieure et deux extérieures. On a alors Di=Rt-|-R5, D2 = R5 + Ri, D3 = Ri-|-R2, a = 2 |/R,Rs, ^ =r 2 1/R3R,, 7 = 2 (/rIrV, ai = |3i=7. = îî, U = i/RiRVRr(R7+Ra+~R»). — 64 — Pour les triangles extérieurs, la formule (7) devient _Ri|/R»Rs+R»|/RsRi+R3l/R.R«+t/RiRtRs(Ri + Ra+Rt) l/R,R, + l/R,Ri + j/RsR, ou l/R, ^ /R, 4- ,/r; + p/R7^~R,"+ r7 r ' +^+ ' |/îî^ l/lR, i/R, Les combinaisons de signesMes radicaux donnent les valeurs de r des 8 triangles extérieurs. Pour les six triangles formés par deux tangentes intérieures et une extérieure, on a : a,(3r/ et a,(3,/ : r, = ip R, + l/Rs (R, + Rt + Rs), ai(3iy et a,yi(3' : r, = zf: R, + j/Rt^RT+RT +R7), «Pr/, et a^ty/ : r, = qp Ri + l/R, (R. + R, + R8). Pour les douze triangles formés par deux tangentes extérieures et une intérieure, on fera dans les formules générales Tune des quantités ^i»|3f9 7i égale à zéro. SUR LB CALCUL DES ANNUITÉS VIAGÈRES ; par M. B. Fagnart, professeur à l'Athénée royal de Qand. Une erreur fréquente dans l'évaluation des annuités viagères consiste à représenter la durée de la vie, terme inconnu, par la durée de la vie moyenne ou de la vie probable. Le calcul des annuités viagères n*ost plus alors qu'un simple problème d'annuité certaine. Il n'est donc pas inutile de rappeler la véritable valeur de Tannuité viagère et le sens de Terreur que Ton commet lorsqu'on prend pour base du calcul la durée de la vie moyenne ou de la vie probable. Dans ce qui va suivre, nous emploierons les notations de Boudin {Leçons sur le calcul des probabilités) ^ qui s'expliquent d'ailleurs d'elles- mêmes. I . Valeur de rannuUé viagère de 1 franc. — Calculée par le prin- cipe de l'espérance mathématique, elle est : 1+0 V«^(l + 0)« V» ^ ^(1+6)" Vin4« (1) - 65 - C*ett la véritable yaleor mathématique, en ce Fens que si Ton suppose y» contrats de rente viagère, le fonds AYm ainsi formé, avec ses inté- rêts au taux d, sera suffisant pour payer les termes de rente à leurs échéances successives et sera épuisé à rextinction totale des Y» ren- tiers. Cette dernière considération permet aussi d*établir très simplement la théorie mathématique des annuités viagères, et cela indépendam- ment de toute notion relative au calcul des probabilités. En 8*inspirant des mêmes principes, l'assureur pourra dans son bilan annuel et pour toute espèce d'assurances, calculer la valeur de son engagement et celle de l'engagement réciproque pris par l'assuré ; en d'autres termes, il pourra contrôler s'il j a équilibre entre Tactif et le passif. Cette compensation des effets dus au hasard se fera d'autant plus exactement que les deux bases du calcul, c'est-à-dire le taux d'intérêt et la table de mortalité auront été plus convenablement choisis. Le choix du taux du placement des fonds est une question de ûnances, celui de la table de mortalité est une question de statistique. Les progrès de la statistique ont actuellement mis les institutions qui s'occupent d'assurances, en possession d'excellentes tables de mortalité rénUiant ii leurs propret obtertalions et soumises chaque année à un contrôle permanent par la comparaison annuelle des nombres de décès observés et des décès théoriques. Citons: la table H'' des vingt com- pagnies anglaises, les tables AF et RF des compagnies françaises, la table RC de la caisse nationale des retraites de France, etc. (*). •• Sens de l'erreur que Von commet lorsqu'on égale la valeur de Vûnnuité viagère à celle de Vannuité certaine correspondant à la vie moyenne» A l'aide d'une table d'annuités viagères, on voit immédiate- ment que l'annuité certaine correspondant à la vie moyenne est supérieure à la véritable valeur de l'annuité viagère. Car si l'on cherche le nombre d'années de l'annuité certaine égale à la valeur mathématique de l'annuité viagère, on constate que ce nombre d'années, que l'on pourrait appeler vie mathématique du rentier, est toQJonri inférieur à la vie moyenne. n Yoir oet tables avec d'autres dans V Annuaire du bureau des longitudes de 1896, pp. 5S5-M6. 0 - 66 - On peut du reste donner de ce fait, d'après le « Text-Book ». (*) une démonstration algébrique : On sait que la vie moyenne est représentée par Texpression suivante : W«=2 + -^^ soit Wm = «-}'/> ^^ ^ désigne un nombre entier d'années et/ une fraction d'année. La valeur théorique d'une annuité certaine d'une durée e + fy est : A' = ^— ^^P (1) ^1.1, ,1,1 (i + QK-i / ou en remplaçant le dernier terme par r-j- — i ce qui a pour effet de diminuer la valeur de A' : 11 1 / A'= 1 1 1 I (2) 14-9^(1+9)»^ ^ ( l + Ô)' ^ ( 1 4- 9)'+ ' ^ ^ Or, A sera plus petit que A\ si Ton a : 1 Vw-t-l . 1 Vm-f» I I 1 Vm+» r+6* V. "*"(! + &)»'"V7"^ '■(T+6)^""V7 1_^ 1 . 1 ■ / (♦) Imtitute ofActuarUi' Texl-BooK of tke Prineiples oflnieresl, Lift AnnuUies, and Assurances, and their Prattcal Application, Part I. Interest, by W. Sutton, II. A. of St. JohD*8 CoUef^e, Cambridge, and Feliow of the Institute of Actuaries; Actuary to the Rogistry of Friendly Societies (in-S» de xvi-174 p.). Part II. Life CoDtingencies, by GhOROss Kino, Feliow of the Institute of Actuaries and Feliow of the Faculty of Actuaries, Actuary ot the Atlas Assurance Company (iQ-8* de xxv:i-553 p.). London, C. et E. Layton, 1882 ot 1887. Prix : 10 s. 6 d. + 31 s. 6 d. Il existe une traduction française de ces deux volumes, faite par A. Bkqault, ancien officier d'artillerie, Actuaire de la Compa^^nie belge d^Assurances générales sur la vie. Bruylant-Cristopho, Bruxelles, 1891. Prix ; 10 ft*. + 40 tt. — 67 — ou ■■ 1 ■ • • • I — • (14_G).+« V., ' ' (1 + 0)" V. ^i + gV V. /t^ t^(1_I_&).\^^ v„ y^(i + o)<+'V V, ) Or le premier membre de cette inégalité est inférieur à 1 / Vmt« + t+ 1- Vw+A -g, et le second membre est supérieur à 1 (.\f V«+, +.-+V«+M-l\ (1 + OU, d*aprè8 la déûnition de « -]- /*, à Mais Texpression (3) est plus petite que l'expression (4), et à fortiori : A > A'. S. Vie probable. Si ron examine la table H", ajustée par MM. King et Hardj, on constate que jusqu'à 56 ans, la vie probable est constam« ment supérieure à la vie moyenne. La même chose se présente pour la table de mortalité dressée par M. Leclerc, pour la Belgique (*). Ainsi, pour les âges moyens de la vie, jusqu'à 55 ou 60 ans, c'est-à-dire aux âges où se pratiquent principalement les opérations d'assurances, la vie probable est toujours supérieure à la vie moyenne. Le calcul basé sur la vie probable est donc encore plus erroné que s'il est basé sur la vie moyenne. {^) Tables de Mortalité ou de Survie et table de Population pour la Belgique ^ par J. M. J. Lbclbbc, ingénieur en chef honoraire des ponts et chaussées. Président de la Commission cen truie de Statistique. (Mémoire extrait du tome XVII du Bulletin de la Commission centrale de statistique). « 08 - BIBLIOGRAPHIE, Compte renda du bareaa local da Comité Lobatchefsky, (18931895). — Kazan, Typo^^rraphie de l'Université impériale. 1895 (25 pa^es, iii-8**). La souscription Lobatchefsky a produit, tous frais déduits, jusqu*au !«' mai 1895. la somme de 8840 roubles 95 copecks. De cette somme, 6640 roubles 95 copecks serviront à la fondation d^un prix international de 500 roubles, à décerner tous les trois ans au meilleur écrit sur la {géométrie, spécialement sur la géométrie non euclidienne, publié, dans les six années qui précèdent l'attribution du prix, en russe, français, allemand, anglais, italien ou latin. Le prix sera décerné pour la première fois, le 8 novembre 1897. Deux bustes de Lobatchefsky seront établis, Tun dans Tenceinte de TUniversité, l'autre dans un Jardin de Kazan, avec le con- cours des professeurs et duConseil municipal de cette ville. Le Comité y consacrera une somme de 2200 roubles. — La société physico-mathématique de Kazan a fondé en cette ville une Biblotheca lobatckefàkiana oix sont réunis tous les écrits relatifs à la géométrie non euclidienne. Le compte rendu que nous venons de résumer contient la liste des membres du Comité, des souscripteurs étrangers et des livres contenus dans la Bibliothèque lobatchefskienne . Étade sar l'Espace et le Temps par Q. Lbchalas, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, Paris, Alcan, 1896. (In 18 de 201 pages). Prix : fr. 2.50. Voir dans la Revue des questions scientifiques ^ janvier 181)6, 2* série, t. IX. pp. 2i)6-273, notre compte rondu de cet ouvrage dont un tiers au moins est con- sacré à la géométrie non euclidienne, exposée surtout d*après les travaux de M. ringénieur Calinon. Répertoire bibliographiqae des sciences mathématiques. Première série : Fiches 1 à 100, Paris, Qauthier-Viilars et Fils, novembre 1S94. Prix : 2 francs. Vorlesangen ûber Geschichte der Mathematik von Moritz Cantor. Dritter(Schlu8s-) Band Vom Jahre 1668 bis zum 1*759. Zweite Abtheilung. Die Zeit von 1700 bis IT26 Mit SD Figuron im Toxt Leipzig, Teubner, 1796 (Pages 255-472). Prix : 6 marcs. Voici les titres des chapitres contenus dans cette 17* section de Touvrage capital de M. Cantor. Ch. 93. Ilirttoiro dos mathématiques. Kditions des classiques. Le calcul inrtnitôsimal jusqu'en 1701. V.\\, 91. La lutte de priorité entre Newton et Leibniz jusqu'en avril 1718. Ch. 95. Depuis avril 1712. Ch. 96. Analyse com- binatoire. Calcul dos prohabilitôa. Ch 97. Théorie des séries. Calcul des difîéren- ces. Ch. 98 Algèbre. Ch. U9 Cal(Mil ditTérontiol; calcul intégral. Géométrie analytique et géométrie projectivo. Ch. 10(). équations ditTôrenti elles. - 69 — A Primer of the Hiaiory of mathematics by W. W. Rousb Ball, Fellow Tacor of Triaity Collège, Cambridge. LondoD, Macmillan and Co and New- York, 1895 (146 p. in 12). Price : 2 sh. Basai d^aae histoire populaire où l'auteur a voulu esquisser en 137 pages dont 9 sont consacrées à Newton — les tables en occupent 9 autres, — la vie et les dtemTertes des principaux fondateurs des mathématiques pures et appliquées. Quoique ce livre contienne une foule de renseignements, il nous semble qu'il donne une idée Dnusse du développement de la science particulièrement dans la pnrtie moderne et surtout dans la plus récente. L*aatear accorde trop d'importance à des auteurs de second ordre, anglais sur- tonty et semble en ignorer d'autres qu'il est impardonnable de ne citer qu'en (Dirichlet, par exemple). Leibniz et Cauchy sont sacrifiés; etc., etc. Il y a bien des erreurs de détail. Laçons tnr rintégration des éqaations aux dérivées partielles du second ordro à deux yariables indépendantes, par B. Goubsat, maître de conférences àrécole normale supérieure. Tome I. Problème de Cauchy. Caractéristiques. Inté- grales intermédiaires. Paris, A. Hermann, 1896 (In-8* de viii-226 pages). Prix : 7 fr. 50. Ce premier volume contient la théorie des caractéristiques, l'exposition détaillée des méthodes d'intégration de Monge et d'Ampère et la recherche des intégrales intermédiaires pour des équations de forme quelconque. L'auteur fait remarquer qu'Ampère a employé des transformations de contact tout à fEÛt générales, un dnni-siècle avant les travaux de Lie. (P. M .) SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSEES. '^Qacntion OSO. (Voir Mathests, (2), IV, p. 176). Par un point fixe Q^s'Uué dans le plan d*un parallélogramme donné A6CD, on mène une sécante quelconque^ qui rencontre les côtés AB, BC, CD, DA aux points .M, N, P, Q. Démontrer que le rapport des produits OM, ON, OP, OQ ne change pat lorsque la sécante tourne autour de 0. Oénéralisercethéorèmepir projection centrale. (J. N.). Solution par MM. Hackkn, KLOMPKas et Poort. Le rapport(OM : OP) est égal au rapport constant dei distances de 0 aux côtés opposés AB, CD du paraliélogramme ; le rapport (ON : OQ) est égal au rapport ejnstant des distances de 0 aux côtés opposés BC, DA du parallélo* ^ OM.ON , gramme. Donc est constant. - 70 - Si l'on transforme le parallélogramme ABCD par projection cen- trale, on trouTe, comme on sait, un quadrilatère complet A'B'C'D'KL. La troisième diagonale KL de ce quadrilatère correspond à la droite de rinfini du plan ABCD. Au point 0 correspond un point 0' et à la droite OM une droite O'M' coupant A'B', B'C, CD', D'A' aux points M', N', P', Q', projections de M, N, P, Q. Le point T où O'M' coupe la 3* diagonale KL du quadrilatère complet correspond au point de Tinfini de la droite OM. On a (MOP 00 ) = (M'O'P'T), (NOQ oo ) = (N'O'Q'T). OrC) OM ON (MOPoo) = — , (NOQx) = — . donc (M'O'P'T) X (N'O'Q'T) est constant. Ce que l'on pouvait voir directement : chacun des rapports anharmoniques (M'O'P'T), (N'O'Q'T) est constant. L'égalité (M'O'P'T) X (N'O'Q'T) =c«' peut s'écrire O'M' X TM' X O'N' X TN' = constante O'P' X TP' X O'Q' X TQ' et s'énoncer : Si par un point quelconque 0', situé dans le plan d'un quadrilatère complet, on mène une sécante qui rencontre les côtés A'B', B'C, CD', D'A' aux points M', N', P', Q' et la 5" diagonale au point T, le rapport des produits O'M'. TM'. O'N'. TN', O'P'. TP'. O'P'. TQ' ne change pas quand la sécante tourne autour du point 0'. Qucftlioii 990. (Voir AfalhesU, (2) IV, p. Vl6). Soient deux cercles fixes de centres C et C : d'un point M variable de la circonférence C, on décrit une circonférence r de rayon donné p qui coupe la circonférence C en A et B. (♦) On désigne ici par (ABCD) le double rapport -- : —-;. La plupart des BC DC CA DA auteurs posent (ABCD) = --^ : -^ . (J. N.) — 71 — 1* Uenveloppe de la corde AB est une conique qui a le point C pour un di ses fùyers ; 2* Le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle ABC est une ànonfirtnct. (E. Lbmoinb.) Soluiion par M. Tzitzéica (Bucarest). 1" Prenons pour axes de coordonnées la ligne CC et une perpendiculaire en C. Soient R, R', a le» rajons des cercles C, C et la distance CC. Le cercle mobile et le eerda C ont pour équations (x—R cosa)« + (y — R 8ina)« = p», (1) (a? — fl)« + y»c=R'«. (2) La corde AB est donc représentée par 2R {x cosa + y sina) — 2ûa? — R* + 'a* — R" + p« = 0 ; et ton enyeloppe par 4R« («« + y») = (2ax -f R« — «» + R'« — p«)». Cette enveloppe est une conique ajant C pour fojer, CC pour axe focal. On peut remarquerque c*est une ellipse, une hyperbole ou une para- bole, salyant que C est intérieur ou extérieur au cercle C ou sur la circooiérence ; enfin c'est un cercle lorsque C et C sont concentriques. 2* L*éqaation d'un cercle qui passe par A et B est *' +y* "^ 2R cos a.x — 2R sin a. y + R* — P* + Â(a?» + y«— 2a4? + a« — R'») = 0. S*il passe par G, on a , R« — p' Son centre est donné par (1 4- i) « — R cos ût — ?.a = 0, (1 + A) y - R sin a = 0, où À a la râleur (3). On obtient l'équation du lieu. demandé, en élimi- nant a entre les deux équations précédentes. On troure ainsi (1 -|- /)! (x' + y*) - 2)m (1 + /) « + /.*a« — R« = 0 , le lieu est donc un cercle. Remarque. On peut généraliser la question dans Tespace : Os considère deux sphères fixes S, S' et une troisième 1 de rayon consiant p ayant son centre sur S. i* L'snteloppe du plan radical P des sphères 1 et S' est une quadrique it résolution ayant le centre de S pour un de ses foyers. — 72 — 2"* Le lieu des centrée des sphères 1' passant par VMersection de S' avec P et par le centre de S est une sphère, 2i^ Le lieu de la projection du centre de 1 sur le plan qui touche ^' au centre de S est une sphère. On a les équations : ^' + î^' + ^' = R% (S) (x--ay + y^ + z' = R'\ (S') (a? — R cos a)' + (y — R cos {jY -|- (^ — R cos yY = p». {!) L*enTeloppe de P est R« (a?» + y» + z^) = (ax — *)•, ou 2* == p« — R« - R'« + a*. Cette surface est donc une quadrique de révolution; on peut distin- guer les hypothèses suivantes, a étant supposé positif: R > a, ellipsoïde; R < a, hjperboloïde ; R = a, paraboloïde. 2* L'équation de 2' est (l +/) (a?-4-y'+r*) — 2(R cos a+a/.) a: — 2R cos /3.y— 2R cos 7.^=0, ou R« - p» Le lieu des centres des sphères V a pour équation (1 + >)» (a?» + y* + 2») - 2a/. (1 + /.) a? + «»/ « — R> == 0, A ayant la valeur ci-dessus. 3* La projetante a pour équations X — R cos a y — R cos /3 z — R cos 7 R eos a -|- «^- "" RcosjS RCOS7 En tenant compte de Téquation du plan tangent considéré (R cos 5c 4" ^' ) ^ + R cos fi . y -f- R cos 7.^ = 0, on trouve pour l'équation du lieu a?' + y' + «' + a'fx = 0. De même, dans la question 970, la projection du centre de r sur la tangente en C au cercla circonscrit à ABC décrit un cercle. — 73 — Solutions analytiques analogues par M. M. V. Retali, Basisibn, Barbette, Ku>iiPERS« Manda ST, J. Gillbt, Dbprez,Droz Farnt,Cri8tbscu et J. Jonesco. If M. Rbtali et D^RBz indiquent une seconde méthode pour établir la première pairtie de la question 970 : ils démontrent (analytiquement) que la projection de C war la droite AB décrit une circonférence ; AB enveloppe donc Tantipodaire de G par rapport à cette circonférence. M. Droz Farny fait le raisonnement suivant : Si le point M décrit une courbe 2, les axes radicaux AB, A'B' du cercle C combiné tocoassiTement avec les cercles de rayon p décrits de deux points M, M' de 1 comme centre, et Taxe radical des deux derniers cercles concourent en un même point D; donc en passant à la limite, c*est-à-dire en faisant tendre M' vers M sur la courbe Z, on voit que le point de contact de AB avec son enveloppe est sur la nor- male menée à £ en M. Il résulte de là que dans la question 970, 1**, il suffit de cher- cher le lieu de l'intersection de AB avec le rayon CM. M. D^PRBz trouve que l'axe radical du cercle donné G et du cercle CAB enve- loppe également une conique ayant un foyer en G; pour le démontrer, il cherche le liea de la projection de C sur cet axe radical et obtient une circonférence. Qacstlon 994. (Voir Mathesis, (2), IV, p. 237). Bn eikaque poinêéTune ellipse, on considère le cercle ayant pour centre e$ point et pour rayon le rayon du cercle osculateur. Le lieu des points d'intersection de ce cercle avec la tangente à Vellipse se compose de deux e'cos*9)« cos a = • MN = — i ■^— f db |/a" sin* 9 + J» cos* 9 *^ on peut écrire J» cos' 9 + a' sin» 9 . a? = a cos 9 àz — sin 9 , . J» cos» cp + a* sin» cp y = J sin 9 :^ cos 9 . a Prenons les signes supérieurs ; nous aurons ... , c*8in'9 . . , c»cos»9 X =^ a cos (p -f- b Bin (p -] — - 1 y = ô sin 9 — a cos 9 -j i ^ ( V I c'co8»(t\ /. . , 3c» . , \ ^ y(iâ;«=l ^sin9 — flcos9-j ) ( ^cos? — flsin9-f--v sin»9C089 1^9, xdy=^[ aco89-|-Jsin9-j -— ? j f (cos9-|-asin9 cos*9sin9 \d=:l, équation de la forme x^ — 6y* = 2», X, y, £ étant premiers entre eux. Or, toutes les solutions de cette équation sont données par les for- mules j V = 2aÇ>, et j y=2al3, Donc notre équation présente les deux décompositions : n« + 3«+l=a' + 6f5», (1) i «» 4-311+1 «2a» +3iS>, (3) a» — 6;3' = 1; (2) \ 2a« — 3(3» = — 1. (4) Les autres signes de z donneraient des relations, enti*e a et |3, impossibles suivant le module 3. En retranchant membre à membre les équations (3) et (4), on obtient réquation «•-f3n==4«S — 77 — qoa Ton peat mettre sons la forme (2» -|- 3 -f- 4a) (2w + 3 — 4«) == 9. Cette équation ii*est possible en nombres entiers que pour 2fi4-3 + 4a = 9 avec 2» + 3 — 4a=.l, e'ett-â-dire pour « = 1, a = 1. Il ne reste donc à résoudre que le système des équations (1) et (2), qae l'oa peut remplacer par le suivant «« -f 3» = 12|5S (5) a» — 6^» = 1. (6) L*éqaation (5) montre que n et par suite |3 sont divisibles par 3. Faisons » = 3ffi, ^ s= 3y ; cette équation devient fH{m + l) = 12y«, on encore (2m + 1)« = v« = 48y« + 1, (7) •t Tautre devient a« = 54y« + l. (8) De ces équations on déduit flc, V et 7 étant premiers entre eux, toutes les solutions de cette équation •ont données par les formules a = X»-f6a«, I a = 2À» + 3|ui% =fc V = X» — 6a», et ) =fc V = 2X« — 3a«, y = 2^.^ ; [ y = 2XfJt. Dans le premier cas, Tune et Tautre des équations (7) et (8) deviennent A* - 204X>^« + 36fi' = 1 , (9) et dans le second cas 4X* — 204X V + 9.a» = 1 . (10) L*éqaatîon (9) peut s'écrire (/« _ 102/x«)« = 8 . (6^)* + 1 . Le second membre doit être le carré d*un nombre impair; en réga- lant à 4i* -}- 4é -{- \ , on en tire — 78 — Or, on sait, d'après Euler, qu'aacun nombre triangulaire, excepté Tunité n*e8t égal à un bicarré. Donc Téquation (9) est impossible. De même Téquation (10) peut s'écrire {2i» — 51//»)» = 2.(6//)* + 1*. Or, Euler a démontré que la somme de trois bicarrés, dont deux sont égaux, ne peut être égale à un carré. Donc réquation (10) est aussi impossible. En résumé Téquation du problème n*admet que la solution insigni- fiante n = 1 . Les théorèmes d'Euler que nous venons de rappeler se trouvent reproduits dans la Théorie des Nombres de Legendre. CoROLLAiRB. Le nombre n{n-\-\){n^2)in + S) 24 représente le triangulo-triangulaire de rang n. Donc, dans ce qui précède, nous avons démontré qu*aucun nombre triangulo-triangulaire, excepté Tunité, n*est égal à un carré. Parthenay, 11 Janyierl895. QUESTIONS D'EXAMEN. 11%$. Résoudre le système (« + tt)(y + «) = rf. If^S. Résoudre le système « + y + « = «» a?« + y* + «» = «« + 23», X* + y» + «» = a». Nyt, TiisikHft for Maimaiik. Dea:-fy = a— zon déduit «• + y« = ( 2M0â; on — 79 — porte ane longueur ON proportionnelle au carré de OM. Trouver le lieu géométrique du point N. (Genèse.) L'équation de la conique donnée étant t -— ^ «•sin'w-f-ô'sin*»' celle du lieu de N sera 2 • 2 le lieu est donc une conique de foyer O. 999. Soient 0 le centre et M un point quelconque d*une hyperbole éqailatère. Sur une droite ON faisant avec Taxe transverse Ox un angle N0« =>4M0â; on porte une longueur ON proportionnelle à 0M\ Le point N décrit une parabole de fojer F. (Gbnbsb). t99. Faire et expliquer Tépure propre à déterminer l'angle d'un plan quelconque défini par ses trace:)^ avec le plan bissecteur du dièdre formé par les plans de projection. (Baee. Caen^ 1891). 9S9. ABC étant un triangle inscrit dans une circonférence, on mène [Mir les sommets des cordes AAi, BBi, CCi parallèles aux côtés opposés. L'aire du triangle AiBiCi vaut quatre fois celle du triangle orthique de ABC. Cet énoncé nous a été communiqué par M. J. Jonbsco. La question d'examen 118 propose de déduire du triangle AiBiCt le triangle ABC. Or les droites AAi, BBtyCCiy se coupent aux sommets d*un triangle A«B«Ct dont les côtés ont pour milieux A, B, C; donc ÂiBiCt est le triangle orthique de AtBtC«, etc. 9SI. Soient P, Q, R trois points qui divisent les côtés BC, CA, AB dana le rapport (m : n), et soient P'i Q', R' leurs isotomiquea. Trouver l'équation de la conique qui passe par ces six points. Répona. En coordonnées barycentriques : mn (*• + iS« + /) — (m« + n«) (^y + yx + «^) = 0. 9S9. Deux mobiles se meuvent dans des sens opposés sur une même circonférence partagée en 360 parties égales ou degrés. Ils sont partis d*an même point; le premier a fait pendant la première minute 3* et ùdt chaque minute 1* de plus que la minute précédente ; le second qui a parcouru 1* [ pendant la première minute, parcourt chaque minute 6r de ploa que pendant la minute précédente. Déterminer la première et la saeonde rencontre de ces mobiles. — 80 — IfSS. Résoudre les sjsrtèmes d'équations : P a?»^j/8 = 19, a:' + y« + iry=19. 2« t/aî--|/y = a? — 1/5^+2, 3(i/a? + v/y) = 3i/^+y — 7. 3<» aî" + y' — 2â?y co8a = a*, a?y8ina = J', x-^-y^d. 4» J/y — |/a? = l^a? + y — 4 \/4ay + a; — y -}- 9, 2 l/a?— y = 3i/20 — a?. v/^+a/s^--^' 3(a^» + l) = (y+l)(y-a? + l). 6« ajt __ 2iry + 3y» = 33, 3a?« + 14ipy + 6y« = 291 . QUESTIONS PROPOSÉES. . fOéO. On donne une hyperbole équilatère et deux points A, B de la courbe. Par ces points on fait passer une circonférence quelconque qui rencontre la conique en deux autres points G, D. Trouver le lieu des secondes extrémités des cordes OC, DD' de cette circonférence, lorsque ces droites sont parallèlesà AB, ou aune asymptote, ou à un axe de rhjperbole. Cas particuliers où les points A et B sont confondus, ou diamétralement opposés, ou situés sur une parallèle à un axe. (H. Brocard.) iOftl. Chercher le lieu des sommets des paraboles tangentes à deux normales rectangulaires d'une parabole donnée et ayant le même fojer que cette conique. (E. Duporcq.) ^ilHIt. Le quotient de (2m — 1) I par ml (fit — 1)! est toujours un nombre pair, exceplé quand m est une puissance de 2. (Wolstenholmb.) ^i068. On donne trois droites parallèles AA', BB', CC non situées dans un même plan. Les plans A'BC, B'CA, C'AB se coupent en un point S; les plans AB'C. BC'A', CA'B', en un point S'. Démonti^er que la droite SS' est parallèle à AA' et coupe les plans ABC, A'B'C en des points T, T' tels que TS = SS' = S'T'; que la droite TT' est une moyenne harmonique entre AA', BB', CC. (J. N.). SDR LES TRIANGLES k LA POIS SEMBLABLES ET HOMOLOGIQQES {IfouoelU démoiutration d'un Merènu ât U. So^DAT); par M. V. Jkbabrc (Bnuui). I, Soient a, b, e les points de rencontre d'une transTersale avec les cités BC, CA, AB d'un triangle. Il existe une infinité de triangles A'B'C qui sont directement semblables au triangle ABC et qui ont pour axe d'bomologie la droite abe : il suffit de mener par a, b, e trois droites «'CB', frC'A', cA'fi' faisant respectivement avec fiC, CA, AB, dans la utetaMU, un angle donné. On voit facilement que les sommets A', B*, C d'«n tel triangle ont pour lieux géométriques les circonférences kbe, BMi (M- D'après un théorème connu, ces circonférences et celles qui ■mt eiroonscrites aux triangles ABC, A'B'C se coupent en un même pmatS. S. En considérant les quadrilatères inscrits AcA'S et BcB'S, on Msnoatre aisément que les triangles SAB, SA'B' sont semblables ; donc 8«tl»MBt»d« ùmilitoda des triangles ABC, A'B'C. — 82 - Si les droites abc, B'C, C'A', A.'B' se déplacent parallèlement à elles-mêmes, les points A', 6', C décrivent trois droites passant res- pectivement par A, B, C; donc le centre d*homologie S\ intersection des droites AA% BB', CC, reste fixe. L*un des triangles A'B'C est formé par trois droites passant par S'; comme ces droites rencontrent BC, CA, AB en trois points qui sont situés sur une même droite, le point S', d'après un théorème connu, appartient à la circonférence ABC. Par analogie, il se trouve aussi sur la circonférence A'B'C 3. Considérons maintenant le triangle A'B'C et la transversale abc comme axes, et faisons tourner les côtés de ABC autour des points a, b, c de manière que ce triangle reste semblable à lui-même. Les sommets A, B, C décriront les circonférences A'ic, B'ca, C'ab. Soit H un point de la ûgure semblablement variable ABC ; il se déplace avec ABC de manière à rester toujours son propre homologue. Les angles BAH, CAH restant constants, la droite AH tourne autour d'un point ûxe Sa de la circonférence A'ic ; de même les droites BH, GH tournent autour de deux points ûxes S», Se des circonférences B'ca, C'ab. Le lieu géométrique des positions du point H est la circonférence cir- conscrite au triangle Sa&Sc ; car les angles SaHS^, SbHSo, ScHSa restent constants. La circonférence SaSaSc passe par S; en effet, le triangle ABC peut se réduire au point S, les trois côtés étant dirigés suivant Sa, Sb, Se et, dans ce cas, H coïncide avec S. 4. Si R est Vhorthocentre de ABC, Vaae d'homologie abc de ABC, A'B'C est un diamètre du cercle SaS»Se. En effet, considérons le triangle ABC dans la position particulière k'^cb où les points B, C coïncident avec 6, b. La hauteur A''H" passe par Sa, et puisque ce point est sur la circonférence circonscrite A'3c, la base le est perpendiculaire au milieu de S«H" ; et comme H'' appartient à la circonférence S«SftS«, bc est un diamètre. 5. Le théorème de M. Sondât résulte immédiatement de la propriété précédente. En effet, si les triangles ABC, A'B'C sont orthohomologi- ques (voir Mathesis, (2), V p. 267), les hauteurs AHSa, A'H'Sa sont rectangulaires; donc HH' est uu diamètre de la circonférence SaS^S*. Si Taxe d'homologie abc passe par H, il passe également par H'. •• On peut imaginer trois figures directement semblables Fa, F», F», dans lesquelles a, b^ c sont des points homologues ; les droites (indéâ- — 83 — nies) BC, CA, AB, des lignes homologues; Sa, S», Se, les centres de tûnilitnde (points doubles) de (F», Fc), (Fe, Fa), (Fa, F»). Les droites menées par le point H du cercle de similitude SaSftS« parallèlement aux lignes homologues BC, C A, AB rencontrent ce cercle aux points inva^ fiablii Pa, Pft, Pc ; le centre £ du cercle est le centre d'homologie des triangles SaS»Se, PaP^Pt; les droites aPai bPbf cP* concourent au point S. NOTES MATHÉMATIQUES. ^S. Sur un lieu géométrique élémentaire. Soient A, B les points d'in- tersection de deux circonférences 0,0'. Une sécante quelconque menée par A rencontre ces courbes en M» M'. Les angles BMA, BM'A étant constants, le triangle BMM' est toujours semblable à lui-même. Soit N le point qui divise MM' dans un rapport donné MN : NM' B3 m' : m. Les triangles BMN, BM'N seront encore d'espèce constante; donc le lieu de N est une circonférence passant par A et B. Lorsque MM' est perpendiculaire à AB, on voit que le centre u du cercle BAN est le milieu de la droite BN, et comme BM, BM' passent alors par les centres 0, 0', le centre ca divise le distance 00' dans le rapport donné En observant la règle des signes pour les segments comptés sur une même droite, on peut écrire ,^, «i.AM + w'.AM' AN = — m'\-m' On en conclut que si Ton porte sur MM' un segment APc=p.AM+|)'.AM', où p et p' sont deux nombres donnés, proportionnels à «i et f»', les points N, P décrivent des circonférences ayant pour centre de similitude le point A. En particulier, si Ton prend AP égal à la somme ou à la différence des cordes AM, AM', le point P décrit une circonférence. Cette propo- sition n*6st exacte que si Ton tient compte de la règle des signes : Le milieu n de MM' décrit une circonférence, et il en est de même de l'extrémité d*un segment AP = 2An ; si A est entre M et N, on a (en eoBsidérant les valeurs absolues des segments), AP «s d: (AM — AN) ; - 84 - •i A n'est pas entre M et N, on a AP = AM -}- AN. Quand on remplace le œrole 0' par son symétrique 0" par rapport à A, et qu'on traite de nouTeaulaméme question, ce lieu et le précédent pris ensemble résol- Tent complètement le problème où Ton prend AP = AM d= AM'. Une note (incomplète) qui nous a été adressée à ce sujet par un hono- rable correspondant, nous a engagé à publier le présent article. On peut encore généraliser la question en construisant sur MM' un triangle MM'Q semblable à un triangle donné. Le quadrilatère BMQM' étant d'espèce constante, les côtés MQ, M'Q rencontrent respectivement les circonférences 0, 0' en des points fixes fif |x' (les angles BMQ, fiM'Q sont inyariables) ; le lieu de Q est donc une circonférence passant par fx, /x\ Le centre de ce cercle est le sommet s d'un triangle OO't directement semblable à MM'Q ; car les quadrilatères BOeO', BMQM' étant semblables, les triangles eBQ, OBM onl un angle égal en B, compris entre des côtés proportionnels, d'où l'on conclut cQ es sB. (J. Nbubbrq.) 4. Sur nue formulé dé Newton^ par M. P. Mansion. Newton, dans sa célèbre lettre à Oldembourg du 13 juin 1676, a trouréi au moyen des séries, pour déterminer approximativement la longueur d'un arc de cercle, une règle qui équivaut à la formule suivante : 14 -|- cos X 0B-sin« 9-j-6cosa: Dans le cas où â; ne surpasse pas-ir (ce que Ton peut supposer), c$U$ formule^ qui donne toujours pour x une valeur trop petite, ns comporte qu'une erreur moindre que 20 ji^condee. En effet, posons , V 14 + cos« » (a?) = fl? — Bin X T—rh; ? ^^ ' 9 + 6cosa? ^{x) sera l'erreur commise en calculant x par la formule de Newton. Or, on trouve aisément, après quelques réductions, ^^' 3 (3 4- 2 coa »)» ' quotité toajoon poùtiT9. L'erreur f («) «at dono oroimate »t«o a. - 85 - Pour a? = -.7r, on trouve 4 »<'>""4"3298673' ''"'"' "''(*^< 32ÔÔÔ <20j8econd«. La formole de Newton équivaut à une table des lignes trigonomé- tiiqnes largement suffisante pour beaucoup de calculs pratiques. ^S. Sur la définition de la multiplication. Dans ces derniers temps, on a cm pouvoir donner une définition générale de la multiplication en dinnt que : £a multiplication est une opération gui a pour but, étant donéi un nombre appelé multiplicande et un autre appelé multiplicateur ^ de trouver un nombre appelé produit gui soit formé avec le multiplicande comme le wtmliyMeateur est formé avec l'unité. Cette définition peut paraître séduisante au premier abord, mais èle prétente plusieurs inconvénients très graves : au fond, èle est juste, mais èle exige, pour être comprise, des développements qui reviènent aux définitions que nous avons douées dans le texte ; ce n'est pas à proprement parler une définition, c'est le résumé de plusieurs défini- tione. Quand on dit que le produit est formé avec le multiplicande comme le multiplicateur est formé avec Tunité, on énonce un fait qui est vrai, mais le multiplicateur peut être formé de bien des manières avec l*unité, et pour que le produit soit formé de la même manière, il faut faire un choix parmi ces manières, ce que la définition citée ne dit pas. Je vais me faire comprendre eu prenant un exemple ; soit 3 la multiplicande; 2 le multiplicateur; ce multiplicateur se forme en ajoutant deus unités, le produit se forme en ajoutant deus multiplicandes égaus à trois, mais le multiplicateur se forme aussi en ajoutant Tunité avec le carré de Tunité, tandis que le produit ne se forme pas en ajoutant le multipli- cande avec son carré. Enfin, il est impossible qu'un començant, dont Tesprit n*est pas encore façoné aux abstractions comprène une pareille définition, tandis qu'il comprendra très bien que multiplier un nombre, 3 par exemple, par deofl, c'est ajouter deus nombres égaus à 3, ce qui est parfoitement clair. (Laisant et Lemoine, Traité d^arithmétigue^ note IV)(*). (^) Les aatean ont adopte l*ortografle simplifiée de la Société filologiqoe frsaçaise, fondée par M. Pierre MalTezin. - 86 - BIBLIOGRAPHIE. Précis de Trigonométrie rectiligne, à Vusage des élèves des classes d^Humanités et des candidats au diplôme géomètre-arpenteur , par Tabbé E. Gelin, docteur en philosophie et en théologie, professeur de Mathématiques supérieures au Collège Saint-Quirin à Huy. Ouvrage adopté par le Conseil de perfectionnement de l'enseignement moyen. — Deuxième édition, augmentée de la triangulation de l'Ile Minorque, et ornée de 29 figures intercalées dans le texte. — Un vol. de 72 pages in-8<>, caractères elzévirs. — Namur, Wesmael-Ckarlier; Huy, che§ V auteur \ 1896. — Prix : 1,50 fr. Nous avons autrefois rendu compte de la première édition de ce Précis de Trigonométrie rectiligne y bien connu, du reste, des professeurs de nos établisse- ments d'enseignement moyen, et extrait, comme on sait, des Eléments de Trigonométrie plane et sphérique du marne auteur, ouvrage très complet et couronné, encore manuscrit, par TAcadémie royale de Belgique. Il nous suffira donc d'indiquer les principales modifications apportées à la présente édition. 1** L'auteur a remplacé, dans tout le cours de l'ouvrage, les notations - » xr, etc., par les notations pins concrètes 90*, 180<^, etc. 20 Pour les formules sin {a do b) et cos (a ±: 6), la démonstration de Cauchy, que l'auteur avait adoptée sur le conseil de Catalan, a été remplacée par la démonstration ordinaire, tirée des triangles semblables, laquelle semble plus simple et mieux goûtée des élèves. L'auteur donne cette démonstration dans le cas le plus simple et laisse au professeur le soin de faire vérifier par les élèves qu'elle subsiste dans tous les cas. So Comme exemple de triangulation, l'auteur cite celle de l'Ile Minorque, comprenant 15 triangles de premier ordre, 17 de deuxième ordre et 82 de troisième ordre. Il donne les côtés et les angles de chacun de ces 114 triangles, ce qui fournit aux professeurs la matière de 1482 exercices sur la résolution des triangles. Car soit, par exemple, le triangle A = SI* 22' 41, 89"; B = 100 10' 40, 38"; C = 48o 26' 88,28"; a = 2359,281 m.; 6 = 4459, 814 m.; c = 3390, 667 m. : on peut, connaissant l'un des treize groupes suivants d'éléments de ce triangle. If, A, B, C, A, a, bf A, tf, c. A, 6, c, n, 6, c, b. A, B, C, B, b, c, B, b, 0, B, c, n , Cf A, B, C, C, 6, a, C, c, 6, C, a, 6, déterminer les autres éléments et la surface du triangle. 4<* Baûu, dans la note de la page 71, l'auteur donne cinq applications numé- riques du problème de la droite inaccessible, à traiter d'après l'exemple défe- loppé^dans le texte. — 87 - Leçons de géométrie, rédigées suivant les derniers programmes oflficiels et accompagnées, pour chaque leçon, d*exercices et de problèmes gradués, par BnoàNE RouCHé, examinateur de sortie à TÉcole Polytechnique, professeur an Conservatoire des Arts et Métiers et Ch. de Combbboussb, professeur à TÉcole Centrale et au Conservatoire des Arts et Métiers; quatre volumes petit in-S"* se vendant séparément. — 1« partie : La ligne droite et la circonférence de cercle^ à Tnsage des élèves de la classe de quatrième (moderne), Paris, Gauthier- Villars (X-ITS p. petit Ln-8«, avec 137 fig), 1896, broché fr. 2,75, cartonné fr. 3.26. Solutions des Exercices et Problèmes proposés dans les Leçons de Géométrie, !• partie; Id. ib. (X-168 in-8, avec 115 tigures) broché fir. 2,75, cartonné fr. 3,25. Éléments de Géométrie descriptive (point, droite et plan) à Tusage des candidats à TÉcole militaire et aux écoles spéciales des Universités par F. Chom^, professeur à TÉcole militaire. Bruxelles, Kouwenaar, librairie Castaigne, 1896 (Vol. in-8* de XIM59 pages et atlas inA^ de 38 planches). Prix : 5 francs. Voir MatkesiSy 1893, pp. 42 45, une note de M. Chômé relative à son mode d*ex« position de la géométrie descriptive. F. Klbin, Yortrâge ûber ausgewâhlte Fragen der Elementargeometrie aoBgearbeitet von F. Tagert. Leipzig, Teubner, 1895 (VI-66 p. in-8» avec 10 tig. et 2 planches). Prix : 2 marcs. P. Klbin, professeur à l'Université de Goettingue. Leçons sur certaines questions de Géométrie élémentaire. Possibilité des constructions géométriques; les polygones réguliers; transcendance des nombres e ein (démonstration élëmen- tairei. Rédaction française autorisée par Tauteur, par J. Gbibss, ancien élève de Técole normale supérieure, professeur de mathématiques au lycée d*Alger. Paria, Nony, 1896 (99 p. in-8o) Prix : 2 fr. ' L*été dernier, en une série de leçons de deux heures, devant un auditoire ploB considérable que de coutume, j'ai eu le plaisir d^exposer ce que la science moderne nous permet d'affirmer sur la possibilité des constructions de la Géométrie élémentaire. D^à quelque temps auparavant J'avais eu Toccasion de présenter une esquisse de ces leçons aux auditeurs du cours de vacances qui aTsit lieu à Goettingue pendant les vacances de Pâques ; ils y semblèrent prendre nn intérêt particulier, et cette impression n'a fait que se confirmer pendant le semestre d'été. C'est pourquoi Je me permets de présenter une courte rédaction de mes leçons comme écrit de /V/« (Festschrift), à l'assemblée de V Association pour les progrés de renseignement des sciences mathématiques et naturelles^ qui doit se tenir prochainement à Goettingue. {Extrait de la Préface de V auteur.) m M. Griess a été très bien inspiré en présentant au public français une traduction française de ces leçons du grand mathématicien allemand. Nous recommandons très vivement aux élèves et aux professeurs la lecture de cet intéressant opuscule oà sont traitées d'une façon si magistrale, mais par des moyens élémentaires, - 88 — des questions d'une extrême importance. La première partie de ToaTrage 8*occupe de la possibilité ou de Timpossibilité d'une solution géométrique d*un problème par la règle et le compas, avec application à la duplication du cube, à la trisection de l'angle, à la division du cercle en parties égales. Dans la seconde partie, l'auteur établit, diaprés Gordan et Lindemann, mais en élucidant avec un talent supérieur les détails de la démonstration, que les nombres « et v ne sont pas racines d*une équation algébrique d'un degré fini. Théorie des Fonctions algébriques et de lenrs intégrales, étude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann, par Paul Appell, membre de llnstitut, professeur à la faculté des sciences; et Edouard Cours at, maitrede conférences à TEcole normale supérieure, avec une préface de M. Hermite. — Paris, Ganthiers-Villars et Fils (8-X-580 p. grand in-8*, avec 91 figures), 1895. Prix : 16 flr. Leçons nonvelles sur TAnalyse infinitésimale et ses applications géométriques, par M. Ch. Méray, professeur à la Faculté des Sciences de Dijon. Paris, Gauthier-Villars et Fils. 1^* Partie : Principes généraux 4894, 13 fr.; II* VtLFtie : Étude monographique des principales fonctions d^une variable 1895 ^ 14 fr. Bxposé logique, à partir de Tidée de nombre entier, au moyen des séries, des principes généraux de la théorie des fonctions et de la théorie des fonctions élémentaires, des fonctions elliptiques et des fonctions eulériennes* Dans deux volumes qui seront publiés plus tard, l'auteur fera connaître les applications analytiques et géométriques de l'analyse infinitésimale. L'ouvrage de M. Méray sera surtout utile à ceux qui connaissent déjà le calcul différentiel et le calcul intégral. Éléments de la théorie des Fonctions elliptiques, par J. Tannebt, sous- directeur des études scientifiques à TÉcole Normale supérieure, et J. Molk, pro- fesseur à la Faculté des Sciences de Nancy. Tome II : Calcul différentiel (II* Par- tie) Paris, Gauthiers-Villars et Fils, 18'.»6 (VI.299 p. gr. in-8o), 9 ft*. Chapitre III. Les fonctions thôta (Transformations linéaire, quadratique, d*ordre impair). Chapitre IV. Les quotients des fonctions sigma et des fonctions thêta (transformation). Formules (90 groupes de formules occupant 66 pages). SUR UNE SUITE RÉCURRENTEC), par M. J. Nbubbrq. La présente note n*offl*e peut-être rien de neuf; mais comme elle a pour objet une question élémentaire qui n*eflt guère traitée dans les (^ Pour les suites récurrentes d'un ordre quelconque, on peut consulter : Annalêi ds VÉCûli normaU supérieure^ 2« série, t. Yll, p. 875 (André); Journal - 8é - uamieU en usage, elle pourra intéresser un grand ndilitoe ^ Mi lecteurs. IL. Soit la suite (») : do&t les deux premiers termes sont arbitraires et dont lea autrea m calculent par la formule de récurrence d'échelle (a, b) Un — aUn^l-^bUn-ty (1) de sorte que Ut = aui + but, Hi = aui + *»«> <^* = «ii + fih,... On Toit facilement que les nombres Utf fi4>... s'expriment directement en fonction des termes initiaux Uq, Ut ; par exemple «, s a(aui +iUo) + hui^ («« + é) i^, -]- abut,. U4 = a [(fl* + b)Ui + abuo] + i(a«i -}- («o) = (a» + 2ab) «, + (a«J + J») «„ etc. On peut donc poser Un = Cf,Ui + dnUQ, (2) et il est évident que les nombres c, d dépendent uniquement des nom- bres Af y La formule (2) comprend les nombres i^o» i^i potirm que l*bn fitise Co = 0, do=slf Ci = l, e{| «=s 0. •• Les suites (c), (d) : C09 ^19 ^t) Cif •••« Cnf (/i»4.l|... dtt dl^ dly dtf ..., dn9 dn^îf» •ont récurrentes et ont la même échelle (a, b) que la suite («)• En effet, des égalités on conclut = (aCn-i + JCf) Ut + (aAi-i + M»-i) Uo; ée TÈcoU polptechnique, LXI V* ( lahier, 1 894 (d'Ocagne) ; Bulletin des Sciences mathé- mëUques^ 2* série, t. V, 1881 (Laisant) ; Ed. Lucas. Théorie des nombres^ p. 299. Pour la suite du fi* ordre, comparer : de Longchamps, Supplément du ùmrs Mêiàémëtiptes spéciales, 2* édition, p. 3. 8 — 90 — par conséquent D*aprÀ8 cela, pour calculer les termes d'une suite quelconque d'échelle (a, h) ayant pour termes initiaux tfo» «i» il suffît de calculer ceux de deux suites ayant la même échelle et pour termes initiaux respectivement 0,1 et 1,0. Les suites auxiliaires (c), (i) se ramènent facilement Tune à l'autre. Car si Ton multiplie les termes initiaux d*une série récurrente par un facteur m, tous les nombres de la série sont multipliés par m. Or Co s^ 0, Cl = 1, rfi = 0, if) = i, donc Par conséquent, la suite dit »t, <{f,... s'obtient en multipliant par h la suite 00, Cl, C),*.. On peut dire qu'il suffit de calculer la suite récurrente (c) ayant pour termes initiaux 0, 1, et d'appliquer la formule S. Pour calculer la suite («), on peut aussi recourir à deux suites récurrentes quelconques ayant la même échelle (a, b). En effet, soient fo» f ty ft, fs, •••• ^Of fOii ^2» fOif •••. ces suites. Nous aurons Un «= CnU% + dnU^t Vn «=» C»t?| + dnVn , Wn = C»«?| + dnW^ \ en éliminant c», dn on trouve tfn tfl «0 V» Vl f>9 fOn Wl Wo 0, (3) ou Un fViUo — UtWo ViU0—Uif>9 9h -p — — ^— - |p«. — 91 — Cette relation a la forme Un = AVn -}- BWn] lea nombres A, B dépendent uniquement des termes initiaux des trois séries (»), (t7), (fp). 4. Il existe deux suites récurrentes d'échelle (a, () dont les termes ont une expression analytique connue. En effet, soient a, /3 les racines de Téquation {équation générairiee de Lagrange) a?» = aa? -[- J ; nous aurons et par conséquent Posons 1?» = a*, w» =s P" ; alors Vn = dVn^i "}- ÙViu.lf Wn =^ UWn^i -J- OiVn~.tf et réquation (3) deyient Un Ui Ut a" a 1 ^ P 1 On en déduit a» — P- «-<_(3.^i = 0. (4) ensuite §• La méthode précédente parait être en défaut lorsque a «= |3. Cependant, la solution résulte encore de la formule (5) lorsqu'on effectue les divisions indiquées et qu'on passe ensuite à la limité pour |3 = a; on trouve — 92 — •. Pour donner une application nous conaidérons les suites récur- rentes d*écbelle (1, 1). La suite (c) est alors coustituée par les nombres de FibonaccI (ou de Lamé): 0, 1, 1, 2, 3, 5. 8, 13, .,. dont cbacun à partir du troisième est égal à la somme des deux précé- dents. Si les termes initiaux sont Uo, «ii on a Un = CnUi + C«_|«o» L'équation génératrice esix* =^X'{'1\ elle a pour racines • 2 ^ 2 Les nombreis de Fibonacci ont donc pour expression générale e n «" — (3- (i/6 + l)»-{l— 1/5)» a — p 2«v/5 SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. QaesitloB 9M. (Voir MathesU, (2) II, p. 215). On eomiiirê toutes Us paraboles touchant une droite AB au mime point A, et ayant mime diamètre AC. Démontrer que le centre des moyennes harmoniques, relatif au diamètre AC, des points où chacune de ces para- boles rencontre une courbe géométrique donnée est un point fixe. (Cl. Sbryàis.) Solution par M. Stutyabrt (Gand). Si Ton prend AC pour axe des x et AB pour axe des y, Téquation générale des paraboles est y* = 2p'x, y étant Tariable» Soit l'équation de la courbe : Appelons (âTi, yi), (xt, yi)*.. les coordonnées des points d'intersection des deux courbes, (^ Y) celle« du centre des moyennes harmoniques Q. - 93 - On» 2- yi yi Éliminant a des équations des courbes : yi, yi, .. i ysn sont racines de yl« yt.-l yl 0 oa f^ + a (2/)^»"-' + By«"-' -1 1- y (2p')'" y + »• (SpO*" = 0. d'où ^1^2y.y....|r.^. ? (eonstante), yi yiy«>-.yi. r ^ il Donc X et T sont constants. La raisonnement ci-dessus serait en défaut si Ton ayait j' «» r «= 0 ÎB alors la courbe est tangente à AB en A. Deux des valeurs yif ftt •••> yt» sont nulles, donc Z — = oo et Y »: 0; — ou bien si les y» ttmies en âr et âT"* y étaient à la fois absents de Téquation, mais alors La oaarbe et la parabole auraient des points dlnterseotion à Tinfini et Xi jMi mm 00, donc aussi 2 — =» X = oo. yi Dooc^ dans tous les cas, le point 0 est indépendant du paramètre de la parabole* nB*ett peuVêtre pas inutile de rappeler quelques définitions. Oacoandère, sur une même droite, les points A,, A«, ... A«,0, 0' satisfaisant à l*éq[iiation 0' n \0 A, ^ OA, ' ^ 0 A,/ 00 am dit que O' est le conjugué harmonique de 0 par rapport aux a points A«» A«| •••% A«. ■tnt donnés un point 0 et uae courbe algébrique Z d*ordre a, le conjugué — 94 — hannoniqae de 0 par rapport aux points où une sécante quelconque menée par 0 rencontre 1 décrit une droite qu'on appelle la polaire de O. Remplaçons 1 par un système de n droites D|, Da, ..., D« concourant en un même point M ; la polaire d'un point 0 est une droite d' menée par M, qui ne change pas lorsque 0 parcourt une droite (f passant par M. On dit que d' est la conjuguée harmonique de d par rapport à Di, l\, ..., D». Étant donnés n points Bi, Bg, ... B. et une droite d, la conjuguée harmonique de (2 par rapport aux n droites joignant ces points à un point quelconque Bded jpasae par un point fixe G. Ce point est appelé le centre des moyennes harmoniques des points Bi, Bt, ... B. par rapport à Vaxe d. Si Ton prend d pour axe des œ et une autre droite quelconque pour axe des f , lea coordonnées de Q sont 2- 2- (Voir Mathesis, (2), IV, p. 176.) Si 9wr Ut eâiés d*un pseudocarré ABCD on construit les triangles ABA% BCB\ CDC% DAD' directement semblables à un triangle donné MNP, les points A', B', C, D' sont les sommets d'un pseudocarré. (H. Van Aubel.) Solution par M. Droz Farny. Soient X, Y, Z, U les milieux des cAtés AB, BC, CD, DA. Les perpendiculaires en X sur AB et en Z sur CD se rencontrent en un point L, centre commun des carrés construits intérieurement sur AB, CD (Mathesis, question 878); soit L' le point d'intersection des perpendiculaires menées en Y sur BC et en U sur DA. Les quadrilatères LAA'B, LCC'D sont directement semblables; on en conclut que les lignes homologues LA', LC sont proportionnelles aux lignes homologues LX, LZ et font le même angle que les dernières. Par suite, les triangles LXZ, LA'C sont semblables et l'on a XZ : A'C =1 LX : LA', De même, les quadrilatères L'BB'C, L'DD'A sont semblables entre eux et aux quadrilatères LAA'B, LCC'D; on en conclut YU:B'D'«L'Y:L'B', - 95 — liait XZ » YU, la figure XYZU étant un carré, et LX : LA' = L'Y : L'B' ; par suite AfC = B'D'. De plus, Tangle des droites XZ, A'C est égal à ILA.', et Tangle des droites YU, B'D' égal à YL'B', et comme les angles XLA', YL'B' sont égaux, et que XZ, YU sont perpendiculaires, A'C et B'D' sont également perpendiculaires. Amire ioMion par M. Dépsez. La question 963 renferme comme cas particulier Ci théorème : Les points qui divisent les côtés AB, BC^ CD, LA (Tun pseudoearré iêMM un même rapport , sont les sommets d'un pseudocarré (Voir Mathesis (2), lY, p. 264). If. J. JoNESCO démontre la question 963 en se servant des équipollences. En désignant par n, by c, d les côtés AB, BC, CD, DA considérés en grandeor et en direction, on peut poser AA'=Atf, BB'=Aô, CC' = Ac, DD' = A(f, i étant nn nombre complexe. On a A'C = A'A + AC + ce = AC + i (c — a), B'D' = B'B 4- BD + DD' = BD + Mrf — b). Par hypothèse AC = iBD; cette égalité donne a + * = »(* + c). (1) Os plus a + b + c + d^O, (2) Si Ton tire set cde (1) et (2), on TériÛe ûicilement que c — a=zi(d'^b)\ par nita on a A'C = t. B'D'. (Voir Mathesis, (2), IV, p. 216). A', B', C les mUUux des côtés d'un triangle ABC, stsoU A"B"C" U triangle formé par les tangentes menées par A, B, C au cercle circons- aii au triangle ABC. Démontrer que les côtés non homologues des triangles A/B'C'f A''B"C" se coupent en six points d'une coniquCy et trouver Vifuaiion de cette courbe. (J. Neubbrq.) Solution géométrique par yL, A. Diioz Farnt. Représentons pari et 2 les points d*intersection de B'C aveo A"B" et A"C" ; par 3 et 4 ceux de A'B' avec A"C" et B"C"; et par 5 et G ceux de A'C avec B"C" et L'W. Les droites A'A", WW, C'C" se coupaut au centre du cercle — 96 — ABC, les triangles A'fi'C ^ A'*B"G" sont homologiques ; 133456 est par coaséquent un hexagone de Pascal. Solution analjftigue. Appelons x^y^z les coordonnées barjcentriques par rapport au triangle de référence ABC. Les côtés des triangles A'B'C% A'^fi"C" ont pour équations a' = c»y + J*^ = 0, |3' = ««^ 4- c*a? = 0. / = J«a? + a«y = 0. Nous allons d* abord démontrer que ces triangles ont on axe d*homo* logie. Cet axe, s'il existe, peut être représenté par 2(x' — Aa = 0. (1) IiM coordonnées du point d'intersection des côtés ^, |3' yériflent les égalités _. = _-. = __. en remplaçant dans (1) x^ y, z par a*, a' — e',' — 6% on trouTO A = i'-{-6' — a'. L'équation (1), après substitution de cette valeur de A, prend la forme symétrique (ji + c« — a»)fl? + (c» + a« — J»)y + («» + *• — c>)2? = 0; (2) on en conclut que les triangles A'B'C, A"B"C" sont homologiques. Désignons par i le premier membre de (2) et posons A — >« 4- c> — a% B = c« + a* — JS C -=> a» + J» — c« ; nous aurons 2a' — Aa ««P' - BjS ^ 2/ — Cy = 5. (3) Gela posé, toute cubique passant par les neuf points dUntersection des côtés des triangles A'B'C, A''B"C" a pour équation 8a'|3'y' - Ka(3y -= 0. (4) Remplaçons 2a', 2|S', 2/ par leurs valeurs Aa + ^, Bj3 + ^i Cy+ ^ tirées de (3) ; nous aurons (Aa + 3) (B/3 + 3) (Cy + i) — Ka^y « 0. Pour K :*s= ABC, cette équation se décompose en deux autres : d t=s 0, et a* 4- d (Aa + 8/3+ Cv) + BC/îy + CAya + ABaj3 « 0. (5) — 97 — L'équation (5) représente la conique passant par les intersections des côtés non homologaes des deux triangles A'B'C» A"B''C". On en déduit réqaation de cette courbe rapportée à Tun ou Tautre des triangles ABC, A'B'C, A"B"C". (J. N.) If. Babtin a trouTë, par une autre méthode, réquation en coordonnées normales par rapport à ABC : ïtf" (c« + tf « — *•) (tf • + ô« — c«) »• 4- ^aàcla^Ujfz = 0 ; M. D^PBBZ a obtenu l'équation en coordonnées barycentriques par rapport à A'3"C" : X««tg*A — tgAtjrBtgCtgV2(cot»V + cot«A)y»=:0, Y étant l'angle de Brocard de ABC. L'équation (2) se ramène à a? cet A + y cot B -f iP cot C = 0 ; elle représente Taxe d*homologie de ABC avec le triangle orthique de ABC, ou Taxe radical des cercles ABC et A'B'C, circonstance fiacile à prévoir. (Voir Mathesis, (2), IV, p. 289.) 1* Une droiU{A)rencontre une strophoîde droite en traie points k^ B, G ii Im perpendiculaire à Vaxe passant par le point double en un point E. Si P est la projection du point double 0 sur (A), et si S désigne la dis- tance iu sommet à V asymptote^ on a la relation OA.OB.OC = OK.OP.^. 2* Un cercle (F) de centre o) rencontre la strophoîde en quatre points A\ B% C% D'. Si S est le sommet de la courbe ^ et sip désigne la puissance de G par rapport au cercle (F), on a la relation OA'. OB'. OC OD'. Su) = i 3. p'. (E. N. Barisibn.) Solution par MM. Droz Farny, Qillbt, Rlompbrs, Rbtali et un AVoicTi». 1* La strophoîde et la droite (A) sont représentées par a (cos* 9 — sin* cp) d P"" ::ir: '"' P ços cp ^ cos (9 — a) — 98 - De la seconde équation on déduit 008(9 — «) = -» 8in (9 — a) = 1— i- ; P P ensuite sin 9 = - [J/p* — 4' cos a -[- ^ sin a] , P co89==- [icos a — |/p' — d' sin a] . Substituant dans la première équation, on trouve p» sin« « 4a*i* = 0. Delà sin' a or d 2a = i, OP = rf, 0K=-: — , etc. sin a 2* La strophoïde et le cercle (r) sont représentés par a (cos« 9 — sin* 9) , o , / x , a ù = — ^, p« — 2p(f cos(9 — a) + » = 0. '^ cos 9 ' "^ Éliminant 9 entre ces égalités on trouve une équation du 4n» degré en p' ; le coefficient de p* est «• -|" ^* — ^^^ ^^^ a ou So) , le terme indépendant est a^p^. On en déduit la seconde relation de la question. M. PooaT a résolu la même question en se serYant de coordonnées rectangulai- res et en représentant la strophoïde par les équations paramétriques ' 1 + r ^ * l+^« QaestioB 9VV. (Voir MatheiU, (2), IV, p. 289.) Par un point fixe M de Vaxe d'une parabole de sommet 0, on mine une corde quelconque AB. Le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle OAB est une parabole. (E.-N. Bàrisibn.) Solution par MM. Oillit, Brocard^ Droz-Farny, Mandart. La - 99 — drconférence 0A6 rencontre la parabole en on quatrième point G ; les cordes A6 et OC, antiparallèles par rapport à Taxe Oâ?, étant représentées par y — fn{x — û) = 0, y 4" *^^ = 0» la cercle OAB a pour équation (y — »!«-[- ^^) (y + ^^) + ^ (y* — 2p«) = 0, (1) STec la condition 1 4- A s» — • m^. L'égalité (1) étant écrite ainsi : «•• (a?* + y') — may — («t'a + 2p + 2jHn*) a? = 0, on troaTe pour les coordonnées du centre du cercle en éliminant le paramètre variable m on obtient pour le lieu proposé Solution par MM. Cristescu, Hackbn, J. Jonbsco, DâpRBz, Scons, SjBSLHOFFy Klompbrs(*). Soient y*=s2pa?, y = «t(â? — a), a?* 4- y' — 2a« — 2j3y = 0, las équations de la parabole, de la corde AB et du cercle OAB. Rem- y' plaçons dans les deux dernières x par -- ; nous aurons les équations ^ — ^y-2pa = 0, y» + 4;>(p-a)y-.8p»P = 0, dont la première a pour racines les ordonnées yi, yi des points A et B, et la seconde les mêmes quantités et Tordonnée yg du quatrième point da rencontre de la parabole avec le cercle. Or, des relations y^y^ = — 2pa, yiytyi = 8y«/3, on tire « - ^^. y. _, an exprimant que cette valeur est racine de Téquation du troisième dagré en y, on aura Téquation du lieu proposé, etc. (^ Hous réonissons ici des solutions fondées sur le même principe. (Rédaction). — 100 — Rbmàrqubs (dues à M. Déprez). 1* L'orthocentre du triangle 0A6 décrit une parabole, même lorsque le point M est quelconque. 2* Le lieu du centre de gravité de OAB est une parabole. 3* Le centre du cercle des neuf points de OAB parcourt une parabole. MM. Retali et Buisseret ont rësola la même question. (Voir MatketU, (2), IV, p. 279). On eonsiiirê une série de limaçons de Pascal ayant mime point double 0 et mime eerde directeur de rayon R. 1^ Une droite donnée (A) ren* contre Vun des limaçons de la série ^ A, B, G, D ; on a pour tous ces limaçons OA . OB . 00. OD = const. 2^ Un cercle donné (r) rencontre Vun des limaçons en quatre points A', B', CD'; (mu OA'. OB'. OC. OD' = const. (E.-N. Barisibn). Solution par MM. Droz-Farnt, Klompbrs, Rbtali, Ybrdbybn, CoLART. 1* L'équation de Tun des limaçons est p = 2R cos 0) -^ a, (1) a étant un paramètre variable ; celle de A est p coB (û) — a) = d. (2) Si Ton élimine gi> entre (1) et (2) on obtient p* — 2ap» + («• + 2Rd sin a — R« cos* a) — 2aRdp sin a + R« i» =» 0. Les racines de cette équation sont les distances OA, OB, OC, OD; on voit que leur produit a la valeur constante R'el*. 2* L*équation de (r) étant pt^d' — 2dp cos(« — a) — r« = 0, (3) si Ton élimine <&> entre (1) et (3), on obtient une équation du quatrième degré ayant pour racines OA', OB', OC, OD' ; le produit de ces racines est égal à RI (ef« — r») R« + rf« — 2Rt« + 6W + 1) 60 «(« + !) (2« + l) «*(«+!)' S, g . S. _ « (« + 1) (2« 4- 1) (3»» 4- 3» — 1) S* 3Ô ] — 102 — La somme des n premiers triangulaires est égale à S, + S. n(n + l)(« + 2) — ^ — ^u ■ — ^ . 2 6 Le rapport de la première somme à la seconde est 3»» + On + 1 ÎÔ L'équation à résoudre est donc 3ji» + 6«+l = 10pS ou 3(« + l)« — 2=10p». On voit que (n -|- 1) doit être pair ; soit « -f- 1 = 2â?, Téquation deyient Elle admet la solution évidente â? = 1, j» = 1. Or, quand une équation de la forme a«* — Jy' =• 1 admet une solution entière, elle en admet une infinité d'autres. Soit, en effet, â?, y, une solution, on en obtiendra une nouvelle par les formules » = fl?,(afl?î+3}yî), y = y.(3a«; + îyî). De sorte que dans Téquation 6aî«-.5p«n=l, on passera d'une solution â?«,p« à une autre Xq^t^pq^t par les formules ««+i«3a?ç(2a?}+5p}), p,+. =p«(l&r| + 5yî). On trouve ainsi, en partant de la solution immédiate â^i = 1, jpi s= 1, «, == 21, j>, = 23 ; a?, = 222201 , pt = 243409, ... etc. 11 en résulte pour n les valeurs 1, 41, 444401, ... etc. QUESTIONS D'BXAMBN. f S4. Construire et résoudre un trapèze isoscèle, connaissant une base, le côté et Tangle des diagonales. ta». Développer (2 — j/— 2)«. tas. Une personne place à intérêts composés à 4 { p. */• un capital de fr. 76â«13; pendant combien d*annéei à partir de la 12* après le - 103 — pUoement peut-elle receToir une rente de 2000 fr., de manière à être remboursée entièrement? fSY. Trouver quatre nombres en progression arithmétique, tels que si on les augmente respectivement de 5, 6, 9, 15, les résultats soient en progression géométrique. YSS. Construire les traces d*un plan, sachant qu'elles sont respecti- Tement parallèles à des droites données p, sur Tépure, et connaissant après son rabattement sur le plan horizontal le rabattement d*un point du plan cherché dont la cote est donnée. {J^aec. Dijon, 1894). 989. Déterminer ies valeurs de m pour lesquelles les quatre racines de l'équation forment une progression arithmétique. {Baee. Caen, 1894). 740. Ranger par ordre de grandeur croissante les racines de Téquation («• — 1» a? — 1) (ic« + m a? — 1) = 0, m était un nombre positif donné. (Bace. Besançon, 1894). 741. Minimum de Texpression l/«»— 2a? + 44-l/a?« — 3a? + 9. 949. Éliminer x entre les équations (}i — «« — 1) J cos fl? + ('^*' — 1) a sin a? = «}, (2a' — 1) ô cos a? + (a* — }* — 1) a sin a? = oî, •t trouTer x lorsque ces équations sont compatibles. {Journal de Vuibert.) On a la condition a* 4- *• = 1 ou 4 ; en posant respectivement a = eo8a, d = 8inay on a=:3C0B/3,da28in/3y on trouve dr = 2*x — 3a, ou » = (2*-fl)ît — 3)9. 94S. Éliminer ^ entre les équations {m cos a-^e) sin (a + /i) = (y cos a — e) sin (a — 13), X cos (a -}- /3) = y cos (a — ^). m -f- y\^ 2e co» a. {MathemaHeal eateite). - 104 - T44. Sachant que le nombre 1 3^^452; est divisible par 792, trouver les chiffres x, y, f . {Journal de Vuxbert). 949. Calculer les angles d'un triangle rectangle ABC, connaissant Tangle des médianes issues des extrémités de rhjpotéuuse. f 46. Sur une droite AB et sur les parties AC, CB de cette droite comme diamètres on décrit d*un même côté trois demi-circonférences. Démontrer que l'aire comprise entre les trois courbes est égale à celle du cercle qui a pour diamètre la tangente commune aux deux petites circonférences, limitée aux points de contact. f 49. Lieu des pôles d'une droite a par rapport aux cercles tangents à deux droites fixes i, c. Le problème se traite facilement par la géométrie analytique si Ton prend pour axes les bissectrices d^ d' de Tangle bc. — On peut le considérer comme un cas particulier de la trantformatUm de Hint. QUESTIONS PROPOSÉES. l. On donne un triangle ABC et une droite d. Soit Z Tune quelconque des coniques passant par A, B, C et ayant son centre sur d. Trouver l"" le lieu du pôle de la corde BC de 2; 2^ le lieu de Tintersec- tion des normales menées à 2 en B et C; 3* le lieu du point où la nor- male à 2 en A coupe une seconde fois la conique. (H. Brocard.) tIMft. A une même circonférence on inscrit un triangle ABC et un carré PQRS. Démontrer que les droites de Simson des sommets du carré par rapport au triangle forment un quadrilatère complet dout les milieux des trois diagonales sont le centre et les extrémités d*un dia- mètre du cercle des neuf points de ABC. (R. Tuckbr.) tOttS. On considère les coniques osculatrices à une conique donnée et passant par ses foyers. Trouver le lieu du point de concours des tan- gentes en ces points. (E. Duporcq.) ^§••9. Parmi tous les triangles rectangles ABC de même hypoté- nuse BC, quel est celui dans lequel le produit du côté AB par la bissec- trice de Tangle opposé C est un maximum . (Bribrlbt.) - 105 — ^SDR LES CERCLES RADICAUX; D*aprè8 M. Jran J. Duran Lor]Ga(*). 1. Soient 0, 0' les centres et R, R' les rajons de deux cercles donnés. Cherchons le lieu des points M dont les puissances par rapport aux cercles 0, 0' sont égales et de signes contraires. En posant 00' = D, MO = Ij MO' = /', on trouve aisément /» — R« = R'« — /'« ou /• + Z'« = R« + R'«. Désignons par N le milieu de 00', par R" la distance MN ; Tégalité précédente se transforme aisément en celle-ci : „ 2(R' + R")-D« Le lieu considéré est donc un cercle qui a pour centre le milieu N de 00', et pour rayon |l/2R« + 2R"- D». Par analogie avec Taxe radical , nous appellerons ce lieu cercle radi- eal des cercles donnés 0, 0'. •• Si les circonférences 0, 0' se coupent en deux points réels A, B, ces points appartiennent à la circonférence radicale; car leurs puis- ^ sanoes par rapport aux cercles 0, 0' sont nulles. De même, la circonfé- rence radicale de deux circonférences tangentes passe par leur point de contact. Si les cercles 0, 0' sont intérieurs l'un à Tautre, on a D« < R» + R" — 2RR' < 2(R» + R'») ; ^ donc le cercle radical est réel. En particulier, le cercle radical de deux cercles concentriques est réel et a le même centre. 1 Si les cercles 0, 0' sont extérieurs Tun à Tautre, le rayon du cercle radical peut être réel, nul ou imaginaire. Pour reconnaître ces circon- I stances, on prend sur une tangente au point A de la circonférence 0 une ; longueur A6 => R' ; on élève sur OB une perpendiculaire BC = BO, et f Ton aura Tun ou l'autre cas suivant que OC est supérieur, égal ou infé- I rieur à 00'. I (^> Noua résumons ici un bon article élémentaire > Sobre los drcalos I ftdiealea ir, qui a para dans « Bl Progreso Maiemdtico » T. Y, 1895. i — 106 — S. Pour construire le cercle radical de deux cercles donnés 0, 0' qui n'ont pas de point commun, décrivons une troisième circonférence 0'' qui rencontre les premières en F et G, F' et Q'. L'axe radical FG des cercles 0.0", et le cercle radical des cercles 0',0" se coupent. en deux points H, H' (réels ou imaginaires) appartenant au cercle radical des cercles 0, 0'. En effet, si P, P', P" désignent les puissances de H par rapport aux cercles 0, 0', 0", on a : P = P", P' = — P", d'où P = — F. Cette construction peut être insuffisante dans la pratique. La suivante est préférable : Les cordes FG, F'G' se coupent en un point K de Taxe radical des cercles 0, 0';' de K comme centre, avec un rajon égal à la tangente menée de K à la circonférence 0, décrivons un cercle ; le rayon du cercle cherché est égal à la tangente (réelle ou imaginaire) menée du milieu N de la ligne des centres 00' au cercle K. 4. D'après ce qu'on a vu ci-dessus, on peut énoncer le théorème sui- vant : Étant donnés trois cercles 0, 0', 0", les. cercles radicaux des cou- ples (0, 0'), (0. 0") ont mime axe radical que le couple (0', 0"). La démonstration est immédiate lorsque les cercles radicaux se coupent en des points réels. Dans les autres cas on peut employer la géométrie analytique. En effet, soient S = (X -fl)» + (y — S)« — R»«0, S" = (a? — a")« + (y — i"y — R'" = 0. les équations de trois circonférences 0, 0', 0". On voit d'abord que la circonférence radicale des deux premières a pour équation : S + S' = 2(a?« + y»)-.2(ei-f a')a?-2(J + }')y + a» + J» — R« + a" + S'« — R'> = 0 ; elle a dotic pour centre le point /a + a' b + b'\ et le carré du rayon a pour valeur \ 2 ) "^y 2 J '2 = H2R' + 2R'« — (a - a')' - (* - J')'], ce qui s'accorde avec le n* 1. - 107 — Les cercles radicaux des couples (S, S'), (S, S'') ajant pour équations leur axe radical est représenté par S' ^ S" = 0 ; il coïncide donc avec celai des cercles S', S'\ S. Voici des applications de ce qui précède à la géométrie du triangle. Sur les côtés d*un triangle ABC comme diamètres décrivons trois cercles P«, P», P«; ils ont deux à deux pour axe radical une hauteur AH«9 BH»y CHe et pour centre radical Torthocentre H. Appelons Qa, Q», Qe les cercles décrits sur les médianes AM«, B\i», CMe comme diamètres. Qi est le cercle radical de P», Pc ; car il pa^se par leurs points communs Ay H« et a pour centre le milieu de leur distance des centres. De même, Qky Qe sont les cercles radicaux des couples (Pc, Pa), (P«i P»). H est un centre radical commun aux six cercles que nous venons de considérer. Décrivons ensuite trois circonférences Ua, U», Ue des milieux des c6tés du triangle ABC comme centres avec les rajons M«A^ M»B, McC. Elles ont pour diamètres les médianes du triangle anticomplémentaire K'B'C (formé par les parallèles menées aux côtés de ABC par les som- mets opposés); ce sont donc les circonférences Qai 0», Qe du triangle A'B'C. On en conclut que les cercles Ua, U», Ue ont deux à deux pour axe radical la droite symétrique d'une hauteur de ABC par rapport au centre O du cercle circonscrit, et pour centre radical, le point H' symé- trique de H par rapport à 0 ou Torthocentre de A'B'C. Soient V., V*, Ve les circonférences décrites sur B'C, C'A', A'B' comme diamètres ; on peut dire qu'elles ont pour centres les sommets de ABC, pour rajons les côtés opposés ; Ua est le cercle radical de V» et Y», \Jk celui de Vt et V«, Ue celui de V« et V*. Les cercles V«, V*, V, ont été considérés par M. de Longchamps (J. M. S., 1886, p. 57). SUR LES TRIANGLES ÉQUILATÉRAUXi INSCRITS A UNE CONIQUE, par M. A. Droz Farmt. De nombreux auteurs ont étudié les triangles équilatéraux inscrits dans une conique à centre. Voici quelques résultats qui complètent Tintéressante note de M. E. Barisien, publiée dans le numéro de janvier de MaikeHê^ p. 14. Je conserve les mêmes notations. — 108 — t. La droite qui joint le centre &> au quatrième point P, enveloppe une développée d'ellipse. •. Le milieu de coP a pour lieu Tellipie Jt ! L. X -4-— — V^ 1. S. Le point L qui divise &)P dans le rapport wL : LP = 1 : 3, est le centre de rhjperbole d*Apolloniu8 correspondant au point eo. 4. Remplaçons dans Téquation de Tellipse (8), lieu des centres des cir- conférences ABC, b* par — i', puis faisons a» = 3J« ; réquation deviendra : 4y« = — JV Le lieu se décompose donc en deux droites imaginaires. THéoRÈMB. Chaque point de Thyperbole dont les asjmptotes forment u|i angle de 60* peut être choisi comme sommet d un triangle équilatéral inscrit. Les deux autres sommets coïncident avec les points à l'infini de rhjperbole. . 9. Remplaçons dans la même équation (8) b* par — b*, puis faisons J» = 3a«; on trouve pour le lieu des centres TuioRÂMB. Dans rhjperbole dont Tangle des asjmptotes est de 120*, le lieu géométrique des centres des circonférences circonscrites aux triangles équilatéraux inscrits dans la conique, se compose de deux droites parallèles Si dans les formules (6) de M. Bainsien : a» 4- W b^ + 3a» qui fournissent les coordonnées du centre du cercle, on fait les mêmes changements on trouve : ^ 2' " 0 ' - 109 - B dînent indéterminée seulement pour yo ^^ 0 et alors Il en résulte que les cercles font partie de deux faisceaux dont les centres sont un sommet de rhjperbole et le fojer non correspondant; d*où le théorème suivant : Si par un sommet et le fojer non correspondant d*une hyperbole dont l'axe des asymptotes mesure 120^, on fait passer une circonférence quel- conque, elle rencontre Thyperbole en trois autres points, sommets d*un triangle équilatéral. *SOB UNB NOUVELLE DÉMONSTRATION DU POSTULATUM D'BUCLIDE. Il Tient de paraître une brochure intitulée : Démonstration de fÊâriamê XI tB%eliiOy par Michel Frolov, membre de la Société mathé- matique de France (Deuxième tirage complété. Paris, Qauthier-Villars et fllSy libraires, quai des Grands Augustin», 55, 1896. Tous droits iterrét. In«8* de 22 pages, avec une planche). U n'est peut être pas inutile d'analyser ce nouvel essai de démonstra- tion da postulatum d^Euclide (*) . M. FroloT exclut a priori la géométrie riemannienne en supposant f«*iiiia droite est déterminée par deux quelconques de ses points. Dans eette hypothèse, Legendre a démontré avec rigueur, les deux propositions BÛTtiites : Tbèobâue I. La somme des angles d*un triangle est égale ou iafirienre à deux droits; celle des angles d*un quadrilatère est égale ou fadérienre à quatre droits. TséoRiMB II. Si elle est égale à deux droits dans un seul triangle, o« à quatre droits dans un seul quadrilatère, il en est de même dans tOQS, et Ton peut établir le postulatum d'Euclide. I ^) Ba réalité, c*est le 5* des six postulati que le géomètre grec a placés en tête I 4t Mi Éléments, après les déflnitions; Tiennent ensuite, dans les meilleurs — laaerifs et les meilleures éditions, neuf axiomes. Dans d*autres manuscrits et ' Castres éditions, les postulats 4, 5, 6 sont devenus les axiomes lO, II9 19. Aiqai, f^postolat on 11* axiomsi c*eBt la même choSe. - 110 — M. FroloY eiside de prouver qu*il existe des quadrilatères aj^nt quatre angles droits, à peu près de la manière suivante (*) : DipiNrrum. On appelle rhomhùîde une figure ajant ses côtés opposés et, par soite, nen angles opposés égaux. Il ett facile de construire un rhomboïde. Soit ABi un triangle quel- conque. Sur le côté Bb, construisons un triangle Bba égal à ABd, 1# côté Ba étant égal à Ai, le côté Sa à AB. La figure ABab sera un rhomboïde. Si Tangle A est droit, il en sera de même de l'angle opposé a, et le rhomboïde ABah sera birectangle. TuioRÂMB (C) (pp. 14-15). Considérons deux droites AT, BS faisant avec une autre AB l'angle droit TAB et Tangle aigu SBA. Menons les perpendiculairea ABi sur BS, A|B| sur AT, AiBt sur BS, BiAa sur AT, AiBf sur BS et ainsi de suite indéfiniment. D'un point D, pris entre deux des points Ai, As, Ai, etc., par exemple entre As et Ai, abaissons une perpendiculaire DC sur BS. Le point C sera entre Bi et B4 et DC rencontrera BiA|. Menons B|D. On voit aisément que CD est inférieur à DBi, qui est inférieur à AsBi, lui même plus petit que AiBi; on a AtBs < A|Bs < AiBi < ABi < AB. L'angle CDA, supplément d'un angle aigu CDAs est d'ailleurs obtus. Donc la figuré ABCD n'est pas un rhomloïdey wais un quadrilatère ayant deux angles droits opposés, puis un angle aigu enB,un angle obtus en D. Conséquences des théorèmes I, II, (C). — I. Tout rhomboïde ABab ajant deux angles opposés droits A,a ne peut avoir en B,b deux angles obtus, car la somme de ses angles serait supérieure à 4 droits, ce qui est contraire au premier théorème de Legendre. II. 11 ne peut avoir non plus en B,b deux angles aigus; car si B était aigu, on prouverait que b est obtus comme on l'a fait dans le théorème (C). III. Donc, tout rhomboïde qui a deux angles opposés droits, a aussi ses deux autres angles opposés droits; proposition, qui, d'après le second théorème de Legendre, permet d'établir le postulatum d'Euclide. « Le défaut de la prétendue démonstration que nous venons d*analjser est dans la conséquence II du théorème (C). 11 n'est pas vrai que si l'an- (^) Le lecteur est prié de faire les figures. ^ 111 — gle B est aigQ dans la figure ABabj on puisse établir, comme dans le théorème (C), que l'angle i est obtus. Pour le montrer, considérons le rhomboïde ABab. On trouve aise* ment qu*il jouit de la propriété suivante : Si du point I de rencontre des diagonales ka, Bb, on abaisse des perpendiculaires IP, IQ sur Ai, Ba, IQ est le prolongement de IP; autrement dit, PQ est une perpendiculaire commune à kb et Ba, ou bien APQB est rectangle en A, P, Q. Supposons maintenant que Ton applique à la âgure ABQP, où Tangle B est supposé aigu, la construction dont il est question dans le théorème (C). Menons les perpendiculaires ABi sur BQ, BjAi sur AP, AiBaSur BQ«, BiAt sur AP, AtBj sur BQ, BsAs sur AP, kgBi sur BQ, et ainsi de suite indéfiniment. Aucune de ces perpendiculaires ne pourra rencontrer PQ, perpendiculaire à AP et BQ. Donc jamais cette construction indé- finie ne permettra d'arriver au delà de P sur le prolongement Pi de AP, et, à fortiori, en b ou au delà. Dans le théorème (C), on a bien pu prouver que Tangle D était obtus, parce que D était situé entre les deux points As et Ai, par hypothèse ; dans la conséquence 11, on ne peut prouver que b est obtus, parce que b est dans la région de la ligne APA, située au delà de P, sur le prolonge* ment de AP, où ne se trouve aucun des points Ai, At, Ag, etc. La démonjitration est donc complètement manquée, ce qui était inévi- table, puisque MM. Beltrami et De TïWy ont prouvé que le postulatum d*Baclide est indémontrable, quand on part de la définition classique de la droite («). Dans ce qui précède, nous ne nous sommes attachés qu*au point essen- tiel de M. Frolov. Mais on peut j signaler d'autres passages où il est difficile d*étre d'accord avec lui. Ainsi, dans une note explicative, p. 22, il admet qu'une perpendicu- (^ La forme de l'essai de démonstration de M. FroloY est assez captieuse. Voici, par exemple, le corollaire du théorème (C), où il réunit dans une seule phrase, la démonstration (insuffisante sous cette forme) de la possibilité de construire un rhomboïde birectangle en deux sommets opposés, la conséquence II (fausse), donnée plus haut et la conséquence III : Corollairb : Si dans un quadrangle agant deux ëngUe opposés droits, on fait tourner Vun d*eux autour de son sommet, en auç- mniant graduellement son angle aigu et en diminuant de l4 même manière son angle eèius Jusqu'à ce quUls deviennent égaux, ces deum angles seront alors nécessairement êgatus tous Us deux à un droit. ... — 112 — làire en B à la ligne BS de la figure relative au théorème (e), rencontre AT; c*e8t là une proportion indémontrable équivalente au postulatum d*Euclide lui-même, que Ton veut démontrer. La préface (4 pages) et l'introduction (4 pages) contiennent des asser- tions historiques et des considérations sur les définitions que nous sommes loin d'admettre toutes. Riemann n*a pas donné la définition de la droite qui lui est attribuée ; Legendre ne s*est pas engagé dans des voies détournées pour démontrer le célèbre postulatum : personne, au contraire, avant Lobatchefskji n'en a mieux approfondi la nature. P. Mansion. NOTBS EXTRAITES DE LA CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. (Voir Ifathesit, Y, 138, 195, YI, 18, 42). tO. De la courte aux troit foyers et de sa tangente (C. G. Q., YII, pp. 32-36, 123-128 et 214.) Trois points fixes F, F', F" sont donnés dans l'espace ; un premier fil FMF' est attaché par ses extrémités aux points F, F' ; un second fil FMF", d'une longueur indépendante de celle du premier, est attaché par ses extrémités aux points F, F''; on suppose qu'un anneau saisissant en même temps les deux fils, se meut de manière que ces fils soient toujours tendus; le point d'intersection des deux fils décrit une courbe considérée par Monge dans ses leçons publiées par le Journal de V École normale &q 1795. Le célèbre créateur de la Géométrie descriptive avait avancé que cette courbe est gauche et avait appliqué la méthode de Robervai au tracé de la tangente. Ch. Dupin a fait observer que la courbe est plane et Duhamel a montré que la construction de la tangente est inexacte. Hachette, dans l'article que nous analysons ici, présente, à son tour, une solution de la question. Yoici une démonstration ajnthétique du premier point. Considérons les quadriques engendrées par deux coniques qui ont un fojer commun F et tournent autour de leurs axes focaux Fo?, Yx^. Les directrices d^ d* engendrent doux plans D, D' qui sont respectivement perpendiculaires à Yx, Fx\ Si M est un point commun aux deux quadri* - 113 - qaes, et qae MP, MP' désignent ses distances aux plans D, D', on a : MF MP , ... MF e ... — = e. = 6 \ d ou — = — f (1) MP ' MP' ' UP' e ^ ' e et i' étant les excentricités nnmériques des courbes méridiennes. Or le lieu des points dont le rapport des distMUces à deux plans fixes D et D' est constant, se compose de deux plans passant par Tintersectioa des plans D et D' ; donc les deux quadriques se coupent suivant deux coniques dont Tune ou les deux peuvent être imaginaires. La discussion complète des différents cas qui peuvent se présenter dans le problème dé Monge, a été faite par Reiss, loc, cit. ti. Sur quelques courbes remarquables (C. G. Q., VU, pp. 41-43, extrait d*ane lettre de Chasles). Cbasles énonce les tbéorèmes suivants dont la démonstration ne présente guère de difficulté : La poiaire droite ou oblique du centre d'une circonférence par rapport à rune de ses développantes est une spirale d'Architnide. La caustique par réflexion du centre d'une circonférence par rapporta uns de ses développantes est la développée d'une spirale d'Ârckimide. Quand une courbe plane A roule sur une droite fixe D, un pidnt quel* conque de D décrit sur le plan de la courte mobile A une développante de celle-ci. En particulier, si un cercle roule sur une droite, un stylet placé en un point fixe de celte dt oite ou de la droite décrite par le centre du cercle, trace respectivement, une développante du cercle ou une spirale tArchimide sur le plan du cercle. Si une développante de cercle se déplace de manière à passer constam^ ment par les deux points où elle a rencontré, dans sa position initiale^ une tangente au cercle, son origine située sur la circonférence de cercle décrira une cydoide ordinaire. Si Von fait glisser le centre d*une spirale d'Archimède sur une droite, et son périmètre par un point J!xe de cette droite, le point de la spirale qui est distant du centre d'une quantité égale à la sous^normale, décrit une eycldîde ordinaire» Quand un cercle roule sur une droite ou sur un second cercle, chacun de ses diamètres enveloppe, respectivement, une cyclMe ou une épicycloïde. a«- 10 - 114 — SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES- Qoestl^u 914. (Voir Mathesis (3), III, p. 56). Deux triangles sphériques ont leun côtés proportionnels. Les angles du triangle dont les côtés sont les plus petits sont-ils toujours plus petits que ceux de Vautre triangle? Solution par M. P. Mansion. Soit ÂBC un triangle sphérique ayant pour angles A, B, C et pour côtés opposés ax^ to, ex, x étant une quan- tité positive; nous aurons cos ax — cos bx cos ex cos A = • sin bx sin ex On trouve aisément que la dérivée de A par rapport à x est de même signe que l'expression i, r= a — J cos C — c cos B. Si di est positif, A croit avec x, c'est-à-dire en même temps que les ôAtés. Nous allons voir qu'il en est toujours ainsi. Pour cela, considérons les deux autres expressions analogues à di, savoir : ja rsB i — c cos A — a cos C, di = c — a cos B — b cos A. Le calcul donne pour la dérivée de di^m et n étant des quantités positives, -^«m3, + ji^,. (A) Quand on fait tendre x vers 0, les angles du triangle ABC tendent indéfiniment vers les angles Ai, Bi, Ci, du triangle rectiligne ajant pour côtés a, i, c. En effet, pour â? = 0, on a successivement, a, |3, y, e, yi, (, 6 désignant des termes du 3* ou du 4* ordre en x, ,. . ,. cos aâ? — cos te cos (â? hm cos A «= lim -, — - — ; as sin bx sin ex lim a-la'^' + «)-(l-ît'a?« + P)(l-;c'd?^+y) ^ (bx—t){cx — n) ^ lï™ — ^ — ± — . t r. -^ — =■ ^;i «=cosAi, 2tcx*'\'Q 2be lim cos B «s cos Bi; lim cos C » cos C|. — 116 — Dans le triangle rectiligne A161C1, on a a — J cos Cl — c cos Bi =■ 0, h — e cos Ai — a ces Ci = 0, e — a cos Bi — S cos Ai = 0 ; c*e8i-à-dire que, pour a? = 0, J| = ^t = ^1 r= 0. Cela posé, faisons, dans le cas où w est positif, toutes les hypothèses possibles sur les signes de ^i, ds. 1* Supposons que ^i, dz soient positifs. Alors -j- est aussi positif, d*après la relation (A); di est croissant à partir de sa valeur initiale 0, correspondant k S! = 0\ par suite, di est positif. Donc si deux des quantités di, dt, ds sont positives, il en est de même de la troisième. 2* Soient, 8*il est possible, di > 0, S s =-* 0. Alors d*après (A), dt est > 0; mais si Ton a di > 0, ^s > 0, d'après le 1*, dt est ^ 0, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc cette hypothèse ne peut se présenter. ^ Soient, s'il est possible, ds < 0, ds ^ 0. Alors, d'après (A), dt est décroissant à partir de sa valeur initiale 0, correspondant à â? = 0 ; par suite» di est négatif. Donc si deux des quantités ^1,^2, di sont négatives, il en est de même de la troisième. Mais cela est impossible, car il en résulterait que les angles A, B, C seraient tous les trois inférieurs à leur valeur initiale Ai, Bi, Ci; par suite, puisque Ai -j- Bi -j- Ci » 2 droits, on aurait, dans le triangle sphérique ABC, A-{-B-{-C ^2 droits, ce qui est absurde. 4* Soient, s'il est possible, dz <0, di = 0. Alors, d'après (A), on a encore di <0; mais d'après le 3% si di <0, St <[0, dt est <0, ce qui est contraire à l'hypothèse. Cette hypothèse ne peut donc se présenter. 5* Soient, s'il est possible Si = 0, di = 0, d$ = 0. Alors les angles A, B9 C, ne varieraient pas avec x, ce qui est impossible; en effet, Ton aurait, pour deux valeurs différentes de w, deux triangles sphériques équiangles inégaux, ce qui est absurde. 6* Soient, s'il est possible, ^2 = 0, ?« = 0. Alors, d'après (A), on ddt aurait -^j- &» 0, on dt constant. Ou ne peut supposer 3t nul d'après le 5*; dx ni di > 0, car, on prouverait comme au 2^ que si dt > 0, dt = 0, on a df > 0, ce qui est contraire à l'hypothèse ; ni Ji < 0» car on prouverait comme au 4* que 9% ^0, dt =" 0, entraine 9% ^ 0, ce qui est contraire i l*bjpothèse. — 116 - Il n*7 a donc qu'une seule hypothèse possible ; di, dt, Si sont tous trois positifs, et A| B, C croissent avec a. On peut donc énoncer le théorème suivant : Si deux triangles sphériques ont leurs côtés proportionnels ^ les angles du triangle dont les côtés sont les plus petits sont plus petits que ceux du triangle dont les côtés sont les plus grands. Ce théorème est utile en géométrie non euclidienne. Qaestloaa Oftft et 99S. (Voir Maihesis, (2), IV, pp. 1*75 et 279). •ftft. On donne une parabole et un point fixe P de son plan. Par P, on mine une corde quelconque AB. Ze cercle de diamètre AB rencontre la parabole en deux nouveaux points Ai^Bi, De même, le cercle de dia^ mitre AiBi remontre la parabole en As, B^. Et ainsi de suite. P Chacune des cordes AiBi, AsBt, ..., kn^n passe par un point fixe 2f^ Lelieu du point de rencontre de deux cordes quelconques A^Ba, At^B** est une hyperbole équUatère; en particulier, le lieu du point de rencontre de AB et AiBi est Vhyperbole d'Apollonius relative au point P. 3« Les triangles PPiPi, PsPiP», PaPiP», ... sont équivalents. 4* Lorsque le point P est au foyer de la parabole, les points Pi, Pj ... sont sur Vaxe de la parabole; les hyperboles, lieux du point de rencontre des cordes AtB*, A&.Bi* deviennent des droites perpendiculaires à Vaxe. 5^ Lorsque P est aujoyer, le cercle de diamitre AB et la perpendiculaire à AB abaissée du foyer se rencontrent sur deux droites fixes. 6* Dans ce même cas, le lieu des points d'intersection du cercle de diamitre AB avec la perpendiculaire abaissée du sommet de la parabole sur AB, est un cercle. (E. N. Barisien.) ••S. On donne une parabole (P) et un point M sur son axe. Par ce point M, on mine une corde AB. Le cercle de diamètre AB rencontre la parabole en deux autres points C et'D. Montrer que : 1* La corde CD passe par un point Jlxe lorsque la corde AB varie ; 2* Les cordes AB et CD se rencontrent sur une droite fixe ; 3* Le cercle de diamètre AB enveloppe une cubique. Lorsque le point M est au foyer, la droite fixe devient la directrice et la cubique se décompose en ta directrice et un cercle. (E. N. Barisien.) — 117 — •ftft. Solution analytique par MM. Schovtb (Gi^oningue), Bastin (Liège), Deprez (Charleroi), Droz-Farny (Porrentruy), Vbrdbtbn (Gand), J. Jonbsco et V. Cristbsou (Bucharest)(*). l® Si réquation d'une corde de la parabole y' = 2px est y =3 mx -)- ili les ordonnées a, /3 des extrémités sont racines de Téquation y«_^y + -i: = 0. d'où a + p = -^, «(3=-£-- tn n 971 m Tirons de là m et n; l'équation de la corde prendra la forme 2;?a? — (a4-^)|f + aP = 0. (1) Soient maintenant X, Y les coordonnées du point donné P, et a, (3 les ordonnées des points A, B ; la corde AB sera représentée par (1), avec là condition 2pX ^ (a + ^) Y + a/3 = 0. (2) Si f ^y y j désignent les coordonnées de Tun des points Ai,Bf|0i^ trouve en exprimant que Tangle AAfB (ou AB|B) est droit : Par suite, les ordonnées at, |3i des points Ai, Bi yérifient les égalités «i+Pi = -(a + ^), «.|3. = a|3 + 4|>«, ^ (3)' et, par analogie avec (1), Téquation de la corde AiBi est 2/?« + (a + P)y + aP + 4|>» = 0. Si Ton en retranche (2), on obtient 2p(a?-X) + (« + P)(y + Y) + 4j?« = 0; par conséquent, pour toutes les valeurs de a-}- (3, la droite A|B| passe par un point fixe Pj défini par les égalités y + Y = 0, 2p{x — X) + 4p^ = 0s et si Xi, Yi sont les coordonnées de Pi on a Y, = -Y, Xi = X — 2p. (*) Les solutions enToyées par nos honorables correspondants diflerent par des vëriantfs que le défaut d^espaco nous empêche de reproduire. Pour les diverses parties nous choisissons la Tariante la plus simple ou la plus élégante. {B^dâcti^n.) - 118 ^ En continuant ainsi on trouye pour »6n : a« + p, = (-.l)«(a + /5), «„/3„ = aP + 4»i)>, 2px + (— 1)« (« + 13) y + ap + 4»;)» = 0 , Xn = X — 2np, Y, = (— !)-¥. (4) 2® Deux cordes consécutives A^Bn, An4.i Bn^i sont antiparallèles par rapport à Taxe de la parabole; car elles sont communes à cette courbe et à une circonférence. On en conclut que les cordes AB, AiBi, A4B4, ••• sont parallèles entre elles, de même que les cordes AiBi, AsBs» AsBs,*** • Considérons deux cordes non parallèles AkB», Ai^B*', où k et k' sont de parité différente. Si, entre leurs équations et Tégalité (2), on élimine a -f- P ot a|3, on obtient pour le lieu de leur intersection iB + 2pk (— l)*y 1 x + 2pk' {l—rp 1 =0, X Y 1 ou fl^ — yLX — (il + il')?] + 2Hl)*i?(*' — *)Y = 0. (5) Ce lieu est donc une hyperbole équilatère asymptotique à l'axe des x. Si l'on suppose k = 0, A' &=> 1 on obtient Tbyperbole d'Apollonius du point P. S® Les formules (4) montrent que les points P, Pi, Pi, ... sont situés alternativement sur la parallèle à l'axe des x menée par P et sur la symétrique de cette droite par rapport au même axe; de plus, les projec- tions des droites PPi, PiPt, PiPs» *.. sur ces parallèles sont constantes et égales à 2p, Il résulte de là que les triangles PP|Pt, PtPiPé» PiPftPa» ••• sont isoscèles et égaux entre eux; que les triangles PiPtPii P4P5P69 ••• sont inversement égaux aux précédents. 4* Si l'on suppose Y c= 0, on a aussi Yn = 0, de sorte que les points P, Pi» Pti ••. sont sur l'axe de la parabole. L*équation (5) se réduit & y{x--X + kp + k'p)^0; donc le lieu de l'intersection des droites A^Bt, At/Bti, lorsque h et V ont une différence impaire, est une droite perpendiculaire à l'axe Ox, 5« Si on fait X =^ , Y = 0, la condition (2) devient «p - -f*, (6) - 119 — et Véanation (1) de ÂB se transforme en 2/?a?- (a + |5)y — p« = 0. La perpendicalaire abaissée de F sur cette droite est représentée par 2pv + {^ + f^)(f-Ç)=-0. (7) La circonférence de diamètre AB a pour équation (y-«)(y-P) + (— |)(^-|) = o. ouy en tenant compte de la relation (6) : (a: 4- fi)» 4- 2jD' 3 Pour obtenir l'équation du lieu demandé, il reste à éliminer a -f- P entre (7) et (8). Le résultat est [i'-îy +>']{' -h) i'+ï^)"» 3 le lien proprement dit est la droite x^-p et la directrice. Ce résultat s*explique facilement : Si d*an point T de la directrice on mène deux tangentes TA, TB, la corde de contact AB passe par F et est perpendiculaire sur TF, et les deux tangentes sont rectangulaires, etc. 6* La perpendiculaire abaissée du sommet de la parabole sur AB a pour équation 2py + (« + (3) a? = 0. (9) Si Ton élimine « + 13 entre (8) et (9) on trouve âj f û?' 4- y « — ^a? — - ;? M = 0 ; donc le point d*intersection de la circonférence de diamètre AB avec la perpendiculaire abaissée du sommet sur AB, décrit une circonférence de centre F et de rajon p. Lorsque dans les n<** 5 et 6 on prend au lieu de F un point quelconque P de Taxe, les deux lieux sont encore respectivement un système de deux perpendiculaires à Taxe et une circonférence (Déprez). Mlf. Schoate et Déprez traitent par le calcul la question analogue pour l'ellipse — 120 — et arrirent aux mêmes résultats que M. Serrais (voir solution cl- après). Le savant professeur de Qroningue indique également une démonstration synthétique de ces propositions. ' II. Droz Famy établit aussi par la géométrie le n« 6 de la question 955« •ftft. Solution giomitrique far M. Cl. Sbrvais(*). Les centres H et C de rhjperbole équilatëre et du cercle passât nt par les points A|B,Ai»Bi sont diamétralement opposés sur la conique, lieu des centres des coniques circonscrites au quadrilatère ABâiBi(^*). Le point C étant le milieu de AB, H est le milieu de A|B|. Les points H et C décrivent deux figures inversement semblables ayant pour point double et pour droites doubles le centre 0 et les axes de la coni- que (!)(***). Les droites AB etAiBi étant également inclinées sur les axes sont deux droites homologues de ces deux figures; mais l*une passe par un point fixe P, l'autre passera donc par un point fixe Pi, correspondant au point P. La droites OP, 0P| sont donc également inclinées sur les awes et on a OP OP.^*' I étant une constante indépendante de la position du point P. Les deux points P et Pi jouissent des propriétés suivantes : Si au point F milieu de PPi on élite une perpendiculaire sur laquelle on prend deux longueurs FQ et FG' égales à PF, les droites OG, OG' sont conjuguées dans une involution, indépendante de la position du point P. La circonférence circonscrite au triangle OPPi rencontre les axes de la conique (!) en deux points situés sur la perpendiculaire élevée au milieu dePPtC). Il résulte de ce qui précède que les points P, Pt, ... Pu sont sur le diamètre OP et les points Pi, Ps, ... Puf i sur le diamètre OPi. Deux points Fipt Ptq sont correspondants dans deux figures directement semblables, tandis que Pip et Ps^f i sont correspondants dans deux figures inversement semblables. Le rapport de similitude est dans le premier (*) La parabole est remplacée par une conique quelconque (I), sauf en ce qui concerne le 5<^ et le 6"*. (♦♦) Voir MatkesU (2) IV, p. 95. (♦♦♦) Idem, p. 84 et 93. {^) Pour la démonstration, voir Mathesis (2), IV, p. 91. — 121 — ey|«i-«f et dans le second **«+*-»'. Les triangles Pa/,Pip+iPa,+tt PH?s«4.iPsq^» sont donc semblables ainsi que les triangles PapPs^f iPt^+i, Dam le cas limite où la conique est une parabole, les points P et Pi Moi à égale distance de Taxe, mais de côtés différents. Le symétrique F, de Pt par rapport à Taxe et le point P décrivant deux ûgures direc- tement aemblablea dont le centre de similitude est à Tinfini, le segment PP'^ est donc constant. Dans le cas de la parabole, la projection de PPi sur Taxe est constante et les triangles considérés sont égaux. SoitSrintersectiondes droites AB, AiBi; les droites PS, PiSi décrivent deux faisceaux inversement égaux ; le point S décrit donc une hyperbole éqailatère sur laquelle les points P et Pi sont diamétralement opposés. Si AB est normale en A à la conique (S), le cercle C est tangent en A à la conique et le point Ai coïncide avec A. Ce point est, dans ce cas, l'intersec- tion des cordes AB, AiBi; l'hyperbole trouvée est donc Thyperbole d'Apollonius relative au point P. Deux cordes AipBsp, AsgBt, sont parallèles; deux cordes AipBtpi Asf 4.iBi44.i sont également inclinées sur les axes sans être parallèles et se coupent sur une hyperbole équilatère (même démonstration). Si le point P est sur un axe de la conique (S), les diamètres OP et OPi coïncident et tous les points P sont sur le même axe. Le triangle PSPi est isoscèle; le point S est donc sur la perpendiculaire élevée à Taxe au milieu du segment PPj. Supposons que la conique (Z) soit une parabole dont le foyer est le point P. Les tangentes aux points A et B sont rectangulaires et se coupent au point D sur la directrice. Ce point D et son symétrique D' par rapport au foyer sont les points d'intersection du cercle de diamètre AB avec la perpendiculaire menée du foyer à la corde AB ; ils décrivent donc deux droites fixes. Soient E le sommet de la parabole, F le pied de la perpendiculaire abaissée de E sur AB, K un point d'intersection de cette perpendiculaire avec le cercle de diamètre AB, Représentons par a l'angle PEP, par |> la distance EP, par R et C le rayon et le centre du cercle. Nous aurons : PF =p sin a, CP = R sin a ; (•) Les triangles P|P«P«, P«^^P,n+«Pn+a so^t aussi semblables (C. S }. — 122 — d'où • CP = (p + R)8ina, KP' «= KP' + pF' = CK* — CF* + PF\ KP* = R' — (;) + R)' f in' a + p« sin' a ou KP* = R* cos' a — 2pR sin» a. Mais 2p = R cos' Cf. ; donc KP* = R» cos* a = (2/î)». Le point K, est, par conséquent, situé sur le cercle décrit du foyer oonune centre avec Tordonnée focale pour rajon» . 999. Cette question a été résolue par MM. Klompers (Anvers), Droz-Farny, y. Cristbscu, Buissbrbt et Butsbns (Gand), Déprez, P. BASTiN,CoLART(Ha7), PoLAK (Bruxelles), BogdanJonbsco (Bucarest), Y. Rbtali (Milan), J. Jonbsco (Bucarest). Les deux premières parties ont été démontrées plus haut. . Avec les notations de la question 955| Téquation du cercle de diamètre AB est ou L*égalité de condition (2) se réduit maintenant & a^ = — 2|>X. Si donc oh pose a -j- P = ^> Téquation du cercle prend la forme «» + y« — ly \ ^ » — 2;>X + X« = 0. Pour Tenveloppe de ce cercle, on trouve facilement py' + arf(a? - X)« + y« - 2|>X] = 0, équation d*une cubique. Lorsqu'on fait X ^=3^ , on trouve (^+|)(^' + y*""|^*) = ^î c'est-à-dire la directrice et une circonférence. A roccasion de la question 993, M. Droz-Farny indique une solution géométrique de la quaftioB 9S9. — 123 — (Voir Uathesii, (2), lY, p. 215.) Soient, dans un triangle ABC, H VorthocetUre et A\ fi', (T let piede des hauteurs. Posons P. = AH.AA', ..., Pfc = HA.BA' = HB.HB' = HC.HC'. On aura ÂH* + BC* = BH* + AC' = CH'+AB' = P. + P*+P. + Pfc = 4R«, p;+p*+p;""""p;* (drozparnt.) Solution par MM. Poort (Groningue), Dblahatb (Roje), Fairon (Seraing), J. Jonbsco. Désignons par 0 le centre du cercle ABC, par Al, Bi, Cl les milieux de BC, CA, AB. Les triangles rectangles OBAi, OCfii, OACi donnent R* = BÂJ + Â7Ô' = CBJ + BJO* = ÂCÎ + ÔCj ; d*où) en observant que AH «a 20At, ... : 4R'=»BC' + ÂH*=iCA* + BH* = AB* + CH\ (1) Si Ton applique aux facteurs qui entrent dans P«, Pi, Pc, Pk la règle des signes, on peut écrire a« = }« + c» — 2AB.AC'j (2) mais les quadrilatères inscriptibles BA'HC, CA'HB' donnent P.=»AH.AA'=:AB.AC'«AC.AB'; (3) donc, d'après le* relations (2) et (3) et par analogie : P. , P» = . P. (4) n en résulte P.H-P> + P.= 2 ' ^^^ D'autre part, P. =» AH. AA' = AH (AH + HA') = ÂH* — P», P» = BH'--Pi, P. — CH*--P»; - 124 - d'où _ __ _ P. + P» + P. = AH* + BH* + CH* — 3P4, et en remplaçant AH , BH , ^* par leurs valeurs tirées de (1) : P. + P» + P. = 18R' — («* + J* + e*) — 3P»5 (6) et en éliminant a*-\-h*-{- e* entre (5) et (6) : P. + P» + P. + P» = 4R». On a, en tenant compte des signes des segments : P» HA' _ BHC p.'^~XÂ' bac' en faisant la somme des égalités analogues on obtient P» , Pk , P»_ , f.+p:"^p. — ^' ce qui est la dernière égalité à démontrer. Solution irigonométriqtu far MM. E. Colart, E. N. BarisibN| y. Cristescu, Db Nobblb (Oani), Déprbz. On a AH = SOÂi«(icotgA, d'où ÂH' + BC* « aMl + cotg» A) — :^^ « 4R« . ^ iin'A Ensuite P« =3 ahm cotg A = 23 cotg A » 4R' sin 6 sin C cos A, P. «= 2S cotg B = 4R* sin 0 sin A cos B, Pc =5 2S cotg C =» 4R« sin A sin B cos C, Pjb » 4R' cos A cds B cos C ; par conséquent P. + P» + P, — Pfc = 4R» (sin B sin C cos A -1 — cos A cos B cos C) = - 4R' cos (A + B + C) = 4 R», 1111 teAtirBtirC 1 M. B. Lbmoinb déduit très simplement les relations de M. Droz Faray des for- mules de MathiMii^ 1892, p. 81-02, n«* 130 et 128. Il est indipensable d*appliquer la règle des signes des segments comptés sur une même droite pour rendre générales les égalités de la questioAt — 125 — (Voir MathuUy (2) Vf, p, 215). Soit 0 U antre in eerele eirconserit au triançh ÂBC ; les tangentes en A,ByC à ce cercle forment un nouveau triangle A'fi'C\ On prolonge k'O deOx = \ A'O, B'O de 0^ = ^ B'O, C'O ieOy = \ C'O; iimontrer que Us droites Aa, B/3, Cy se rencontrent sur la circonférence ABC en un point D, ayant pour coordonnées normales 8in A sin B sin C 3cotBcotC— l' ScotCcotA — l' 3cotAcotB — l' et que chacun des points A,B,C,D peut être déduit des trois autres^ do la mime maniire que D de A,B,C. (Dobbs). Solution par MM. P. Bastin et Deprbz. Les coordonnées normales de 0 sont a = 2RcosA, P = 2RcosB, y = 2RcosC; celles de A' sont «i== — atgA«— 2R8inAtgA, Pi = Jtg A «2RsinB tgA, }^i x= (* tg A = 2R sin C tg A. On en conclut celles du point a qui divise la droite OA' soustractire* ment dans le rapport 1 : 3, à savoir 3x — âti ct^ = — - — = R (3 cos A + 8in A tg A), ^ « R (3 cos B — sin B tg A) == R tg A sin B (3cotg B cotg A — 1), y'^ == R tg A sin C (3 cotg C cotg A — 1). La droite Aa a donc pour équation y % 3 cotg C cotg A — l 3 cotg B cotg A — 1 T7 = -r » ou : — — y = : — Z, Pi y, sm B sin C Deux permutations tournantes successives donnent les équations des droites B^, Cy. On voit facilement que ces droites passent par un même point D dont les coordonnées normales sont proportionnelles à lin A sin B sin C 3 cotg B cotg C — 1 * 3 cotg C cotg A — 1 ' 3 cotg A cotg B — 1 ' - 126 - Le point D appartient à la circonférence ABC; car ses coordonnées vérifient Téqaation •in A , sinB , sinC =0. a ^ y ^ z Si Ton prend pour triangle fondamental ABD, le point a conserve son rôle (0(X s= 2 A'O), et la droite ctD rencontrant la circonférence ABD en C, on voit que C joue par rapport au triangle ABD le même rôle que D par rapport à ABC. Remarques (dues à M. Déprez). 1® On peut démontrer par la géomé- trie la proposition de M. Dobbs. En effet, H désignant Torthocentre de- ABC, menons dans la circonférence ABC les cordes ADa, BDb, CDe parallèles à la droite OH, puis la corde DaD parallèle à BC; les arcs D«D« et AC étant égaux, de même que les arcs D«B et DC, il en sera de même des arcsBDe et AD, et la corde D«D sera parallèle à AB et, par analogie, D*D le sera à AC* Les angles DaAB et CAD étant égaux, nous retrouvons d*abord un théorème de géométrie élémentaire qu.e nous complétons ainsi : Par la sommets A, B, C ffun triangle on mine trois parallèles qui reneonireni la circonférence circonscrite en D», Dt, De; les droites menées par les points Da, D», De parallèlement aux côtés BC, CA, AB se rencon- trent en un point D de la circonférence ABC et D est Vinverse {conjugué isogonat) du point situé à Tinflni sur la direction des parallèles ADa, BD*, CDe. La droite OA' rencontre la circonférence ABC en P et Q, les droites AD«, AD en a', a. Comme les lignes AQ, AP sont les bissectrices de Tangle DADa et de son supplément aAa', la division Qpa'a est harmo- nique, et Ton a : R» = Oa . Oy . Mais Ox' = HA = 2A,0 (A, = milieu de BC), et R* « OA. . OA' ; on conclut de là que Oa = J A'O. Donc a est le point considéré par M. Dobbs, etc. 2* Si Ton divise les droites OA', OB', OC aux poinU X, Y, Z dans un même rapport, les droites AX, BY, CZ se coupent en un même point U, qui a pour lien géométrique rhjperbole équilatère ABCHO (hjperbole de Jerabek; voir Mûtkesis, (I) VIII, p. 81); cette hjperbole est la trans- formée par inversion trilinéaire de la droite HO. Le point D de M. Dobbs est le quatrième point commun à cette conique et à la circonférence ABC; le milieu de HD est le centre de l'hyperbole. — 127 - Qaeatlon CCCXVl. (Voir N. C. M., t 111/ p. 483). ' . La somme des puissances semUaHes 4es Xfremiers nombres ^ augmen» iis ou diminués de Vuniié, est divisible par a -{'2, (E. Lucas.) Solution par M. E. Fauquembbrqub. De la formule classique, qui sert à calculer la somme des puissances semblables de w nombres en progres- sion arithmétique, on déduit celle-ci : y fi • • *^ ^ I ^î (ni — 1) ^ m(m-l)(tn — 2) (1) 172:3 •S-.. + ...*. On a aussi Tideutité 1^ 1.2 1.2.3. ^ ' ^^ obtenue en faisant â? &= 1 dans le développement de (â?— 1)*" ; le dernier terme est positif ou négatif suivant que m est pair ou impair. En combinant ces deux égalités par voie d'addition ou de soustractioni on obtient la relation («+!)- ± 1- = (« + 2) + |(S„., dr l)+î!^i^.(S«_,q:l) , »»(m-l)(OT-2) ^.n , . les signes supérieurs correspondent au cas de m impair et les signes infé- rieurs au cas de m pair. Faisons successiTement m => 2, 3, 4, 5, ••• ; nous aurons (« + 1)' - l' = (« 4- 2) + 2. (S.-l), (« + 1)' + 1' = (ar + 2) + 3. (S, + 1) + ?4- (S' - 1) (a. + 1). _ 1. = (a? + 2) + 4. (S, - l)+l|(S, + l)+i||.(S.-l), — 128 — (-P + l)' + l' = (« + 2) + 5.(S. + l)+^.(S,-l) , 5.4.3 ,„ I ,x I 5.4.3.2 ,„ Ces égalités nous font voir de proche en proche que x -)- 2 divise Si — 1, Sf -J- 1, Si— 1, S4 + I, •'• et ainsi de suite. En effet, (â? -{- 1*" + 1"* est divisible par (â? -{- 1) 4- 1 quand m est impair, et {x -\- !)•" — !"• est divisible par (a? -|- 1) -j- i quand m est pair. QUESTIONS D'EXAMEN. Y A§. Deux tangentes parallèles d*une ellipse interceptent sur la droite menée par un foyer et le point de contact de Tune des tangentes un segment égal au grand axe. 749. Soient MM\ NN' deux diamètres réels quelconques d'une hyperbole équilatère, P un point quelconque de cette courbe. Démontrer que les angles MPN, M'PN' sont égaux ou supplémentaires. QUESTIONS PROPOSÉES. ^IOS9. Par trois droites données non situées dans un même plan, mener trois plans formant un trièdre trirectangle. (J. Neubero.) i089. Quelle relation doit-il exister entre deux circonférences pour que les deux centres soient les deux foyers de la courbe polaire réciproque de Tune des circonférences par rapport à l'autre? (Droz Parnt.) f 070. Eliminer a et/3 entre les équations (.«a» - (c« + a') a'a + a'x = 0, c'/S» — (c» — J«) J»p — J^y = 0. (H. Brocard.) MOYi. Au cercle I, inscrit à un triangle équilatéral ABC, on mène une tangente quelconque, qui coupe les cAtésJdu triangle aux points a^P,/, de chacun desquels on mène la seconde tangente respectivement aux œrcles exinscrits U, I*, I«. Chercher le lieu des sommets du triangle formé par ces droites. (E. Duporcq). — 129 — NOTE SDR DNB PROPRIÉTÉ FOCALE DES CONIQUES A CENTRE, par M. Stuyvaert, professeur à T Athénée royal de Gand. La propriété dont il s* agit est identique an fond à un théorème de M. Laisant présenté au congrès d*Oran (1888, p. 113-118) et cité dans Itatkesis à Toccasion d*une question posée par M. Gob et résolue (2) I, p. 45. Le théorème qui fait Tobjet de la présente note peut se déduire de celai de M. Laisant et inversement; les démonstrations qui ont été données de ce dernier conduisent donc aussi au premier, notamment la démonstration géométrique très élégante due à M"* Carolina De Haas, de Rotterdam (MatheiU, (2) I, p. 46-47), démonstration qui s'applique à rhjperbole moyennant un simple changement de signe. Théorème. Étant donnée une conique à centre dont les foyers sont F et F\ si d'un point M on mène les deux tangentes à cette conique, l'une jusqu'à son point de contact T, l'autre jusqu'à sa rencontre en F avec le diamètre conjugué de OM, on a MPX MT = MFXMF'. En effet, si du point P on mène la deuxième tangente, elle est parallèle à MT et son point de contact T' est symétrique de T par rapport au centre. On sait que le rajon vecteur mené d'un fojer au point de rencontre de deux tangentes fait des angles égaux avec les rajons vecteurs menés aux points de contact. Si ce point de rencontre s*éloigne à Tinfini, c'est-à-dire si les tangentes sont parallèles, on en conclut qu'elles font des angles égaux avec les rajons vecteurs menés d'un fojer aux points de contact. Soit dans ce cas FG parallèle à TM et TT. Il résulte de cette même propriété que l'angle PFM est la moitié de Tangle TFT^ (de son supplément, dans l'hjperbole), et par conséquent égal à TFG, et que les droites FM et FP font des angles égaux, l'une avec PG ou MT, l'autre avec FT'; donc les triangles FMT et FT'P sont semblables (théorème connu). Mais les tangentes issues d'un même point font des angles égaux avec les rayons vecteurs aboutissant à ce point et menés des deux fojers, donc angle FMT = angle F'MP, fi — 130 — et de même angle P'PM = angle FPT' = angle MPT, cette dernière égalité à cause des triangles semblables indiqués plus haut. Donc enfin, les triangles MFT et MF'P sont semblables et Ton en conclut : MPXMT==MFXMF. Applications, i. Si Q est le point de contact de MF, et N le point où QT rencontre OM, on a ..^ *,^ MN et Ton en conclut : MQMP MN MP.MF' ^ MO * C'est la forme sous laquelle le théorème a été donné par M. Laisant. Comme cas particulier, on a le théorème de M. Gob qui fait Tobjet de la question 695. •• Si M est sur le petit axe ou sur Taxe non transverse et si une tangente menée de M touche la conique en T et rencontre Tautre axe en P, MP.MT — MF». et MF est la tangente à la circonférence passant par P,T,F. S. Dans renoncé du théorème, le point P peut être déterminé par l'intersection de la deuxième tangente menée de M avec la tangente parallèle à MT. Donc si M est sur une asymptote, soient MN la tangente limitée en N à Tautre asymptote, T le point de contact. M' le point où la tangente parallèle à MN rencontre la première asymptote ; le théorème donne MP.MP' — MT.MM'; mais MM' E3 2M0 et, diaprés un théorème connu, 2MT =» MN; donc MP.MF' = MN.MO. En appliquant la même propriété au point N, et combinant entre eux les résultats obtenus, on arriverait encore à quelques autres relations assez simples. 4. Soit ABCD un parallélogramme circonscrit à une conique à centre, - 131 - et toit P la point de contact de AB. Le théorème donne : FA . F'A = FA .FC = AD. AP. FB . F'B i= FB . FD = BC . BP. D'où, puisque AD = BC, FA.FC AP fb.fd'^bp" Comme cas particulier de cette propriété, si FA «= FB, on a FC^AP FD""BP' donc aussi F^A AP F'B "" BP ' donc FT fait des angles égaux avec F'A et F'B, et, par suite, est parallèle aux tangentes AD et BC. ExBRCiCBS. — 1. Étant donnée une conique à centre, trouver le lieu du point M tel qu*en menant de ce point les deux tangentes, prolongeant Tune jusqu'à son point de contact, l'autre jusqu'à la tangente parallèle à la première, le rectangle de ces deux droites soit constant (lemniscate). 2. Étant donnés une tangente fixe à une conique à centre, et les deux foyers, mener deux tangentes parallèles entre elles qui coupent la pre- mière en des points équidistants d*un foyer. NOTES MATHÉMATIQUES. •. Problème. Quels sont les nombres entiers x, y, t qui satisfont à Tégalité suitante : a X . y y Solution. De cette égalité on déduit X t = . X — ff Posons x = f + U]il vient - 132 - Puisque % doit dire entier, on doit avoir y^=mu^ d*où Ainsi régalité demandée sera mu mu ' D*où des identités assez curieuses à première vue : 6^6+' Î43>^ 143 + ^ '^^^ (E- SaRBbtte.) ^9. Théorêmb. 27» iiom&re ;7ar/a2Ï im^atV (s*ii en existe) ^^^ 2a «oinm^ itf deux carrés, Sjlvester a démontré {MatheiU^ 1888, p. 57), que dans un tel nombre, les exposants des facteurs premiers sont tous pairs, sauf un, et que le facteur élevé à une puissance impaire est de la forme 4ii -|- 1. Or tout nombre premier de la forme 4n + 1 est une somme de 2 carrés ; donc, etc. (Stuyvaert.) ^H. Sur Ui fractions décimales périodiques mixtes. Soit à convertir la fraction irréductible — ^ en fraction décimale, h étant premier avec 2 et 5. Posons a X u y = ^+1. ^^ a = a?i + 2''y. 2-J On sait, par Tanaljse indéterminée du premier degré, trouver des valeurs entières de â; et de y vérifiant cette équation et premières respec- tivement avec 2*** et avec h. X La fraction — » prise en valeur absolue, donnera naissance à une y firaction décimale ayant m chiffres ; la fraction - i prise aussi en valeur absolue, à une fraction décimale illimitée, dont la période aura un nombre c de chiffres dépendant uniquement du nombre b. La fraction primitive, somme algébrique des deux précédentes, sera la limite d*une fraction périodique mixte ayant m chiffres avant la période qui aura c chiffres, comme on le voit assez aisément en faisant toutes les hypothèses possibles sur le signe de x et celui de y. Les conclusions précédentes s'appliquent au cas où 2"* est remplacé - 133 -« par 5*. On peut de plus les étendre à un système de numération quel- oooque (Extrait d*un mémoire manuscrit de M. N. Sogolop, de Kief, intitulé : Qiêelquei considéraêions sur des fractions analogues aux frac- tient décimales) . BIBLIOGRAPHIE. Arithmetic for High Schools and Collégiale Institutes, by J. C. Glashan, Ottawa. Toronto, Rose Publishing Company, 1890 (yiII-360 p. in-I2), cartonné. Prix : 50 cents. Méthode pratique pour la résolution numérique complète des équations algébriques ou transcendantes, par B. Carvallo, Docteur es sciences, Exami- nateur d^admission à rÉcole polytechnique. Paris, Nony, 1896 (32 p. in-4*). Nouvelle édition de la thèse de doctorat de l'auteur, où il expose, sous une forme Traiment pratique, la méthode de Grâfe pour la résolution numérique des équations. Voir Tanalyee que nous avons donnée de la première édition, dans le n* de juillet 1891 de la Sevue des questions scientifiques et Matkesis (2), I, 188). Leçons de Graphostatique par M. Brkithop, professeur à TUniversité de Louvain. Seconde édition. Lié^e, Miot et Jamar, 1895. Livraison I. Calcul gra- phique (104 pages in-4o et 130 figures). Livraisons III, IV et V. Graphostatique (S12 pages in-4« et 214 figures). Les livraisons II, VI, VII et VIII sont sous presse ou en préparation. Cet ouvrage, qui vient combler une lacune dans notre enseignement supérieur, se recommande par un bon choix des questions traitées et par une grande clarté. Cours de Méoanique par J. Massau, ingénieur principal des Ponts et Chaussées, professeur à TUniversité de Gand. Tome II. Dynamique. Hydrosta- tique. Hydrodynamique. Gand, Meyer-Van Loo, 1896. (Autographie in-4* de VIiI-dl2 pages in-4*). SoiiMAiRK. DfnanUque du point tnatériel, 1. Généralités. 2. Théorèmes généraux* 5. Ifourement rectiligne. 4. curviligne d'un point libre. 5. ou sur une courbe. 6. sur une surface 7. Mouvement relatif. — Dynamique des systèmes matériels. 1. Formules générales. 2. Théorèmes généraux. 3. Moments dlnertie. 4-5. Cas d'un axe fixe* ou d*un point fixe. (5. Mouvement d'un solide quelconque. 7. Choc des corps. — Hydrostatique. 1. Théorie générale. 2. Applications. — Hydrodyna^ mipu. Théorie générale. 2. Liquide pesant et gaz. 3. Tourbillons. La pré(kce contient Tindication des questions assez nombreuses que Tauteur a traitées d'une manière originale, dans son remarquable ouvrage. - 134 — SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. ^Qocsllon 949. (Voir Mathesis, (2) IV, p. 151). Étant donnds d&ux faisceaux homographiques S (ABC ...)i S'(A'B'C'...) faire passer par S et S' une circonférence telle que deux rayons homologues quelconques rencontrent cette courbe en des points en involution. (Droz-Farny). Solution par M. Cl. Sbryais. Un cercla passant par S et S' et rencon- trant deax rayons homologues SA et SA' aux points A et A', satisfera à la question, si les rayons SA' et S'A sont correspondants dans les faisceaux projectifs S (ABC ...) et S'(A'B'C'...). Tous les cercles passant par les points S et S\ déterminent sur les rayons SA et SA' deux séries projectives (AA', A^A'^ , ...); ces ponctuelles sont semblables, puisque la corde AA' se déplace parallèlement à elle-même. Si SA" est le rayon du ^faisceau S(ABC...) correspondant au rayon S'A du faisceau S' (A'B'C...), les deux droites SA' et SA" décrivent deux faisceaux projectifs, dont SA est un rayon double ; Tautre rayon double rencontre S'A' en un point appartenant au cercle demandé. (Voir Mathesis, (2), IV. p. 152). 1* Le nombre An* est la somme de quatre triangulaires; 2* les nombres 6»*, 6»* + 1, 6»* + 2»« + 1, 6»* + An* + 1, 6»^ + on» + 1 soni cha- cun la somme de trois triangulaires. (db Rocquiont.) Solution par M. Jban Jonbsco. On trouve en posant T. => [ n (n -|- 1) : (1) 4fi* = T,nt+-. + T„i^., +Tn.i + T.; (2) 6n' = T,nt+.-i + T„t_,_, -f Ttut ==T2i»i+fii..i -4"2Tt«t«»_i = Tîmi^in—i -|-2rt«i+«»i ; (3) 6»* + 1 « T,.i., 4- T,.i+, + T,.t^ (4) 6n* + 2n« + 1 = T,.f+, + T,.t^, + T,.f ^.., ; (5) on* — 4«> + 1 = T,,i_, + T,.i+-i + T„t_.,, ; (6) 6«* + 6»» + 1 = T,.i+. + T.,f ^., + T,,t.,. — 135 — (Voir Mathesû (S), IV, p. 152). Pour tous les points du plan d'une conique à centre^ tels que deuœ des normales abaissées sur r ellipse soient rectangulaires ^ P la corde joignant les pieds des normales à angle droit enveloppe une eUipse, 2^ la corde joignant les deux autres pieds enveloppe une hypocydoide à quatre points de rebrouuement . (E. N. Barisibn.) Solution par M. Cl. Sbryais. Si une hyperbole équilatère passe par le centre 0 d*une conique 1, et a ses asymptotes parallèles aux axes a et i de la conique, les normales à celle-ci, menées par les points A, B, C, D où rhyperbole la rencontre, concourent en un même point P de Thyperbole. La conique 2, Thyperbole équilatère et les droites AB et CD, déterminent sur chacun des axes a et b, trois couples de points en involution. Donc, si E et F, G et H sont les points d'intersection des droites AB et CD respectivement avec les axes, on a OE.OG = — a», OF.OH = — J«. Soient S le pôle de AB, Si et Si ses projections sur les axes; on a OSi.OE.= a«, OSt.OF = J«, donc OSi = — OG, OSt = — OH; autrement dit, le point S est le symétrique par rapport au centre 0 du quatrième sommet L du rectangle construit sur OG et OH. (Dbsboybs, N. A. M., 1860, p. 266.) CoNSBQUBNCES. I. Si Ics taugontes aux points A et B sont rectangu- laires, le point S décrit le cercle de Monge et la corde AB enveloppe une conique. La corde CD joint les projections sur les axes, d'un point L de ce cercle ; cette droite enveloppe donc une hypocycloïde à quatre points de rebroussement. II. Si les points A et B coïncident, les normales aux points C et D se coupent au centre de courbure au point A. Le point L coïncide avec A' diamétralement opposé au point A, et la droite CD joint les projections de A' sur les axes; cette droite enveloppe donc une développée de conique. (^) La seconde partie de Ténoncë exigeait une rectiflcation. - 136 — III. Les droites OS et CD sont également inclinées sur les axes, OS et BA' sont parallèles ; par conséquent, les quatre points B|C,D,A' sont sur un même cercle (Joachimsthal). iV. Si le point A est fixe, et B, 0, D variables, le point L décrit la tangente au point A' et la droite CD enreloppe une parabole dont le fojer est la projection du centre sur la tangente en A' (Théorème connu)* Ont résolu la môme question MM. Gillbt (VerTiers), DépRSZ (CharUroi), P. Babtin (Liège), Cristbscu (Bucharest), Jean Jonbsco (Bucharest) et Dboz Pabny (Porrentruy). Pour nos Jeunes lecteurs, nous rappelons que les relations entre les cordes AB, CD passant par les pieds A, B,C, Ddes normales issues d*un point P («, /i) se déduisent analytiquement de Tidentité où X, Y et X', Y' sont les coordonnées des pôles des cordes AB, CD. Les égalités XX' = — a% YY' = — 6* qu*on trouve, font dépendre les pôles des deux cordes Tun de Tautre; on en déduit immédiatement que le pôle de CD décrit une krenz- curve quand le pôle de AB décrit une ellipse concentrique avec Tellipse donnée. M* Dtf PRBZ trouTe que le point P et le centre de l'hyperbole d*Apollonius décri- vent des seztiques dans les conditions de la question 954. (Voir Mathesù, (2), IV, p. 175). Le lieu de la projection d'un foyer d'une ellipee sur les normaUi à Vellipee eei une courbe fermée dont Faire est la différence entre l'aire du cercle principal et celle de rellipse. (E. N. Barisibn). Solution par M. Cl. Servais. Soient M et M' deux points inûniment voisins sur TelUpse ; les tangentes en ces points et la corde M ^M, , qu'elles interceptent sur le cercle principal déterminent un triangle A. La diffé- rence entre Taire du cercle principal et celle de Tellipse, est égale à la limite de la somme de tous les triangles A. Les perpendiculaires menées aux points M, ot M', respectivement sur les tangentes en M et M' passent par un foyer F. Soient M, et M, les projections de F sur les normales en M et M\ Taire du lieu considéré est la limite de la somme de tout les triangles M, FM',. Mais — 137 — donc Taire du lieu est égale à la différence des aires du oercle principal et de Tellipse. Par le même raisonnement on établit que Taire de la podaire d'un point quel- conque O par rapport à la déTeloppée d'une courbe fermée 2 est égale à la différence mtre Taire de la podaire de O par rapport à 2 et Taire de Z. (J* N.)* ^Question BlkH. (Voir MatkeiU (2), IV, p. 175.) On consiiêre deux ellipses concentriques et homothitiques. Toute tangente à l'ellipse intérieure rencontre r ellipse extérieure en deux points Â.elB. Si du point P de rencontre des normales en K et B, on abaisse les deux autres normales à l'ellipse extérieure, PC et PD, la droite CD enveloppe une développée d'ellipse. (E. N. Barisibn.) Solution par M. Cl. Sbrtais. Soit S le point de rencontre des tangentes aux points A et B. Ce point décrit une ellipse, sur laquelle est situé le sjmétrique S' du point S par rapport au centre commun des ellipses considérées. Soient Si et S« les projections du point S' sur les axes ; la droite SiSs passe par les points C et D. (Voir question 954, p. 135.) La droite CD enveloppe donc une développée d'ellipse. Solution par MM. Bastin (Liège), J. Jonbsco, Cristbbscu, Droz- Farnt, Dbprez, j. Gllbt. Soit, pour équation de Tellipse extérieure, k désignant le rapport d'homothétie et 9 un angle quelconque ; une tangente à Tellipse intérieure aura pour équation xcos(p , ysincp 1 ^q ka '^ kb "^ ' Les coordonnées de P étant désignées par a et (3, toute conique passant par A,B,C,D sera représentée par À (c'«y - a'ap + J«|3«) _ ( J* + |r - 1) ■= «>. Ba ideatiflant cette équation arec celle da système de droite8(AB, CD): (,-ir"+-*& — ij(««'+«y-i)=-o. — 138 — on trouve k k a C08 9 ^ sin 9 On en déduit l'équation de la corde CD : X 'hk sïn (p -\' y * ak coa (p -\' àb sin cp cos cp =» 0. La dérivée par rapport à cp, est : «•Mcoscp — y -ail sin 9 + ai cos' 9 — ûJsin' 9 = 0. Si Ton résout ces deux équations par rapport à â; et à y, on obtient : a cos' 9 h sin' 9 k ^ k Eliminons 9 entre ces formules; nous obtenons pour équation de l'enveloppe de CD : Remarquée. I. La droite AB a pour équation a?cos9 , ysin9 Son pôle par rapport à Tellipse extérieure a pour coordonnées a cos 9 d sin 9 et • il ;i On sait que si Ton projette sur les axes coordonnés le point diamé- tralement opposé à ce pôle, la droite CD passe par ces projections ; on en déduit immédiatement Téquation de CD : " +-i>L + i_o. (■ a cos 9 ' ^ sin 9 IL La propriété qui fait Tobjet de la question subsiste, alors même que les ellipses ne sont pas homothétiques . La corde AB enveloppant Tellipse on trouve pour équation de Tenveloppe de la droite CD s 1 (?)'+(?)'-'■ — 139 — ÇaesiloB 994. (Voir Mathesis, (2), IV, p. 263.) 0% considère dans une ellipse toutes les cordes qui joignent les extrémités de deux diamètres conjugués. V Le lieu des projections du centre sur les cordes et le lieu des projec- tions des pôles des cordes sur elles-mêmes ont même aire. 2^ Le lieu des points de rencontre des normales aux extrémités des 2 cordes est une courbe dont Vaire est les ^ de celle de la développée de V ellipse. o (E. N. Barisibn). 4Sb/»/fO«^ar M. Jean JoNBSGo. l"" Soient 0 A, OB deux demi-diamè- tres conjugués d* une ellipse e, C Tintersection des tangentes menées en A et B. On sait que la corde AB enveloppe une ellipse t' ayant pour a h demi-axes — ^> ---• Appelons P, Q les projections de 0, C sur AB. Le point P décrit la podaire de O par rapport à t' \ donc d'après un théo- rème connu, Taire de la courbe (P) est égale à la moyenne arithmétique entre les aires des cercles décrits sur les axes de f' comme diamètres. Cette aire a donc pour expression ^ tt (a" -{- J*). La corde AB touche î! en son milieu M ; il en résulte MP = MQ. Par conséquent les points P, Q décriyent des courbes ayant même aire. 2? On peut prendre pour coordonnées des points A, B (acos9, ftsin 9), ( — a sin 9, h cos 9) ; les normales en A et B ont alors pour équations cos

+ hY? — c' (aW - J V)' =• 0. a Posons y = - y', ce qui donne une transformée homographique delà 0 a courbe et change l'aire dans le rapport t » nous aurons 2a» («• + y'V — 0' (a?» — y'^y == 0. - 140 - Passant aux coordonnées polaires, on trouve p* = —-1 cos' 2û) ; Taire S' de la courbe auxiliaire est donnée par celle de la courbe proposée est a c* 0 Aao 3 c* Or Taire de la développée de e a pour mesure ô ^ 1 ' ^^^' 8 ao Autre solution très soignée, mais un peu moins simple, par M. V. Cristbscu. QaesiloBS IXCL^LII. (Voir N. C. M., t. IV, p. 160.) P Si Véquaiion [1] y* + (p + i)y + 2?==o, où p et q sont des nombres entiers, a une racine en commun avec l'une ou Vautre des équations ,21 \ y' + (i^ + i)y + 3y = o, ^ J ( y'-(^ + i)y + 3^ = o, riquation [3] a?» + 77 j 4- 2 j = 0 a une racine entière. 2^ Si V équation [1] a une racine entière^ qui ne satisfasse à aucune des équations [2J, Véquation [3] a une racine commensurahle. (S. Râalis.) Solution par E. Fauqubmberoue. I. Soit a une racine entière, com- mune à Téquation [1] et à la première des équations [2] ; les identités «' + (/? + l)a + 2y = 0,. donnent j) =» — 3a« + 2a - 1, j = à}(a — 1); - 141 - • et l'équation [3] peat 8*écrire fl.» _ (3a« — 2a + 1)« + 2a»(« — 1) =. 0. On reconnaît aisément qu'elle admet pour racine a — 1. De même si a était racine commune à l'équation [1] et à l'autre équa« tien [2], les identités «» + (;> + i)« + 2^ = o, oi^—(p + l)a — 3q = 0 donneraient P = -(3a» + 2«+l), ^ = a>(a+l), et l'équation [3] deriendrait a.3 _ (35^1 + 2a + 1)5? + 2a»(a + 1} = 0; équation qui admet pour racine a 4- 1 . 11. Supposons maintenant que a, racine entière de l'équation [3], ne satisfasse à aucune des équations [2]. Représentons par /(x) le premier membre de l'équation [3]; nous aarons, en tenant compte de l'identité a» -f (j) + 1) a -i- 2$^ = 0 : /(a)— a, /(a-l) = -.j— 3a»+2a— 1, /(a4-l)=p+3a»+2a+l. Les valeurs de f{a — 1) et de /{a -f- 1) ne sont pas nulles ; autrement a serait racine des équations [2], ce qui est contraire à l'hypothèse. De plus, 4A«) + /ï«-i)+/'(« + i) = o, relation qui prouve que les trois quantités /(a), /(a — 1), /{»-{- l) ne sont pas toutes de même signe. Donc, l'équation f{w) = 0 a au moins une racine réelle comprise, soit entre a et a — 1, soit entre a et a -f- 1» soit entre a — 1 et a -{- 1. Mais dans ce dernier cas, cette racine ne peut être a. Donc l'équation 13] a toujours une racine incommensurable. QUESTIONS D'EXAMEN. 1f4M. On donne, dans un même plan, deux points A, B et un système de droites parallèles (i). Soit M le point de l'une de ces droites tel qu'un rajon lumineux AM émanant de A et réfléchi par la droite passe en B. Le lieu de tous les points M est une hyperbole équilatère* A résoudre par la géométrie analytique ou par la géométrie proJectiTe. — 142 — IfftI. Soit ABGD un quadrilatère, plan ou gauche, dont deux côtés opposés AB et DC sont égaux. Démontrer que la droite joignant les milieux des côtés AD et BC est perpendiculaire à celle qui unit les milieux des diagonales AC et BD. 969. On donne trois points en ligne droite 0, A, B. Un rajon lumi- neux émanant de A se réfléchit sur une droite quelconque d menée par 0 ou sur une circonférence quelconque (C) de centre 0. Si le rayon réflé- chi passe par B, le lieu du point d*incidence M est une circonférence. (Quetelet, Pagani.) OM étant la bissectrice de Tangle AME, la perpendiculaire à OM en M passe par le conjugué harmonique de O par rapport à AB. Si les points O, A,B ne sont pas en ligne droite, le lieu de M est une strophoïde. QUESTIONS PROPOSÉES. i099. En un point quelconque A d'une hyperbole équilatère on construit le cercle 2 symétrique du cercle de courbure par rapport à A; 2 rencontre Thyperbole en deux nouveaux points B, C. On mène par A, B, C les cordes de 1 parallèles aux côtés opposés du triangle ABC, ou à une asymptote, ou à un axe de Thyperbole. Trouver le lieu de la seconde extrémité de chacune de ces cordes. (H. Brocard.) '^lOlfS. Trouver la condition pour que le système a?» == a (a? + y) (a? + if), y" = &(y+Jf)(y + a?), «' = c(j? + a?)(«; + y), admette une solution non nulle. (J. Neubkro.) t074. Soit F le foyer de la parabole inscrite au quadrilatère ABCD. Sur la bissectrice intérieure de Tangle AFC on porte FJ = FJ' = |/FA . FC. Pour que le quadrilatère soit circonscriptible à un cercle, il faut et il suflit que Tun des points J, J' soit sur la droite joignant les milieux des diagonales . (Sollbrtinskt . ) lOIfft. Le point de concours des diagonales d*un quadrilatère inscrip- iible est sur la directrice de la parabole inscrite à ce quadrilatère. (E. DUPORCQ.) - 143 — CONSTRUIRE ON TRIANGLE DONT LES BISSECTRICES SONT DONNÉES; par M. Barbarin, professeur au lycée de Bordeaux. Ce problème, d'apparence simple, et qu*un géomètre éminent, £ Catalan^ proposait jadis comme exercice de géométrie élémentaire, a exercé la sagacité d*un grand nombre de mathématiciens. Pascal, dit-on, ne Tavait pas trouvé indigne de lui, mais aucun indice ne peut nous faire soupçonner la nature des recherches qu*il avait entreprises à ce sujet, et rien ne nous est parvenu des résultats auxquels il serait arrivé. Aussi j'ai la conviction d'intéresser les chercheurs en publiant les calculs approfondis et aussi complets que possible auxquels je me suis livré. Il m*a para simple de traiter d*abord comme problème prélimi- naire, la eonsêruction d'un triangle dont on connaît un angle et les biesee^ tricet des deux autres. Connaissant les longueurs de trois bissectrices, de nature quelconque, concourantes ou non, je me suis efforcé de calculer un des angles du triangle, pour réduire ainsi la question, dans sa plus grande généralité, à la précédente. Le degré final des équations auxquelles j*ai été conduit, est notable- ment inférieur à celui que plusieurs personnes, à ma connaissance, ont obtenu dans quelques cas particuliers, et par des voies diverses; il parait d'ailleurs absolument irréductible dans le cas général, mais il j a des particularités de nature à rabaisser. Jamais mieux qu'on creusant à fond cette question délicate et difficile, dont renoncé est cependant bien trompeur, je n'ai senti ce qu'il y a de vrai et d*encourageant dans cette parole bien connue de D*Alembert : < Allez en avant, et la foi vous viendra. » I. Problème pré^ratolre. Construire un triangle ABC dofU on donne Vangle k et Us longueurs des bissectrices des angles B, C. J*appeile i., i», du les longueurs des bis- sectrices internes àe k^là,C\ d'à, d'b, d'c celles des bissectrices externes; a, (3, y, a', /3', y' respectivement les inverses de ces six longueurs ; et je pose B - C = 40 ^ 0, ; A = 90- — * w, i(A — B) = 90 — (w + 0), ;(A — C) = 90<» — (w — 0). — 144 - entre cef éléments, on a les relations a (3 a)-7 sinAcos2e cos ({ A — 2e)8in(« — 9) co8(4A + 29)8in(a)+e) sinAsin2e ±co8(i A -2e)co8(w~e) ±co8(AA + 2e)cos(w+e)' les deux derniers rapports sont positiâ, il faut j prendre le signe apparent du dénominateur suivant celui des différences respectives A — C, A — B; d'ailleurs B est toujours >C. En particularisant les données, il j a donc quatre problèmes distincts à traiter. Problbmb 1. Données k^db^dt* Dans les deuxième et troisième rapports, faisons tg 8 = â;, puis posons CO8 20 = y, ^=M», ^^*=^«; or or. des combinaisons convenables des trois premiers rapports donnent les équations du problème : (2.) 7(1— a:» + 2a?tgiA)(tgû)— a?) — (3(1— a?' — aptg^A)(tgû)+a?) = 0, (3.) 2y» — 2 (cos 2w + 2»' sin» A) y^ — (1 — cos A) y + (1 — cos A) cos 2a) = 0, (4.) 2y» sin ^ A + 2 (cos A — j?« sin« A) y« — 2 [sin i A + cos 2w (1 + cos A)] y + 1 — cos A = 0. La première donnant x, détermine B et C; Tune des deux autres, où y sera remplacé par sa valeur déduite de â?, fait connaître n' ou j)', c'est-à-dire a et i« ; mais en éliminant y entre elles, on formera une équation avantageuse donnant directement a en fonction de k^n.p. Pour Tobtenir, je fais usage des notations suivantes : donc ... 2w f o ^'^ • A 4r« A ^'^ sin 7 A = cos ■ = - f cos 2w = — • sin A =» -r » cos A = — • ' 3 I* «• «« 1^' 8«* 2t?s 1 + cos A = — - f 1 — cos A = — ^ • e^re "TT rAell es i 1 1 1 3 4 s . —1 —i— —L- ..a-. o,5 J — 145 — (3.) et (4«) deyiennent alors respectivement atjf» + «,jf* + rt,y + a, = 0, Aoy* + A,y« + A,y -f A, = 0, «0 = »", A» = rtt*, a, = — tw («< + 32f;»t?n»), A, = « (w?«» — I6j?*t?y), a, =• — r*»», A, =- — r (II* + 4ik«0» a, = ©»^, As = t? V. Soient : X, = 4fi« + ^ X't = «» + ^ X, = «(2«« + 0, X« = 4«*-^S Y, «= i^p« — 2cn>, Y, = 2«»n» — r/p» ; le résultat de rélimination de y entre (3a) et (4«) est l'équation /5 \ [«'X* X (X + 4r*Y )]' — • [«»X,X;+2(X,+4r'Y.)(«»<+2fY,)]tX,X,'+2X.(««f+2rY,)]-0. la valeur commune de y étant donnée par /Ax ^ t>[X,X;+2X,(t^'^ + 2rY,)] ^ '^ ^^ «»XÎ-X,(X3+4r%) "" t>[i>»XÎ-X,(X,+4r»Y,)] » [«»X.X; + 2 (X, + 4t^>Y,) {uH + 2rY,)] ' a, P» 7 étant ainsi connus, les côtés du triangle ABC pourront s'obtenir en résolyant le système linéaire 2acosiA = J + -f 2/3cos|B = i + i, 2y cosiC = -4-i. Diseuision d% problème i. Si A croit en prenant les valeurs 0% 60*, 90», 120, 180-, 01 et f décroissent en prenant les valeurs respectives 135% 90, 545», 45», 0, 1, -^, k^-1, 2-1/3, 0, 1/3 •t d'aillenn 0<â? 0; donc le coefficient de ce terme est ^ 0 et l'équation est au plus du 3* degré en a^^t^dl; elle admet une racine réelle et positive qui n'est autre que 2^ ___ __ (y — cos 2w)(2y» — 2sin« J A) a* " 4y' sin* A . (3y admissible, car les relations i(B--C)<ÔOo-|A<2w entraînent y>sin^A> cos2(o. Les trois bissectrices internes (f., db, de et V angle A sont donc liés par une équation du troisième degrés qui résolue en d» admet une racine posi- tive unique. Problémb 2. Données k, d'f,,d'e> 1* L'angle moyen n'est pas A ; donc A^B^C ou B^C^A. Bn associant les 5* et 6* rapports de (1), posant la solution du problème est fournie successivement par les équations (20 y' (1 — ic' + 2i? tg i A)(cot w 4-ic) — (3'(1 — a?» --22Jtg}A)(cotw — aî) = 0, (50 [«• Xî - X, (X, + 4r«Y.)]» - «[X,X; + 2(X3 + 4t)«Y;)(i*>^+2rY',)][X,X; + 2X,(tt'/+2i?Y;)]=0, r[X,X;+2X,(i.'< + 2i>Y;) ^ *^ *^ ««xj — X, (X, + 4«»y;) ' dont la discussion conduit aux résultats suivants : - 147 — Soient deux longueurs /, /' et Tangle A. 1= r^ A quelconque, 1 solution : dl = dt = If triangle isoscèle ; J A > 60-, 1 solution : di = l'fd'c = l et A>B> C; ^ ' i A < 60% 1 solution : rfi« /', rf; = /' et A < C < B; l A = B > 60% I A = C < 60>. Z^égtuiiion (5») établit entre les données k, d'tid'ef et dm une équation du 3* degré quif quand A n*eit pas V angle moyen, a une racine unique en dm. 2* A est Tangle moyen; alors B > A > C; les équations du pro- blème sont : (2i) (1 — x« + artgiA)(cot«-}-a?)-f ^ (1 — a?2 — 2a? tg J A) (cot w — a?) = 0, (5;) [«»XÎ - X, (X, + 4r«Y';)]« - u iX,X; + 2 (X, + 4d«YV) {uH + 2rY;')] X [X,X; + 2 (X,i*^^ + 2»Y','))] = 0, t?[X,X;+2X,(tt«/-+-2t?Y'i)] où tf»x; — X* (X5 + av'y;) Y'; = i»y» — 2tn'\ Y '3 = 2i»»«'» - vtp'K On en déduit, par la variation du rapport ((3' : y'), suivant que A est > , = ou < 60*, les résultats suivants : Soient deux longueurs données /, l' et Tangle A. \ A = 60*, triangle équilatéral. ^ "^ J ^ S ^^' triangle non isoscèle, B > A > C ; />/',alori .'aunminim. p>l,siA>60* B>60->A>ci*î*^î' fj^f/ ^ »^^• )e^oît de 1 à 00, siA = 60'' [iC p Z: ' ^''''* croîtdeOà 00, si A < 60- B > A > 60-> C ;7^; ' ^»- ^'»^i= ^» 1 soi. "- l^>l^l\ id. 2 sol. L* équation (5») du troisième degré en a-» peut avoir 0, 1 ou 2 racines positives. — 148 - Problbmb 3. Données A, dl, ef«. L*association des troisième et cin- quième rapports donne réquation en x : (2.) (l-a?« + 2a:tg;A)(l + iPt^a)) ^0':7)(1 -^'-SâJtgî A)(tg(o + a?) = 0; le signe du second terme, choisi suivant que A > ou < C, fait voir que le rapport est alternativement toujours croissant ou décroissant dans les limites imposées à x. Par suite, soient deux longueurs données /, l' et Tangle A ; le nombre de solutions correspondantes est indiqué dsns ce tableau : A > 120% rien. A = 120», 1 solution isoscèle : B = C =« 30v 1 A ^ 60«, 1 solution non isoscèle : A > C. ^ ( A < 60-, 1 solution non isoscèle : B > A > C. 2» l ^ /'. ^^ \ ^ < /' cot «, rien. A > 120® < _ ^ I l^Vcoitù,} solution :dc-=l di= /', A > B >;C. A = 120O 1 solution : de = l,di = V I l 1 solution :(«. = /, B > C. A > 60« I î' = î cot «, 1 triangle isoscèle A > B = C. i V > l cot «, 1 triangle rfi = /, rfe = /' A > C. ^/x« \ 1 solution \ dt = h d'b = V r» ^ * ^ ri A<120. ( ^ = ^ 1 solution: ic = r. 4 = / *^«°»>^>^- A <6(>> 1 solution : (fo =-= /, rfj = r B "> A ^ C 1 solution: de = /', r = — / cot w, 1 triangle isoscèle : B = C > A. /' < — / cot w, 1 triangle où B > C > A. Ce tableau montre qu'il peut j avoir, suivant les cas, 0, 1, 2 ou 3 solutions. Pour calculer maintenant a', inverse de la bissectrice d'à qui est concourante avec di et d^ nous associerons les troisième, quatrième et cinquième rapports de (1), après j avoir fait A=il80>-A', w = 135« — w', e = 45« — 9'; les équations ainsi obtenues sont de la forme (5i) et (6*) quand A > C, de la forme (5*) et (6S) quand A < C. Les données k^d'^^d. sont donc — 149 — liées à dti par uoe relation du troisième degré qui peut avoir 0, 1 ou 2 racines positives quand A > C, et une au plus quand A < C, si en outre A < 60» et (A : (ft) ^ — cot w. Problème 4. Données A, ef», d'e* 11 faut associer les deuxième et sixième rapports pour avoir w par Téquation >.)/(!— a?» + artgiA)(tg«~a?)qiP(l— a?«-2a?tgiA)(l— «tg«) = 0, dans laquelle le double signe répond à A > ou < B. Le rapport (3 : y) croit toujours si A > B ; mais si A < B, il a un minimum fx' > 1. Il en résulte le tableau que voici : A > 120*, 1 solution non isoscèle A > B > C. A = 120% 1 solution isoscèle B = C = 30». A < 120», rien. 2- 1 > V. l 1 solution, d'c^ly d, = V. A > B > C ; > 120» I . \ /' == Ug «, 1 solut. isoscèle, rfi = /, d^=l, B = C ; ( P"^®'" I /'B> C. = I20», 1 solution, (ft = /, A = Z', A > B > C. / A > 90-, si / ^ /' tg w, 1 solut. où rfc= ^ d6 = Vj A > B ^ C. / l>ii'l\ 2 sol. dist., *=/, d, = r, B> A> C. 90* > A > 60» h = fx'r, l sol. double, ^ ,«/x^ f f ^ < i^'^'» rien ^ ^ W>— ^'tgw, Isolut. rf;=/, dk = l\ B> A>C; A \ AA» ; — /'tgw>/> fx7', 2 sol. distinctes, A>60» ii^^^i^- 1 sol. double, ^ < f*' ^'> rien. Pour calculer dat bissectrice concourante avec de et db, nous introdui- rons les mêmes angles auxiliaires K\od\B' que dans le problème 3, et nous obtiendrons les équations (5»), (6») quand A > B, les équations (5Â), (6'b) quand A < B ; chacune d'elles détermine suivant les cas, 0, 1 ou 2 triangles. Thborbmb I. Les discussions qui précèdent nous permettent donc de formuler un théorème général : La connaissance dun triangle oi^ on donne un ançU et une bissectrice quelconque de chacun des deux autres — 160 — angUs dépend d'une équation du troitiême degré. Entre cet angle et les longueurs de trois bissectrices quelconques concourantes^ existe une relation du troisième degré où les racines positives sont en même nombre que les racines réelles et acceptables de la précédente, si on y prend pour inconnue la bissectrice qui appartient à Vangle donné. TuBORBMB II. Relations entre Vangle A. et trois bissectrices quelconques non concourantes. Si dans chacun des quatre problèmes précédemment traités, on substitue à la bissectrice envisagée pour A celle qui lui est perpendiculaire, un a quatre questions nouvelles se rapportant chacune à un groupe de bissectrices non concourantes. Par exemple, le groupe a, /3, y du problème 1 est remplacé par le groupe a', |3, y. Il existe une relation entre ces quantités et A; on peut la découvrir par la même méthode qui a conduit à la relation (oa), en associant les deuxième, troisième et quatrième rapports de (1). Posons a ' a ' et observons que ^ = ii=,tg(iA + C) = cotg29; (7) on a donc n» _„.(,_!). ,.-p.(.-i) et éliminant alors n^p^ et y entre ces deux équations et les équations (3«), (4a), on parvient à Téquation du quatrième degré au plus en a' : / [ri*» (X. - 4wY.)* — (X, — 4r*Y,) (rX» + 4wY0]* \ (8) j-tt[2X. -4r»Y,)(r«»< + 8^>Y3)+cu*X;(X,-4ttY,)]X>=0 dans laquelle Y.=wP'-2t?N«, Y;=-2w»N«— P

, Y»=-2(tt*+4^>0N* — »w'P^ Donc, entre un angle et les longueurs de trois bissectrices non concou- ranteSf il existe une relation du quatrième degré qui a autant de racines positives que Véquation en x correspondante admet de racines réelles et acceptables. — 151 — 11. Problème proposé. Construire un triançle ABC dont on donne les longueurs des bisseetriees des angles A, B, C. Je puis maintenant aborder l'examen de la question de la façon la plus avantageuse. Soient l, V, V^ les trois longueurs données; elles peuvent se rapporter à trois bissectrices concourantes ou non ; le pro- blème se subdivise donc. 1. Premibr cas : /, /', V sont longueurs des bissectrices concourantes. Ces bissectrices, comme on Ta vu plus haut, forment quatre groupes, et, suivant celui qui est donné, les équations à résoudre sont les suivantes, dans Tordre indiqué : si r==da, V = di, l = dc (5a), (2.) ou (6.) r^a^^ ;._^.,, ; = ^.^.. \ J); (20 ou (6.), / soit (5/), (2*0 ou (60, ;//_^/ P j^ 7 ^ i (^*)' (2^ ou (60, ( soit (5/), (2c) ou (6/), r^^^^ P-.^ l^j^ \ (^0. (2rf) ou (60, I soit (56 ), (2d) ou (66 ). Comparons les éléments des équations (5a), (5*), 50 ; les polynômes X j sont les mêmes, et soumis aux mêmes calculs. Les polynômes Y'/ et Y',' ont même forme que Yi et Ys, donc (50 est identique à (5a); Y[ et Y^ ne diffèrent de Yi et Yi qu'en ce que — n'* remplace «*, donc (5*) se déduit de (5a) en changeant le signe de n* ou de /{'. Ainsi, étant données /, /', /'', il faudra résoudre l'une des équations (5a) on (5») pour connaître f et A ; puis une équation du groupe (2) ou du groupe (6) appropriée au cas où Ton est, fera connaître 0 et par consé- quant B, C. Discutons l'équation (5a). Les polynômes X, Y qu'elle renferme sont do degrés pairs en z^, donc en y faisant ^* = Z, chacun d'eux a en Z un degré égal à son indice. L'équation est donc du quatorzième degré en Z. Si on la développe, ainsi que la dérivée, par rapport kv = 1 — Z, on reconnaît qu'elle admet — 152 -- la racine double 9* = 0. Son degré s*abais8e donc au douzième. Elle a la forme (9) (1 -Z)(A, Z'« +A, Z" -h A, Z'O-1 h^'o Z« + AnZ+Ai,) = 0 et ses coefficients jouissent d*une propriété remarquable. Comme les polynômes X sont réciproques en Z, si on divise le premier membre par Z*^ et qu'on pose - «=» Z', Téquation (5«) se transforme précisément en Là (5*) où Z' a pris la place de Z ; donc i*équation (5«) et, par suite, Téquation (9), reste identique à elle-même, sauf substitution de — n'àn'. 11 en résulte oette double remarque : Les coeffleienti équidittantt des extrêmes dans les équations (5) et (9) ordonnées ne di firent que par le signe den^. 8iZ=^Zi est une racine de (5«), Z' a =- M^ racine de (5») et réciproquement. Zi En particulier» les coefficients extrêmes de (9) sont Ao = 320 (p» + 2n*)» (1 - p» — 2««) , A„ = 320 Cp» — 2n«)« (1 — p« + 2««), donc si p* dt 2n* =3 I, c'est-à-dire si 7, V, l" satisfont à la relation / V V l'équation (9) a une nouvelle racine infinie ou nulle ; et s'abaisse au onzièmedegré. Soit Z ^39 Zi une racine positive et <^ I de l'équation (9); il j correspond un angle déterminé A ; les équations du groupe (6.) (6») donnent chacune une valeur de y ou de y' qui pour être acceptable, doit être aussi positive et <[ I. Si les longueurs données /, 2', V satisfont à ces conditions, chacun des problèmes 1, 2, 3, 4 fournira des solutions correspondantes. Soit Z == Z« une racine de (9) > 1 . D'après ce qui précède, 1' = - est ii racine de (5*), positive et < 1 ; il j correspond encore un angle A, pour lequel (6*) donne une valeur de y ou y' ; si les longueurs données l^ l\ V* permettent que cette valeur soit positive et <1, les seconds cas des problèmes 2, 3, 4 fourniront aussi des solutions correspondantes. Sui- vant les différentes valeurs de 2, on pourra ainsi avoir le nombre de solutions indiqué dans ce tableau : — 153 — z n !•» Probl. 2« Probl. 3» Probl. 4« Probl. Total. Maximum. z=o 0, 1 1 1 4 0« — 2X««), X, = i»> (4À« + 1), Y, = II» [2n» - (4X« — 3) lp^\, X,==«»(4^'-l)» X* = «« (4À« - 1) (5 - 4 A«); par conséquent, (5») et (6«) deviennent respectivement (10) A«— A'A" = 0, (11) y=x==Â^'' pourvu qu*on pose A =.(4a»+ 1)» — (4À« - 1) (5 — 4À*)[— 8A»n» + 4>.«(p» + 1) - 1], A' = (4/* — 1) (5 — 4>.«) (4À» - 2) + 2 (4À« + 1) [- 8p«/* + 2 (3p« + 2) A» 4- 4n»A - 3], A" =- (4A» - 2) (4/* 4- 1) + 2 [— 8ÀV + 4 (p« + 1) X« — 1] l— 8p*A* + 2 (3p«+ 2) A» + 4n«A — 3J. — 154 — L* équation (10) est du 14* degré en A. Désignons-la par F (X) = 0 ; F (1) = 320 (p' - 2««j» (1 -f 2«> —p% F (— 1) = 320 (p> + 2»*)» (1 - 2n« — p»), donc elle admet pour racines d= 1. qui correspondent^ en effet, à la racine ^ = 0 on f = qo qui a été trouvée si 1 1 1 - db - = d: — • / /' r Du reste, Téquation (10) s'abaisse aussi au douzième degré, puisque les coefficients de A® et A sont nuls. Le coefficient de A' a pour valeur 4 (n* — p^ -\'^)i i^ 68^ ^ul lorsque (««-r^«)(a«-y«) = 0, c'est-à-dire si deux bissectrices ont même longueur ; mais nous verrons plus loin que dans ce cas particulier Téquation se décompose. Enfin le coefficient de A** est 32'n*; il n'est jamais nul, aucune autre simplifica- tion de ce côté. En résumé, le problème dépend généralement d'une équa- tion du douzième degré en A ajant la forme (10). Pour chaque racine réelle positive et < 1 de cette équation, l'une des équations (11) déter- mine y et la discussion s'achève comme précédemment. Deuxième cas : l, l\ î" sont les longueurs de bissectrices non concou- rantes. On pourra faire également quatre hypothèses. Dans chacune d'elles, Z et A sont déterminées par des équations du seizième degré en général, sauf simplifications particulières. Par exemple, Téquation (8) qui donne Z en fonction de a', /3, y jouit des mêmes propriétés que (6a). Les coefficients équidistants des extrêmes y sont égaux au signe près de n*. A chacune de ses racines positives et < 1 répondent, par les équations du groupe (2) ou du groupe (6) qui correspondent au problème traité, des solutions en nombre conforme à celui du tableau de la page précédente. III. PrlBel|Miax eas parlleullers. I. Triangle ayant deux bissectrices égales. THéoRÂMB. 1* Tout triangle ayant deux bissectrices internes égales est isoicile. 2° Tout triangle ayant deux bissectrices externes égales n'est isoscèle que si ces droites sont renfermées ensemble dans le troisième angle, qui — 155 — neit pas alors T angle moyen. Mais si cet angle est l'angle mofen^ le triangle n'est plus nécessairement isoscèle, sauf le cas (^ V angle proposé est 3* Tout triangle ayant deux bissectrices, l'une interne , l'autre ewteme^ égales, n'est jamais isoscêle, sauf si Vangle correspondant à la troi- sième bissectrice est égal d 120*. Ces propositions se déduisent aisément des éqaations générales. !• Si db = dct (2.) n'a d'autre racine que x = 0, donc B = C. Alors (3«) donne n' sin'A — cos' J A sin'w = 0 ; et, par suite, 4 8in»{ B ip An sin« } B — 3 sin J B i^: 2» = 0 proTient de (5a), si on observe que sin Y B = sin i w = • l/u Bn substituant dans l'équation du troisième degré les nombres 0. ^.^. 1. +00. on a les résultats àz2n, ±n — 1, z9 l=F2n, + ^» l/2 où les signes se correspondent. La 2* équation n'a donc pas de racine 1 acceptable; la 1'* seule en a une moindre que —p^n donc |/2 ;B étant =30* quand n est :|l, A est ^60» suivant que ~ est èl. ^ db ^ 2* Si él» «= dé, (2») donne encore x = 0 et B == C. Alors (3») conduit aux équations 4 cos» î B qp 4n cos« J B — 3 cos ^ B d= 2n = 0. Si II > ^, la première seule a une racine acceptable, donnant un triangle isoscèle où A < 60*. — 156 — Si n ^|, la première a une racine acceptable, donnant un triangle isoacèle où A > Ô0«; la 2« également, avec A < 60*. Si n => |, la première donne une solution limite A == 180^, la deuxième un triangle isoscèle où A = 36», B = C = 72®. Mais (26) n*admet x = 0 pour racine que si A = 60* (triangle équi- latéral); elle n*a point de racine quand A > 60**. Elle n*en admet qu'une positive, et conduisant à un triangle non isoscèle si A < 60. 3* Si d'à = de, A < 120'^, 1 solution non isoscèle, A = 120% 1 solution isoscèle, A > 120«, rien ; si dà = d^c9 A > 120% 1 solution non isoscèle, A = 120*', 1 solution isoscèle, A < 120», rien. Ces propositions sont aisées à confirmer au mojen d'une construction géométrique dont le principe m'a été suggéré par M. De Grainville, ingénieur de la Marine. Soient BB', OC les deux bissectrices envisagées respectivement dans les angles B, C(*). Par le pied de chacune sur le côté opposé ou son prolongement, qu'on mène une parallèle à l'autre jusqu'à sa rencontre avec la bissectrice externe de l'angle A ; on obtiendra ainsi deux points B", C" . BB'B" et CC'C" sont des triangles isoscèles, et AB"BB', AC'CC sont des quadrilatères inscriptibles. Si BB' = CC sont des bissectrices de même nature, renfermées ensemble dans l'angle A ou ses suppléments, BCB'' C" est aussi quadrilatère inscriptible, ayant deux côtés opposés égaux ; ceci entraine B = G. Si BB' et ce, bissectrices externes, sont renfermées, la première dans le supplément de A, et la deuxième dans A, ce qui arrive quand B > A > C, les points B", C" sont du même côté de A et AC" ^ AB" suivant que A:^60°. Donc si BB' et CC sont égales, il en est de même de CC" et BB''; mais ceci ne peut se produire si A > 60*. Lorsque A <60*, cela peut arriver quand BC" est parallèle à CB", mais le triangle n'est pas isoscèle. Mais si A = 60», BB'B'' et CC'C" étant équilatéraux, B"C'' doit être parallèle à BC, ce qui entraine B=.C = A. Supposons enfin BB' bissectrice externe et CC bissectrice interne ; la (•) Le lecteur est prié de ftdre la figure. ou — 157 — bissectrice interne de A étant substituée dans la construction précédente à la bissectrice externe, ABB'B" et ÀGG'C" sont encore quadrilatères inscriptibles ; donc BB' = CG' entraine BB" = CC"; mais alors le quadrilatère inscriptible BCB^'G" est un trapèze isoscèle où les dia- gonales BG, B"G'' sont égales; le triangle ABG peut être quelconque, à moins que le trapèze ne devienne un carré ; ce qui a lieu si B = C = 30% A = 120O. Quand BB' est bissectrice interne, et CG' externe, on a les mêmes conclusions que ci-dessus. IL Triangle au VangU A^ÔO*". L'équation (10) admettant la racine |, on a (;,» — n}) (;,« -|- 2n» — 2)« = p» + 2«S ((3 + yY «* = [(p + yy - 2a^Y (l^' + /' - Py). Gette équation, bicarrée en a, détermine la bissectrice dm en fonction de dh et dt\ d'ailleurs L* équation (11) donne alors „ {/3 + •/)• - 2«' et, d'ailleurs, un calcul direct des rapports (1) conduit à P+y 2y-(3 * 2p— y' comme a.' -=tg2e, a la relation entre a, (3, y détermine une relation de même forme entre a'f ^f y. On trouvera les relations entre a, (3', y si dans (10) on change le signe da •'. Donc *« (j'4_y' *«" 2/-P'' ** 2fJ'— /' (^' - /)' - 2«' ^ 2^* ' (^' - /)*«♦ - 105' - •/')• - 2««]» (^'» + y" + p'y'), - 158 - avec « |/2^ /3' — / ^ 2a. III. Triangle où V angle A = 90*. À = — := étant racine de (10), on a |/2 entre n' et p^ la relation 8 (1 + n V^ - P^y — (1 + 2|>» — 2n« i/2) (i>« + 2n» i/2 — 1)> = 0, puii 3 2(l--2«'|/2 + 2p») il faut d'ailleurs que l'on ait, ,^l + j/2 1-f |/2 "~ 2i/2 4|/2 on a ainsi les relations entre a, p, j/ qui conduiront à celles entre a', |3, 7. En changeant dans ce qui précède les signes de n*, on aura les rela- tions de même forme entre a^ /3', y puis entre a' y (3', y^ IV. Triangle oô /'an^/e A = 120». Alors A = ^-— est racine de (10); la relation entre n' et p* deyient (2+3n»l/f— 3p>)«— [(2+3;>«-.3l/3n»)i/5n«+l](l+4n«|/3)==0, et 6 est déterminé par t/5 (1 + 4ii« i/â) y = ^ — ' -zr- — — » 2 (2 + 3ii« i/3 — 3;)«) ce qui exige de ces relations entre a, p, y on déduira comme plus haut celles qui se rapportent aux autres combinaisons. V. Triangle où A = 0. Dans le triangle limite où A = 0, on peut avoir deux cas : 1- B>C; alors B = 180% C = 0. J=a + c, * "2^ ' ^* = ^' "^'^rf-y ^-^^^ ^•^^^^ ^''==jir"c- 2* B = C = 90% a=0, J = c; - 159 — mais il peut aussi arriver que AB, AC étant parallèles, on ait du ?• degré. A A Soit Y l'ordonnée d'un point commun ; son abscisse X détermine A, et par y, = (à : Yi) on détermine la valeur correspondante de 9. Proposons-nous de construire ces courbes. Nous observerons d*abord qu'elles sont tangentes au point X=sO, Y = — 1, avec la droite Y ^=2»*/ — 1 pour tangente commune. La deuxième passe par les points de rencontre des asymptotes parallèles à OY dans la première, avec OA. — La courbe Y =» (A" : A) a également une asymptote paral- lèle à Oi, c'est Y = —;?«. La courbe Y = (A : A') a une asymptote oblique ayant pour équation 2n»/ et qui passe par conséquent au point de contact des deux courbes. - 160 - PrenoDS un cas particulier numérique, où;?' = 2, «' s== ^ ; A «■ 1 sera racine commune. Faisant dans les équations des substitutions numériques convenables, nous aurons les résultats consignés dans le tableau suivant : A" A — 00 2 - 1 2 1 2 -0,84 -0,28 -0,8 0 — 00 — -140 — -7 — + + 4 + • 86 -20 — 4 + + — — 4 A' — 00 — — 44 — -4 + + + 4 A" A - s — 00 + 1 foo 7 4 — 00 0 + • — — 1 A — 00 — 0 5 11 + 0 + + 0 — — 1 X 1 1 4 1 S 1 1/2 s 0,9 1 8 + • 4|/2 à" — 1 -f + + — 4 + + • A A' + + + 4 4 + + 4 + — CD + + — - 4 — — 00 A" + • 0 1 1 +• — 00 + 0 — 1 + 00 -2 A A* - 0 + 1 max. -0 +• — — 1 — 0 + 00 La courbe du 8"* degré a 7 asymptotes parallèles à Oy et ooupa 5foisOA. — La courbe dn 7"* degré a 2 asymptotes parallUea à Oy et coupe 7 fois Oh — Elles présentent la disposition du destin oi*joiiity qui accuse ici, outre la racine A =s 1, deux racines positiTes et ^ 1, 11 i/â l'une comprise entre = et » l'autre entre -;r- et 1. ^ y/2 2 — 161 - *DU MEILLEUR SYSTÈME DE NUMÉRATION ET DE POIDS ET mesures!*); par M. Tabbé E. Qblin, professeur au Co)lè(?e Saint-Quirin à Huy. Proposons-nous de rechercher quel est le meilleur système de numé- ration et de poids et mesures. Observons d'abord que la base du système de numération ne doit être ni trop petite ni trop grande ; car avec une base trop petite, il faudrait trop de chiffres pour représenter des nombres même peu élevés, et, avec une base trop grande, il faudrait des tables d'addition et de multiplica- tion trop étendues. Il importe aussi, soit au point de vue purement arithmétique, soit au point de vue de rétablissement d'un système de poids et mesures qui soit en harmonie avec le système de numération, que la base et ses puissances soient d'un fractionnement ou d'une divi- sibilité facile. On voit que les seuls nombres qui remplissent ces conditions sont 8, 10, 12, et parmi ceux-ci, 8 nous semble le meilleur, pour les raisons suivantes : i . Dans la base 8, le nombre des chiffres nécessaires pour écrire les nombres ne serait guère plus considérable que dans les bases 10 ou 12. En effet, on peut, dans la base 8, écrire, avec le même nombre de chiffres que dans la base 10, ou seulement avec un chiffre de plus, tous les nombres jusqu'à 77 777 777 777» ou 8 589 934 591,,. De même, on peut écrire, avec le même nombre de chiffres que dans la base 12, ou seulement avec un chiffre de plus, tous les nombres jusqu'à 7 777 777t ou 2 097 151 19 ou 851 767|2, et, avec un ou deux chiffres de plus, tous les nombres jusqu'à 7 777 777 777 7778 ou 549 755 831 887,o ou Sa 668 139 767,,. 9. Dans la base 8, les opérations sont notablement plus simples et partant plus sûres que dans les bâties 10 ou 12. Bq effet, le système octaval, comparé au système décimal, réduit les (^) Note extraite de la nouvelle édition, actuellement en prépapation, du Traité tTArUkméiiqMe de Tauteur. 13 - 162 — 4 tablei d'addition et de multiplication de plus de — t tandis que sjstème duodécimal les augmente de plus de moitié. S. Les puissances successives de 8 offrent» proporiionnellemnU à In valeur j plus de diviseurs que les mêmes puissances de 10 ou de 12. En effet, les puissances 8**, 10*, 12* ont, respectivement, 3» + l, «« + 2»4-l, 2»* 4-311 + 1 diviseurs. Or on a, comme on le prouve aisément, 3» _[- 1 : »t -j- 2» + 1 > 8- : 10\ 3a + 1 : 2«* -f 3» + 1 > 8* : 12- Et ces inégalités subsistent encore si Ton omet le diviseur 1, qi n*est d'aucun emploi. 4. La multiplication ou la division la plus simple et la plus rédail de toutes, celle dont le résultat s'éloigne le moins de l'objet à multiplie ou diviser, est la multiplication ou la division par 2. Or, dans le sjstèm octaval, la multiplication et la division par 2 sont extrêmement simplei En effet, la multiplication binaire successive de l'unité donne la séri de nombres l , 2, 4. 8, IG. 32, G4, 128, 256, 512, 1024, 2018, ... lesquels, dans le système octaval, s'écrivent simplement : 1,2.4.10,20,40, 100,200,400,1000,2000,4000, ... c'est^-diro chacun avec un seul des chiffres significatifs 1, 2, 4 ; et li division binaire engendre la série de fractions 111111 1 1 1 2* X* s' 16' 32' 64' 128' 256* 512"** ou '5. '25, '125, 0625, '03125. '015625, '0078125, '00300625, '001953125, . . . [«•quelles, dans le sjstème octaval, s'écrivent simplement : l l l 1 1 ^ JL J^ 1 s' 1' ÏO' 2iV 40' lOO' :-W 400' lOOO' *" ou '4, '2, 1, ^^l. '02. 'OU '004, '002, '001,— o*e«t-à«diro chacune avec un seul des chiffrer significatifs 1, 2, 4. A. La mulûplicatiou et la division binaire éunt, comme il Tient dVuv dit, la plus simple ot la plus réduite de toutes, il s'entait qna Is base 8 e«t la plus convenable pour la formation d'un qrttème régnliei - 163 - et uniforme de poids et mesures. Le système décimal n'admet pas de série régulière, non plus que le système duodécimal; car, dans le système décimal, on passe de Tunité à la moitié, de la moitié au cinquième, du cinquième au dixième; et, dans le système duodécimal, on passe de Tunité à la moitié, de la moitié au tiers, du tiers au quart, du quart au sixième, du sixième au douzième. Tous ces fractionnements offrent des disparités choquantes, et sont loin de présenter à l'esprit la clarté, Ja commodité et la perfection de la série binaire pure, dégagée de toute autre espèce de fractionnement. •. La division ternaire n'est pas naturelle, parce qu'elle est matériel- lement difficile. Aussi, si Ton emploie quelquefois le tiers, c'est plutôt pour lui appliquer la division binaire, en le partageant en sixièmes et en douzièmes, et non en neuvièmes et en vingt-septièmes. La division binaire, au contraire, est si véritablement instinctive que, dans le langage usuel, on ne nomme guère d'autres fractions que les demi>^, les quarts et les demi-quarts, et que, pour exprimer une quantité égale à un tiers, ou qui en approche, on préfère dire un bon quart. Et fi Ton jette un coup d'oeil sur les systèmes de poids et mesures anciens et modernes, autres que le système métrique, on reconnaît aisé- ment que malgré l'existence de la numération décimale, les différents peuples ont le plus généralement employé les multiples et les sous-mul- tiples binaires, souvent même sans mélange d'aucune autre sorte de division. Bien plus, dans le système métrique, créé non par la nature mais par l'art et imposé non par l'usage mais par la loi, les mesures décimales ont leur double et leur moitié. A la Bourse, même dans les pays à monnaies décimales, les transactions sur un grand nombre de fonds s'opèrent par *, \, ^, •-^, et, pareillement, le prix du change varie suivant Téchelle 2, 1,|,|,^ pour cent. Les taux usuels d'intérêt et d*e8compte varient aussi de quart en quart de franc. La série de nos monnaies d'argent, par manque de logique décimale, comprenait autre- fois la pièce de 2 r francs, moitié de celle de cinq francs, et la pièce d'un quart de franc ; la série des monnaies d*or comprenait la pièce de 40 francs. Tant il est naturel de revenir au fractionnement ou à la progression binaire en ce qui concerne les poids et mesui*es. f . Enfin, n'omettons pas d'observer que l'on pourrait également umftir sur sa doigts dans la numération octavale. On pourrait, en - 164 — effet, faire servir de compteurs les deux pouces, que la nature, d'aillears, a formés à part, et les huit autres doigts foactionaeraient comme signes des huit premiers nombres. Il semble résulter, des considérations qui précèdent, que le sjstèmc octaval serait le meilleur système de numération et de poids e1 mesures (*). SUR UN SYSTÈME DE CONIQUES par M. J. Nkubbrg. On appelle système de coniques une suite indéfinie de coniques satis- faisant à quatre conditions communes, ou telles que chacune de oei courbes est déterminée par la valeur attribuée à un même paramètre. Si fx courbes du système passent par un point donné et que v courbei touchent une droite donnée, on dit que le système a pour earactérisU' gués les nombres /x, v ou pour symbole (u, v). Dans Tétude d'un système, il y a lieu de rechercher les coniques digi- nérées. On appelle ainsi les courbes constituées soit par deux droites (distinctes ou confondues), soit par deux points (distincts ou confondus). On peut aussi, s*il y a lieu, séparer les ellipses, les hyperboles, les paraboles ; voir si le système comprend des circonférences ou des hyper- boles équilatères. Nous avons étudié récemment (voir les Wiskundige Opgavên^ 1896, question 127) le système des coniques passant par les intersections des côtés non homologues d*un triangle fixe et de l'un quelconque de ses tri- angles de KiBPBRT. La présente note s'occupe d'un autre système, qui comprend conmie cas particulier la suite des cercles de Tugkbr. t. On donne un triangle ABC et un point M de son plan. Soit AiBiCi l'un quelconque des triangles homothétiques à ABC par rapport à M. Désignons par : Xi , X2 les points de rencontre de BC avec A.Bi, AiCi ; Y., Y, y » CA > B.CB.A,; Zi, Z, > » AB > C|A,, C,B, . Ces six points appartiennent à une même conique U. (^} Lire, sur cette question, rintéressant ouvrage de M. Colbnns, Le système octaval ou la numération et les poids et mesures réformes. Paris, 1845. (B. G.) — 165 — Nous allons étudier le système (U), le rapport de similitude des trian- glea ABC, A|B|C| étant supposé yariable. Représentons par a, jS, y les coordonnées barjcentriques absolues de M par rapport au triangle de référence ABC, de sorte que a -}- 1^ + y = 1 • Les droites BiCi, CiAi, AiBi auront pour équations a P y le paramètre variable k étant égal au rapport (AM : AAi). Les points de la figure auront pour coordonnées Ai,Bi,Ci-*A — /^ — y>P»7; «>*•— 7--a>y; a»(3, k — a — j3. X„Y„Z, -..0,* — y,y; a,0,*— a; * — /3,p,0. X„y,,Z,...0,P,A-^P; A — y,0,y; «, * — «,0. Pour simplifier l'écriture nous avons multiplié les coordonnées absolues de ces points par le même facteur il. Exprimons maintenant qu'une conique représentée par Aj?' -f. AY + A"2« + 2Byz + 2B'zx + 2B"a:y = 0 passe par les points Xi, Xa. Les équations des droites AXi, AXi étant nous derons aroir AY + A"^' + 2Byz = p (y - — ^ «) (« - ^^ y) . où p est un facteur de proportionnalité. Nous prendrons P 7 py Il résulte de là que les six points Xi, X}, Yi, Yt, Zi, Zf sont situés sur une mémo conique ayant pour équation (*) osi(i_î)«.H-::[(i-|)(i-i)+i],,-o. ,.) Gomme k entre au second degré, on a u = 2. (^) Noas désignons par une même lettre le premier membre d*une équation et le lien de Téqnation. — 166 — Remarquons que U^*.]sg-*2?2«+v.^. (2) V = Vl^-(kï.l-lx)lx. (3) •. Le groupe des points Xi, X«, Yi, Yt, Zi, Zt est susceptible d'une autre définition. En effet, soit A}B}Ct le triangle formé par les droites Ys Zi, Z« Xi, Xs Yi suffisamment prolongées, et soit M« M» M« le trian- gle ajant pour côtés les polaires de M par rapport aux angles BAC, CBA., ACB; les sommets Ma, M», M« sont situés respectivement sur MA, MB, MC. Les quadrilatères A.YtAZ.» BiZaBXi, CiX>CYi étant des parallélogrammes, les droites YtZi, ZsXi, XtYi sont parallèles à MftM«, M«Ma, M«M* et divisent les droites MA, MB, MG dans le même rapport; donc les triangles MaM»M«, AiBsCs sont homothéêiques par rapport à M. Au mojen des coordonnées des points X|, Xt, ..., on trouve facilement les équations des droites BtC], CsAs, AsBj et de Taxe d'bomologie des triangles ABC, AtBiCs : — a? H — ^yH -z = o, flî— yH ^z = o, 9 y a y a p X p y La dernière peut s'écrire on voit que Taxe d'bomologie est parallèle à la polaire trilinéaire de M. S. Pour abréger l'écriture, posons V = 2|?> P=2?, I = 2a?; (3/ a l'équation de U prend la forme U = V**- PU+ 1«=.0. (4) A la valeur A = 0 correspond la droite de l'inflni (I ^^ 0) comptée doublement. L'bjpotbèse k = donne V = 0; le triangle A|B|Ci est maintenant confondu avec ABC ; mais comme le triangle AiBsCt reste déterminé et coïncide avec M«M»Me, la conique (J devient tangente aux — 167 — côtés du triangle MaNf»Me en A, B, C. Nous désignerons par V cette position particulière de U. Toutes Us coniquss du système (U) sont homothétiques. En effet, elles passent par deux points fixes à Tinfini qui sont déterminés par les équa- tions V = 0, I = 0. Une conique quelconque U et la conique V ont pour sécantes com- munes la droite de Tinfini et Taxe d'homologie (ilP — 1=0) des triangles ABC, AtB}Ct. Deux courbes du système (U) qui correspondent à des valeurs de k égales et de signes contraires, ont pour sécante commune Taxe d'homo- logie (P = 0) des triangles ABC, M.M6Mc. Si Ton fait passer les côtés du triangle AiB|Ci par M, on a k = \^ et réquation de U devient V — PI + P = 0. Le cas où les côtés du triangle AtBtCs passent par M mérite une attention particulière. Le triangle AiBiCi est alors symétrique de ABC par rapport à M; nous désignerons cette position par AoBqCo et la coni* que correspondante par Uo. M est le centre de Uo. On a il = ^ et réqustion de Uo est V_ 2PH-41» = 0. Par tout point N {x, y, t) du plan ABC il passe deux coniques U. Ces courbes se réduisent à une seule lorsque Téquation U =» 0 admet deux valeurs égales de I. Le lieu des points N où cette circonstance se pro- duit, est, abstraction faite des points à Tinfini communs à toutes les coniques U, la courbe du second ordre représentée par P» — 4V = 0, ou 2^— 22|? = 0. Cette ligne touche les côtés de ABC en leurs points de rencontre avec AM, BM, CM. Elle est doublement tangente à chacune des courbes U, la corde de contact (AP — 21 = 0) ayant une direction fixe; car on peut écrire 4U = (4V — P«) k^ 4- (PA — 2I)«. La conique P' — 4V = 0 est Venveloppe des courbes U. 4. Toutes les coniques U étant homothétiques, leur genre dépend - 168 - uniquement de la position de M, et il suffit de déterminer celui de Y, ou de chercher dans quel cas les intersections des lignes V et I sont réelles ou imaginaires. En éliminant z entre les équations V = 0, 1 «> 0, on obtient Le genre dépend donc du signe de la quantité E^(a-j-(3 — y)« — 4a;3 = 2;a« — 2%. L*équation E = 0 exprime que le point M appartient à Tellipse de STBiNBRde ABC (qui touche les côtés de A.BC en leurs milieux); les inégalités E ]> 0, E <;[ 0 expriment respectivement que M est extérieur ou intérieur à cette ellipse. Donc les courbes U sont des paraboles, des hyperboles ou des ellipses suivant que le point M est sur Tellipse de Stbinbr, extérieur ou intérieur à cette ellipse. Les coniques U sont des circonférences lorsque V est la circonférence circonscrite au triangle ABC ; Nf est alors le point de Lbmoinb de ce triangle, et Ton obtient le système des cercles de Tucebr. Pour avoir des hyperboles équilatères il suffit que V passe par Tortho- centre H de ABC. Cette condition donne a cot A + /5 cot ^-\-y cos C ^ 0 ; donc M doit se trouver sur la polaire trilinéaire de H (*). A. Le centre de U vérifie les équations àx ày dz ^ qu'on ramène facilement à en supposant Lt;ss 1. Egalons les quantités (5) à une inconnue auxi- liaire m : nous aurons y z ma -fl z X »t,3 + l x y my -f 1 De là on déduit G+D""i^K7+0-|==K«+^)~r ^'^ (7) (♦; Coraparor SUmer^ Œuvres complètes, t. Il, p. 432. - 169 — puis en faisant la somme x -\-y -\-z=: i : mloi (— a + h -f y) + 1 = n. (8) Tirons de (8) la valeur de m pour la substituer dans les formules (7); en posant on obtient pour les coordonnées absolues du centre de U : Les égalités (9) donnent, pour ^ = J, le centre M de U, ; rhjpothèse k = :o correspond à la conique Y, quia pour centre le point (ai , ^i, yi). La forme des coordonnées montre que le centre de U et les points Al, Bi, Cl décrivent des ponctuelles semblables. On trouve immédiatement Téquation du lieu du centre en éliminant m et il entre les relations (6). L*équation ainsi obtenue se ramène facilement à y. 1 1 y OL P 1 X y a ,^ 7 1 X a a* y P /5' z y ■/' = 0 (10) si Ton retranche de la première colonne la troisième multipliée par S -• Le lieu est donc une droite m joignant M au point (a*, (3*, y*), qui Si est le centre de la conique défini par la valeur il = a- + P' + y*. Il est intéressant d*étudier la transformation (M, m). Par exemple, si la droite m tourne autour d*un point &i.g (x, y. r), le point M (a, |3, y) parcourt la cubique représentée par réquation(lO). Si le point M par- court une droite donnée (9|, Vs, f s)> la droite m («i, «2. «1) enveloppe une - 170 — coarbe dont l'équation résulte de rélimination de a»|3, 7 entre les égalités t?iai + ti(3 + uy = 0, Uxa -{- «tP + Uiy = 0, Uto} + «t(3* + Hiy» = 0. •• Pour trouver les coniques dégénérées, nous exprimons que les points Xi, Yi, Zi sont sur une même droite fX| ; les points Xt, YfyZs seront nécessairement sur une seconde droite fxs. On obtient, au mojen des coordonnées de Xi» Yi, Zi, la condition Une yaleur de k est nulle, elle se rapporte à la droite de Tinfini. Deux autres, racines de Téquation l«-.(a + (3-hy)A + ap + (3y + ya=0, (11) ont pour expression ;i = Jdr i|/a' + ^« + y« — 2/3y- 2ya — 2aj3. Elles sont imaginaires quand M est intérieur à l'ellipse de Steiner. Elles se réduisent à une seule il = ^ si M est sur cette ellipse; comme la courbe U est alors du genre parabole, nous pouvons énoncer le théorème suivant, déjà signalé par Sieinev {Œuvres compléta ^i.ll^ p. 432) et retrouvé par M. Lemoine (C on trouve "' +_•!!_ + -•-!_ = 2. ou •^ + »' + ÎL'==3. «I — Ut Ui — Ui tts — tt| Vj «3 Ui Telle est l'équation de l'enveloppe de pi. Cette courbe est de la — 171 — troisième classe et du quatrième ordre. On trouve de même, pour TenTe- loppe de fit, •' +_^^ + _^îî 2, ou ?i+îiî + «' = 3. Ui—Ui ' Ui — Ui • «1 — Ut Us ' Ut ' Ui Cherchons encore l'enveloppe de la parallèle éqoidistante de fXi etfxi. Si cette droite a pour coordonnées t»i, «t, t»i, on trouve, en la faisant passer par les milieux des segments XiXs, YiYt, ZiZf : Ui+Ut tf I + «» o <*J + •*« 7— « = 37;: — IT' a — (3 = 2 («I - «>) La somme de ces égalités donne l'équation cherchée, Ut—Ui ' Kl — »s V| — «I \U2 * Vi/ f . Supposons maintenant le point M extérieur à l'ellipse de Steiner. L'équation (11) donne deux valeurs réelles A = i + l/E, *' = Î-|/E; soient A,B,Gf, A,'B,'C/ les triangles correspondants, et fji,, fx,, Uf, fx,' les droites correspondantes XiY|Zi, XtYaZi. Comme les systèmes de droites u,u,, fx^yt^ représentent deux coniques homothétiques, fx^ et yi^ sont parallèles ainsi que fi^ etf/,'. La relation k-{'k' = l se traduit par l'égalité l J_ 12 ÂA, »"aa;""âm""aa/ donc les points A, , A/ sont conjugués harmoniques par rapport à A, A, • Écrivons l'équation (11) ainsi : (*«-*)(a + l3 + y)' + a,3 + ^y + ya = 0; elle exprime que le point M se meut sur une ellipse concentrique et homothétique à l'ellipse de Steiner, lorsque les triangles AiBiCi qui donnent lieu à des coniques dégénérées conservent la même grandeur. On a donc le théorème suivant : A toui point M il correspond deux triangles A^ B^C^ , ^i'B|C,' quisont k$wu>ikétiques à ABC par rapport à M et triplement homologiques à ce — 172 — tfiançle. Lorsque M décril une ellipse E' concentrique et homothéiique â V ellipse de Sleiner, les triangles A^B^C, , A/B^'C/ #^ déplacent sansehaih ger de grandeur^ et leurs sommets se meuvent sur des ellipses homotM- tiques à V ellipse £' par rapport à k^BouG. Nous rencontrons encore ici plusieurs transformations qui présentent un certain intérêt, telles que : (M, fxj, (M, ^,), {p.^y fx,), (fXp fx/), etc. Pour ne pas nous écarter trop de notre sujet nous ne nous j arrêterons pas. On trouve aussi les coniques dégénérées en cherchant les valeurs de k qui annulent le discriminant de la forme quadratique U. H. Cherchons maintenant Téquation tangentielle de U. L'équation en coordonnées ponctuelles est avec les valeurs A = l--, A' = 1-.J, A" = l--, ex. p y 2B = A'A" + 1, 2B' = A"A + ) . 2B" = AA' + 1. On en déduit Téquation tangentielle v(A'A" — h^Yu\ + 2:S;(B'B" - AB)w2tt, = 0, où 4 (A'A" - B«) (A'A" - 1)' ^ _^^ (A _ |3 - y)», 4(B'B" — AS) = AA'A"(A — 2) + A(A' -h A" — 2) + 1 Nous l'écrivons ainsi U' - 2a»(* — (3 — yyu\ — 21^/[V - A((3 + y) + y} - a»]lJ,«, « 0. Par conséquent, le symbole du système (U) est (2, 2). En faisant il = oo on trouve l'équation tangentielle de V. L'hypothèie k=iO mérite un examen particulier. Si l'on fait atti=3t>i, P», =t?i, yU%^=^Vii l'équation prend la forme -0 + yY< — 22(y} - a«)r,ri = 0. Résolvons-la par rapport à V\ ; il vient R = [(y, ^ f)T, + (r - r5«)r,]* - (f + yY[{y + ayv\ + (a + {i)H\ — 2(yî — a')t>,t?i]. — 173 — En observant que on trouve R = — 4r\y'v\ — 4r)^Hl + SrifiyVrVt, Par conséquent» dans le cas considéré, l*équation U' = 0 se ramène à ou à a(|3 + y)««,4-jSa/-/)it7)»«, + 7a/ — -/iqppj'f.^O. (12) Elle représente deux points J, J' situés à l'infini et ajant pour coordonnées L'équation y) = 0 représente l'ellipse minimum circonscrite à ABC. Lorsque M est extérieur à cette courbe, on a y) < 0 et les points J, J' sont réels et distincts; ils définissent deux directions d, ^^ En général, il existe deux coniques U qui touchent une même droite donnée; lorsque celle-ci est parallèle à d ou d', il n'existe plus qu'une conique pro- prement dite qui la touche, Tautre conique étant remplacée par la droite de l'infini (comptée deux fois); car si «i, «i, «i vérifient l'égalité (12), l'équation U' = 0 admet une racine nulle et une racine différente de zéro. Les points J, J' coïncident lorsque M est situé sur l'ellipse Y}. La conique U touche le côté BC (au point de rencontre avec AM) si le coefficient de u] est nul dans l'équation U' =» 0, ce qui exige On obtient l'enveloppe des courbes de notre système en égalant à zéro le discriminant de U' par rapport à k ; l'équation à laquelle on parvient se décompose en deux facteurs dont l'un correspond aux points fixes à l'infini qui appartiennent à toutes les courbes du système; l'autre correspond à l'enveloppe propi*ement dite que nous avons déjà obtenue ci-dessus. - 174 - BIBLIOGRAPHIE. The Eléments of Algebra with numeroas Exercises for vira Toee and writing work, by J. A. Me Lrllan, M. A. LL. D , director of Normal Scbool and Institute of Ontario. Toronto, Canada Pablishin^ Company (limited)(8S8 p. in-lS). Cartonné. Leiionl di calcolo infinitésimale dettate da B. Pascal, Professcre nella R. Unirersità di Paria. Parte I. Calcole differenziale (In-18 de IX-316 p. arec lOflgares). Parte II. Calcolo intégrale (In 18 de VI-318 p. arec 15 flg.). Milano, Hoepli, 18d5. Prix : 6 francs. Très bon rétamé d'analyse infinitésimale, où les questions de principe surtout sont traitées arec soin et que nous signalons particulièrement aux professeurs de mathématiques spéciales. SoiiMAiEB : I. 1. Fonctions réelles d'une rariable réelle. 2. Dérifée. S. Dére- loppement en série des fonctions. 4. Maxima et minima. 5. Formes indétermi- nées. Déterminants fonctionnels et wronskiens. 6. Applications géométriques. II. ). Intégrales définies et indéfinies. 2 Conditions d'intégrabilité. 3. Calcul des intégrales indéfinies et définies. 4. Intégrales multiples. 5. Intégration des différentielles totales. 6. Applications géométriques. 7. Équations différentielles. (P. M.). Cnrso de Analyse infinitésimal por F. Qomes Teiieira, Director et Professer na Academia Polytecbnica do Porto, etc. Calcule différenciai. 3* Bdiçào. Porto, Typographie occidental; 1886 (In-8<* de 383 pages). Le Cours du sarant professeur de Porto a été récemment couronné par TAcadémie royale des sciences de Lisbonne. Comme nous Tavons dit antérieure* ment, cet ouvrage est Tun des quatre ou cinq manuels d'analyse inflnitéeimale (ceux de Jordan, Lipsohitx, Peano) les plus remarquables publiés depuis nne vingtaine d^années. Son MAiRK : Introduction, 1 . Nombres irrationnels, négatifs, imaginaires (70 pages). 8. L^s fonctions élémentaires (51 pages). CaUut difénntUU 1. Infiniment petits, dérivées. 2. Dérirées du premier ordre. S. Applications géométriques. 4. DériTéea d*ordre quelconque. 5-0. Formule de Taylor, applications analytiques et géomé- triques. 7. Fonctions définies par des séries ; singulnrités des fonctions. 8. Fonc- tions d'une variable imaginaire. (P. 11.) Elemenii di Ariimetioa ad uso del ginnasio superiore, délie scaole normali edegl* Istituti tecnici \yw A Faikopkr, Professore nel Uoeo Marco Foscarini; U« editione. Venetia, Tipografla Bmiliana, 1805 (In-18* de 818 pagee). Prix : fr. V,50. Elément! di Algebra ad uso degl' Istituti tecnici e dei Ueei per A.V.^ete.; U« editione (lQ-8«de 400 pages). Prix : S ft*. Slementi di Oeomeiria, etc.; 10* ediiione (550 page(, in-lS»). Prix : 4 franos. - 175 — Elementi di Geomatria, ad uso dei Licei, etc.; 4« edizione (393 p.» in-12<>). Prix : 3 francs. Mathe$is a rendu compte autrefois des excellents manuels d*arithmétiqae, d*algèbre et de géométrie de M. Faifofer. Nous les signalons de nouveau à l'attention de nos lecteurs, particulièrement la géométrie dont le dernier ouvrage est un extrait à l'usage des lycées. Depuis douze ans, M. Faifopkr n*a cessé d'apporter des améliorations de détail à toutes les pages de ses Éléments de Géométrie, de manière à les rendre de plus en plus méritoires au point de vue scientifique et pédagogique. Parmi les chapitres de la dixième édition sur lesquels il convient d'appeler Tattention des lecteurs compétents, il faut citer les suivants : (8) Polygones équivalents, Uauteur, qui a eu le grand mérite de faire connaître autrefois au public savant les diflScultés que présente la théorie de Téquivalence, Ta traitée ici avec simplicité et rigueur, croyons nous. (9) Théorie des proportions, euclidienne pour le fond, mais avec tous les développements nécessaires pour qu'elle soit accessible aux commençants. (12) Théorie générale det figures semblables ^exposée d*une manière originale comme un cas particulier d*une correspondance ponctuelle univoque où les angles des segmenta correspondants son( égaux. (\4) Cydométrie. Ce si^et difficile est traité avec une rigueur toute moderne, pour le fond et la forme. (P. M.) Coara de Géométrie analytique à Tusage des Élèves de la classe de Mathé- matiques spéciales et des candidats aux Écoles du Gouvernement; par B. Nibwbn- QL0W8KI, docteur es sciences, inspecteur de Tacadémie de Paris. Tome 111. Géométrie dans l'espace, avec une note sur les transformations en géométrie, par Émilb Bobbl, maître de conférences à la faculté des sciences de Lille. Paris, Ganthier-Villars et Fils, 1898. Un vol., grand in-8» de 572 pages* Prix : 12 francs. Noos avons d^à rendu compte des tomes 1 et II de cet important ouvrage. (Voir Maihesis, (fi) V, p. 89). Pour que le lecteur puisse apprécier la marche suivie par Tauteur et la richesse des matériaux réunis dans ce volume, nous reproduisons les titres des chapitres, en signalant par ci et par là des questions spéciales. I. Coordonnées (Interprétation des équations ; distance de deux points et angle de deux directions, en coordonnées rectangulaires ou obliques; coordonnées polaires, sphériques, cylindriques). II. Transformation des coordonnées.lll. Plan et ligne droite (Les problèmes sur les distances et les angles sont traités pour des axes quelconques. Coordonnées d*une droite. Rapport anharmonique). IV. Points, droites et plans imaginaires. V. Sphère (Équation en cordonnées obliques. Cercle de l'infini; plan isotrope. Inversion). VI. Courbes gauches : tangente, plan oseolatear, courbures. VII. Plans tangents (Équation du plan tangent en coor- données homogènes. Exprimer qu*un plan ou une droite touchent une quadrique. Plan tangent à une surface définie à l'aide de deux paramètres). VUI. Lieux féométriques. — Génération des surfaces ou des lignes (Cylindres, cônes, etc. de translation). IX. Notions sur les surfaces réglées (SU>iat central, — 176 - ligne de striction, paramètre de distribution). X, Bnyeloppes. XI. NotionB iiir les systèmes de droites. — Complexes, con^uences. XII. Figures homothétiques. XIII. Classification des quadriques rapportées à des coordonnées ponctaelles (Classification par les directions asymptotiques, par la décomposition du premier membre de Téquation en carrés). XIV. Théorie du centre. XY. Plans diamétraux. — Diamètres. XVI. Plans principaux. — Cordes principales. — Axes. Equation en S. (Discussion de Téquation en S par les méthodes de MM. Kronecker et Walecki, de Cauchy, de Jacobi. Équations des axes). XVII. Réduction de Téquatloo du second degré, les axes étant rectangulaires (Par la transformation des coordonnées ou par l'usage des invariants). XVII! . Pôles et plans polaires. XIX. Polaires réciproques (Polaire d'une surface quelconque, d'une surface développable, d'une courbe). XX. Propriétés des diamètres conjut^ués dans les quadriques à centre. XXI. Cônes du second ordre (Cônes supplémentaires. Cône équilatère). XXIL Plans tangents (formes réduites). — Sphère de Monge. — Lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à une quadrique. XXIII. Normales (Cubique des pieds des normales. Pôle normal et pôle tangentiel. Surface normopolaire. Synormale. Formules de I>)sboves). XXIV. Génératrices rectilignes (Hyperbo- loïde et paraboloïde de raccordement). XXV. Sections circulaires. XXYI. Dis* cussion d*une équation numérique du second degré (Méthode des contours apparents. Équation résolue par rapport à l'une des variables. Discussion d*une équation tangontielle du second degré). XX VII. Détermination des quadriques. (Conditions linéaires, conditions multiples. Paramètres de grandeur, paramètres de position). XXVIII Intersection de deux quadriques (Quadriques bitangentes, inscrites, circonscrites, ayant une droite commune, ayant deux génératrices rectilignes communes. Faisceau ponctuel ou tangentiel. XXIX* Focales. — Quadriques homofocales. XXX. Éléments d'une section plane d*une quadrique (Axes et foyers de la section). XXXI. Application des imaginaires à la géométrie analytique à trois dimousious (Notions très sommaires sur les quaternions). Additions. — Conditions pour que six points d*un plan soient sur une conique ou dix points sur une quadrique. Nouvelle démonstration du théorème de PascaL Sur la définition de l'angle de doux demi-droites. Homologie; Tétraèdres homo» logiques. Une application de la théorie des génératrices rectilignes (8ur£sce de Steiner). Étude de la cubique lieu des foyers des coniques inscrites à un quadri- latère, emploi des coordonnées symétriques. La note qui termine le volume (pp. 481-558), est fort intéressante et instructive; elle reproduit (avec quelques modifications) des conférences faites par M. Borel, pendant Thiver 1894-95, à la faculté des sciences de Lille. Voici en quels termes Tauteur expose le but qu'il a poursuivi : « Galois, en montrant Timportance qu*a en algèbre la théorie des groupes de substitutions, a ouvert une voie nouvelle à la science. C'est un géomètre norwégien déjà illustre, M. Sophus Lie, qui, en créant sa théorie dos groupes de transformations, a introduit dans le domaine de l'analyse et de la gtH)métrie l'idée de grou)>o convenablement modifiée et étendue. ■ Le but de cette note n'est {tas d'exposer les idées de M. Lie; l'importance et — 177 — rétend ae du mouTement aaqael elles ont donné naissance rendraient cette tâche trop loarde, si d^aillears c*en était ici le lieu. Notre but, bien plus modeste, est de nous en inspirer le plus possible dans une étude élémentaire des transformations les ploi simples de la géométrie ; c^est pourquoi nous avons tenu à rappeler au début de cette note les noms des deux géomètres qui ont jusqu'ici le plus contribué à mettre en éridence Tutilité de la notion de groupe ». Les trois volumes qui composent le cours de M. Niewenglowski nous paraissent représenter assez bien renseignement de la géométrie analytique tel qu'il est (kit aajoard*hai dans les grands établissements français, avec les changements importants introduits dans les vingt dernières années. (J. N.) Racveil complémentaire d'exercices sur le Calcul infinitésimal, par M. F. TisssBAND, Membre de l'Institut, etc. Deuxième édition augmentée de noQTeaox excercices sur les variables imaginaires par P. Painlbvé, Professeur- adjoint à la Faculté des Sciences de Paris. Paris, Gauthier-Villars et Fils, 1896 (In-8» de XXTII-524 pages in-S). Prix : 9 francs. La première édition du livre de M. Tisserand a paru en 1877 comme complé- ment du Recueil classique de Frenet, si justement estimé des maîtres et des élèves. Le livre de Frenet s'adressait aux candidats aux Écoles et à la Licence; celui de 11. Tisserand, à ceux qui se destinaient à la Licence ou à l'Agrégation. n était divisé en trois parties : I. Calcul différentiel (55 exercices). IL Calcul intégral (41 exercices). IIL Applications du calcul intégral à la solution de questions diverses concernant les courbes et les surfaces (70 exercices). Les programmes de la Licence et de l'Agrégation ont été élargis depuis 1877 et oontiennent notamment la Théorie des fonctions d'une variable imaginaire fondée par l'illustre Cauchy. A la prière de l'auteur, M. Painlevé a introduit dans la nouvelle édition du livre de M. Tisserand une quatrième partie relative à la théorie des fonctions (intégrales définies, résidus, périodes, inversion d'intégrales, points critiques de diverses équations différentielles; fcl exercices, près de 100 pages). En entre, M. Painlevé a ajouté 7 nouveaux exercices à la seconde partie, 13 à la troisième, tous des plus intéressants, et présentés, comme ceux de la quatrième partie « avec le talent qui caractérise le jeune et brillant professeur de la Faculté des Sciences de Paris d. SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. (Voir MathesU (2), IV, p. 176). SoUnt Al, Bi, Cl Uipieii des hauteurs d'un triangle ABC, et As, Es, Cs lis wûliius des hauteurs. 1* Lu cireonférences circonscrites aux triangles AiBtCs, AsBiCt, \i — 178 — AfBiCi passent par V orthocentre et respectivement par les ndU$M ies cotés BC, CA, AB. 2* Ces triangles sont inversement semblables à ABC, le rapport de similitude ayant pour valeur : îl/cos»B-l-co8*C— 2cosBcosCco3A = |l/2cos»B-|-2co8«C — ain'A, etc. 3* Les centres a, ,3, y des cercles circonscnts à ces iriangUi sont Us sommets d'un triangle ayant pour orthocentre le centre du cercle des nei^f points de ABC. 4** Les droites Aa, B(3, C^ concourent en un même point, çui les dirise dans le rapport 4: l et qui partage dans le rapport 2:3 la droite allant de Vorthocentre H de ABC au centre 0 de ABC. 5* Le point de Lemoine de ABC est le centre de gravité des points At» Bi, Ct chargés des wuuses a% b-, c'. (J. Neubbrg.) Solution par M. Droz Farnt. 1. Soient D, E et F lef points milieux des côtés BC, CA et AB. Les droites DCi et DBs étant respectiyement parallèles à AB et à AC sont perpendiculaires la première à CH, la seconde à BH; les points B?» Cs, A| appartiennent donc à la circonfé- rence décrite sur HD comme diamètre. 2. L*angle CfBaAi est égal à CsHAi, donc égal à B; de même l'angle BiCtAi est égal à C. Los sommets A et Ai étant séparés par BtCt, les triangles AiB:Ct et ABC sont inversement semblables. On sait que dans un quadrilatère, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des oarrés des diagonales augmentée de qaatre fois le carré do la droite qui joint los milieux de ces diagonales. Appliquons oe théi^rèmo au quadrilatère BCB|C|. Comme K,C, =ï <î oos A, B,C = acosC, etc., on a suvvossivomont .rvvVS«\-f.vs-B-fvvs«0-f n=j\sin«B-fsin»C)+4B^J, ^•^"* « «1 vN>«* A -f V vvs- lî 4- .\^-v"4- l - sin« B — sin»C 4 ' - ; l C xVs^' l^ ^Nv*" ^' -î ^ x^s- B f ^\>*' 0 — *J v\>s R vV«C sin B sin C, \ l vNN*' \ -f .w*' R *t- v^v<* V -f- l — v^ — ^^^* B — i^l — cos» G) •-. ;i :.\NN$-lî ^ xVnvvv^ -v^ x\>s^\^ — 179 — 3. a étant le milieu de HD, le triangle a|3}/ est homothétique au triangle DEF, H étant le centre d'homothétie et i/a le rapport de simi- iitade, ^ est parallèle à EF, donc à BC. Or la perpendiculaire abaissée do a sur BC divise DAi et par suite OH en parties égales. Uorthocentre de «(3y coïncide donc avec le centre O9 du cercle d*Euler de ABC. 4. D'après ce qui précède, les triangles a(3y et ABC sont en homothétie inverse. Le rapport de similitude étant i/i, les droites Aa, B^, Cy se coupent en un point qui les divise dans le rapport de 1 à 4. La transversale Aa coupe HO au point x et rencontre OD prolongée en un point ^ tel que D^ = AH = 20D ; on a donc Ha__ OD 1 aD"" ' Og^S' et en appliquant le théorème de Ménélaûs au triangle HOD coupé par la transversale xaç on trouve : 20x = 34?H. 5. Attribuons aux points A2, Bt, Cf les masses 4a*, 4b*, 4c'. La masse 4a* peui être remplacée par deux masses 2a^, 2a* placées en A,A|. La masse 2a' placée en A 1 équivaut aux masses a' -{- i' — c*y à^-^-c* — b* placées en B, C ; car les distances A|B, AiC sont propor- tionnelles aux quantités a* + c* — l*^ a* + b* — c*. En opérant de même sur les masses 4b*, 4c*, on voit que le système des masses attri- buées aux points Ai, B3, C2 a même centre de gravité que les masses 4a',4i*,4c* attribuées aux points A, B, C. Ce centre est le point de Lemoine de ABC. On peut déduire la mén^e propriété du théorème suivant : Étant donnés deux triangles quelconques ABC, A^BsCt, on peut toujours trouver trois masses nti, ms, ms telles ^ qu'étant placées soit en A, B, C» soit en \i, Bt» Cs elles aient le même centre de gravité. Ces masses sont proportionnelles aux aires des trois triangles IBsCs, ICsAg, lAsBs dont Us côtés lAs, IBs, ICs sont égaux et parallèles aux droites AA2, BBi, CC3. (Nbubero, Sur les projections et conireprojections d'un triangle fixe, p. 51). Dans la question actuelle, les droites lAs, IBi, ICs sont proportion- nelles à a^*, b'*, er* et les angles compris sont égaux à A, B, C; donc sin A sin B sin C , .. «Il : mt : Wi = — r — : : — ;- = a' : J' : c*. bc ca ab M«Dépr6i a résolu la même question; pour trouver le rapport de similitude - 180 — des triangles ABC, Â,B«C«, il calcule le diamètre DH du cercle circonscrit à AiBtCt au moyen du triangle rectangle AiHD. Autre solution par M.J. Jonesco, qui fait intervenir les ëquipoUences. Si Ton prolonge HD de DL = HD, on trouve immédiatement HL au moyen du triangle HCL dans lequel HC = 2R cos C , CL = 2R cos B, angle HCL =r A. (J. N.) Qoestlon •••. (Voir MathesU (2). IV, p. 176.) Étant donnée une parabole [9) j d'un point M ontnine les normahi MA, MB, MO qui rencontrent la courbe pour la deuxième fois en A', B%(y. On demande P le lieu des points M tels que les normales en A', B'^cy con- courent en un même point M' ; 2^ le lieu des points M' ; 3* le lieu du centre et A* Venveloppe de la circonférence circonscrite à A'B'C. (J. Oillbt.) Solution par MM. Cristescu, Barisibn et J. Jonesco. Soient y* = 2/^ réquatioQ de (P); (a, (3), (a'^') les coordonnées de M, M'; (Xi^fi)^ (a?i, JTt), {xi.yz), (a?'|,y',), (a?i, y',), (a?,, y\) les coordonnées des points A, B, C, A', B', C. Les normales en A', B', C concourant en un même point (a\ p'), on sait que y\ , y',, y', sont les racines de l'équation y»_2;,(a'-p)y-2;>«P' = 0. (1) D'autre part, l'équation de la normale AA' étant y -y, = — ^(a? — «0, si Ton y remplace x, y par les coordonnées (y\^ : 2/?), y\ de A' et X\ par (y! : 2p), on trouve on en conclut les valeurs analogues de y^ et y^. Comme yi, y 2^ yi sont les racines de y»-2;>(a-y)y- 2p»(3 = 0, (2) il est facile de calculer les fonctions symétriques yiytyt y>y*yt y>y*y* — 181 - au mojen des coefScients de (2). On trouve ainsi que ff^, /,, y^ sont aussi racines de Téquation y'-j(«-?)y'-2p(a + 2p)y + ^(2«»+^') = 0. (3) Si l'on identifie les équations (1) et (3), on trouve «-p = 0, a'-4p=^0, (5' g(|5»+2l>'). (4) Donc le lieu des points M est la droite a — p = 0, et le lieu des points M' «si la droite a' — 4y = 0. La circonférence de Joachimsthal relative aux points A\ B', C eai, comme on sait, représentée par Téquation Elle devient, si Ton tient compte de (4), (t' + if'r-bpx + ^(2p' + fi')y = 0. (5) Le centre de la circonférence A'B'C se trouve donc toujours sur la droite .-1 = 0. Le cercle A'B'C passant par le sommet de la parabole et ayant son centre sur une droite fixe passe par un second point fixe : Son enveloppe se compose donc de deux points fixes. M. Droz Farnt a résolu la même question en prenant pour point de départ l'équation du cercle A'B'C donnée par M. Barisien dans le J.M.S, 1893 ; •t en exprimant que ce cercle passe par le sommet de la parabole. Qoestlon ••4. (Voir Maihesis, (2), IV, p. 214.) Sait ABCD un quadrilatère convexe quelconque. Sur les côtés AB, DC on construit les triangles isoscèles EAB, FCD, ayant même angle à la hase ^; sur les deux autres côtés BC, DA on construit les triangles isoscèles BGG, DAH ayant même angle à la base | tt — 9; les quatre triangles ainsi construits sont dirigés à la fois vers l'extérieur ou vers — 182 « Vintérieur du quadrilatère. Démontrer : V Que les droites EF, HQ soni perpendiculaires et dans le rapport sin cp : cos cp; 2"* Qu'elles enveloppent deux paraboles lorsque 9 varie; S"* Que leur point de concours décrit une cubique, (J. Neubbro.) Solution par M. Droz Farnt. — Lemme. Soit un triangle ABC. Construisons sur les côtés AC et AB comme bases deux triangles isoscèles ACB', ABC ajant respectivement les angles 9 et { tt — 9 à la base, et dirigés à la fois vers Textérieur ou vers Tintérieur du triangle donné. On joint les sommets B' et C au milieu a du côté BC. Les droites aB' et oC' sont orthogonales et dans le rapport de sin 9 à cos 9. En effet, en représentant par ^ ety les milieux des côtés AG et AB, les deux lignes brisées B'^-^^ixei ay-^-yC ont leurs côtés respecti- vement deux à deux perpendiculaires et dans le rapport de sio 9 à cos 9 ; il en sera donc de même de leurs résultantes aB' et aC. I. Dans le quadrilatère^ représentons par a, |3, y^ d les milieux des côtés AB, BC, CD, DA et par M le milieu de la diagonale AC. D'après le lemme précédent, on a, dans le triangle MEG : angle EMG = j tt, EM : MG = sin 9 : cos 9. De même, dans le triangle FMH a : ançle FMH » ^ tt, FM : MH =» sin 9 : cos 9. Comme angle HMG = ^ ^ + ^MH =^ EMF, les triangles EMF et HMO font semblables et par conséquent : EF : HG = sin 9 : cos 9, et ces droites sont perpendiculaires. II. Comme Ea = aA.^^9, Fy =» yT>.tg(pt les points E et F décrivent sur les médiatrices Ea et Fy deux ponctuel- les semblables. EF enveloppe donc une parabole admettant comme tangentes particulières Ea, Fy et ay. Même raisonnement pour HG. III. Il s*agit do chercher le lieu des sommets des angles droits cir- conscrits à deux paraboles données P et P'. Cherchons le nombre des points du lieu qui se trouvent sur une tangente A quelconque à P. Une tangente variable quelconque ^ à P rencontre A en uo point T ; — 183 — une perpendiculaire ^' à ^ en ce point enveloppera une certaine courbe» transformée orthotangentieiie de P et qui sera dans ce cas une para- bole Q (Voir d'Ocagne, Coordonnées parallèles et axiales). Toutes les fois que t' sera tangente commune à Q et P', le point T sera on point du lieu sur A ; or les deux courbes étant cbacune de la deuxième classe, cela se présentera trois fois, abstraction faite de la tangente infinie commune qui ne répond pas à la question. Le lieu cherché est donc une cubique. !!• DiPRB2 résout la même question par le calcul et fait les remarques soivantes : 1* Les milieux des droites EF, HG se meuvent sur des droites; 2* les côtés du quadrilatère EGFH enveloppent des coniques; les milieux de ces côtés décrÎTent des hyperboles. A ces remarques on peut ajouter les suivantes : Le produit aE.jSG étant constant, « et ^ sont les points de fuite des ponctuelles projectives engendrées par E, G; donc 1® EG enveloppe une conique ayant pour centre le milieu de a/S; 2* le milieu de EG décrit une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à >B, /SG. (J.N.). Qoestlon IMtt. (Voir Mathesis, (2) IV, p. 215). Le lieu des points tels que si Von mène trois tangentes à la paratole senU-eubique kp* = x^, le cercle passant par les points de contact ait son centresur Vaxedesymétrie.est une ligne droite. — Sile cercle des points de contact a son centre sur la perpendiculaire à Vaxe menée par le point de rebroussement de la parabole semi- cubique, le lieu du point d'émission des tangentes se compose de deux droites. (E. N. Barisibn.) Solution par M. J. Gillet (Verviers). Ecrivons l'équation de la parabole sous la forme a?» — Saff^ = 0, (l) at soit s>*+P* + 2mx + 2nj/ + p = 0 (2) réqoation du cercle qui passe par les points de contact des tangentes à (1) issues do point P (a,P). La polaire de P (a,^) par rapport à (1) a pour équation : xx » — 2a^y — fly • = 0. (3) - 184 — Rendons les équations (1) et (3) homogènes par rintroduotion d'ane variable Z] on obtient /p» — Say^z = 0, ax* — 2a^z — ay* =» 0 : en éliminant z, on aura l'équation du faisceau des droites qui joignent l'origine aux points de contact des tangentes issues du point P. On trouve 3aa?»y — 2/3a?5 — Say* = 0 ; (4) les coefficients angulaires [jl de ces droites sont donc les racines de l'équation 3a|UL» — Safji + 2/3 = 0, (5) D'autre part, si l'on opère de la même manière sur les équations (1) et (2), on obtient pour équation du faisceau des droites joignant l'origine aux points d'intersection de la parabole et de la circonférence : p»« + Oam»*y ' + ÔawiP'y» + 9a«a?«y * + 9aY = 0 ; (6) d'où» pour équation aux coefficients angulaires : 9aY + ^« V* + ^«»i=^' + Ôawp* + j? = 0. (7) Pour que trois des droites (6) coïncident avec les droites (4), il faat que le premier membre de (7) soit divisible par le premier membre de (5). En commençant la division, et en annulant le reste obtenu, on a pour conditions : 3« (a + «) ^ (3 (g + 2a) ^ #» (a + a) 2a a a, En introduisant ces valeurs dans (2), on aura l'équation do cercle qui passe par les points de contact. Tout ce qui procède a été indiqué par M. E. Bourrienne dans la Be9U$ iê MaiÂéwMtiqu4S spéciales, do Niewenglowski, tome I, page 323. On aura los lieux demandés dans la question soit en posant m =3 0» soit en posant « = 0. Lorsque m -* 0, le iH^ntre du corvée est sur la perpendiculaire à Taxe de 9vmétrio, menée par lo pinnt de rebroussement ; le lieu du point P (a, ^) se compose des deux droites « --= 0, JE + a «= 0. — 185 — Si fi«=3 0, le cercle a pour centre un point de Taxe de symétrie et le point P parcourt Tune des droites (3 = 0, 2a + fl = 0. Solution peu différente par M. V. Cristbscu ; autre solution par M. J. Jonbsco. Qoestlon •••. (Voir Mathesis, (2), IV, p. 215). On considère la podaire d'une cardioïde par rapport à ion point de rebrouisemeni. Si a désigne la dislance du point de rebroussement au 3 sommet de la courte , le périmètre de cette podaire est-^naet son aire est ^ ira'. La développée de cette podaire a un périmètre équivalent à -aet 3 uns aire dont Vexpression est ^ ira*. (E. N. Barisibn.) Solution par M. Fairon (iS'^ratn^). i. Si Ton prend pour pôle le point de rebroussement, Téquation de la cardioïde est p = a cos* { (ù, Tangle a> variant de 0 à 27r. Soit a Tangle que la tangente à cette courbe au point M(p, a>) fait avec Taxe polaire ; on trouve, en appliquant la formule P' + P" ' que da = \ d(ù. Appelons ii, pi, coi Tare et les coordonnées d'un point N de la podaire, correspondant au point M de la cardioïde, et soit s Tare de cette dernière courbe. Le triangle rectangle OMN donne pi = p sin V == — ^ , û)i = a — - 1 l/p« + p'' ^ V étant Tangle que fait la tangente MT à la cardioïde avec le rajon Tecteor OM. On tire de ces égalités _ pip (p* -j- 2p'« — pp" ) pdpda pdpda dp I p^da. ù*dadfù pitfO), 18 ^ s= L . l/p'+p" * — 186 — 9. Nous aurons donc dix = p)3i.. = -^. S. Soient ai l'angle que la tangente en N à la podaire fait avec 0X| Ri le rajon de courbure de cette courbe ; on voit aisément que ai s=2a — 6); d'où dcLi cïa 2dcL d(ù = 2d(ù. Donc dsi \idtù 3 ,1 Ri = -— • = ^-^— =» 7 n cos*- ». doLi ad(ù 4* 2 L'arc de développée équivalant à la différence des rayons de coorbare menés par ses extrémités à la podaire considérée, la moitié du périmètre s*ob tiendra en donnant à o) les valeurs 0, puis tt; le périmètre total égale donc ^ 3 r ,1 f 3a 2. - d COS* - « I = -TT • 4*'l 2 L 2 4. Il résulte d*une propriété des podaires que la normale en N au milieu K de DM et détermine le triangle isoscèle ONK. Portons sur cette normale, dans le sens NK, une longueur ND = |p; la point D appartient à la développée de la podaire. Menons DP, KQ perpendicu- — 187 — I I — 16/ — laires à OX et, 0 étant rorigine, soient (x,y), (â?',y') les coordonnées rectangulaires de D et K ; soit j3 Tangle DKQ : P = - — 2w , + « = y — 2a + « = — — (2a — w) ; ^ = OQ — OP = a?' — î p sin P == J p cos « — { p sin P ; y = p' — \ p cos P = I p sin « — { p cos (3. Si pt et (ùt sont les coordonnées polaires de D, on aura p J = a?» + y» = — p« — - p« cos » = ~ cos* g w f 9 — 8 cos* g «1 ; de plus y 2 cos co — cos 2(û 2 cos « — cos 2« tgû,),=^ = --^ r^5-; «• = arctg-5-r r-^ â? 2 sin co — sin 2ci) ^2 sin « — sin 2oi) d'où ^ sin' r (ù d(ù d(ùt^\2 t '""''" , 9 — 8 cos» 4 « Donc p* icai = f a* cos* ~ « sin* { wdw = -J a» (cos* J « — cos* J w) rf». " * ' 'est ainsi d(ù |«'j^''(c08«i«-C08«|«)< 3 (*« , 3 f^'' 3a«7r ^rjra* I (1 + cos W)* d(ù ^ «' l (1 + cos «)' ito) = -— - • 32 Jo ^* Jo ^ ; (Voir Mathesis, (2), IV, p. 240). i On donné déux plans P» P' et deux droites quelconques D, D'. On profiite un point quelconque M de F en M' sur P' au moyen d'une droite rencontrant D etD'; M' est la projection gauche de M. Démontrer que ^ imus figures correspondantes tracées ainsi dans les plans P, P' restent sneors Fune la projection gauche de Vautre lorsque Vun des plans P, F' i t^nms autour de Fintersection de ces plans. (A. Transon.) ' Sôlmtian par M. Hackbn. Soient T et T' les traces sur les plans P et P d'one droite quelconque rencontrant MM'. Supposons que le plan P' . tonroa autour de Tintersection des deux plans et que les points T' et M' Tiennent Fetpactivement en T'' et M'' quand le plan P' aura pris sa — 188 — nouvelle position P". Je dis que TT" et MM" se coupent. En efbt, TM, T'M' rencontrent Tinterseotion des plans en un même point, oe point ne change pas de place dans le mouvement de P' : les droites TM, T''M" se coupent donc et MM", TT" pareillement puisqu'elles sont situées dans un même plan (le plan des droites TM, T"M''). Il en résulte que D rencontrant les projetantes, la droite joignant la trace de D sur P au point où sera venue se placer la trace de D sor P quand P' occupera la position P", rencontrera encore les droites joignant les points de la figure du plan P aux points correspondants de la figure de P' quand P' prendra la position P". La même chose peut se dire de D\ Les deux figures se déduisent donc encore Tune de Tautre, par le procédé indiqué, dans leurs nouvelles positions relatives. QoesIloB 9H9. (Voir Mathesis, (3) IV, p. 263). Ze lieu de la projection du centre d'un cercle osculateur à une parahoUt sur la droite gui joint le point d'oiculation au foyer est un$ paraboU igaU à la parabole donnée. Trouver le lieu analogue dans V ellipse. (E. N. Baribibn.) Solution par M. Déprez. Si la normale menée en un point M d*une conique rencontre Taxe focal en N, on obtient le rayon de courbure Mu en menant sur MN une perpendiculaire NP, qui rencontre le rayon vecteur en P; la perpendiculaire élevée en P sur MF passe par g». Donc P est la projection de cù sur MF. 1<* Lorsque la courbe est une parabole, les angles NMF, FNM sont égaux, de même que leurs compléments NPF, FNP ; donc NF «» PM = FP et les points M, P sont symétriques par rapport à F. Il en résulte que P décrit une courbe égale à la parabole donnée. 2* Considérons une conique à centre, par exemple une ellipse ayant pour foyers F, F'. Soit T le point où la tangente menée en M rencontra Taxe focal. La division harmonique FF'NT étant projetée sur MF en F, F, Q, M parallèlement à MT, on a (MQ =: MF') 1 1/ 1 , 1 \ ^, . wo MF.MP MP = 2\MF + MF'j' ^^^ ^^ = — T~- — 189 — Donc, 81 ToD adopte pour pôle le foyer F et pour axe polaire FF^ réqoatioii du lieu de P est _ MF (a — MF) __ b^c (a cos w — c) " a a {a — c cos w)' Ont résola la même question MM. J. Jonesco et H. Mandart. (Voir Mathesis, (2) IV, p. 280). La hase 6C d'un triangle ABC eei divisée harmoniquement aux points D, B. Étudier la variation de ÂD* -j- Ah)'. (J. Nbubbkg). Solution par M. Klompbrs. Soit 0 le milieu de BC. Lorsque D par- court le segment OB, E parcourt le segment infini de BC situé au-delà de B par rapport à C. La somme AD -f'AE =u* varie donc d*une manière continue depuis + 00 jusqu'à 2AB , qui représente un minimum. De même si l'on fiait parcourir à D le segment OC, tt' varie de +00 à 2AC qui est encore un minimum. NoTB. M. J. JoMBSCo a donné une bonne solution par les équipollences. Pour traiter la question par le calcul, désignons par h la hauteur ÂH, et par i, x, y les distances de 0 aux points H, D, E, ces distances étant •oumiaes à la règle des signes; nous aurons «» = 2»» -f-(i — a?)« + (rf — y)» = 2A« + 2rf« - 2d{x + y)+{x^+y^). On fait que xy « OB* = J a' ; donc «t = 2*»4-2i* — J a* + (« + y) (a? + y — 2rf). Pour obtenir toute la variation de tt% il suffit de faire parcourir à D le aegment'BC ou de faire variera; de — ^a k \a. Comme la valeur abtolne à^ x + y passe par un minimum pour x = y^ on voit queit* croît de 215* à l'infini pour décroître jusqu'à 2lC*. (J. N.). — 190 — '^Qoestloii 999. (Voir Mathe$i$, (2), IV, p. 280). Quatre droites a, b, c, d prises trois à trois, forment quatre triançles; on sait que les centres a, |3, y, d, des cercles circonscrits à ces triangles appartiennent à une même circonférence. Si Von donne ces centres^ on peut trouver une infinité de quadrilatères correspondants ahcd. Démontrer que les côtés de ces quadrilatères pivotent autour de quatre points fixes et que les sommets se meuvent sur des dreou' férenees égales à la circonférence a^yd. (J. Nbubbro). Solution par M^d. T. Klompbrs et Droz Farnt. Rappelons d*abord ces trois propositions connues : 1* Les circonférences circonscrites aux quatre triangles formés par les côtés a, b, c, d d*un quadrilatère complet, pris trois à trois, se coapent en un même point 0. 2® IjOs centres a, (3, y, i des quatre circonférences circonscrites à ces triangles appartiennent à une même circonférenca, passant par le point 0 commun aux quatre premières. 3* Si, d'un point de la circonférence circonscrite à un triangle, on abaisse dos perpendiculaires sur les côtés et qu'on les prolonge chacune d'une longueur égale à elle-même, les trois points ainsi obtenus sont sur une morne droite qui passe par Torthocentre du triangle. Cola posé, il est aisé de reconnaître que les sommets du quadrilatère complot aftcrf sont les symétriques du point 0 par rapport aux six droites qui joignent, doux à doux, les quatre points a, |3, y, i. Sup|H)sons quo Ton donne ces derniers sur une même circonférence et quo lo iH)int 0 so mouvo 9ur ootto courbe ; à chaque position de ce point corrt^spond un quadrilalôre complet ahcd; les sommets décriTent des oinH>ulôriMi(Vs égales à ih>11o qui est donnée et symétriques de cellend par rap|H)rt aux droites qui passent par deux des points ce, JS, y, 3. Kn vertu du l^, on peut dii^> quo les côtés du quadrilatère complet variable abcd pivotent autour do quatre points fixes» savoir^ les ortho- oeniri«s des quatre triangles formés par une disgonale et deux côtés du quadrilatère insorit ^(5^^. Ces points Axes sont les sommets d'un quadrilatère égal au quadri- latère A^'J'J. — 191 - QaesIloB PlLCn. (Voir N. C. M., t VI, p. 526). Trouver les valeurs, entières et positives , qui vérifient F équation ^5 + 2 = y ' . (Gbrono) . Solution par M. E. Fauqubmbbrgub. Mettons l'équation sons la forme a?5 = y«-2.1«. On sait que tout diviseur de y^ — 2z^ peut être représenté soit par p* — 2q*t soit par 2p* — q*, et que d'ailleurs ces deux formes se réduisent à une seule, en vertu de l'identité p'-2q'^2{p^qy^{p^2qy. Posons donc x=^p^ — 2^*, d»où a?» = Q?' + epq^y — 2 (3p'q + 2q^Y. Il faudrait identifier cette valeur de x^ avec y^ — 2, et, pour cela, que Ton eût 3p'; •■\'2q^= àzl; ce qui est impossible. Donc réquation proposée n'admet aucune racine entière positive; et il est facile de s*assurer qu*elle n'admet que — 1 comme racine entière négative. QUESTIONS D'EXAMEN. 7ëM» Les diagonales AC, BD d*un quadrilatère ABCD se coupent E ; les côtés opposés AB, CD se rencontrent en F. Démontrer que !•• triangles BAD, EBC sont dans le même rapport que les triangles PAD, PBC. A déduire de ce que BF est partagée harmoniquement par AD, BC. 7S4. D*un point M du plan d'une ellipse on mène des tangentes à cette courbe; les normales correspondantes se coupent en N. De N on mène les deux autres normales ; les tangentes correspondantes se ren- contrent en M'. Lorsque M décrit une hyperbole ajant pour asymptotes les axes de rellipse. M' parcourt une hyperbole ayant les mêmes asymptotes. • (Barisien.) — 192 — QUESTIONS PROPOSÉES. tOKU. On considère une ellipse E et un cercle 1, D*un point ^nel- conque M de S on mène à E les tangentes dont les points de contact sont P et Q. Le cercle circonscrit au triangle MPQ rencontre Tellipse en deux autres points P' et Q' : les tangentes à E en P' et Q' se rencon- trent en M'. 1^ Le lieu de M' est en général un cercle, lorsque le point M se déplace sur 2. 2* Si 2 passe par le centre de B, le lieu de M' est une ligne droite. 3® Réciproquement, si le point M au lieu de parcourir le cercle 2, décrit une droite A, le lieu de M' est un cercle passant par le centre de 0. 4** En général, le point M' est situé sur le cercle circonscrit an triangle MPQ. (E. N. Barisikn.) 1099. On considère Thjperbole équilatère ayant pour centre an point donné et bitangente à une conique donnée. Quand cette dernière tourne autour de son centime, le pôle de la corde de contact reste inva- riable. Démontrer et généraliser cette proposition. (E. Dijporcq.) ^1098. Soient : 0, 1, la, Ib, h les centres du cercle circonscrit et des cercles inscrit et exinscrits à un triangle ABC, et R, r, r«| r», n les rayons de ces cercles. Les quatrièmes tangentes communes à denx des cercles I«. U,L forment un triangle A|BiC|. Démontrer que le cercle inscrit à AiBiCi a mémo centre que le cercle circonscrit au triangle I«UI« et qu*il a pour rayon r,:=2R + r = '^±^+-?^^i^-. (J. Neubbro.) m i090. Deux cubiques placées dans le même plan se coupent en trois points A, B, C en ligne droite. Par un point arbitraire 0 on mène lea droites OA, OB, 00 qui vont couper ultérieurement les deux conrbea rcspectivomcntaux points Ai, At, A',, A^, Bi, Bt, B',, B'«, 0|, €«, C|y G^. Démontrer que lorsque 0 varie, dans le plan des deux cubiques , le triangle conjugué commun dos deux coniques AiAtBiBtCiCt» A',A,B',B,0',0', reste toujours le même. (RbtauO ReeUteatlea. P. 134» au liou de question d53, (2) IV, p. 158. lisez 938, (Q IV, p 104. — 193 — LES CERCLES DE CHASLES. Notes par M. A. Droz Fabnt. Dans les numéros de juin, juillet et novembre 1895, de Mathêiis, M. E.-N. Barisien a publié une suite do propriétés très curieuses des cercles de Chasles, ces cercles concentriques à une ellipse et ajant pour rayons respectifs (a + ^) et (a — J). Ce travail m*ajant vivement intéressé, la plupart de ces propositions m*étant inconnues, j*ai désiré reprendre une à une toutes ces belles questions. Dans cette étude de longue haleine, j'ai rencontré quelques petites erreurs, inévitables dans des développements exigeant souvent de longs et pénibles calculs, et quelques propriétés peut-être nouvelles de ces cercles si importants. C'est le résultat de mes recherches que Je me permets de soumettre aux lecteurs de Malhesis. Je tiens à remercier ici M. le Capitaine Barisien, pour la bonne grâce avec laquelle il a examiné mes diverses corrections, ainsi que pour les excellents conseils qu'il a bien voulu me donner. I. Voici les rectifications dont il a été question ci-dessus : OmsiUm 6, page 133. Au lieu de : égale à OM, lire : ^ale à MN. Question 26, page 160. Dans le n*" 1, au lieu de lire : et dans le n* 3, au lieu de lire : Question 32, page 160. Au lieu de a — > U = nab + Anab — r— i » * a-f-o U = TTflJ + 2n{a — h)\ e^eet-àpdire deux fois l'aire de 2 plus deux fois Taire de 2'. — 194 — Question 58, page 242. Au lieu de A rencontre le cercle Y, lire : A rencontre le cercle V ; et de même, au lieu de A' rencontre le cercle V, lire : A' rencontre le cercle V. Question 74, page 245. Au lieu de (J*«» + a'ff'Y, mettre (b'x' + ayy. Question 83, page 246. Remplacer la valeur de Taire par la suivante : Question 84, page 246. Remplacer la valeur de l'aire par la suivante : U = ^-4 ^dbTTO}. 2a* Question 89, j^o^e 247. Au lieu de (5a -{- lli), mettre (5a db IIS). Question 91, page 247. Remplacer la valeur de Taire par la suivante : TT ^M 71 (g gît) (9a =F 25») Qtt^^iofi 102, page 249 (Nouvelle rédaction) : Le centre de gravité de (T) décrit un cercle dont Taire est le neuvième de celle de 2'. L'orthocentre du triangle T décrit le cercle 2'. Question 109, page 249. Mettre à la place des numéros 2 et 3 : 2* |3y . a; = 2 (Aire quadrilatère OQaR). Aire pqr ab Aire«(3y"^(a+J)** Question 110, page 249. Dans le n® 2, remplacer la droite Py par la droite pq. IL Les propriétés suivantes des cercles de Chasles m*ont été communi- quées par M. E. Barisien. t. Le lieu du centre du cercle C (de Ja question 26) est Tellipse a*«* 4" * V = ~H — " • — 195 - 9. Le liea du centre du cercle y est l'ellipse a*a?* + J*y' = ~ • 4 S. La tangente en N an cercle 1 et la droite ON' se rencontrent snr la qnartique (»« _ y»)« = (a + >)« («• + y«). La tangente en N au cercle 2' et la droite ON se rencontrent sur la quartique {X* — y«)« = (a - J)« (a?» + y«). 4. La tangente en N au cercle 2 et la tangente en N' au cercle 2' se rencontrent sur la kreuzcurve Jk. La droite A, qui est aussi Taxe de la parabole W(N**58 et 86) et la droite A', axe de la parabole W\ enveloppent rhjpocjcloide à quatre rebroussements a?» + y» «== (a db >)» . •• Le milieu de la distance des sommets des paraboles W et W décrit une courbe ayant pour aire U = — - itab. 32 III. Qu'il me soit permis d'ajouter quelques remarques ou questions que j'ai rencontrées pendant mon travail. t. La question 36 admet une généralisation intéressante. Un point et ane courbe sont donnés ; on demande celle des normales de la courbe dont la distance au point donné est un maximum ou un minimum. En prenant le point donné comme origine d*un système de coordonnées orthogonales^ on trouve aisément la relation : (i+y")'+(y-«y')y" = o. Il en résulte que la normale cherchée touche la développée de la courbe au pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la normale. — 196 — 9. Il est de même facile de généraliser la question 37. Il existe hait droites qui sont tangentes à une conique A et normales à une seconde conique B. En effet, la conique A, courbe de seconde classe, et la développée de B, courbe de quatrième classe, admettent huit tangentes communes* On démontre en outre que les pieds des huit normales sont sur une courbe unicursale du 4°^* degré dont les points doubles sont le centre de B et les points à Tinfini de ses axes. Si quatre des pieds des normales sont sur un cercle, les quatre autres pieds appai*tiennent de même à un cercle . S. Trouver un point M d'une ellipse E tel, que le segment de la tangente compiis entre les axes soit un minimum ? Le point cherché est le même que celui de la question 36; ses coordonnées sont : /a' / V et la longueur minimum de la tangente est égale au rayon (a -f- V) du cercle 2. 4. L'ordonnée du point M coupe Tellipse e de la question 78 en deux points S et S' tels que : MS = MS'«=J. Jk. On considère le cercle de centre M et de rayon MN et le cercle analogue correspondant à Textrémité m du diamètre Om conjugué à OM : V Le cercle appartenant au même faisceau et passant par Torigine a son centre au milieu de Mm ; 2" Le centre de ce cercle est sur l'ellipse 3* Ce cercle enveloppe une anallagmatique du 4"^ ordre, la podaire du centre de Tellipse 4* L*origine a par rapport aux deux eerdes M et m des puissances dont la somme est nulle. — 197 — •. Appelons A la droite qui joint les projections de N sur les axes de E, et A' celle qui unit les projections de N'. A coupe les axes en a et a'. A' coupe les axes en /3 et /3'. Les droites a'|3 et ajâ' se coupent au point de Frégier de M ; â?' et y' étant les coordonnées de M, on aura pour les coordonnées de ce point : *==^.«'' y — a^^y- Le lieu de ce point est l'ellipse qui est quadruplement tangente à la développée de E ; les tangentes aux points de contact inclinées de 45® sur les axes sont circonscrites au cercle concentrique à E et de rayon \/2 (a* + i«) Cette ellipse peut être aussi considérée comme étant le lieu des points milieux des segments des normales de E compris entre les axes. 9. Si d'un point du cercle 2 (ou 2^ on mène des tangentes à Tallipee £, les normales à cette courbe aux deux points de contact se croisent sur 2' (ou 2). Si du même point on abaisse sur E les deux autres normales, la droite qui joint leurs pieds enveloppera Thypocjcloide Cette droite, d'après la proposition nouvelle 5 de M. Barisicn, est donc Taxe d'une des paraboles W ou W. Le pôle de cette droite décrit la kreuzcurve a* . h^ ^ + -=(a±i)». a?' y' — 198 - ^SOR LE MOINDRE MULTIPLE, par M. Stuyvaert, professeur à TAthénée de Gand, L*étroit6 corrélation qui existe entre la théorie du plus grand com- mun diviseur et celle du moindre multiple, dans Tarithmétique élémen- taire, fera toujours préférer les méthodes d'exposition qui permettent de traiter ces chapitres successivement ou même simultanément. Dans la plupart des traités, la théorie du moindre multiple (calculé an fonction du p. g. c. d.) repose sur la décomposition des nombres en facteurs premiers, ou bien sur le théorème : Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec Fun d*eux, divise Vautre. Comme, d'ailleurs, ce théorème conduit naturellement à diverses pro- priétés des nombres premiers, Tétude de ceux-ci se trouve intercalée entre le chapitre du p. g. c. d. et celui du moindre multiple, et ces chapitres sont ainsi éloignés Tun de Taatre, au détriment de la logique. Il ne doit certainement pas manquer de méthodes pour remédier à cet inconvénient. Voici, entre autres, une suite de propositions que ron établit aisément. I* Théorie du p. g. c. d. de deux et de plusieurs nombres, avec les propriétés habituelles, notamment : les quotients obtenus en divisant dius nombres par leur p. g, c. d, sont premiers entre eux, 2^ Tout multiple commun M de deux ou de plusieurs nombres est divi- sible par leur moindre multiple m. Car si M =3 mj' -|- r, chacun des nombres proposés devra diviser r qui est inférieur à m. 3* Un multiple commun de deux ou de plusieurs nombres sera leur matu- dre multiple si les quotients obtenus en le divisant par les nombres prth posés sont premiers entre eux. Car si M M M ^ A ^ B ^ C sont premiers entre eux et si M n*est pas le moindre multiple, le moindre multiple sera, d*après le théorème précédent, un diviseur de M, par exemple^. a On voit qu'alors Q, Q', Q" ont un diviseur commun a, ce qui est con- traire à rhjpothèse. — 199 — 4^ L€ moindre multiple de deux nombres est égal à leur produit divisé parleur p. ç. c. d. Car si D = p. g. c. d. (A, B) et si A = DQ, B = DQ', DQQ' est un multiple commun de A et de B et les quotients obtenus en divisant DQQ' respectivement par A et B, sont Q' et Q premiers entre eux. D'ailleurs AB DQQ' = _. Remarques. On voit sans peine que l'on peut, dans ces démonstra- tions, éviter la notation des fractions, celle-ci pouvant être regardée comme une pétition de principes. Pour des commençants il est moins nécessaire de rapprocher les deux théories du p. g. c. d. et du moindre multiple, car l'analogie même de ces théories peut être une cause de confusion. Si l'on a suivi l'ordre ci-dessus indiqué, on peut, dans la suite, modi- fier utilement certaines démonstrations. On aura successivement : Si deux nombres sont premiers entre eux, leur moindre multiple est leur produit. Donc, tout nombre divisible par deux autres premiers entre euXf est divisible par leur produit. Tout nombre A qui divise un produit BC et qui est premier avec B^ divise C. Car BC étant divisible par A et B premiers entre eux, est divisible par AB, donc A divise C. On aura déjà remarqué, lors de la définition de deux nombres pre- miers entre eux, que tout nombre A qui est premier avec B est premier avec les diviseurs de B (réduction à l'absurde). Tout nombre A premier atec les /acteurs B, C, .... d'un produit est premier avec ce produit. Car tout diviseur de A est premier avec B et ne peut diviser BC que s'il divise C, ce qui est impossible. L'extension à plusieurs facteurs est facile. Le moindre multiple de A, B, C, ... s'obtient en cherchant le moindre multiple de A et B, puis le moindre multiple du résultat trouvé et de C, et aintiie suite. Démonstration habituelle. Si plusieurs nombres A, B^ C, ... sont ^premiers entre eux deux à deux, leur moindre multiple est égal à leur produit. Car le moindre multiple de A et B est AB, qui est premier avec C, etc. Donc, tout nombre divisible par plusieurs autres premiers entreeuxdeux à deux ut divisible par leur produit , qui est leur moindre multiple. Gandy 6 novembre 1895* — 200 - ''NOTES EXTRAITES DE LA CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. (Suiiâ; voir (2), V, pages 138, 195; VI, pp. 18, 42, 112). Et. Sur un problème clatsique. Catalan, dans ses Théorimet it Problêmei (6* éd., p. 190), traite le problème suivant : Par unpinnt 0, iiMiani V angle GAB, mener une transversale MN qui forme avec cet angle un triangle M AN d'aire donnée m'. Il ramène le cas général, par deux transformations successives, à celui où Tangle CAB est droit et le point G situé sur la bissectrice. yerhulst(G. G. Q., III, p. 269) indique une solution plus facile, qu'il croit avoir déjà rencontrée, mais sans se rappeler la source. Si la parallèle à AB par G rencontre AG en I, on construit le parallélogramme AIPQ ayant l'aire donnée m* et dont les côtés AI, AQ sont dirigés suivant AG, AB. Soit S le point de rencontre de MN avec PQ ; en ôtant la partie commune au triangle AMN et au parallélogramme ALPQ, on trouve triangle GPS = OIM + NQS, (I) aussi bien lorsque S est entre G et N que lorsqu'il est en dehors de ON. Les trois triangles étant semblables, Tégalité (1) donne ÔP* = GÏ* + NQ'; elle détermine la distance NQ, que l'on portera sur AB, dans les deux sens, à partir de N. Il est facile d'adapter la solution au cas où G est extérieur à l'angle CAB. BoBiLLiBR (G. G. Q., IV, p. 2) fait connaître une solution fondée sur la théorie des coniques. Toutes les sécantes qui retranchent de l'angle CAB l'aire m* enveloppent une hyperbole ayant pour asymptotes AC et AB. La tangente au sommet de la courbe s^obtient en prenant sur AC, AB deux longueurs égales GM' et GN', telles que le triangle isoscèle GM'N' ait l'aire m». Le milieu D de M'N' est le sommet de l'hyperbole, et en prenant sur la droite AD la longueur AF sa AM', on obtient le foyer F. Le lieu des projections des foyers sur les tangentes d'une conique étant le cercle principal, un point de la sécante cherchée MN — 201 — est à rintersectioQ de la circonférence décrite sur OE comme diamètre, avec la circonférence de centre A et de rayon AD. BoBiLLiBR s'occupe aussi du problème analogue dans l'espace : Par une droite donnée, mener un plan qui retranche d*un cône du second ordre an volume donné. Pour le résoudre, il démontre que tout plM tangent à un hyperbolcïde retranche du cône asymptote un mime volume. tlk. Problême d'Algèbre. (C. Q. Q, III, pp. 124 et 136j. Voici l'énoncé de ce problème, avec une légère généralisation : Partager les nombres donnés ai, as, ... a« en deux parties telles, que r soit le rapport constant de la première partie de chaque nombre à la deuxième du nombre immédiatement suivant, et aussi le rapport de lapre* miêre partie du dernier an à la deuxième du premier. Nous allons en donner une solution plus simple que les solutions de Nerenburger et de Pagani publiées dans la C. G. Q. Appelons Xt, Xi, '•', Xn los premières parties des nombres donnés; nous aurons les n équations Xi =r{a2 — Xj), X2 = r(as — Xf)y Xn=^r{ax —Xi). Pour éliminer Xt, Xi, •",Xn^u ajoutons, membre à membre, les équa- tions précédentes après les avoir multipliées respectivement par — r, r', — r', ••••, ( — ♦')'*"*, 1 ; nous aurons rat — r*a« + r^ai »••• +( — Ij^^'r^a* ... ^""^ l + (— l)"-'r- ^^ Comme le système d'équations ne change pas quand on ajoute à tous les indices p unités, pourvu que les indices supérieurs à n soient rem- placés par le reste de leur division par n, on conclut que le même changement des indices s'applique à la formule (1). BIBLIOGRAPHIE. Exercices de Géométrie, comprenant l'exposé des Méthodes géométriques •ifiOOO qoestions résolues, par F. J. 3™« édition. Tours et Paris, Mame et Pous- mlgoe» 1896. Un vol. in-8* de XIX, 1136 pages. Prix : 12 îr, 16 — 202 — Nous postédonB actuellement plusieurs excellents recueils d*ex«Kieet àt ((éométrio (avec les solutions) : Théorèmes et Problèmes par E. rntilin ; Q>f rfléwi de Géométrie, par Desbovos; A Sequel to Euclid^ par Casey; Notion* sur Im f^to- lulion des problèmes de eonslruction^ par P. Brasseur ; Synthetiscke Beweise plë^ nimetritcher Sàtze, par Fuhrmann; Méthodes et théories pour la résolution in problèmes t par Poterson (traduction française par M. Chemin), etc.(*) Les Exercices de O'^ométrte, par F. J., nous paraissent réaliser l'idéal de ce genre d*ouvraf(os. La promiêro édition a paru en 1883 ; elle a été très favorablement appré- ciée dans les N. A. M. par M. H. Faure. L'auteur, dans les éditions 8uiTante8,a amélioré et complété son livre. La presse mathématique est unanime à proi:lamer loH précieux services que cette publication rend aux professeurs et aux élèves (Voir, par exemple, les N. A. M., 1896, p. 246; J. M. E., 1896, p. 138). L'ouvraiife est divisé en trois parties : Méthodes 'p. 1-SOOj, Exercices C^Ol-WI), Géométrie du triangle (998-1116). 11 est précédé d'un historique (p. VII-XUI) et terminé par des tables do référence fp. II 17-1135): Lexique géométrique. Pro- blèmes et ThéortMnos historiques, Table des notes principales, Index bibliogra- phitiuo, Index bio^^raphique. Los Méthodes comprennent sept chapitres : I. Méthodes générales (Analyse et synthôse, réduction à rabsunU*)* IL Lieux géométriques (Recherche et emploi des lieux géométriques et dos enveloppes). III, Emi)loi des figures auxilaires (Con- structions auxiliaires, tlgures symétriques, composition ou décomposition, surfaces ou volumos auxiliaires, projections ou sections). IV. Transformation des figures (Dt'pli^comont parallèle, modilioation des onlonnt'es, similitude, méthode du problème conirairi*, inversion; V. Discussion et extension (Discussion d'un problème, manièn^s diverses d'envisager un problème, méthode par extension, détl actions succossives^. VI. Méthode algébrique (Construction des formules, relations et lieux à utilis<^r, problèmes sur la tangente, nombre de solutions d*an problème, relation» numériques, problèmes d\\i>olloniu6). VIL Maxima et minima (Solution limite, emploi dos principes, variable regardée co:iime constante, emploi de ia tangente, v^^lume maximum et minimum). Les théorèmes ou pro- blèmes servant à élucider les méthodes sont très bien choisis et présentent un grand intérêt. Les JTjvrrtiV*, au Uv^mbre de 970, sont groupés d'après les huit livres de géomé- V* \ IV .: r vV m y \ e : o r vv: ; :^ '. i s : ;* en ce q ui conce r ne I a Belgi i;ue , r. ous aj o otons q oe U j u'^.ifT'S piir M. ^"îi^r.it: .,.:e la drrLièrt- e^2itio~ des Exercices de it^^mttr.î :*ir K: :>;- es: rtstt'e ;r.sc;.t xt-e: .;u'o:i.i:.t à M. Ti.e.;e d** Rxercices La crvi» .•'^-/ c.# ».";;;. Nr"; .v :î^:-.î S?a«»vup dVx:rc:ces r«=«:*.«>. O- peat coa- fidertr ^vn::: ^ >,\-: ". '.'c\vrv":.''f-* r-s .-< s*r c* naines :Ar:^fS ;fs Ittur /#*►- /'«v*»» i»ir M. :.,' : .i T'y*;!*/ . ■ ;à* ^rr^k-Zf^j e/ tif «X-vv/. j^MVrf,lft»d; J« — 203 — trie auxquels ils so rapportent, le 1^* li^re comprenant à peu près les matières des 7"»» et 8*» livres de Legendre et le 8"» traitant des courbes usuelles (Coniques et hélice). A la lin de cette partie on rencontre quelques proldèmes numériques. Nous STons lu avec un intérêt particulier la Géomt'trie du triangle. L'auteur expose sous une forme i)arfaitement appropriée les éléments d'un chapitre de la géométrie qui date à peine d'une quinzaine d'années et qui tend à prendre une place défînitiTe dans la pcience et dans l'enseignement : Coordonnées trilinéaires ou angulaires^antiparallèles, inversion iso^^onale. symédianes, points ou cercles de Lemoine, Brocard, Taylor, Tiicker, droites isoclines, système de deux ou trois dgures semblables. Mathesis es>t souvent mentionnée dans cette partie. De nombreuses notes bibliographiques ou biographiques acccmpagnent les propositions principales. (J. N.) Proceedings of the Edinbnrgh Society. Edimbourg, Williams et Norgate. Nous avons devant nous les tomes I, IX— XIII de ces mémoires. Ils renferment an grand nombre de notes se rapportant à la géométrie récente, dues à MM. Mackay, Tiicker, Davis, Pressland, Gibson, Andersen. Nous signalons parti- culièrement les monographies très complètes et bien documentées que M. Mackay a pabliées sur le triangle; elles résument dans un ordre méthodique les travaux antérieurs et contiennent aussi des recherches personnelles; les relations métriques y occupent une place importante. De la note : Properties connected with the angular àisectors of a triançU, by Mackay (vol. XIII, ]894>9o), nous extrayons les propositions suivantes, peu con- naes: Soient : Bi,Ci les projections des sont nets B, C d'un triangle ABC sur la kissectriee intérieure AU, ; li^, C« leurs projections sur la bissectrice extérieure IgAIs.* D, D,, D«, Di les points de contact de BC avec les cercles inscrit et exinscrits \ U, U' les points oU les bissectrices AI, AI, rencontrent la circonférence ABC; Ma, Ha /^ mUttu de BC et le pied de la hauteur issue de A. Cela posé : 1" Les triangles HaB|C|,HaB«Cton/ leurs côtés perpendiculaires et sont inversement semblables à ABC; leur somme est égale à ABC. 2° Les circonférences ayant j our diamètre l>Dt ou D^Ds passent respectivement par Bi, C, ot^ parB^^ C,. 3® Les cercles circonscrits étttx triangles HuBtC, HaBiCi passent par Mi et leurs diamètres sont égaux à AU', AU. 4» Les droites UD, UD,, L"D«, U'Ds rencontrent la hauteur AHa en des points X, Xt. Xi, X, tiU, que les lignes IX, I.Xt, I*Xt, I3X, sont parallèles à BC. Ces propriétés se rencontrent sous une autre forme dans la théorie des cercles de FahrmAnn(lIathesis, Xf p. 105). Remarquons encore celle-ci : La perpendiculaire ile94e en Ma sur BC rencontre les lignes AD, AD,, ADi, ADs en des points W y V,, Vf, V» tels, que MaV = r„ MaV, = r, MaV, = rs, MaVj = r„ où r, r„ rt, r, sont ks rayons des cercles 1,1,, It, U- La dernière monographie de M. Mackay est intitulée : Symmedians ofa triangle amd ikeir concomitant circles (vol. XIV, 1895-96); elle comprend 67 pages et 40 figures. On y rencontre tous les développements connus sur les symédianes, le — 204 — point de Lemoine, les cercles de Lemoine, Tucker, Taylor et Adams. Le cercle d*Adam8, peu connu, est concentrique avec le cercle inscrit I (on exinscrit I^ U, îi) et rencontre les côtés BC, CA, AB en des points D,, Di, Bt B|, Fi, Ft tels» que lae droites Dt E„ Et Fi, Ft Di se coupent au point de Gergonne; ces droites, qui font parallèles aux côtés du triangle DEF formé par les points de contact du cercle I avec BC, CA, AB, rencontrent EF, FD, DE en six points d'une antre circonférenoe (première circonférence de Lemoine du triangle DEF). (J. N.)* Elemente der hôheren Mathematik. Vorlesungen zur Vorbereitung des Studiums der Differentialrechnung, Algebra und Functionenlehre Ton Dr. Otto BisRMANN, Professor an der tcchnischen Ilocbschule in Brunn. Leipzig, Teubner, 1895 (Grand in 8» de XII-382 pages). Prix : 10 marcs. Dans un discours remarquable prononcé le 2 novembre 1895 à la séance publique de la Société des Sciences de Gœttingue, M. F. Klein a nettement caractérisé les tendances modernes des méthodes en mathématiques au moyen des termes « Arithmetisirung der Mathematik ». Leibniz, Newton et leurs successeurs du 18™* siècle faisaient intervenir partout le principe de continuité et employaient fréquemment des figures géométriques comme procédé de démonstration. Gausa et Canchy, A bel et Dirichlet ont cherché à asseoir sur des bases plus solides les hardies conquêtes de leurs devanciers. C'est surtout Weierstrass qui a donné une grande impulsion aux méthodes modernes en cherchant à établir les Térités fondamentales de l'analyse par des considérations purement arithmétiques. Dans les parties supérieures de la science, Kronecker a été aussi un représentant éminont de la méthode arithméthique. Les derniers manuels d'analyse infinitésimale présentent une physionomie bien différento de celle des ouvrages publiés au commencement de notre siècle. Ai^onrd'hui, on entre dans de grands développements sur la continuité des fonc- tions; on examine les conditions dans lesquelles une fonction est susceptible de différontiation ou d'intégration ; les séries font Tobjet d'une étude très détaillée. Pour se passer de considérations géométriques, on revient même longuement sur les incommensurable^) ot sur les opérations relatives aux diverses espèces de quantités. Ces tendances se manifestent surtout dans l'enseignement supérieur en Allemagne. Elles sont mémo poussées trop loin en ce qu'on écarte de parti pris l'intuition. Cependant* dans les cours élémentaires préparant à l'analyse supérieure on devrait s'inspirer de la marv^ho que la Science elle-même a suivie dans ses développements succesaifi; de même, dans l'instruction donnée aux fkitnxs naturalistes ou ingénieurs il importe que l'intuition ait le premier rôle. Dans les gymnases allemands, au contraire, c'est la tendance opposée qui domine. On y accentue le nMe do l'intuition, on l'exagère même parfois an détriment du développement logitiue des mathématiques. Les deux courants se côtoient sans exercer aucune influence l'un sur l'autre. Le grand géomètre allemand — 205 — maqael nous empruntons les réflexions précédentes ne veut exclure ni Tintuition ni les méthodes abstraites. Il demande d'abord que renseignement soit adapté aox élèves auxquels il s*adresse ; ensuite, que les vérités nées de l'intuition ne soient regardées comme définitivement acquises à la science que lorsqu'elles ont reçu une forme logique rigoureuse; que Texposé abstrait de rapports logiques soit vivifié par Tapplication à des éléments concrets et soit toujours rapproché des autres branches de nos connaissances. L'état de choses que nous venons d'exposer, explique et justifie la publication d*ouvT&ges dans le genre de celui que nous allons analyser rapidement. L'étodiant allemand qui passe du gymnase aux leçons sur les fonctions se trouve souvent embarrassé par des lacunes de son instruction; renseignement prend sans transition un caractère plus abstrait et fait appel à des connais- sances nouvelles ou à des notions acquises antérieurement sous une forme bien différente et moins complète. M Bibrmann reprend et complète les matières de l'ensaignement moyen, en les exposant en vue des parties transcendantes de la science. Le chapitre I intitulé « bases de V arithmétique n traite d'abord des opérations directes ou inverses sur les nombres entiers, fï*actionnaireS| négatifs, irrationnels, en insistant sur la permanence des règles d'opérations ; il passe ensuite aux puis- sances et aux logarithmes et se termine par les premières notions sur les Eéries et les produits infinis. Dans le chapitre II, l'auteur établit, diaprés Weisrstrass, la notion de la fonction d*one Tariable réelle, la proposition sur la limite supérieure ou inférieure d'un ensemble, les valeurs limites d'une fonction, la continuité; il traite aussi des formes indéterminées et des fonctions de plusieurs variables réelles. Le chapitrelllest intitulé «Arithmétique des grandeurs complexesn.il s'occupe des opérations sur les quantités de la forme a -\- fH^ de leur représentation géomé- trique, de la formule de Moivre, des séries et produits infinis composés de quantités complexes, de la définition d'une fonction d'une variable complexe. Le chapitre IV expose la théorie des équations algébriques, avec les développe- ments qu'elle reçoit d'ordinaire dans nos écoles spéciales. Dans le chapitre suivant on rencontre les propositions principales sur la convergence d'une série à une ▼mriable réelle ou complexe, et sur les opérations auxquelles on peut soumettre les séries; on y trouve aussi une démonstration du théorème que toute équation alfébriqne a au moins une racine. Enfin le chapitre VI donne les principaux développements en série {e', sin x, etc.) et revient sur la convergence des séries. La présent ouvrage a quelques parties communes (sous une forme améliorée) wne la « Théorie des fonctions algébriques » du même auteur. Noos signalons ici à nos lecteurs un autre Traité qui poursuit un but analogue et qui a une grande vogue chez nos voisins d'outre-Rhin : les Vorlesungen ueber mitfeasêine Ariikmetik^ von D' Otto Stolz. Bb France, nous devons aux tendances arithmétiques de la science : Vlnirodue- Hêm è im ikéorie des fonctions d'une variable par Julbs Tannxry» et Vlntroduction — 206 - à la théorie des nombres et à Valgèbre supérieure par B. Borbl et J« Deach, d*aprét les conférences de M. J. Tannery. (J. N.). Conrs de Géométrie descriptive et de Géométrie infinitésimale par M. D*OcAONE, ingénieur des ponts et chaussées, professeur à l*École des ponts et chaussées, répétiteur à l'École polytechnique. — Grand in-8* do xi-428 pages, avec 340 Heures. {Encyclopédie des Travaux publics, fondée par M.-C. Lachalas, inspecteur général des ponts et chaussées) ; Paris, Gauthier- Vil iars et Fils, 1806. Prix : 12 fr. << Cet Ouvrage, développement du Cours que Pauteur professe aux éièTesde Tannée i)réparatoire de PÉcolc des ponts et chaussées, comprend tous les complé- ments de géométrie descriptive et toutes les notions de géométrie infinitésimale qui peuvent être utiles à des ingénieurs. Ces deux branches de connaissances donnent lieu, dans POuvrage, à deux Parties tout à fait distinctes. La première comprend les Projections cotées, la Perspective axonométrifue, les Ombres usuelUs et la Perspective. La perspective axonométriqu'3 est envisagée ici à un point de Tue ooaTeav, comme mode de représentation plane des figures de l'espace. L'auteur en a fait une théorie complète n'empruntant rien au trait de perspective ordinaire et troavantv dans le Chapitre suivant, de curieuses applications au tracé des ombres projetées sur des plans. La seconde Partie présente un exposé à la fois élémentaire et méthodique de la Géométrie infinitésimale des Courbes planes, des Courbes gauches et des Surfâutp dans lequel, outre un«> coordination rationnelle des matières, Pauteur a apporté une large part de contribution personnelle. On y remarque un soin constant de la rigueur qui se traduit par l'évaluation précise de Pordre des infiniment petits négligés dans les formules infinitésimales et i)ar la préoccupation du signe dos éléments intervenant dans chaque question, indépen Ombres propres. 3^^ Ombres por- tées sur des plans. 4^ ou d'autres surfaces. 4. Perspective linéaire, 1<* Généralités. 2* Perspective du géométral ; tracé d'une droite joignant un point au point de ren- contre inaccessible de deux droites données. 3* Perspective de l'espace. II. QéowîéiHe infinitésimale. Préambule : rappel de définitions et de principes. [Le principe général du n* 2(8, p. 2S0 et Tapplication à la ditTérentielle compor- tent bien des exceptions si on les prend à la lettre]. 5. Courbes planes. Principes généraux. Applications : normales; enveloppes do droite; centre de courbure; cinématique. [Les enveloppes ne sont pas toujours tangentes aux enveloppées, comme le dit Tauteur p. 256, n" 251 ; mais l'exception ne se rencontre pas dans le est où les enveloppées sont des droites. — Le point limite d'intersection de deux enveloppées peut s*appeler point caractéristique , comme cela a été proposé depuis loni^emps dans JTa/A^^ù]. 6. Courbes gauches. Principes généraux; application à l'hélice 7. Surfaces en général. Plan tangent et normale. [La démonstration géo- métrique de l'existence du plan tangent, dont il est parlé en note du n<>290, p. 313, n*6st pas rigoureuse; il n'existe jusqu'à présent aucune bonne démonstration de ce genre]. Courbure. Lignes tracées sur une surface. [Ce chapitre est très complet; ■mis nous doutons fort que la géométrie pure puisse donner, comme Tanalyse, les conditions suffisantes pour l'existence de maint théorème établi ici géométrique- ment]. 8. Surfaces de nature spéciale, 1<* Enveloppes de sphères. 2* Surfaces gauches (théorie générale ; surfaces à cône directeur de révolution ; hélicoïdes divers) . 3* Sur- ftces déyeloppables (théorie générale ; surfaces développables à cône directeur de réTolntion on surCaces d'égale pente). (P. M.) SOLUTIONS DE QUKSTIONS PROPOSÉES. Çuestion 991. (Voir Mathesis (2), IV, p. 264.) SaiêtU K,B,C^l) quatre points d'une conique à centre, tels que les nomtales àUcourbe en ces points soient concourantes. Par chacun des points A, B,C,D tm mine deux droites de directions fixes mais également inclinées sur les as«f , et on détermine par rapport à ces droites la conjuguée harmonique iê la tangente au point considéré. Les droites ainsi obtenues concourent en um point P. Leurs symétriques par rapport aux ordonnées passent par un point P'. Si on change les directions considérées^ la droite PP' pivote êutour i^ un point fixe. (C. Servais.) Solmiionpar M. Buisseret. Par le centre 0 de la conique donnée (C), je mena un diamètre d parallèle à la tangente en nn point £ de la — 208 — conique. Par on point fixe P du plan de (C,) je mène une parallèle au conjugué harmonique à' de à par rapport à deux droites fixes /et/* également inclinées sur les axes. Cette parallèle rencontre en E le rayon OB. Si le point E décrit la conique (C,) je dis que le point K déci'it une conique (H). En effet, les couples (2 et i', (f et OE décrivent des involutions. Donc OE et PK décrivent deux faisceaux projectifs et le point K engendre une conique (H). Si le point E coïncide avec un sommet X de (C), les points correspondants de (H) se trouvent à Tinfini dans la direction de OX. La conique (H) est donc une hyperbole équilatère ayant ses asymptotes parallèles aux axes de la conique (C), et elle rencontre (C) en quatre points A, ^^ G, D tels, que les normales en ces points sont concourantes. Par A menons des parallèles aux droites /'et/'. D*après la construc- tion du point K, ces parallèles, la tangente en A, et la droite AP forment un faisceau harmonique ; ce qui établit la 1* partie de la question. Soit P' le point diamétralement opposé à P sur la conique (H). Les droites AP et AP' sont également inclinées sur les asymptotes, ou sur leurs parallèles, qui sont les axes de (C). AP' est symétrique de AP par rapport à Tordonnée issue de A ; P' est donc un point fixe. D'ailleurs Thyperbole (H) est déterminée par les points A, B, C, D. Donc PP' passe par un point fixe qui est le centre de la courbe (H). Solution analytique par MM. Barisien, Déprez et Droz Parut. Soient (a, |3) les coordonnées du point de concours M des normales en A, B, C, D et (Xt, yi), ... celles des points A, B, C, D. Si «i et — m sont les coefficients angulaires des directions fixes, les coefficients m', m" de deux directions conjuguées harmoniques par rapport aux précédentes sont liés par Téquation m' m^' = m* ; c'est ce qu'on voit facilement en coupant le faisceau y = mXf y = — mx, y = fn*x, y = m**x par une perpendiculaire à l'axe des x. Diaprés cela, la conjuguée harmonique a de la tangente en A par rapport à des parallèles menées par A aux directions fixes a pour équation 9 9 — 209 - On trouTe, d'ailleurs, en exprimant que la normale en  passe par M : pj'fl?! — Jta'yi + c^sfipi = 0. (1) Si Ton écrit que les coefficients de â?i, ^i, Xiffi sont proportionnels dans ces deux équations, on obtient les coordonnées d*un point P par lequel passent la droite a et les analogues (3, y, d menées par B, C, D : .8=3 s=3 — , oua? = — »y = • (l) La symétrique a' de a par rapport à Tordonnée de A a pour équation I— jfi == -, {x —Xi), ou J«a?iy — a*m*yifl? + iCiyi (a*m* + **)=û- (3) O^Xt En comparant (1) et (3) on conclut que a' et les droites analogues pas- lent par on même point P' ayant pour coordonnées : a {a^m^ — b*) ^ (a«i»« — J«) La droite PP' a donc pour équation h^c^ap + J«a«a(3 4- «n* (a«c*(3a — a^b^a^) = 0 ; IQsl que soit m, elle passe par le point ayant pour coordonnées b^a a«3 (Voir Mathesis, (S) IV, p. 280). Soim A', B', C, D' les projections éPun point M «»r Z«# cd/* AB, BC, CD, DA d'un quadrilatère donné kBCD. 1* Si V angle de deux côtés opposés du quadr angle A'B'C'D' est toutaiU, le lieu de M est une circonférence. 2* Si le rapport des longueurs de deux côtés opposés est donnée le point H décrit encore une circonférence. 3* Trouver un point M tel que le quadrangle A'B'C'D soit un parallélo- prammê ou un pseudocarré. (J. Neubbro). Sdmiion par MM. Colart (Huy), Déprbz (Charleroi) etKLOMPBRS (AiiTert). !• Les bissectrices des angles A6C| ADC se rencontrent en on - 210 — point I, les perpendiculaires abaissées de B sur A'B' et de D aor GV se coupent en un point K. On sait que les droites BK, BM, sont ^mé- triques par rapport à BI, que les droites DK, DM sont symétriques par rapport à DI. Si Tangle (A'B', CD') est constant, il en est de même de Tangle BKD, et aussi de Tangle BMD. Donc le lieu de M est une circon- férence passant par B et D. Cette conclusion a encore lieu lorsque A'B' et CD' sont parallèles. ^ MB étant le diamètre du cercle circonscrit au triangle A'BB', on a MB = (A'B' : 2 sin B) ; de même MD = {Q/Y^' : 2 sin D). Donc si le rapport A'B' : CD' est constant, il en est de même du rapport MB : MD, et le lieu de M est une circonférence. 3* Si A'B'CD' doit être un paraît élogramme» le point M appartient à chacun des lieux géométriques qui correspondent à Tune des conditions : a) Les droites A'B', CD' sont parallèles ; b) les droites B'C, A'D' sont parallèles; (?) A'B' = (y'ù* ; d) B'C = A'D'. Ces lieux, d'après ce qu'on vient de voir, sont des circonférences. Si A'B'CD' est un pseudocarré, les diagonales A'C, B'D' sont égalei et rectangulaires. Soient Ë, F les points de concours de BC avec AD, et de AB avec CD. En raisonnant comme dans les deux premières parties de la question, on trouve que langle EMF et le rapport ME : MF sont dei quantités connues, d*où deux circonférences qui déterminent le point M. Çaeslion DLIIl. (Voir N. G. M., t. VI, p. 288,) Déterminer une valeur de z, telle que^ en y joignant les valeurs t^ = 2(a + P) (391a» — 730a3 + 391(5»), X = 2057a' — 2541 a»/3 + 2787aP« — 391/3». y = 391a» — 2787a«(3 + 2541 afi^ — 2057/5», on satisfasse à Véquation r* + a?* + y* = 2z*. (S. Rbaub.) Solution par M. E. Fauquembergue. Proposons-nous de résoudre cette équation. Les nombres v^x^y^z peuvent être supposés premien entre eux et dans ce cas, Tun des trois premiers doit être pairetlei deux — 211 - antres doirent être impairs. Posons « =3 2«, 0 = a — •, f^u — ^; l'équation devient 9»» — 2 (a + p) »» + 3 (a* + P') «' — 2 («• + 13») » + ^^^i^- = «». Le premier terme étant un carré parfait, la méthode de Fermât est applicable. Faisons donc a + 3 et développons le carré de z. Les termes en vf et en »' disparaissent d^eox-mémes et pour faire disparaître les termes en f^*, il suffit de poser ^'*+(^y=^^''*+^'^ d*oà 13a» — «13 4- 13|3* »i = 27 n reste alors une équation du premier degré en «i qui donne _ 391a* + 52«8p — 678a«{5« + 52al3» + 391/3* * ~ 144 (a"+l3) (Ha* - 20aP + 17(3») (m, après la suppression du facteur a + 13> commun aux deux termes ^ la fraction, ^^a91a» — 339a«g-^339aP»+ 391(3» __ (a+P)(391a*— 730a.Q+391(3«) 144 (17a« — 20ap + 17/3«) "" ~~144 (17a' — 20aP + 17^*) On trouve ensuite __ _ _ 2057ag — 254la»l3 + 2787a)S« — 391^» ^ g _ 391a' — 2787a»(3 + 2541 a^» — 2057^» ^"■^ ^ 144 (17a« — 20a(3 + 17(3*) ' ^ _ ^^^ _ 2 (« + /3) (391a« - 730a(3 + 39l3«) "^ 144 (17a» — 20a(3 + 17p«) fil ne conservant que les numérateurs de v% x, y, pour avoir des solu- foot entières, on retrouve les formules de Realis. a -4- 6 Quant à la valeur de z, elle a pour expression Su* 5-^<* -["••• - 212 — En remplaçant « et m par leurs valeurs, puis réduisant tout en exprah sion fractionnaire, on trouve pour numérateur fj = 3 (a + /3)« (391a* — 730»^ + 391^*) (119a« — 410fle|3 + 119|S^+ 768 (13a' — aj3 + 14/3») (17a« — 20»^ + 17|3»)». Exemple. Pour a =» 1, ^ = 0, on obtient par suppression du fitofaur commun 17* Tégalité 46* + 121* + 23* = 2 X 10467*. Qae«tl«n DUT. (Voir N. C. M., t VI, p. 288). Une solution particulière de l'équation t^* + a?* + y* = 2f » étant représentée par V égalité démontrer que ron a également une solution en posant a (13^» — py + 13/) — 18 (J3» + 7») + sa (7a + 213 + 2y), P (22a« — 8ay + 13y») — 9 (2a» + y») + 35 (8a — 8/3 + y), y = 4/ — 7«(8a + /3) + y (22a» — Sa^ + 13/3*) — 9 (2a» + ^») + 35 (8a + P — 8y), et compléter cette solution, en assignant T expression de z en fonction de a, p, y, i. (S. Rbalis). Solution par M. E. Fauqubmbbrgue. Soit A* -|" ^* + ^* = 2D* une seconde solution de l'équation, et posons u s= a + A«, a? = p 4" ^^9 y = y + Cu. L*équation devient a« + 2(Aa» + Bp» + Oy»)l*4- 3 (A»a« + B»/3' + C»y») »« + 2 (A»a + B»^ + C'y) i*» + D V = fJ». Égalons le premier membre au carré de d — E» -^ Df^'; les premiers et les derniers termes disparaissent, et pour faire disparaître les termes ep ff', il suffit de prendre A»a + B»(5 + C»y — 213 — n en résulte * "" K' + 2Da — 3 ( A*a« + B»j3« + C'y») * Cette valeur de « substituée dans v, x^ y donnerait des formules générales d*où Ton déduirait une solution de Téquation proposée au BBojen de deux solutions connues de cette équation. La solution évidente A=s2, 3=»!, Ce=l, De=3 donne 8a + P + y 3[(8a + p + y)J-3(2a» + /5» + y»)] "" 3 22a» — 8«(p+y)+ 13(5»— /3y+13y«— 27a' En substituant ces valeurs dans v^ x, y et ne conservant que les ounérateurs. on obtient les formules de Realis. On a de plus « = i — Kii + Di»». Posant, pour abréger, M = 22a» — 8a(^ + y)4-13P« — Py+13y» — 27a, N = (8« + (3 + y)3-3(2a» + (5» + y»), on trouve f = aM« + (8a + P + y)MN + 27N». EzucpLB. Pour a = l, |3a=s — 1, y=:0, a = ly on a, après la oppression des facteurs communs» l'égalité 104 ^p 4. 3* =,2.71*. QUESTIONS D'EXAMEN. YftS. Soient, dans un triangle ABC, ^a» A»» K les hauteurs; !«» ^i» K \m segments AH, BH, CH (H = orthocentre); *«, h'i, V; les segments HA', HB', HC des hauteurs compris entre H et les côtés. On a les relations : ,..+4. + w(-i+i+i)-(«+»+.)(i+l+i). it 4- K+K~ 2(R+r), a (*i+ *;) +*(*;+ *i) + « (*i+ *») = 4pR, 2j;B4.iM;— Je, AJk» + *iA; + *;*;=- (Je + Ctf + aJ)-4R(R+r), - 214 — Ces égalités nous ont été communiquées par M. Dblaratb (Roye); elles né sont pas nouvelles, mais elles peuvent intéresser nos Jeunes lecteurs. Signalons encore les suivantes, communiquées par M. Cootubibb : A;^i=2R*;', AiA;=2RA;', A;*;=2RAi'. V66. Entra deux plans quelconques P, P' on mène quatre droites AA', BB', ce, DD' parallèles à une même direction d. Démontrer que les tétraèdres D'ABC» DA'B'C sont équivalents. On a D'ABC = § ABC . DD' sin (d,P). DA'B'C = J A'B'C. D'D sin (tf,P'). Si un plan P'' perpendiculaire à d coupe AA', BB', CC en A'\ B", C'% on a A"B"C" = ABC cos (P",P) = A'B'C cos (P",P'), ou A"B"C" = ABC sin {d,V) = A'B'C sin (rf, P'), etc. 75V. Construire un trapèze, connaissant la hauteur, les longneurs des bases et l'angle des diagonales. On mène par un sommet une parallèle à la diagonale non adjacente; elle forme avec la diagonale adjacente et la base opposée un triangle facile à construire. V58. En un point quelconque M d*une parabole on mène la normale qui rencontre la courbe en N et Taxe en K ; les tangentes en M et N se coupent en P. Démontrer que le lieu géométrique du milieu de PK est la tangente au sommet de la courbe. (E.-N. Barisibn.) V59. Résoudre le système La première équation se ramène à . a? + y l / 1\ / 1\ te4-l * VttO. Eliminer xety entre les équations Réponse : Vai. Résoudre le système a^ — yz = a, y* ^ zx = h^ z^ — xy = c. En ajoutant ces équations après les avoir multipliées une première fois par y, z, œ^ une seconde fois par z^ Xy y, on trouve cx-{-ay-\-bz=:iO, *j? + i(a4.j + (;)(«• 4- il + (.• _a* - *c — ctf) = 1. QUESTIONS PROPOSÉES. ^1999. Décomposer en quatre facteurs rationnels le déterminant 2 H = '+! '+ (J. Nbubero.) I08i. Par le point de rebroussement d*une cardioïde on mène deux transversales rectangulaires, et Ton considère les paraboles qui touchent œs droites et ont leur foyer sur la courbe. Démontrer que TenTeloppe deoes paraboles est une hjpocjcloide de Steiner. (Daoz-FARNT.) !•••. Par le sommet S d*uQe strophoïde droite» on mène deux lieantea rectangulaires, qui rencontrent la courbe en A, B, A% B'. Dimontrer que la circonférence circonscrite au quadrilatère ABA'B' pisse par deux points fixes. (E. N. Barisibn.) ^199S. Poor que le système admette une solution autre que â? = y «= 2; = 0, on doit avoir (a-|-J)(J + c)(c + fl)[(fl-f J)(J + c)(c+a)— 8aJc] = 0. (J.N.) t#8A. Soient M et N les pôles tangentiel et normal de la corde PQ fane ellipse donnée. On sait que le lieu des points M tels que le centre dsgrariié dn triangle MPQ soit sur l'ellipse, est une autre ellipse. — 216 — Montrer, ea outre que, si on désigne par E et D les aires de l'ellipie donnée et de sa développée ; 1* La courbe lien du point N a pour aire 2D; 2* La courbe lieu du centre du cercle circonscrit au triangle MPQ * pour aire E+— ; 3* La courbe lieu de Torthocentre du triangle MPQ a pour aire E + 2D; 4* Le lieu de Torthocentre du triangle NPQ est Tellipse donnée. (E. N. Barisibn.) iOSS. Soient PaBC, P*CÀ.| PeÂ.B trois triangles isoscèles semblables construits sur les côtés d*un triangle donné ABC. Les triangles homolo* giques ABC, PaP*Ce sont polaires réciproques par rapport à une certaine conique 2. Démontrer que lorsque Tangle P«BC varie, la courbe 2 engendre un système homofocal. (J. Nsubbro.) !•••. En un point M quelconque d*une ellipse de centre O» on mens la corde MN perpendiculaire à MO, et la corde MN' supplémentaire de la corde MN. 1* Le lieu du pôle de la corde MN est une quartique dont Taire est équivalente à celle de la podaire du centre de l'ellipse ; 2* La droite MN' est normale à une ellipse fixe. (E. N. Barisiim.) §•91. On considère deux coniques K, K' dont les axes sont dirigés suivant les mêmes droites 0^?, Oy. D'un point quelconque M de K on mène les tangentes MN, MP à K\ lieu du centre du cercle des neuf points du triangle MNP. Démontrer que, pour certaines relationi entre les axes de K et K', ce lieu coïncide avec Taxe 0». (E.-N. Barisibn). t^SS. Un observateur (0) placé à peu de distance d*un abreavoir reotiligne, horisontal, à profil rectangulaire, et plein d*eau, aper^ii l'arête intérieure (1) du fond, qui forme une ligne courbe. On propose de déterminer la nature de cette courbe, en se donnant la distance il de Tob- iervateur à la paroi de Tabreuvoir contenant Taréte (I) ; la profondeur de Teau, A ; la hauteur de Tosil au-dessus de Teau, d; Tindice de réfrao- tion de Teau, «• La question revient à chercher les. rayons issus des points M de la droite (I) qui, après la l'éfraction, passent en un point donné (0). H. Brocard. -èlt - GBNTRB DB TRANSVERSALES ANGULAIRES ÉGALES; par M. Gbobqbs Brocard, Professeur aa Lycëe da HaTre. Je me propose de chercher sMl existe dans le plan d*un triangle ABC on point F tel, que les droites AA% BB\ CC menées par F et rencon- trant les côtés opposés en A', B', C aient une même longoeor l. 1. Posons BA'^ CB' AC;_ A'C^^' B'A^^' C'B~^* Le triangle AA'B donne igtlité qui se transforme aisément en celle-ci : (P — J«) «« + 2 (Z» — Jccos A)a? + Z» — (j« = 0. (1) Par analogie (P — c»)y« + 2(Z» — ciicosB)y4-Z« — a« = 0, (2) (/« — a»)^«4-2(Z« — aicosC)«4-/« — J» = 0- (3) En outre xyz = l. (4) Ces quatre équations déterminent les quatre inconnues a, y, s, I. En négligeant les solutions particulières évidentes et sans intérêt où I serait égaie à un côté du triangle, nous pourrons représenter les équa- tions (1), (2), (3) par g^^sa+p = 0, y' — #'y+l'' = 0. «• — #"^+/'=:0. (5) Obserrons que pp'p^' = 1 • Par conséquent, si le produit de trois raci- nes a^f y', f' des équations (5) est égal à 1, il en est de même du produit des trois autres racines x'^, y*\ z" . Donc, à une première solution AA', BB', ce da trois transversales de longueur / et concourant en un même point F il correspond une seconde solution AA", BB", CC" de trois transversales de longueur / et concourant en un second point F'. •• Pour trouver l développons Tégalité [,sf + ixf') (y' + y") («' + s") = ##'!". En tenant compte des relations 4^y«' = l, a?'y'f" = l, 17 - 21S — nous aarons saccessiTement M V =• 2 + Lc'y'2" + 2»'y V OU enfin - + '- + *-77-»»'#"-4 = 0. C^) Si l'on remplace s,Pf ... par leurs valeurs et qu'on chasse les dénomi'^ nateorsy l'équation (6) deyient 2(/« _ a») (l* - Je ces A)» - (P — a«) (Z* — J») (Z« — c«) + 2(P — Je ces A) (Z» — ca cos B) (/* — ai cos C) = 0. Le terme constant de cette équation est — a*J V (cos» A + cos» B + co8« C — 1 4-2cosAco8Bco(iG) = 0; donc, en écartant la solution l* = 0, on obtient une équation bicarrée* Le coefficient de l* de la nouvelle équation est 4; celui de l* est — 4iaJ cos C = — 8S2 cotg A « — 8S cotg w, (ù désignant l'angle de Brocard de ABC ; enfin, le terme indépendant a pour expression — 2J*c* sin* A + 2abcla (cos A -f- <^os B cos G) = — 128' + 8RS2;a sin B sin C = 12S'. L'équation qui fait connaître l est donc Z* — 2S cotg» . Z« 4-3S> =0* (7) S. Soient {', l\ les deux valeurs de {*, et i«, A», ht les haateors de 2S ABO. Remplaçons l par h» = — ; le premier membre de (7) devient i] (16S> — 8 a>S cotg « + 3a*) «Ë.'[_2a* + 22;a«J«-.2a«2a» + 3a*] = — 5!(J«_c«)«. Donc, si le triangle ABO est scalène, les substitutions / ^ i|«, { oa 1* , J cm A« dans le premier membre de (7) donnent des résultati négatifii •( — 219 — comme les substitutions 2 = 0, 2 = ao donnent des résultats positifis, Inéquation (7) a une racine h plus grande que la plus grande hauteur et iine racine h plus petite que la plus petite hauteur. Par conséquent, les circonférences décrites des centres A, B, C avec le rayon h coupent les côtés opposés en des points réels A% À'', B% B'\ C\ G", tels que les droites AA', BB', CC concourent en un point F et les droites AA'% BB'% Ce en un point F'. Les circonférences décrites des mêmes centres avec lo rayon U rencontrent les côtés opposés en des points imaginaires. Supposons ensuite le triangle ÀBC isoscèle. Si l'on a & i=> c > a, ou i* s ie < A«, la plus grande racine /| = Aa ; si i = c < a, la plus petite Nksine h = A». Ces remarques vont nous être très utiles. 4. Les yaieurs de liyhne dépendent que de S et &>. Or, si Ton considère l'ellipse s circonscrite à ABC et ayant pour cen* ^e le centre de gravité G de ce triangle, on sait qu'il existe une infinité de triangles T inscrits à e et ayant 6 pour centre de gravité. Les trian- gles T ont même surface et même angle de Brocard ; donc aussi les ▼âleurs de /i, h sont constantes. Soient Ai, A', les extrémités du grand axe, et A,, A', celles du petit 1X6 de e. Parmi les triangles T se trouvent un triangle isoscèle AiBiCi dont la base B|C| est perpendiculaire au milieu Mi de GA'^ , et un triangle isoscèle A2B2G3 dont la base B2C2 est perpendiculaire au milieu Mi de GB|\ D'après les remarques qui terminent le paragraphe précédent, /, = A,Mi = fa, /. = A,M2 = |(3, 2a et 2)3 désignant les axes de e. ft. II j a plus : les points F, F' sont les mêmes pour tous les triangles T, ce sont les foyers de l'ellipse e. En "effet, prenons pour axes coordonnés les axes principaux GA| , GA| àù c, et soient Xt, pt les coordonnées d'un point quelconque A de cette eonrbe. Si D est le point diamétralement opposé à A, le milieu M de GD a pour coordonnées -— -^Xi, — |yi, et la corde BC menée par M paral- lèlement à la tangente en A forme un triangle ABC dont G est le centre de gravité. L*équation de BC est xxij^yth __1 - 220 — Appelons F un fojer de e, et A' le point de rencontre de BO areo AF; posons aussi AF =^ r, AA' =» L (Connaissant le rapport A^A l on peut prendre pour coordonnées de A' (l--r)at—ly {/ — r)yi » f — r — r y représentant la demi-excentricité p/a' — '|3*. En substituant ces yakon dans l'équation de BG on trouve et comme cette égalité donne 2 ^ | a. La proposition est donc démontrée. Les foyers imaginaires situés sur le petit axe sont les points où ^ croisent les transversales de longueur Zs c= | ^. •. Reprenons la solution Z =» 0, que nous avons écartée d^dessui- Elle correspond aux droites isotropes menées par A, B, G; cestranTef sales concourent trois à trois aux points cycliques. En fidsant 2 b» 0 dao^ les équations (1), (2), (3) et en résolvant on trouve â^ «= — r (cos A dr t sin A), à y=._f(cosB±»sinB),} (8) c f «=t (cos G dr tsinC); (t dans oes égalités on f<>ra précé^ior • du même signe, car on trouve alors •yf «• 1. On a ainsi los rapports suivant lesquels les droites isotropes menéos |>ar los «i^ramoU d*un trianglo partagent les o&tés oppoaés. Lorque le triangle AUO o«t i^quilatérali les valeurs (8) deviennent y et y* étant Im raoines oubiques imaginaires de Tunité. Si le triangle ABC est quelconque I ce sont les dnntes menées de ▲, B^ C vers les — 221 — points à rinûni de Tellipse circonscrite 5 (considérée ci-dessus) qui par* tagent les côtés opposés dans un rapport égal à ; ou à^'. Cette proposi- tion s'aperçoit immédiatement si Ton regarde ABC et e comme les pro- jections d'un triangle équilatéral et de la circonférence circonscrite. NOTE SUR L'ARTICLE PRÉCÉDENT; par M. J. NsuBBRQ. I. La propriété des foyers F, F' de Tellipse e dont il a été question ci-dessus, peut être établie géométriquement. M. A. C, à qui nous Payions signalée, nous en communique la démonstration suivante. Soient/, y* les points de rencontre des rayons vecteurs AF, AF' avec la parallèle menée par le centre G à la tangente en A (ou à BC). Comme îf est perpendiculaire à la bissectrice intérieure de Tangle FAF', on a V^A/'» F/=F'/'; la dernière égalité, bien connue, résulte du triangle AFF' coupé par la transversale^'. On en conclut A/=A/' = i(AF + AF') = a. Si maintenant on prolonge AF jusqu'au point A' où elle coupe BG, et AG jusqu'au milieu M de BC, on a AA' AM 3 A/^Âg"'2' t. Reprenons l'analyse de M. G. Brocard en modifiant légèrement ks notations. Nous désignons par X, Y, Z les coordonnées barycentriques du point dierché F dans le triangle ABC, de sorte que BA' Z X Y "^^rc^^Y' »^=z' '=x- Lm équations (1), (2), (3) prennent alors la forme (/» — J») Z» 4- 2 (i> — Je C08 A) ZY + (/• — c») Y» = 0, (10 (!» — e»)X» + 2(Z« — eaoo8B)XZ + (P — ««)Z« = 0, (2^ (i» — 4*)Y« + 2(P - aJcosC) YX + (/»— 8»)X' = 0. (S*) ~ 222 — Elles représentent respectivement les couples de tranversales AÀ' et AA", BB' et BB'S CC et GC, de même longueur 2, menées par les sommets du triangle ABC et terminées aux côtés opposés. Si on les divise par (/* — »»)(? — (?»), (i« — c«) (/• — a«), (Z« — tf «) (î« _ »i), on voit immédiatement que les six points A% A'^ B'y B", G', C sont situés sur la conique X« . l* — le cos A Ainsi, les circonférences décrites des sommets â^un triangle comme centres avec un mime rayon quelconque rencontrent les côtés opposés en trois couples de points appartenant à une mime conique. Cette proposition résulte immédiatement du théorème de Gamoti car BA' . BA" = c' — /« =- AB' . AB", etc. S. Soient : AL', AL'' les conjuguées harmoniques de AA', AA'' par rapport à Tangle BAC ; BM\ BM" celles de BB', BB'' par rapport à l'angle CBA; CN', CN" celles de CC, CC" par rapport à Tangle ACB. Les équations des couples AL' et AL", BM' et BM", CN' et CN" se déduisent de (1'), (2'), (3') par le changement du signe des coefficients des produits ZY, XZ, YX. On en conclut que les six points L', L", M', W\ N'y N", sont situés sur la conique X* ^ l^ ôccosA ^^^ ^ ,^ Mais si les droites AA', BB', CC concourent en un point P, et les droites AA", BB", CC" en un autre point F, les points L, M, N sont situés sur la polaire trilinéaire de F, et les points L", M", N", sur celle de F'. Par conséquent, le discriminant de la conique (9) doit être nul. L*équation ainsi obtenue, débarrassée des dénominateurs, prend la forme /« — a' - ^* + «^ cos C —l^ + ac cos B — P + aôcosC P — ô« —p^j^cosA — P + ac cos B — P -f Je cos A Z» — c» Plus généralement, pour que les six points A', A", B', B", C, G" où la conique A^« -f A'y» + A"2* 4- 2Byi; + 2B'fa? + 2B"xy = 0 rencontrent les côtés du triangle de référence, soient situés sur deux = 0. (10) — 223 — triples de droites concourantes (AA', BB', CC) et (AA", BB", CC")f on doit avoir -B" A — B" — B' A' -B — B' — B A" = 0, oa AA'A" — 2BB'B" — AB« — A'B'« — A"B"« = 0. 4. n est facile de développer le déterminant (10) suivant les puissances de P. On trouve, après suppression de la solution l* = 0, /•-2Scotg«./' + 3S» = 0, d*où — = cotg (ù ± |/ootg' (ù — 3. S Posons ootg »i =cotg (ù -|-j/cotg* (ù — 3, • cotg a>i= cotg &> — j/cotg*« — 3; tti et ùHf qui sont les angles de Sieiner de ABC(*)y sont les moitiés des angles au sommet des triangles isoscèles équibrocardiens avec ABC. Nous aurons Z* = S ootg coi, ZJ = S ootg Ut. Pour diverses constructions de ces angles et des axes de e nous ren- voyons aux mémoires signalés ci-dessous. Les fojers de Tellipse inscrite à ABC et ayant pour centre le centre de gravité {foyers de Steiner de ABC) jouissent de propriétés intéres- santes. De ces points on déduit aisément les points F, F' de M. G. Brocard. •. Cherchons les coordonnées de F et F\ Les équations (2^ et (3') donnent Z ggcosB — Z»-f /ut Y g? cos C — f ' -|- y ob l*on a posé 31 =. db \/Va} - 4SS jui = db i/i»ft« — 4S», v = dbj/ZV -4S«. (^ Voir les articles : Sur les awes de Stetner et Vhyperbole de ZkpeH et Sur les fogêrt de Sieiner^ par Neuberg et Gob (AsBociation f^aoçaise pour TaTancement des Congrès de Paris, 1889). - 224 — On peut donc prendre pour les coordonnées de F : P — a', a^cosC — î* + v, occosB — Z' + fx, et pour celles de F' : P — aS aJcosC — Z' — v, aecosB — P — {i. La discussion des signes qu'il faut attribuer à /x et v présente def longueurs. Voici une autre méthode. Soient 9, 9' les points réciproques (conjugués isotomiquds) de Ff P* Si, dans les équations (!'). (2'), (3'), on remplace X, Y, Z par y>ç»5* on trouve les équations des couples de droites (A(p^ A.f'), (B9, Bf^ (C(p, C9'); changeant ensuite les signes des termes du milieu, on obtie&^ les équations des conjuguées harmoniques de ces droites par rapport atix angles BAC, CBA, ACB. Les points de rencontre de BG, GA, AB 9l^ les dernières droites sont situés sur la conique 2 (l* ~ a*) X« — 22 (Z« - bc cos A) YZ = 0; (H) mais ils sont aussi situés sur les polaires trilinéaires de f , 9% polaii6i qui ont pour équations «X4-cY+wZ = 0, i*'X + ç' Y + w'Z = 0, (12) si {Ut Vy fv), {u't v'y fv') sont les coordonnées de F, F'. Donc réquation (11) doit se décomposer en deux autres, qu'il suffit d'identifier areo les équations (12). Autrement dit, si l'on considère les â^, y, z comme des coordonnées tangentielles, l'équation (11) représente le couple FF^ Pour opérer la décomposition, résolvons (11) par rapport à X; il vient (Z* — a») X = (Z« — a J cos G) Y + (P — oc cos B) Z db lA»Y»+a»Z»+2pYZ, fx et V ayant la signification indiquée ci-dessus et p étant une quantité que nous n'avons pas besoin de spécifier. Le trinôme sous le radical doit être un carré parfait; cette condition donne l'équation en l* (multipliée par le facteur étranger P(P — «*)). Par suite, les équations (12) sont (Z« — «•)X + (aJcosG — />dbv)Y + (ttCC08B — Pd:f*)Z^O. — 226 — IjM sigBM à^ fi eiv doivent être choisis de manière que leur produit t le signe de p(*). •• L*6quation en { est susceptible de cette autre forme que nous diquons sans démonstration : l/Pa* - 4S' + l/m^ — 4S« + (// V — 4S« = 0. On en déduit cotg AA'B + cotg BB'C + cotg CC'A = 0, (13) ar 28 = la sin AA'B = Ib sin BB'C = le sin CC'A. Soient AT, BT\ CT'' les tangentes menées en A, B, C à Tellipse e et dirigées dans un même sens ; réquation (13) peut encore être écrite ainsi : cotg FAT -f cotg FBT' -|- cotg FCT" = 0. D*aprës un théorème connu, la relation (13) indique que les perpendi- CQlaires élevées en A', B\ C sur les côtés correspondants concourent «n un même point ; il en est de même des perpendiculaires élevées «nA", B", C". RÉPONSE AUX OBSERVATIONS DE M. HANSION par M. Michel Frolov. M. Mansion m'a fait l'honneur d'analyser, dans le numéro du mois de nai de Mathesis, pp. 109-112, mon Mémoire : < Démomtratim de ^axiome II éPSuclide (•♦). > Je crois, de mon côté, nécessaire de répondre à quelques-unes de ses objections, les plus essentielles, uniquement dans l'intérêt de la science. Pour combattre la démonstration de mon théorème fondamental C, kf. Mansion a appliqué à un rhomboïde la construction que j'j avais tniployée, et s'appuyant sur ce fait bien connu, que toute droite, qui (^/ Comparer Clebsch-Lindbmann, Vorîetungen ueber Qeometrie, 1. 1, p. 104. (**) Bn vente à Paris, à la Librairie Centrale, 25, quai des Grands Augostins. — *ai préféré dénommer « axiome » la célèbre proposition d'Baclide, au lieu de 'appeler « postulatum », adoptant ainsi Topinion de Hoftel, qui fUt le principal propagateur de la doctrine non-euclidienne en France, et parce qu*elle est plus oanne son ce nom en Russie, en Allemagne et en Angleterre. Du reste, la iAwmiBition n*a aucune importance (*). O 8w M r^Al, f»ir BotM arttoto, pagv 100, sole (?. M.). 18 — 226 — passe par le point de rencontre des diagonales d*Qn rhomboïde, le diTÎie en doux quadrangics égaux, en coupant deux côtés opposés soas dai angles égaux, de sorte que dans tout rhomboïde il existe une perpenfr culaire à ces deux côtés opposés, il pense avoir réfuté la démonstration do mon théorème C. — Mais, à mon sens, il est seulement parventià prouver que dans tout rhomboïde les côtés opposés, ainsi que les anglci opposés, sont égaux, ou, en d'autres termes, que tout rhomboïde est on rhomboïde, ce que je n*ai jamais nié, — et rien de plus. J*ai appliqué la construction, dont il s'agit, non pas à un rhomboïde, ce qui no m'aurait conduit à aucun résultat utile, mais à un espice TABS, formé par deux droites indéfinies AT et BS, dont la première est perpendiculaire et la seconde est oblique à une troisième droite AB (Kig. 3 de mon Mémoire), et j'ai démontré Timpossibilité d'inte^ caler (*) dans cet espace un seul rhomboïde ayant deux angles oppoa^ droits, ce qui m'a donné le droit d*en conclure que dans les rhomboïdes ayant deux angles opposés droits les deux autres angles le sont aussi. & me semble donc que Tobjoction du savant professeur n'a aucun rapport avec ma démonstration et ne peut TinÛrmer en aucune manière. Ka publiant mou Mémoire, je ne me suis adressé qu^à ceux qui ne soU^ pas imbus d'idées non euolidicnncs(**), comme je l'ai dit dans ma préface* Mais j'ai ou l'honneur de recevoir de la part de quelques mathématideD^ distin^^ués dos nvis contenant aussi une objection appuyée sur ThypoUite^ de roxistonco d\uio porpendioulaire commune aux droites AT et B^ (Pig. '^). Il parait que ('oitc b;v'po thèse, si peu conforme à ressenœ de 1^ ligne droite(***), constitue Tunique argument des non euclidieniideiori^ (*) Nous no pauvouH quo r«>pôicr co que nous avons dit dans notre article: M. Krolov 8appost« qiii> \o point 0 ost ««ntro deux des points Ai, A|, ••• A« ou ooln^ cldantavtH:' Tun doux. Or il n a pas prouva (et il «st impossible de le fkire) qae AA^ pout oroitro inmmauo à AT «t B8 (P. M«)« — 227 — fue pour les déaarmer complètement, il suffit de prouver la fausseté de eette hjpothèse. Mais je ne m* en occuperai pas ici et je reyiens aux astres objections de mon estimé critique. M.Mansion fait entrevoir dans son exposé que j*aurais pu me dispenser de considérer le cas où l'angle ABS (Fig. 4) est obtus, en profitant des théorèmes de Legendre, que j*ai mentionnés à la page 7 de mon Mémoire. Quoique cette opinion soit juste, je n'ai eu aucun besoin de recourir à œs théorèmes, en établissant la théorie des parallèles sur le théorème C. A la rigueur, j'aurais pu me passer même de ma note explicative (page 22), car la figure 4 n'est que la figure 3 retournée. En efiet, s'il est prouvé, pour l'angle ABS aigu, que Tangle opposé de tous les toadrangles ayant deux angles opposés droits, inscrits dans l'espace TABS, est obtus, il en résulte que pour l'angle ABS obtus, son opposé ttt nécessairement aigu. Je ne m'y arrêterai pas davantage, non plus ^Qesur la remarque de M. Mansion relative au corollaire L du théorème C. Pourtant je ne comprends pas ce qu'il y a de captieux dans la démon- itntion de ce corollaire, qui est très simple et découle naturellement de U démonstration du théorème C. A la page 11, j'ai cité la définition de la ligne droite donnée par Biemann : < La ligne droite est une ligne finie rentrant en elle-même^ » ^6 j'ai tirée de la brochure de M. Mansion : < Principes fondamentaux k la géométrie non-euclidienne de Riemann > parue en 1895. Dans sa ^tique, le savant professeur annonce que Riemann n'a pas donné cette définition. J'aurais bien voulu que M. Mansion s'expliquât sur cette contradiction (*). Je finirai cette réponse par l'observation suivante : tout le monde sait ineLegendre s'était donné beaucoup de peine pour démontrer le théorème dt l'égalité de la somme des angles d'un triangle rectiligne à deux droits ^qae ses efforts n'ont pas réussi. Il me semble que j'avais le droit d'attri- buer ses insuccès à ce fait, qu'at^ lieu d'appliquer ses efforts à prouver que lnêngUi d'un carré sont effectivement droits, il s'était engagé dans des vries détournées (Page 7). Comment, en effet, appeler ses essais de démon- (^ La phrase soulignée n'est pas une définition de la droite, en général, mais une fmsrgue de Riemann relative au concept de la droite ; ce concept n'implique pas [o'^le soit infinie et, par suite, elle peut être rentrante. (P. M.)* 8tration(*) fondés sur la considération des infinis ou sur des principal nouveaux étrangers à la géométrie pure, et comment expliquer iotrt» ment les insuccès de cet illustre géomètre ? — Si mon savant criti^ qui est en même temps un des plus ardents partisans de la doctriM non euclidienne, pense que cet insuccès était inéviiabîe (car, selon lût il est prouvé par deux mathématiciens éminents, que le jmu^vMv* d'Buclide, ou son axiome XI, est indémontrable), il m'est permis dt «• pas partager cette opinion et d*en croire le grand Deacartes, lorsqu'il disait, dans ses < Principes de la philosophie », que l'on pouvait aii^ ment(**) démontrer que la somme des angles d'un triangle est égak^ deux droits. Champéry (Canton du Valais), le 6 août 1896. NOTES MATHÉMATIQUES. ^•. Fondation d'un prix en Vhonneur de Lobatchefsly. Inauguration d^un Monument pour perpétuer sa mémoire. A propos du Centenaire du jour de naissance de N. J. Lobatchefsky, qui a eu lieu le 3 novembre 1893, la société Phjsico- Mathématique de Kasan a formé un comité de savants russes et étrangers ayant pour but de réunir une somme destinée à éterniser la mémoire du célèbre géomètre russe. Les eflTorts de ce Comité ont abouti à un résultat favorable : la somme de 9071 Rb. 86 cop (à peu près 24,200 fr.) a été réunie. Défalcation faite des dépenses nécessaires, la somme restante a été répartie de la façon suivante : Un capital de 6000 roubles constitue un fond spécial dont les revenus permettent d'attribuer tous les trois ans une somme de 500 roubles pour (^) Sur les mérites de Le^ndre, Toir notre notice intitulée : La çéoméihe euclidienne avant Loàatchefsk^ {Matke$is. février 18d6. supplément) (P. M.). (^) Nous sommes tout à fait de Tavis de Descartes ; il suffit, pour établir le théorème sur la somme des anf^les d*un triangle, d*admettre les mômes prémiasee que DescarteSy c*e8t-à>dire, les déflnitions, les axiomes et les postulats d'Bnclide ; mais cela n*empêche pas que ai Ton rejette le postulat 5 d*Euclide,il ne soit impos- sible de démontrer que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droits, comme l'ont prouvé MM. Beltrami, De Tilly et après eux une ibale d'aatrce. (P. M.). — 229 — récompenser un ouvrage relatif à la Géométrie et spécialement à lA Géométrie non euclidienne et imprimé dans une des langues russe, française, allemande, anglaise, italienne ou latine. Le premier prix sera décerné le 3 novembre 1897 et les ouvrages devront être envoyés au plus tard le 3 novembre 1896 (22 octobre) à la Société Physico-Mathématique de Kasan. La somme restante est destinée à Tédification du buste de Lobat- iif CHBPSKT sur une place de la ville de K»san, vis-à-vis de l'Université, doDtl'inanguration a eu lieu le dimanche 13septembre 1896 (A. Vassilibf, Professeur à T Université, Président de la Société Phjsico-Mathématique de Kaxan). *1#. Sur le moindre multiple (Voir Maihesis, (2) VI, p. 198). Nous tTODS omis de signaler, dans notre précédent article, le Traité d* Arith' ^lUtique de J. A. Serrbt, dans lequel la méthode que nous avons indiquée ^suivie, au moins en partie. (M. Stutvabrt.) SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. (Voir Mathesis, (1) IV, p. 231, et (2)1, p. 29j. (h partage une demi-circonférence en n parties égales, et Von joint les frinti de division à l'une des extrémités du diamètre. Démontrer que la somme des produits pàp des carrés des cordes, ainsi obtenues, égale autant de foie la 2p'^ puissance du rayon, qu'il p a de manières de combiner 2n — p — 1 objets, pàp (*). (E. Cesaro). Solution par M. Stutvaert (Gand). L*équation a?»'» — 1 =0 a pour racines : 2iT[ , . 2kiT ^^...^^., rv,«.-^ -vv flf = ces — ±: t sin — = cos — ± t sin — (* = G, 1 , 2, 3 . , 2»). SopprimoDS les solutions correspondantes à k = 0 et k = 2», c'est-à- dire dP «=» db 1 ; ce qui revient à (iiviser le premier membre de Téquation par s* — 1. D'où (•) Voir QÊi€$Henf»2^proposée(l) Illtp. 160, résolue (1) IV, p. 41. - 230 — Transformons cette équation en posant La transformée est(*) Elle a pour racines : ^_C08 — !i=tsin^-f 0. ou COS ;r- dt 1 Sm r- 2n 2» 2w 2» » 2«"^ 2n 2« (;i=l,2,3...,ai^l). Supprimons la racine £=0, correspondant à i = n, en diyisai par £, Il vient Téquation qui a pour racines : kn 2; = 2cos — (*== 1,2. 3 ...n— 1, » + l, ...2« — 1) 2n ou, puisque les cosinus de deux angles supplémentaires sont égaux et de signes contraires : z= ± 2co8 --(;i = !,2,3, ...,« - 1). 2» La transformée en y = z^, ou r^'— c,n-i,iy"-»+c,„-5,ir"'— ' =fcCin_p-i.pr"'"*- -^^i^o (i) a pour racines : y = 4cos»^(* = 1.2,3, .,« — 1). D*après la théorie de la composition des équations, puisque le coefficient du premier terme est 1 , et que les autres coefficients sont alt«matiTe* (*) Voir Question 508, propoiée (1) YI, p. 47, r^oime (1) IX, p. 100. — 231 — neiit uégati£9 et positifs, la somme des produits p èi p des quantités ^ cos* — est égale au coefficient de y**"»^*, c*est-à-dire à Cjn-p-i,^, pris K>8itiyement. Soit AB le diamètre, dont il est parlé dans l'énoncé; si Tare MB vaut es - de la demi-circonférence, ou — > l'angle MAB a pour mesure ^ et a corde AM yaut 2R cos rr- • La somme des produits pkp des carrés de ces cordes est égale à R*'' noltiplié par la somme des produits p ^ p des quantités 4cos*-— - [fc s= 1, 2, 3, ...,91 — 1), laquelle somme est égale, d*après ce qui prê- tée, à Cm-p-i.p* Le théorème est donc démontré. Remarque. On peut former autrement Téquation qui a pour racines les Taleurs de 4 cos* — ; l'équation sin2«(p = 0 , (II) ^ pour racines 2nç = JlîT ou ç = — • MaiSy en développant sin 2n(p au moyen de la formule connue, on peut fobstituer, à l'équation (II), la suivante : Ct»,i (cos 9)«"-« sin 9 — Cj^^s (cos 9)'»-» sin «cp + Ci„,i (cos 9)'*-* sin *9 -}-•••=■ 0. Diviaons par sin 9 cos 9, ce qui revient à supprimer les racines corres* pondant à i=ii et^=2ii; posons ensuite cos '9 =3is, d*oùsin '9=1 — f ; et réquation transformée C,«,, r- — C,,,, r-» (!—«) + C,,., r-« (1 -«)• — ..— 0 oa C««,i r-' + C,,,, r-« («-!) + C,.., «-» (« _ 1)1 4- ... = 0. a pour racines « = oo8«^(i = l,2,3, ...,«-l) - 232 - y EnfiQ en posant ^ =" 7' ^^ trouve Téquation ayant pour racines Cin,i r"' + c,n,, y»-' (y — 4) + C,„., y--» (y - 4)« + ... — 0. Le coefficient de y**"' est Or, on sait que les coefficients de rangs impairs et ceux de rangs pairs, dans le développement du binôme, ont des sommes égales ; donc A raut la moitié de (1 + !)•" ou A = 2«»-*. Quant au coefficient de y''~^''\ il est égal (en valeur absolue) à -j- C|n,tii-.| • Cn-.|,p] OU, on écrivant à rebours, En vertu de la démonsi^tration précédente, cette quantité doit être égale à A X C,..p...p = 2»"-' X C,«.,.i^. Do là une identité qu'il serait peut-être difficile d'établir directement. Qaesllon 0«9. (Voir MatheiU, (8), IV, 215). D'un point P du plan d'une parahoU donnée on abaiuê lu trais normales à la courbe dont les pieds sont A, B, C. Les tangenUiêu A, B, C forment un second triangle VWC On considéré les csrelêê eircêmierUt nux triangles ABC et A'B'C dont les rayons sont R et R'. Montrer fu$ 1" Quel que soit le point P, le milieu de la ligne des centres iês dsuss cercles est situé sur uns droite perpendiculaire à Vaxt ds la parahols; 2* Le lieu des points P tels que R = R' est une parabolê\ 3* Le lieu des points P tels que W == 2R se compose ds dsuss irsUssi V Lt lieu des points P tels que R' 4- R'' == constants est uns sUipss. (E. N. Baribum). - 233 - Solution par M. Cristbsco. Soient y^ — 2px =s 0 réqoation de la parabole, {a,^)le9 coordonnées de P et (â?i,yi), (â^s, ys), (s^s,tft) l^s coordonnées des points À, B, C. Comme yi, ys, ys sont les racines de f^—2p{a—p)p^ 2p*(3 == 0, on a y. +yi + y« = ^> yiyi + y»yi + yiyi = — 2p {« — p), yiytys =» 2p% Les coordonnées des points A% B', C sont (M., (2) II, 29) (1) (2) Al = — » yi y» Al = — » L'équation du cercle circonscrit au triangle A'B'C sera donc a?«-fyî â; y 1 P(3 y* 1 yi 2 ;,p y» 1 yt 2 pp y» 1 V 2 M. 0. ^ , yî y; "^4 yî "^4 ^ , yî yî "^4 Si Ton développe les déterminants mineurs correspondant aux élé- ments de la première ligne en tenant compte des égalités (2), on trouve après avoir divisé par -—(y, — yj)(y> — ys)(y»— yi)> Q^e Téquation Ap do cercle circonscrit au triangle A'B'C est : *' + y + i(2«-3i>)« + (3y + ip(p-«) = 0. (4) Comme vériflcation, ce cercle passe par le foyer. On sait que l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC est (Mm (2) n, 29-30) «'+y*-(p + «)«+î(3y=o. (5) Lm coordonnées des centres et les rayons des cercles ABC, A'B'C ■ont donc A'-A(8p-2a), fx' {P, R' = :j/(p-2«)' + 4P'. v/ — 234 — 1« Les coordonnées (a, y) du milieu de la ligne dee oentrei de deux cercles sont : x = l(l + r) = lp, y = i(^ + pO 1/5. Il est donc toujours situé sur la droite x — |p = 0. 2* et d*". Cherchons plus généralement le lieu des points P teli que R' : R = m : n. On aura 4(p + a)» + /3«~"n ou Cette conique sera une elUp$e pour < 1 ou — > 2; une hyperbole pour 1 < — < 2; une parabole 03* = 4pa + p") pour — = 1 ; »i m un sjrsttNme do deua droites («• + Zpa + f p*=0) pour — =■ 2: Téquation P ^P so d^oom|H>8o en « -j-J^ = 0 (la directrice) et a + ■« =* 0- •l* rhori'hons le lieu dos points P tels que KR« -j- K'IV» •= (i<^Y = constante. On triMiYo t^ue ih» liou Mt la conique À[K\ K Vi'-fvK -h-tK')(5»4-4(2K — K')i)jt+(4K4-KV— C*— 0. Si K ^t K' «ont pivtiiitV, lo li^u est une ellipse. Si K - -j l » K* — -•• l , on trt^uve la parabole 0* .-' Ap.x \.p*^ ^^ i^mtitm f4r MM. A. Pro» Faknt oI Rr^xurp. Soit jr * — 1^ T^quip — 235 - m de la parabole. Représentons par — b et — e les ordonnées de B C ; on aura : Coordonnées de B . . . y =^ -s^ 4, x = de C.y ==" 2p' e* On trou Te aisément (voir Brocard, J. M. 8. 1892, pp. 212-215 et |N. A. M. 1892, pp. 4'^-10^) les relations suivaiites où 0, 0' sont les cen- dea cercles ABC, A'B'C : P ...a? = p + a?s=s — f 2p 0'...a?= — O X 2p 4p b* + bc + c^-\' 4p\ Ap bc (b + c) y = • — ; ^ 2p« ' bc (b + C) y- — 4^'î bc {h + c) 8p» Soiant a, /3 les coordonnées du point P; on aura 3» — 2« P 0...x= —^f y =4- circonférences ABC et A'B'C passant respectirement par le som- met et le fojer, on trouve pour les rajons R, Ri ; 16' ^*~"4 R.=::_-z.+i^, Rî=^ + 4 ' 16' • 4 ' 16 I. L*ab8cisse du point milieu de 00' est : 3p — 2« + 2g + 2p _ 5p 8 8" Le lien cherché est donc une droite perpendiculaire à l'axe. n. La relation R* = RJ fournit 4 («-+. p)« + (3» = 4p» + (2a — ;?)» ou /3» = 4p (a +^ j iqoation d'une parabole de même axe que la proposée. — 236 — III. De la relation Rf = 4R*, on déduit successiTement (2a-p)«-16(a + p)« = 0, (6a + 3p) (2« + 5p) = 0. Le lieu se compose de deux droites perpendiculaires i Taxe. IV. De la relation R* + RJ = const., on déduit : 4 (« +py + P' + 4/3» + (2 L*axe radical des cercles ABC, A'B'C ayant pour équation »(p -4a) — 8/8y + p («—!>) = 0, la classe de Tenveloppe de cet axe est égale à Tordre du lieu de P. Voir (JfaM«iit, (S) V, p. 82). Sur let eâtéi A.B, AC d'un trianglt ABC on construit eulMmrewient m lotangei ABDB, ACFI dont let eôtéi A£, AI sont sur les protongtmtntt m edtés GA, BA du triangle. Les Irvtte DE, FI st coupent en «» point [i; lët droites BP, OD se cottpent en M point J et rencontrent retpeetive- WMi AC, AB aux points N, P. 1" On • AP => AN. 2* Les points L et J mt situA sur la symédiana de ABC. 1^ Le triangle BJC et le gmdrila- [Nn APJN sont éçuivalenti. 4' J divise lit sywUdiane issue itKdans le rapport f(l'-|-e*) : Je. &• Les droites quijoi- tatnt B 0/ G auz centres des losanges iCPI, ABDB se coupent au milieu de la bissectrice de l'angle BAC. (A. C). Cette question ft été résolue par MU. DApRsz, Colart, Sbliqhann, Klohpbrs, Mbrlin, Bastin, Droz-Parky, Fairon, Cahdb, Laorbns, CRiRnaco, TiBTR, Datidoolod.Jbam Jokbsco, Boqdan JOKBSCo,TziTzàioA. Noos reproduirons parmi les différentes variantes les plus simples. I . La âgure donne AN AB AP AC IF IB ED KO ' d'oïl AN = AP = » + . 1 _* X ân""ap'^ï"t-7* On dédait de là que les droites NP et BAF soat parallèles. 2* et 4* La médiane AL du triangle AEI eat la symédiane du trian- (Is ABC, symétrique de AEI par rapport & la bissectrice DF. Les triangles LDF, APN ayant leurs câtés parallèles, les droites LA, DP, FN qui joignent les sommets homologues concourent en un même point i. — 2â8 — Soit S le pied de la symédiane AJ. Le triangle ASC coupé par la transyeraale BJN donne. AJ BS CN , = 1. (1) W JS BC NA Or CN_CP h BS c« NA^BA^'ê' BC""i« + c« des égalités (1) et (2) on conclut AJ_ft« + c» h.c JS"" hc "^c"*"»' On voit facilement que les coordonnées barycentriques de J sont he, 6*, c*; 3^ a) Les triangles CAP, FAN sont équivalents comme ayant méms base AP = AN et même hauteur. La figure ABCF étant un trapèia, bi triangles FAN, CNB sont équivalents. Donc aire GAP<»BNC; et i cause de la partie commune NJC, aire APJN «= BJC. (GoLiiRTy GiJiOi)* h) Le triangle DBG, égal à la moitié du losange DBAE, est égilâ DBP+ KPA; par suite BPC = EPA. Mais les triangles EPA,BAN sont équivalents comme ayant des angles en A supplémentaires comprii entre des côtés égaux; il en résulte BPC = BAN, ensuite BJC «» APJN. (Droz Farny). c) CF étant parallèle à AB, les triangles BPC» BPF sont équif alealii il en est donc de même des triangles BJC, PJF. Mais PN étant paralUb à APy on a BJC == PJF = PJN + PNF = PJN + PNA = JPAN. (Pairoh .) BPC_BP BD c ABN AN_AB c ^ bac""pâ"'ac'^j' abc"^ac~cf~»' d'où BPC == ABN, etc. (Laukbns, J. Jonesco, Elompbrs). ft . Soit V le centre du losange ACFL IC étant parallèle i la bitfeotriei AT de BAC, la médiane BV du triangle BIC passe au miliea U de AT| BV étant aussi la médiane du triangle BAF, et PN étant parallèle à h base AFf U est aussi le milieu de PN. La figure APTN est on lonnge* Remarques. 1* On a JBC^ be ^^^ ABC }» + Je + e» I**™»! — 239 — l'on construit sur Â.By kG deax losanges semblables qaelcon- Miy les côtés extérieurs DE, FI se coupent toujours sur la sjmédiane (Laurbns.) 3* J eomcide arec le point de Lemoine si a' =3 ic. On a PB e* — t — t NC à* Lie point de rencontre X de CD arec la bissectrice Â.T a pour coor- >iiiii6e8 barycentriques e, b, e\ BX est donc une médiane de ABC (Barisirn.) NJC 5» PJB"^c»' (Cristksco.) 8^ Sur la tangente en A à la circonférence ABC on porte du côté de fcB une longueur AB' = AB et du côté de AC une longueur AC «=> AC. Les parallèles à AC par B' et à AB par C se coupent sur la bissectrice de Pangle BAC. Les parallèles à AC par C et à AB par B' se rencontrent en in point D tel, que la droite AD divise BC en segments proportionnels cubes des côtés adjacents. (Dbprbz). ^ BV et PF se coupent sur AC ; car la médiane U V du trapèze APNP par rintersection des diagonales. ID coupe AB en un point P\ et EF coupe AI en un point N' tels, que AP' =3 AN' = AP = AN ; ID et EF se rencontrent sur la sjmédiane du biangle AEI ou sur la médiane de ABC. (J. N.). QUBSTIONS D'BXAMBN. t%9. L'équation . y* + 2«y + p«» + 2y — aa? = 0 ^t représenter une hjperbole dont une asjmptote passe par le point (}, f). Déterminer la valeur de p. (J., Liège.) 7M. L*éq nation y* + «y -|- pa?* + yy + 8a? + 1 =a 0 bit représenter une hjperbole dont les asjmptotes passent, Tune par le wint (2, 5), Tautre par le point (— 3,). Déterminer les coefficients p et q. (J., Liège.) . 241 HES ET VOLUMES RELATIFS A LA CHAINETTE; Ipar U. C. B. Waste^ls, profasseiir à l'Alliéiiée royal de Toogres. j. Aire dt la ChaltulU. En désignant cette aire par «, on a (fig. 1) : K=lin)SMmQP. ■enaua la cordo MN, et par P, la droite I parallèle â MN; enân, abaîasons de P I perpendiculaire sur MN et soit T le pied iBtttt [«ppendiculaire (*)• Remnpquona que Rtriangies PQR et MmN sont égaux; on MwQP = MNRP. = hm S MNRP = lira S MN X PT = lira S Aj X 1 ; « = tt X lim S A* = fl X *■ ui, l'aire ABXO est égale au rectangle construit sur l'arc AB et rdonnée â l'origine AO. Rbharqob. Nous avons rtra- |placè, dans lira S MN X PT, l'in- bîment petit MN X PT par ( a ; cela est permis , car PT ■ as ■ AfXa = 1X1 = 1. ■ Àirt âe la Traclrice. Propo de chercher l'aire coia- e entre la tractrice AMS (fig. 2}, iDgente verticale AO, l'axe 0 e tangente quelconque ST. "" Ifenons des tangentes intermédiaires faÎBant entre elles des i>} Dam la flpure 1, &IT devrait êtr^ à peu prèséKaliÂM; dansia flRureS, Elanfenlea UQ, NR se confondent partienemcot aiec la courbe AS, la corde e l'arc de cercle fe. Vjjri^k A7. ^sin-vx '^L -ité^Lx. siL^ ixiâè£idiiifliix déerounuits. On aan « = ^2; S MMiû- ^y^l K .'.l'Ari^/.i.vL d{:f d'&ix u^^reLW MQ et NR, et coniidéroni k KriMw/lt ':\,r\..,'^h ^I>'K. I« er: ^liifi peiit qoe le triangle rectiligna MNK, 'y^ViWÀ kh T«iliil M «'l'iliiiKtin indûfliiimonty on trouve lim «-« aire ()CB = Tra' lilii ili\ai|iiiniii pur It ht liinilo do rniro comprise entre Taxe OT etlei iliiM» iiiiiii>vlti>d, i|iiiiiiil Ion |ii)iutH oxtrôini^s 8*ôioignent indéfiniment» on «un il l' r«j- I «I liiiiH.i «I. Iithii o4( %Imw r^nlo t\ \i\ moitiô do l*aire du cercle OA. i(iMu..ii>i. t .1 iinii«iuiiMu%M)i t|U) prt'v^lo prouve que, en générait I .iii. . .•iii|>ti •• . iih.i l.i i.«(n)«.\ Vcwo or ot doux tangeutes faisant entre . u. • ini .iii|,l.t ■• •«•! i^^itlo r\ ,vlu« «l'un S(Vtour oirculaira de rayon a et /i I M ,, -.^^t .«« «•! t «>..• .•- ...v.' .,* A^:- v.v..^ .*.rknt« AB d« longueur variable I it(- \ .s<«..i U !«.«.-...' .s^'.v.A,-:. /»: ^V^oàosllequieatdéerit» - 243 — III. Volume i$ la psiudosphirê. Supposons que la tracirice tourne mtour de la directrice OT. Menons par K et Q des parallèles à QR et y et soit L leur intersection. Désignons respectiyement par 9, v' et 9| volumes des solides engendrés par les figures QRK, QKL, Oqr en tournant autour de la directrice. On aura, en appelant Y le volume cberché et A Y le volume du solide engendré par la figure MNRQ, Y = lim8AY = limSr. o o Or, d*après la géométrie élémentaire, d*où Y = ilimSt>'. Mais lim — s=a 1 Vt car il est aisé de voir, en menant gm et m parallèles à la directrice, que la limite du rapport des volumes des solides engendrés par Oqm et Om est égale à 1 , et qu*il en est de même de la limite du rapport de Tun quelconque de ces solides au solide v'. On a donc finalement Y = ^ lim S 9i = { solide engendré par OCL c Si S s'éloigne indéfiniment, on obtient lim Y = î sphère. Par suite, la limite du volume engendré par les deux branches est égale à la moitié du volume de la sphère. Ainsi, le volume de la pseudosphère vaut I Tra*. lY. Surface de la pseuioephire. Supposons que les angles àa soient des subdivisions exactes de | tt ; de cette manière, les rayons parallèles par tue droite CD qui toonie autour d*aii point fixe C en restant à chaque instant égale et parallèle à AB (Stbinhr). ^ 244 - aux tangentes de la tractrice sont deux à deax symétriquement pi par rapport à la bissectrice OD de l'angle COB. Cela étant, désignons par surf. MN la surface engendrée par 1 nous aurons T T surface arc AS = lim S surface arc MN = lim S surf, corde MN o o Portons sur QL une longueur QH égale à EN, et menons NH et Considérons la surface engendrée par l'arc de cercle MH de centre Q aura surf, arc MH = surf, arc qr. D*autre part, surf.MN ,. surf. MN ,. MN lim — ^ -,- = lim — — ^,7v = lim -— = ; surf, arc MH surf, corde MH MH car les milieux des droites MN et MH sont à égale distance de l'aK rotation. Or, d'où ou MN lim 77=: = cot a, (a = angle MQO) ; MH ,. surf. MN l'ïû — 7—rz= == cot a, surf. MH ' ,. surf. MN lim = 1 . cot a • surf. MH Donc T I surface arc AS = lira S cot a • surf. MH = lim S cot a • surf, arc qi 0 c Supposons que S s'éloigne indéfiniment ; alors lira surface AS = lim S cot a • surf, arc qr^ ou D D lim surface AS = lim S cot a • surf, arc rq + lim S cot (3 • surf, arcr^ B c Nous désignons par/^ l'arc symétrique de rq par rapport à OD et pa l'angle BOE. On a cot (3 = tang a. — 245 - D*autre part. d'où De même aurf. rg qs gs lim — -^ = lim 7- = lim — = taDg a ; surf./(f Jg rs ^ surf. ryX cota lim r— -; = 1 . surf. f$ ,. surf./^Xcotp _ lim - = 1. surf, rg Par conséquent, D D lim. surf. AS = lim S surf, rg -f- lim S surf./^ = surface arc CB. t c La limite de Taire de la surface engendrée par les deux branches est donc égale à Taire de la sphère. Note. 11 n'est pas inutile d'observer que tous les résultats précédents sont établis, au moyen du calcul des limites de sommée d^i^finiment petits^ mais sans le secours du calcul intégral proprement dit avec lequel on le confond souvent. — Le calcul intégral est l'inverse du calcul diférenliel ou calcul des limites de rapports finflnimeni petits. Archimède et Fermât étsient familiers avec les procédés du calcul des limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits. Mais ce sont Newton et Leibniz qui ont imaginé le calcul intégral et qui ont vu qu'il donnait les mêmes résultats que le calcul des limites de sommes d'infiniment petits (P. M.). LE PROBLÈME DE LA DUPLICATION DU CUBE, par M. G. db Lokqchaiips, professeur de mathématiques spéciale au lycée St- Louis. On sait que ce problème et, en général, ceux qui correspondent à une équation du troisième degré, se résolvent au moyen d'un cercle et d'une conique F. Voici une solution qui permet de choisir pour r une parabole et d'aboutir à un tracé très 8imple(*). (^ Descartes, dans sa Géométrie (1637) emploie à peu près comme M. de Long- champs, le cercle et la parabole pour résoudre le problème de la recherche de deux moyennes proportionnelles, lequel est équivalent au problème de la duplication du cube (P. y.). — 246 — Considérons une parabole P, rapportée à ses axes et soit A uneoireon* férence passant par 0 et coupant 0« en ua point M tel que OM sa 2p, 2f désignant le paramètre de P. Soit A Tun des pointa communs à P et . à A; l'équation de OA étant y — wîX^O, celle de A sera de la forme (1-H»»)(y« — 2pa?)— (y — •wp)(jr-Hp»flî+«)-0. " * En écrivant que cette équation est rériflée par â; = 2p, y = 0, on a m' ety ûuaiement, l'équation de A est «• + y*— riy 2px=0. En faisant â? = 0, on trouve que A coupe Oy en un point B tel que 1) OB = -^ . En désignant par a l'angle AOx, on a 9» := tg a. Elevons en M, une perpendiculaire à Oâ?; en 0, une perpendiculaire àOA; ces droites se coupent en C et nous avons CM == 2p cotg a. (2) Les relations (1), (2) donnent 0B.4;?» = CM'. P En prenant OB =^y on a donc cm" = 2pK Dans cette égalité, on supposera que p est connu, car CM est Tin- connue. En faisant le tracé indiqué par la figure, on aura le point A, d'abord, puis le point C. En général, l'équation x^^lp* sera graphiquement résolue, en prenant OB = \ Ip. - 247 — BIBLIOGRAPHIE. mtaer Stereometri af C. Jnel. — Copenhagae, Lehmann et Stagesi 3 pages in-8®. $1 concis de géométrie solide, comprenant quelques développements de létrie sphérique, des notions sur les sections du cône et 143 exercices. de géométrie plane, par L. Jowa, ingénieur civil. Liège, Vaillant- ie,18il5, 108 p. in-8». ur s'est proposé de mettre entre les mains des candidats aux écoles ) un livre présentant sous une forme condensée le programme de l'examen lion. La rédaction est claire et rien d*essentiel n*est omis. Quelques 08 et les propositions où interviennent les incommensurables donnent es critiques ; mais nous ne voulons pas insister sur des points qu*il est si d*exposer rigoureusement sans être amené à des longueurs. rnndgebilde der ebenen Géométrie von D' Y. Eberhard, Professer an der ^t zu Eoenigsberg i. P. Tome 1, Leigzig, Teubner 1895. Un vol. grand XLVn'-302 pages et 5 planches. Prix : 14 marcs* *age doit comprendre trois volumes. Pour apprécier la portée scientifique dloppements que se propose de donner Tauteur, il convient peut-être re la publication des autres parties. mndgebilde do la géométrie plane sont ici : le système de n points dont moins ne sont pas en ligne droite, le système de n droites dont trois aux 3 passent pas par un même point, enfin le système mixte composé de m b fi droites. Ces systèmes donnent lieu à des considérations sur la situation de leurs éléments et sur les régions qu*ils déterminent dans le plan. re gagnerait à être rédigé sous une forme concise et dégagée de digressions it de Cosmographie, par MM. F. Tisserand, membre de llnstitut, r de rObservatoire de Paris, et H. Andoykr, maître de conférences à la des Sciences de Paris. Paris, Armand Colin et C*% 1895 (IX-969 pages l figures et 12 planches hors texte). Prix : 6,00 f^. aités de Cosmo<;raphie édités seulement il y a vingt-cinq ou trente ans, vieilli et leur comparaison avec les traités plus récents fait bien ressortir ce des perfeotionnements apportés à la construction des instrumenta e sur les progrès de la connaissance du ciel étoile. Pour ne parler que du îcle, il sufilra de dire que Ton a observé et catalogué plus de 400 nouvelles planètes, deux satellites de Mars, un cinquième satellite de Jupiter, le ion de Sirius, reconnu la disposition des canaux de Mars et analysé la 1 de tous les astres. Ces importants résultats ont eu pour conséquence * singulièrement les vues d*ensembie sur la oonstitution et l'origine du - 248 — système solaire, des étoiles et des nébuleuses. Toutes om nonTeUei donnéai loit exposées et plusieurs d'entre elles sont figurées dans l'ouYra^ ■usmeiiticiiiié. Bi Yoici d*aiileurs les principales subdivisions. I. Lbs Étoiles. Mouvement diurne. Méthodes d*obsenration« DeicriptioA da Ciel (1-37). II. La. Tbrrb. Forme sphérique de la Terre. Forme réelle de la Terre. Bote- tion de la Terre. Gravité. Cartes géographiques (39-77). III. Le Soleil. Mouvement apparent du Soleil. Mouvement elliptique da Soleil. Distance du Soleil & la Terre. Ses dimensions. Déplacements de TédiptlqcN et de réquateur. Mesures du Temps. Calendrier. Inégalité des Jours et des nniti. Rotation du soleil. Mouvement réel de translation de la Terre (78-127). IV. La Lunk. Mouvement de la Lune autour de la Terre. Distanoe de la Una à la Terre. Phases de la Lune. Sa constitution physique Bclipaea de Laoti Eclipses de Soleil (128-161). V. Les Planètes. Mouvement des Planètes. Détails ■uccinets sur 1m diverses planètes. Des Comètes. Des Étoiles filantes (162-218). YI. AsTRONUMiB STKLLAiRK. Distanccs et mouvements propres des Étoilii- Amas d'étoiles et nébuleuses (210-237). YII. Notions suii l'histoire de l*astronomie. (238-286). Quatre NotioM scientifiques (267-363). Note sur le phénomène dos marées (364-369) . M. Tisserand a rééditô quatre des Notices scientifiques quUl avait publiées dam V Annuaire du Bureau des Longitudes, et qui tiennent ici bien près de oent pagfll* Biles sont, respectivement, intitulées : l^ Notice sur les perturbations (266-289). (Annuaire de 1890). — « Ce travail, « dit M. J. Thirion dans la Hevue des Questions Scient^ques (avril 1895), eat un « exposé ma(?istral des conquêtes successives de TAstronomie mécanique qu*oavre tt rhypotlièse de Copernic, que fonde la découverte des lois de Kepler, que gêné- « ralise la conception do Newton, qu*étendent et consolident les travaux de « Laplace et d'une pléiade do (géomètres illustres qui s'attaquent aux problèmes ai u compliqués des perturbât ionsi et que couronne enfin la découverte de Neptune. • 2'> Notice sur la mesure dos masses en Astronomie (296-319). (Annuaire de 1889). — « L'auteur nous apprend comment les astronomes pèsent les mondes en recou- K rant à des méthodes indirectes, qui reposent toutes sur les lois de Newton, mais « qui varient beaucoup suivant qu*elles doivent s*appliquer aux planètes accom- u pa^nécs ou dépourvues de satellites, aux satellites eux-mâmes, aux petites " planètes, ou au système des étoiles doubles dont on connaît la parallaxe. Il « fallait tou*e la science et tout le talent de M. Tisserand pour rendre un si^et ■ aussi ar mais il ne fait nullement double emploi. » La partie de cette Notice consacrée à la discussion des éclipses totales de soleil et à leur degré d*utilité pour la *^| chronologie sera lue avec le plus vif intérêt. 4* Notice sur les planètes intramercurielles (338-363) (Annuaire de 1882). — * Cette Notice, dit M. J. Thirion (/oc. cii), résume Tétat de nos connaissances sur ■ces astres hypothétiques. Elle montre comment Tétude du mouyement de ■ Mercure a amené Le Verrier à admettre leur esistence et elle passe en revue * tonteB les circonstances où on a cru les observer ». Il nous resterait maintenant à parcourir plus en détail les divers chapitres de roovragey mais, dans notre pensée, le simple exposé donné plus haut suffira à établir qn*il répond exactement à toutes les exigences de renseignement classique de la Cosmographie et qu'il va même un peu plus loin, sans dépasser pour cela kl limites du programme habituel. Nous exprimons donc le vœu que cet ouvrage parvienne rapidement à de Boavelles éditions.dans lesquelles les auteurs jugeront sans doute utile de réaliser quelques modifications peu importantes il est vrai. Voici à ce sujet quelques propositions que nous désirons soumettre. (p. 52). Marées. La note explicative doit faire partie du volume et non du rapplément; il nous semble qu'il conviendra de la placer, par exemple, à la lin du Uvre V. Cr». 63-64). Donner avec plus do décimales les deux coefficients décos 3 X. (p. 115-117). Explication de l'inégalité des jours et des nuits. Ajouter aux figures en perspective des figures en projection réduisant Thorizon et les parallèles à de simples droites. Définir le jour et la nuit polaires autrement qu*avec le qualificatif de perpétuel. (p. 148). Lune rousse. Donner Torigine de cette désignation particulière. (p. 259-266). L*hypothèse cosmogonique de Laplace ne donne pas l'explication de tous les faits ; il sera nécessaire de le spécifier et de mentionner Touvrage de M. Paye : Sur Vorigine du Monde, Enfin, nous devons signaler que les noms de Kepler et de Tycho-Brahe sont à écrire sans accent. Nous demanderons aussi que les Notices scientifiques soient complétées par quelques remarques pour tenir compte, s*il est nécessaire, des derniers résultats obtenus au moment de la réédition* (H. B.) Cours d'analyse de r£cole Polytechnique, par M. Camillb Jordan, membre de Tlnstitut, Professeur à l'École Polytechnique. 2« édition, entièrement refondue. TombIII. Calcul intégral (Équations différentielles). Paris, Gauthier- Vaiarset fils, 1896 (XII-642 p. in-8o). Prix : 16 fr. Prtfaee» Le présent volume n*a pas été aussi profondément remanié que les deux précédents. Les principaux changements sont les suivants : 20 — 250 — La Note finale sur quelques points de la théorie des fonctions a été sapprim^i les principaux résultats qu'elle contenait ayant été introdaita dans las deoz premiers Volumes. Les divers passages où interviennent les fonctions elliptiques ont été notablenent simplifiés en faisant intervenir les fonctions de M. WeierstraM à la place du anciennes fonctions 8n«, cnn, dn« L*exposition du procédé d'intégration des équations linéaires à coeffleienti constants a été changée. La méthode de M Vaschy [on plutôt de Brltfon], qu nous avons adoptée à la place de celle de Cauchy, se recommande par son élëganee et sa complète généralité. Nous avons enfin ajouté une démonstration de Texistenoe des intégrales dam U cas des variahles réelles, et Pindication des méthodes proposées pir Kummer et Halphen pour Tintégration de certaine» équations linéaires. Sommdire* Chap. L Équations différentieUes ordinaires. — L Notions prélimi- naires. Réduction à la forme normale. Elimination. Ordre d*un système. Équatloni différentielles al^^ébriques. Irréductibilité. A])plication aux intégrales abélieDOU- Solution pénérale. Solutions singulières. Énoncés divers du problème de l^tè* gration. II. Équntions du pnmier ordre. Intégrales. Facteur intégrant. Trtnsfbf mations in fini tcsi maies. Séparation des variables. Équation homogène. ÉqoatiO^ linéaire. Equations diverses. Équations de M. Darboux. Equation de Jaeobi.IT^ l'équation f{f, y') := 0. Usage de la diirérentiation. Équation de Clairaut. Formal^^ pour Taddition des transcendantes. Équation d'Euler. (II. Systèmes d'éqaatkHi^ simultanées. Intégrales. Multiplicateur. Systèmes canoniques. Théorème Poisson. Transformations infinitésimales. Cas d'abaissement du système. l'équation ^ = /•(»). Des équations y"=f(y), y" ==/(/). Courbes dont le* rayon do courbure est proportionnel a la normale. Mouvement des planètes. Lois de Kepler. IV. Équations linéaires aux dilTérenti elles totales. Équations simul- tanées aux dérivées partielles qui définissent les cx>mbinaison8 intégrables. Multi- plicateur. Systèmes complets. Systômes jacobiens. Intégration des ayfttèmee Jaoo- biens par la méthode de M .Mayer. Transformations infinitésimales. Théorèmes de M. Lie. V. Étude directe des inté^rraies. Existence des intégrales. Cas des variables relaies. Cas des variables complexes. Méthode des quadratures. Variation des constantes. Points critiques des intégrales. Cas des équations linéaires. Étude des intégrales aux environs d*un point critique, pour Téquation dg _^ 1 dx f{x,y) Étude des intégrales aux environs d'un point critique, pour réu> milieu indéfini. Propagation du son. Problème de Cauchy. Propagation de lA chaleur dans une barre indéfinie dans un sens. Cordes vibrantes. Refroidissement d*une barre hétérogène. Équilibre de température d'une sphère. Équilibre de température de l'ellipsoïde. Refroidissement d*une sphère. — Chap. IV. Calcul dêS variations. — I. Première variation des intégrales simples. Variations succesaiv^ d*une fonction ou d*une intégrale définie. Maxima et minima des intégrales définies* Transformation de la première variation. Conditions nécessaires et suflîsantes pour qu'elle 8*annule. Condition d*intégrabilité ùef(x,f,. . , |f("*), « , . . , «(»)). Transfor- mation des équations de la Dynamique. Brachistochrone. Ligne de longueur minimum. Lignes géodésiques. Application à Pellipsoide. Problème des isopéri- mètres. II. Variation seconde. Réduction à la forme canonique des équations de condition fournies par la variation première. Transformation de la variation seconde. Première condition pour Texistence effective d*un maximum ou d*i^ minimum. Propriétés des systèmes canoniques. Nouvelle transformation de ^'^' Caractères des maxima et des minima. 111. Variation des intégrales multiple' Principes généraux. Problème de Qauss. Surface minima. Transformation ^^ équations du potentiel. (P. B^-)' L'ouvrage de M. Jordan et celui de M. Laurent, où les principes fondament^^^ de Tanalyse sont exposés avec moins de rigueur, sont les seuls traités tnjxÇ^^ contenant, sous une forme moderne, à la fois le calcul différentiel, le calcul \t%t^ grml et la théorie des équations différentielles (*j. Le dernier traité complet avant ceux que nous venons de citer est celui ^^ Lacroix (1889). Recueil de problèmes de mathématiqaes. Géométrie du triangle. A l'osag» des classes de mathématiques spéciales, par C. A. Laisant, Docteur es sciences, Répétiteur à TÉooIe polytechnique. Paris, Gauthier-Villars et Fiis, 1896. (In-8* de X>ld6 pages). Prix : 3 fr. Ce volume est le sixième de la collection de questions extraites des principaux recueils mathématiques périodiques publiés en langue française depuis 1842. Matkem a annoncé les tomes précédents (voir (2) II, p. 21\. ; \^) lli, p. 66 et 228; (2) VI, p. 46) et ftit rassortir les services que M. Laisant rend aux professeurs et aux élèves en réunissant les questions proposées depuis une cinquantaine d*années sur les diverses branches mathématiques aux lecteurs des Nouvelles Anaales» de la Nouvelle Correspondance, du Journal de mathématiques élémentaires et spé- cialee, de MaUmU. L^ouvra^ que nous signalons ici présente un intérêt particulier, sur lequel il est inutile d^insister. Il renferme les énoncés de 454 propositions, groupées ainsi : Poinu remarquables (l-d7>, droites et angles remarquables tS^-30), cercles remar- O Les ouvrages analogues de Moîgno et de M. Bertrand sont restés inachevéï. quâbles (81-176), coniques remarquables (177-192), systèmes de triangles (198-?06), questions diverses (207-333;, lieux géométriques et enveloppes (944-379), relations métriques et trigonométriques (380-454) (J. N.)* NOTES EXTRAITES DE LA CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUE. (Suite; voir (Si), V, 138, 195, VI, 18, 42, 112, 200). 14. Nouvelle discussion de r ^nation générale des courbes du second degré. Fragment par M. Ampère (C.G.Q., X, pp. 00-103). L'auteur se propose de réduire Téquation Ay» + B^^ + Ca?» + Dy 4- Ea? + F = 0 (1) à une autre qui soit symétrique en x et y, de manière que la bissectrice ^o Tangle des nouveaux axes positifs soit un axe de sjmétrie. Les coefficients de x* et jf\ et ceux de x et y, seront égaux dans la nouvelle ^nation ; si c'est possible, on les réduira à zéro. Nous supposerons les axes primitifs rectangulaires. !• Si B» — 4AC^0, la substitution a? = a?' + a, y = y' + S peut '^duire Téquation (1) à la forme Ay'« + BxY + Ca?'» + F' = 0. (2) *-»a substitution x' =a?" cos a 4- y" cos a', y' = x" sin a -f" f" **° *' (^) *^mène (2) à A'y" « 4- B Vy" + C V + F' = 0, (4) Où A' = A sin' a' -[- B sin a' cos a' -[- C cos* a', C = A sin' a -[- B sin a cos or. -{-C cos' a, ^' =■ 2A sin a sin a' 4- B ( sin a cos a' 4" sin a' cos a ) 4- 2C cos a' cos a. Pour avoir A'==0, C' = 0, il faut choisir pour tga et tga' les 'tcinea de Am«4-Bm-|-C = 0; ^ racines ne sont réelles que si B* — 4AC > 0. Pour calculer B', on écrit B' = cos a cos a' [2A tg a tg a' 4- B (tg a 4- tg a') 4- 1], 1 1 cotaoo8a^ l/(i4-V«)a+tg'«') k^(i -tg«tgaT4-(^«4-tg«T — 254 — 2« Si B* — 4AC < 0, nons posons B' » 0 et A' « C. Soit G la Talesr commune de A' et C; les équations de condition penrent être écrite! ainsi : 2 A tg a tg a' + B (tg a + tg a') + 2C = 0, (6) A sin^ a' + B sin a' oos a' + C cos» a' = G (cos» a' -J- sin» a% (6) A sin* a -f B sin a ces a -f- C cos* a = G (cos* a + sin* a), (7) Des égalités (6) et (7) on conclut que tg a' et iga sont les deox racines de (A - G) m» + Bm + (C - G) = 0; (8) par suite, , C— G , ^ , B et régalité (5) se réduit à ^ 4AC — B» G= , 2(A + C) La condition de réalité des racines de (8) est B» - 4 (A — G) (C — G) > 0 ou B« — 4AC _4G(G — A — C>0; en substituant la valeur de G on trouve B* — 4AC < 0. 3» Si B* — 4AC == 0. réquation (1) est de la forme (My + Nx)» + D|f + Ea?4-F = 0. (9) Poor la rendre sjmétrique en x et y, dans le cas où elle représente une parabole proprement dite, il faut la réduire à « (y ~ ')' + rf (y + ^) +/= 0. (10) La substitution X = x' cos Jt -f- f ' oos a', y - «' sin a -|- y' sin a' ramène (9) à [y' (M sin a' 4- N cos a) + x' (M sin a + N cos a)]» 4-y'(D8injt'4-Ecosa')-i-a'(Dsina + Ecosjt)+ F = 0. (Il) Pour avoir la forme (10) on pose M sin a' J- N cos «' = - (M sin « + N cos a), (12) D sin a' -|- E cos a' = D sin « -j" ^ ^^ *• égalités que Ton transforme en — 255 — °^ celles-ci sont compatibles, c'est-à-dire si MD -j- NE = 0, on peut ^iH^re faire disparaître le terme connu de Téquation en posant ** =»fl?" -^ tf , y' = y" -}- a et en choisissant convenablement a. Si MD-j-NE^O, on pose Tégalité de condition (12) et on fait «' z=x" -ha, y' = y" -{- à, ce qui ramène Téquation (11) à (M «in a' + N cos a'y (y" — a?"-f-J_a)«+(y"4-S) (D sin a'+E cos a') + («" + a) (D sin a 4- E cos a) + F = 0; ou exprime ensuite que les coefficients de x" et ff'^ sont égaux, et pour simplifier davantage on égale à zéro le terme indépendant. Les deux édités de condition que Ton obtient ainsi, font connaître a et ( en fonc- tion des angles a et a', dont la somme résulte de (12) et dont la difTé- Pence reste indéterminée. tft. Point de Lbmoinb. Dans une lettre adressée par Gerono, profes- seur des pages du roi de France, à Quetelet (C.G.Q., III, pp. 16-20), nous trouvons quelques développements sur deux questions qui avaient ^éjàété traitées par Lhuilier [Analyse géométrique ^ pp. 296 et 135) et -SP-»+ • • * +^«>>' 2. 4. 6. ..2» 2*'-' = 4»» ^ — 3.5.7 ...(2p+l) (p+i)C.p+i,p+i (B. Catalan) La 1* partie a été résolue, et renoncé de la 2* partie rectifié (1) IX p. 194. Solution de la 2^ partie par M. Stuyvaert (Gand). Remarquon d*abord que (n+l)(w+2)...2»_ 1.2.3...2n __1.3 5...(2fi— 1).2"(1.2... ^*"'""~ " 'lT2~.~^ï (r.2.3..rfO'~~ ("lT2T3T..'îô^ ^ 1.3. 5. ..(2*1—1) ^ 1.3.5... (2« — l) 1.2.3...» 2. 4. 6. ..2» En faisant « =/) 4- 1, on a immédiatement la fin de la 2* partie d renoncé. Soit à présent la fraction suivante, décomposée en fractions ratioi; nelles : (i? + 2)(4? + 4)...(i?4-2i)...(,F + 2/?) A B ^'(x+l)(x+3)...(j:+2*+l)...(j-+2p+n~x4-2;»+i+«+2p- — 257 — Pour déterminer K, il suffît, comme on sait, de multiplier tous les i«rme8 par a?-|-2* -j- 1, puis de faire a? = — 2* — 1 : le 2** membre •e réduit à K, et le 1*' devient : (~ 2I+1)(— 2il + 3)...(— l).1.3...(2p — 21— 1) (l--2il)(— 2il + 2)...(-2).2.4... (2p ^ 24)'"* , 1.3. 5... (24 — 1) , 1.3 5...(2p-2il-.l) 2. 4. 6. ..2* ^ 2.4.6...(2p- 21) D'après Tégalité (!) ci-dessus, cette quantité est égale à Cl*,* X Ojp_t*,p_*, OQ aura de même As^Cipjp; B = Cij .Ci;,-.i,p».i ; ...; P^Cip^^. Substituant dans régalité (II), puis faisant x = 0, on a Tidentité à j Solution par M. R. Butsens. On connaît les deux propriétés ètéi coniques : Si TM, TM' sont deux tangentes à une conique, les angles FTM, F' T M' sont égaux. L*angle sous lequel on voit du foyer le segment d*une tangente mobile (PT ou Q'Q) intercepté par deux tangentes fixes (P'P, P'T) est constant. Par le foyer F menons une parallèle FR à PP'; nous aurons : angle PFT = RFQ' = FQ'Q = F'Q'T. Les triangles TPF, TQ'F' ayant les angles en T et les angles en F et en Q' respectivement égaux, sont semblables ; donc : TF. TF' = TP. TQ' = TP'. TQ. Solution analogue par M. Mandart. Solution analytique par M. DéPBU. (Voir Mathesis, (2) V. p. 56). Soient ABC un triangle donné, A'B'C U triangle Jormé par les milieux des côtés de ABC; (>i le centre du cercle inscrit dans A'B'C et OU centre du cercle circonscrit à ABC. Démontrer les relations : -i ww' -f- co'O" r cow'"-f w'O ={R — r)(R 2r), ^ .= 1 _- , coO' ^ r et R étant les rayons des cercles inscrit et circonscrit à ABC. (B. N. Barisebm.) — 261 — SoliUionpar MM. A. Droz Farny, Dbprbz, B. Jonbsco et Klompbrs. I^ tout triangle on a : v,0 = / R (R — 2r), wH' = 4R» + 4Rr + 3r» — p« , -71» «» + 5H — JÔRr wG =^ — ! . 9 Les triangles ABC et A'B'C sont inversement semblables par rapport à leur barjcentre commun G, le rapport de similitude étant 2:1. On mit en effet, que le centre 0 de ABC coïncide avec Tortbocentre H' de A'B'C; on a donc — ;« Ô^-t l>* + 5r» — lôRr 4 4 — -, , 4R» 4- 4Rr 4- 3r» — p» 4 On en conclut : I. ««'•-f'iyÔ*=R' — 3Rf + 2r« = (R — r)(R — 2r); et comme «Ô* = R(R — 2r), 0)^0' 4, 00(0- • _ (R — r) (R — 2r) R ~-^~« R(R-2r) "" ""r' Solution par M. Critescu. Soient H Torthocentre de ABC, G le centre de gravité, 0' le centre du cercle des neuf points. Comme H et 0, O et O', (ù et a)' sont des couples de points correspondants des triangles inyersement semblables ABC, A'B'C, les points 0, G, 0\ H sont en ligne droite, et HG =» 2G0 = 4G0' (tbéorème connu); de même, &>, G, tt' sont en ligne droite et gjG ^ 2Goi>'. Soit m le milieu de gjO ; le triangle »*(kè donne (ù'O 4- w'w == 2(ù'n + 2»«' . (1 ) Les droites uO, O'od' sont parallèles et dans le rapport 2 : 1 ; donc OÊM'iy est un parallélogramme, et (ù'n ^=3 O'(o. D^aprèd des théorèmes connus ";ïii* = i^*r=iR(R -2r), ûi'ii =3 0'» = J R — r n, etc. <*l La cercle des neuf points touche le cercle inscrit. — 262 - Question tOt0. (Voir MatheiU, (2) ▼. p. 80). Sur la normale en un point X d'une ellipse (B) on porte des longu$mn XP et XQ égales au iemi-diamètre parallèle à la tangente en X. Par les points P elQ on/ait passer deux cercles dont les centres sont situés respee- tivement sur les diamètres passant par P elQ. La tangente en X ren/oonire ces deux cercles en deux couples été points M, M' «^ N, N\ Si lepoimi X varie sur (E), Vun des couples décrit une ellipse. Vautre une kfperhcU. Ces deux courtes et T ellipse (Ë) sont confocales. (Cl. Skrtais.) Solution par M. Lii^nard. Le point P parcourt le cercle directeur (G) de Tellipse (EO ^ a— 1 a^-^-ah * h^ + ah homofocale à E. L'ellipse E est la courbe polaire de (C) par rapport à W. Enfin, le pôle, par rapport à E\ d*une tangente à la conique E, est 'sur la normale à E (Coniques confocalesi Salmon). Ces propriétés entraînent la question proposée. Solution analytique par M. Déprbz. Soient (a cos 9, htintf) les coor* données de X; on trouve facilement pour celles de P, Q, p \ (a + S)cos(p. l (a — S)cos(p, I (a + h) sin cp, I — (a — h) sin 9. Les droites OP, OQ et la tangente en X ont respectivement pour équations y = a?tg9. y-= — a?tg9, ay sin 9 4* te cos 9 = ai; (1) on en déduit les coordonnées du centre de la première circonféreoca : ah cos 9 ah sin 9 a sin* 9 4" J cos* 9 a sin* 9 -j- J cos* 9 * ensuite, Téquation de cette circonférence (ah cos 9 \ \( ^^ ®*^ 9 \* a sin* 9 -|- i cos' 9/ ' \ fl sin* 9 + J cos* 9/ "^ (a* sin' 9 + 3* cos* 9\« a sin*9-|- Jcos*9 / — 263 — L*éqaation da liea des points M, M' s'obtient en éliminant (p entre (1) et (2). A cet effet, éliminons tour à tour y et x entre (1) et (2); nous aurons «* (a sin' 9 4" * ^*' 9) — ^^^ ^^^ 9 — *' (^ 8^^'

8' 9 • Ja?* + ûy» - ab(a-\-b) = 0. (5) Le lieu est donc une ellipse homofocale à Tellipse proposée. Le lieu des points N, N' s'obtient en changeant, dans les calculs précédents, h en — b, et 9 en — 9; c'est une hyperbole homofocale à la courbe donnée. QUESTIONS D'BXAMBN. 9€4. Démontrer la formule 2- + 2— 'C,., + 2— 'C*,! + 2— »C.., + •• + 2«C,«_,.^, + -f" 2Cim-t,m_l -f" ^»"» »»-• =^ Otm^l^m' (SOONS.) On a OQ CtM,M = 2^3m-2,«-l -f-2^t«».2,m-2. (2) Dans la formule (2) remplaçons m successÎTement par m. m -l, «—2, ... 2, 1 et fldaons la somme des égalités ainsi obtenues après les a?oir multipliées respecti- vement par 1, 2, 2«, .... 2--», etc. 9MI. La normale en un point M d*une ellipse rencontre les axes en N et N'. Le centre de courbure relatif à M est eu G. Si 9 est Tangle d*anomalie excentrique en M, on a Cela résulte des formules faciles à démontrer CN* = ^,8in«y(a«sinV + **co8«f). CN'* = — cos •p (ut sin *f + ** ces 'f ). — 264 — 70S. Maximum on minimum de sin^ m cos* x. Le carré de cette expression étant (sin'â^/ {eoB*mf et la somme 8in*dr 4- eo8*i? étant constante on pose Bin"« _ co8*d> 1 On trouve un maximum dans le premier ou le troisième quadrant, un minimum dans chacun des autres quadrants du cercle trigonométrique* 909 . Trouver une valeur de a telle que les équations «•— .(a + 2)a? + 34 — 5 = 0, (a- Z)x^ — 2ax '\- Aa - 8 = 0 aient une racine commune. QUESTIONS PROPOSÉES. tOOS. L*bjperbole des pieds des normales menées à une ellipse» d*an ^int mobile sur la circonférence qui a pour diamètre an axe de cette ellipse, enveloppe une kreuzcurve. (Barbbttb.) 1IKI4. Réduire en fraction continue périodique rexpre88ion|/a'— 2, a étant un nombre entier plus grand que 2. Peut-on développer de même ^a* -{- a + ^ » 1® nombre des termes de chaque période étant indépendant de a ? (J., Liège.) '^tOOft. Construire un pseudocarré ABCDi connaissant : 1*^ Le côté AB et les distances des sommets A, B au côté opposé CD; 2* Le côté AB et les distances des sommets G, D au côté AB; 3^ La diagonale AG, le côté AB et soit la distance du milieu de ABàCDf soit la distance du milieu de GD à AB ; 4* Les côtés opposés AB, GD et leur angle; 5^ Les côtés AB, CD et la diagonale AG; 6* La diagonale AB et les angles opposés G, D; l"" Les côtés AB, AD et Tangle B. (Dâprez.) ItMM. Chercher les lieux du centre, des foyers et des sommets des coniques inscrites dans un triangle donné et dont Taxe fooal a une direction donnée. (Déprbs.) Redlflealtoa. L*énoncé de la question lOtt étant partiellement inexact aoa rectifié dans la livraison de décembre* — 265 — « PROPRIÉTÉS DES CERCLES DE CHASLES {*). par M. B. N, Barisibn. (Voir MtUhesU (2), V. pp. 129, 158 et 241) (♦♦). lit. Le lieu du point dMniersection d'une normale à Tellipse B aa point d'angle excentrique 9 avec la droite y = Aâ; tg 9 est Tellipse X' p' c" >-i_?_ = ** {ab — i)» Poar ^ = d: 1, on retrouve les cercles de Chasles 1 et 2^ 119. Si on porte sur la normale en un point de E, une longueur égale à fli fois le demi-diamètre conjugué de celui qui passe en ce point, le Heu de Textrémité se compose de deux ellipses ayant pour demi-axes adbnb^ bdona. Pour il == =fc 1 , on retrouve les cercles 2 et 2'. fis. L*aire de la podaire du centre de la développée de Tellipse Eest équivalente à la moitié de Taire du cercle 1\ 114. Si on considère Telliise E et le cercle concentrique à E, de ab rajon — r— 9 et si on mène une corde de E tangente à ce cercle, le lieu du point de rencontre des normales aux extrémités delà corde est unecourbe fermée dont Taire est trois fois Taire du cercle 1\ ab Si le cercle concentrique a pour rayon — t le lieu analogue résul- tant est une courbe dont Taire est équivalente à celle du cercle 1\ lift. On considère Tellipse E et Tellipse E' égale et concentrique à £, dont les axes ont mcme direction que ceux de E, mais sont de noms contraires. Soient OA ctOB deux demi-diamètres conjugués de E, et COC' le diamètre de E' perpendiculaire à OB. 1* Le lieu du point de rencontre des normales à E en A et à E' en C eet le cercle 1, (^) Cet article est un complément de celai que nous avons publié en 1895. Voir aiisti les Notes sur Us cercles de Chasles^ de M. Droz Farn y. Mathesis (2j YI p. 193. (^) Les notations qui vont suivre ne seront pas toi^ours les mêmes que celles de Tarticle précité. Biles seront d'ailleurs indiquées au fur et à mesure de Texposi- tien des propriétés. •il — 266 — 2^ Le lieu da point de rencontre des normales à B en A et à B' en (7 est le cercle 2^ t §•. Soient M un point de E, M' le point correspondant du cercle principal, N le point correspondant du cercle 1. De M, on mène deux àb tangentes au cercle concentrique à Ë et de rayon — r-r • La droite qui joint les seconds points de rencontre de ces tangentes avec E est tangente au cercle précédent à son point de rencontre avec la droite NM'. 119. £n un point quelconque A de Tellipse de centre 0, on mène une corde AI également inclinée avec OA sur les axes. Les normales en A et I se rencontrent en H. De H on peut abaisser les deux autres norma- les dont les pieds sont B et C. Le lieu des sommets des triangles formés par les tangentes à A, B, G est le cercle 2. Propriété spéciales aux triangles inscrits dans le cercle 1 et eircanserits à Vellipse E (♦). Rectification de la propriété tOS el autres propriétés qui en d^ + >»)• 194. Le lieu du point d'intersection de la tangente en A' avec B'C Mi la kreutcunre a*{a + 2by , b*{2a + by ^ «» ~ y« tSft. Le lieu du point de rencontre de la tangente en A avec BC est la kreaicurre 9 — 268 — 19S. Le lieu du point d'intersection de la tangente en A et de B'C est la kreuscurve 199. Un côté K du triangle ABC et la hauteur H correspondante sont liés par la relation H« [4 {a + by — K»] = [4 (a + by + 2ab — K«]». itS. Les hauteurs du triangle A'B'C sont normales àTellipse a?» y' {a^ — b^y «*■"**""(«* — *•)«' 199. Le lieu du centre de gravité du triangle A'B'C est une courbe fermée ajant pour aire Tcab /a— ^\* :) 3 \a + b^ ISO. Le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle Â/B'C a pour aire 37r (g -^ by U= ^_. On pourrait trouver aussi Taire du lieu de Torthocentre du triangle A'B'C et Taire du lieu du centre des neuf points de ce triangle. Chacune de ces courbes est unicursale. tSt. Soit I le pied de la quatrième normale abaissée de Torthocentre H de ABC sur Tellipse E. Le lieu des centres des cercles A'B'I, A'C'I, B'C'I est une courbe ajant pour aire TT (g - by V tS9. La droite A'I intercepte sur les axes de Tellipse E une longueur constante égale à (a -|* ^) : par conséquent, les droites A'I, B'I, CI enve- loppent une hjpocycloïde à quatre rebroussements ajant pour équation ^' + P'=ia-hby ISS. Le lieu du milieu des cordes A'I, B'I, Cl e^t la courbe (»»*» 4- a'f'y (>*«• + a*y*) — (« + by a^b'^Y- — 269 — ftS4. Le lieu des pôles des coi*des A'I, B'I, CI par rapport à Tellipse B est la krenzccirTe a* S* J. + y. = (« + *)'• tSft. Le lieu du centre de Thyperbole d'Apollonius relative à Tor- thocentre U du triangle ABC a pour aire tS6. Le lieu des milieux des côtés du triangle ABC est la podaire du centre de Tellipse E. tS9. La droite OA passe par le milieu de B'C. tSS. Le:i droites OA' et A'I sent également inclinées sur les axes de Tellipse. tS9. Le lieu du point de rencontre des droites BC et B'C est la kreuzcorye — — = c* • t49. Le lieu du point de rencontre des droites OA et B'G'est la courbe {b'x' + a'y») = ^^^yio:' + V') ' ajant pour aire _ nab (g* + b*) - 2(0+^' 141. Le lieu des milieux des hauteurs du triangle ABC est une courbe ayant pour aire Tcab U = 7r(fl — ft)» + -|-. #49. Le lieu du centre de gravité du triangle A'BC est une courbe ajant pour aire V = l[2(a*-\-b') — 3ab]. 14S. Le lieu du centre de gravite du triangle ÂB'C est la courbe — 270 — ayant pour aire 144. J étant le symétrique de I par rapport à 0, les droites K'J, BV, G'J enveloppent une courbe ayant pour aire t4ft. Le lieu du milieu des droites A'J, B'J et G'J est la courbe (j'a?» + aYY («' + y') = «*J* (*•«* — «y*)*. dont l'aire est la moitié de celle de i*elllpse Ë. t4tt. Le lieu des pôles des droites A'J, B'J, C'J par rapport à Tellipse B est la courbe {b'x^ — ayy = «•** («' + y*)- 147. Le lieu de pôles des droites A'J, B'J, Q'J par rapport au cer- cle 2 est la courbe i 4S. Le lieu des projections du centre 0 sur les droites A*J, B'J et C'J est la courbe («• + y*)* (**«• + «*y') =• («•«' — J'y')*. C'est une courbe unicursale dont on pourrait déterminer Taire. t49. Le lieu du point d'intersection des droites OA et A'Jestla courbe (Jifl-t _ aYV («' + y') — «'J" (to' — fly*)*. I ftO. La droite A'J rencontre OA en son milieu. Donc, le lieu du point de rencontre des droites OA et A'J est le cercle 4(«' + y') = (a + »)«. tftt. Soient a, bt e, les points de contact du triangle ABC arec l'el- lipee B. Les droites Aa, Bb, Ce sont normales à l'ellipse a?» y* 1 (a-f 2»)« ' i2a-\-by 9 Iftt. Les droites Aa, B^, Ce, concourent en un même point dont le lieu a pour aire Snob (a — b)* U== (a + 2^)(» + 2a) - 271 - lAS. Soit dans Tellipse E, la corde AB, polaire d'un point quel- conque du cercle de Monge par rapport à £. Les normales en A et B se rencontrent en N. Le lieu de N est une courbe dont Taire est équiva- lente à celle du cercle 2' (Le cercle de Monge, ou cercle orthoptique, est le lieu du sommet des angles droits circonscrits à l'ellipse). BIBLIOGRAPHIE. Hoane Wronski. Jego zycie i prace napisal S. Dickstsin. Cracovie, 1896. (On Tolame in-8» de IV-368 p. avec portrait et autographe). Notice sur la vie et les travaux de Wronski (en polonais). Le catalogue des écrits de Wronski ou relatifs à Wronski, qui n'occupe pas moins de cent pages, est malheureusement la seule partie de Touvrage de M. Dickstein qui soit accessible à la plupart des personnes qui s^intéressent au célèbre géomètre polonais. Algebraic Analysis, Solutions and Exercises, by G. A. Wbntwobth, A. M., J. A. Me Lbllan. LL. D., and J. C. Glashan. Part. I. Boston, U. S. A., Ginu and 0, 1889 (lX-418 p., in-8«; cartonné). Sommaire : 1-4. Calcul algébrique. 5-6. Équations du premier degré. 1, Équa- tions du second degré. 8. Puissances et radicaux. 9. Équations du 3« et du 4* degré. 10. Déterminants (plus de cent pages d'exercices). Traité d'Analyse par E. Picard, membre de Tlnstitut, professeur à la Faculté des Sciences de Paris. Tome III. Paris, Gauthier- Villars et dis, 1896 (XIV4^ p. gr. in-8). Prix : 18 fr. Théorie des singularités des intégrales des équations différentielles. Étude du cas où la variable reste réelle; étude des courbes définies par des équations diffé- rentielles. Équations linéaires ; analogies entre les équations algébriques et les équations linéaires. Laçons snr la théorie générale des snrfaces et les applications gëomé- triqnes du calcul infinitésimal par G. Darboux, membre de Tlnstitut. professeur à la Faculté des Sciences de Paris. Paris, Gauthier^Villars et tils (4 vol., gr. in-8 avec figures dans le texte, se vendant séparément). Prix de chaque vo- lume, 15 ft. Première partie : Généralités- Coordonnées curvilignes. Surfaces minima (YI- 513 p.) ; ISS*?. — Deuxième i>artie : Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. Des lignes tracées sur, les surfaces (X-522 p.); 1889. — Troi- sième partie : Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfkccs (VIII*512p.); 1894. — Quatrième partie : Déformation infiniment {X'tite et représentation sphérique. Notes diverses (VlII-548 p.); 1896. La Cours eTAnalfse de M. E. Picard et la Théorie des surfaces de M. G. Darboux sont des ouvrages de premier ordre, mais ils ne rentrent que très partiellement dans le cadre de Mathesis. 11 nous suffira donc de les avoir signalés à nos lecteurs. - 272 — fieometria General par D. Z. Garcia db Galdbano» Catedràtico de Geometria analitica de la Univerfddad de Zaragoza. Zaragosa» G. Arino, 1896 (168 + 152 p. in-8S avec 61 -}- 145 usures dans le texte). Prix : 10 fr. PBB^aèRK PARTIE. ThéorètHes ^ problèmes et méthodei §éwnétriquei. Introduction historique. I. Généralités sur les propositions et les méthodes. 1. Propositions. 2. Analyse géométrique. 3. La méthode synthétique. II. Système* ou méthoda géométriques. 1. La méthode de la géométrie euclidienne. 2. La méthode trigono- métrique. 3. Les méthodes de la géométrie projective (méthode de Poncelet; calcul barycentrique de Mobius; Chasles et le rapport anharmonique ; von Staudt). 4. Méthodes analytico-géométriques (généralités; imaginaires; équipoUences; méthode de Grassmann; quaternions). Deuxième partie. Systématisation de la géométrie, 1. Préliminaires; premières propositions d*£uclide; notions de géométrie non euclidienne; 2. Systématisation de la géométrie élémentaire. 8. Figures adjointes au triangle* 4. Coniques. 5. Lieux géométriques. 6. Théorèmes et problèmes. 7. Géométrie récente. 8 Systèmes de cercles et de coniques. An Elementary Treatise on Rigid Dynamics by W. J. Loudoh, B. A. Demonstrator in Physics in the University of Toronto. New-York and London. Macmillan and C<», 1896 (IX-236 pages, cartonné). Sommaire. l-2« Moments dMnertie, ellipsoïde dMnertie. 3. Le principe de d*Alem- bert et le principe de Ténergie. 4-5. Mouvement autour d*un axe fixe. 6-8* Mou- ▼ement autour d*un point tixe. 9. Mouvement d'un corps libre. 10. Gyroscopes de Foucault, (électrique) de Hopkins, de Bcssel, de Magnus. — Note sur le pendule et la toupie. — Problèmes divers (306 exemples, pp. 117-236). — Il y a beaucoup d'exemples dans les chapitres l 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 comme application des principes. Index operam Leonardi Ealeri confectus a J. G. Haqbn, S. J. direotore speculae astronomicae collegii Georgiopolitani Washington D. C. Berolini, Félix L Dames. MDCCCXCVl. (In S» de VIII-80 pages). Prix : 2 marcs. Ce catalogue nouveau des œuvres d'Euler est plus complet que les cataloguée antérieurs de 1783 (N. Fuss), de 1787, et de 1843 (P. H. Fuss) et est (ait d^une manière plus systématique. Il comprend 796 numéros, dont 419 se rapportent aux mathématiques pures, et sont classés en 20 sections, 264 à la mécanique et à la physique, classés en 11 sections, 185 à l'astronomie, classés en 4 sections , enfin 28 numéros sont consacrés à des ouvrages divers classés en 3 sections. Un appen- dice contient \^ l'indication de 7 écrits inédits, de 6 qui sont perdus et de 8 qui sont faussement attribués à Euler et 2* Une comparaison du catalogue actuel avec celui de 1843. Les ouvrages à part publiés par Euler sont indiqués en tête de cha* cune des quatre grandes subdivisions, sauf deux recueils de Mémoires réunis par lui en volume, les Opuscula vani argumentt^ et les Opuscula analfftica. Selon nous, les titres de ces deux ouvrages auraient dû être donnés exactement dans la prélace. Le travail du P. Hagen peut être regardé comme Tintroduction à une édition des - 273 - OBiiTreB eomplètes d'Boler, laquelle comprendrait probablement 25 Tolumei in4« 6t coûterait au moins de 150,000 à S00,000 francs. Nous avons appris que l'auteur a d^à réuni, dans ce but, une somme de SOOOO dollars. Recnoil do problèmes d'Arithmétique, à l'usage des Écoles moyennes, des Écoles normales, des classes d'humanités et des Cours professionnels, par Tabbé E. Geum, Docteur en philosophie et en théologie. Professeur de mathématiques au Collège Saint-Quirin à Huy. Tromème édition^ considérablement augmentée* Hu j» 1896. Un volume de 284 pages in-8(». Prix : 2 fr. Cette troisième édition du Recueil de problèmes de M, Grun renferme 3066 pro- blèmes, dont 2387 d*iirt/Am^/ig««, 450 à*ÂniMmoloçie{*) et 249 sur la «e9«re dee êurféKês et dee volumes. Bile contient 1068 problèmes de plus que la deuxième édi- tion et 1631 de plus que la première. Bn outre, plusieurs numéros de la précédente édition ont été considérablement augmentés : ainsi l'ancien n^ 135, qui renfermait 10 exercices sar Vaddttion des fractions^ est remplacé par le n« 277, qui en ren- ferme 60. Pour donner un spécimen des problèmes nouveaux, citons, par exemple, les suivants, sur les mesures de longueur et sur les poids : 658« On veut lier, dans le sens de la longueur et de la largeur, un paquet qui a 60 cm. de long, 25 cm. de large et 15 cm. de haut : quelle doit être la longueur de la corde, en comptant 10 cm. pour le nœud? ^ R. 2*40. 1017. On a expédié, en 1893, 1750 millions de cartes postales internationales. Ces cartes ont 14 cm. de longueur^ 9 cm. de largeur, l de millimètre d'épaissour et un poids de 8 g. Calculer : V* le poids total des cartes expédiées en 1893; ^ lenr volume; 3" la hauteur à laquelle on arriverait en les empilant; 4*Quello Ion* gneur on obtiendrait en les plaçant en contact dans le sens de leur longueuf ; 5* la snrûice totale qu'elles pourraient recouvrir. R. 1* 5,250,000 kg.; etc. L'ouvrage se termine par une table de 33 nombres usuels, et par les valeurs, à dix décimales, de |^a, logii, «tt et ii : ir, depuis «= 1 Jusqu'à 11= 100. Quoique l'ouvrage de M. Gblin se soit accru de moitié (284 pages au lieu de 196), le prix n'a cependant été augmenté que d*un septième (2 fr. au lieu de 1.75 fr.). Anniiairo pour l'an 1897 publié par le Bureau des longitudes; avec des Notices sdentiâques. Paris, Gauthier- Yillars. 1896. (In-18 de y-918 pages, avec 2 cartes magnétiques. Outre les renseignements pratiques qn*il contient chaque anaée, VAnmunkt du Bureau des Longitudes pour 1887 renferme des articles dus aux savants les plus illustres sur les Monnaies, la Statistique, la Géographie, la Minéralogie, etc., enfin les Notices suivantes : 1. Notice sur le mouvement propre du système solaire, par II. F. Tisserand. 2. Les rayons cathodiques et les rayons Rdntgen, par M. H. Poin- (*) Les 450 Questions d'Ârithmologie du Recueil de problèmes de M. Gbun ont été données en supplément à la livraison de mars de Matkesis de cette année. 22 — 274 - cam. 8. Les ^poqàéi danâ l*Éî8t'oirè astéonomiqaé des plânèCee, {te^ It; i. ièAiaÉéXï. 4. liotioe Éarlh qnatriiine Réunion ild Comité international potur Texëentidn dé la Carto photog^raphiqas da Ciel, par M. F. Tisserand. 5. Noiice sur las trataUx de la Commission internationale des étoiles fondamentales, par M. F. Tisserand. 6. Dis- cours prononcé aux funérailles de M. Hippolyte Fiseau, par M. A. Cornu. 7. Dis- cours prononcés aux funérailles de M Tisserand, par MM. H. Poincaré, J. Janssen et M. Lœwy. 8. Travaux au mont Blanc en 1896, par M. Janssen. Répertoire bibliographi4ae des Sciencei mathématiques. Troisièma série : Fiches 201 à 300. Quatrièihe série : Fiches SOI à 400. Paris, Ganthie^yillars et fils. Juillet 1895, octobi^ 1896 (200 feuillets détachés, dans deux boftès cartonnées). Priz:4fr. Genre de géométrie descriptive à Tusage des candidats à PÉcola polytech- nique^ etc., par X. Antomari, ancien élève de l'École normale supérieure, etc. Paris, Nony et O; 1897 Igr. in-8 de 572 pages). Prix : 10 fr. Petites tables de logarithmes à sept décimales pour les nombres et les lignes trigonométriques d*après Vega et Callet, par Ad. LaBàona. Brnxellee, Jansaens, 1896 (VIIl-278 p. in-18). Prix : fr. 8-50. NOTE MATHÉMATIQOB. il. Sur la question 949 {Mathesis, (2) VI, p. 27. La solution de M. Soons ne donne pas des carrés distincts pour la décomposition de (a* -{- b^y en deux et trois carrés. Voici des identités dans lesquelles les earréa sont distincts : !• (a>4-}y=(a«— *»)•(a*-14a•*»^-**)«+4a'J•(3«*-10û'*•+^**)*• 2• (a' + }•)• = 16a«J« {a* - *')• + 64a*»* (a» — 6«)« + (a» + }«)«(a* — 6a«*« + »*)•. 3* En remplaçant, dans le second membre de la dernière identité (a* -[- b*y par (a* — b^Y + 4a*J*, on obtiendrait une décomposition en qaatre carrés, différente de celles qui ont été données par M. Soons. (B. Fauqubmbbroub.) SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. (Voir Mêikesit, (2) V, p. SI). Un disque circulaire mobile autour d*un axe passant par son Cêfitre et perpendiculaire à son plan reste immobile tous VacHon de trois fortes tam- gentielles AJl\ B6% CC, appliquées en des points quelconques de son péri- — 275 — wêUrê et invenemnU proportionnellei aux longueurs des ta^genieSt ces lignai étant mesurées depuis le point de contact de chacune d'elles A, B, C jusqu'à la droite BG, CkouhB menée par les deux autres points de con- tact. (F. J.) Solution par MM. J. Jonrsco, Strtmbbrsch, Klompbrs et Mandart. La somme des moments des forces par rapport à l'axe do disque doit être nolle. La question revient donc à démontrer que ^ +bl.-+7;)r = 0(*), (1) AAi BB| CG| Aiy Bi, Cl désignant les points de rencontre des tangentes en A, B, C aréoles côtés opposés du triangle ABC; les segments AAi,BBiy CCi sont supposés soumis à la règle des signes, d'après le sens de la rotation que des forces représentées par ces segments imprimeraient au disque. Les triangles semblables AA|B, CAiA donnent successiTement --zr=-— -=-i A|B = AAi£» A|C=AA|-» A|B AAi c à e jt_c« 1 }» — c« a = A,C -AiB = AA, — - — , — - = — r bc AAi aoe Par analogie 1 c^ — a^ 1 a« — *» t etc. BBi abc GCi abc QacsIloB tOti. (Voir MatkeHt, (2), V, p. 80). Par un point quelconque M d'une parabole on mène deux cordes MA, MB parallèles chacune à une direction donnée. 1* La corde AB enveloppe une parabole; 2* Le lieu du centre de gravité du triangle MAB est une petrabole. (£. N. Barisibn.) Solution par M. Cristbsco. Soient y* == 2px Téquation de la para- bole donnée. Si les coordonnées des points M, A, B sont (l-^> (g-)- (î-"} {*) Question 620 du Journal de Vuibert. (TnTUDCA.) — 276 — Les coefflcientd angalaires des cordes MA, MB seront Comme ils sont constants on aura, (3 + y,=«i, (3 + y, = n. (i) L'équation de la corde AB est 2p / yj \ y— yi= — f— {*""^)5 ou en tenant compte de (1), (2) Cette équation, ordonnée par rapport à (3» devient P' + (2y — w — n) (5 -I- 2p« — (w + ») y + mi» = 0. (3) En exprimant qu'elle a une racine double en (3, on trouve que Ten- Teloppe de AB est la parabole y» — 2m +- (m— ny = 0. 4 2* Les coordonnées du centre de gravité du triangle MAB sont ^ P« + (« - (3)» + (« -fi)'^ ^_p + (w-p)4.(»-p)^ ôp 3 ou ^33' -2(m + i*)<3 + «>*' + ^* ^iii + i»-(3 6p '^ 3 Si l'on élimine |3 entre ces deux dernières équations, on trouve la parabole 27y« — 6p« — 12(w4-n)y + 2(fii« + iiw»4-ii«) = 0. Solations analogues par M&l. Cola.rt, Dboz Fa.bnt, DépRBz, Butsbns, J. JONBSCO, B. JONMCO, MaNOART. — 277 — ^Question t«tt, (Voir MatheOi, (9) V, p. 80). Bétumârt le iytUme. tg(y — a?) = 48in« — 2co8«. (J. Jombsco.) SoMion par MM. Haokbn, B. JoMssck), Déprbz et Mamdart. Lea équations proposées donnent, par addition et par soustraction, tg (y + a?) + tg (y — a?) = 8 sin « , ( 1 ) tg(y + «) — tg(y — «) = 4cos«. • (2) En divisant (1) par (2) et remplaçant tg par — on troare cos sin2v -^-5^ = 2tgfl?, ou sin 2y = 4 sin» a?. (3) L*équation (2) peut s'écrire 2sin2â? = 4cos«. (4) cos 2a? -{■ c^s 2y On en déduit d'abord cos x = 0, solution qui, combinée aTec(3), donne cin 2y = 4, et, par suite, doit être écartée. On en tire ensuite cos 2y =3 sin â; — cos 2x. (5) L'élimination de y entre (4) et (5) est facile. On trouTe 1 = 16 sin* X + (sin â? — 1 -j- 2 sin* a?)", •u 20 sin* a; -}- 4 sin » a? — 3 sin» a? — 2 sin a? = 0. (6) La solution sin a; = 0 est à rejeter, car elle réduit le système proposé aux équations contradictoires tgy=3:pl,tgy= :fi2. L*équation (6) est vériflée par sin a? =» |, qui entraîne sin 2y = 1 , de sorte que nn . . n 6" a? = n7r + (— 1)—, y = ii'7r-f-, fli et II' étant des nombres entiers quelconques. En écartant la racine lin a? = f on trouve Téquation 10sin«a? + 7sin« + 2=:0, dont les racines sont imaginaires. - 278 - (Voir Maihesù, (2) VI, p. 128 et NX^.ll., p. 188, t. III, p. 128). Bliminer a et 3 ^«^^^ fe' iquationt «•(3« + Va} = a«i«, c'a» — (<î« + a») «•« + a*a? = 0, (jipi — ((jt - }») }tp — }»y c= 0. (H. Brocard.) Solution par M. B. Fauqubicbbroub (La Rochelle). La première éqaation (ellipse) est yériflée si l'on pose a == a cos tp, ^ «= i sin 9, et les deux autres deyiennent : (1) c" cos^ (p — {e*'}-a*)coB(p + ax = 0, (2) «• sin* 9 — (c* — b*) sin 9 — Jy = 0. De celles-ci on déduit (3) (M? cos 9 + ^ sin 9 = a' cos* 9 -|- J* sin' 9, (4) — oa? sin 9 + îy cos 9 = — 2c' sin 9 00s 9. L'équation (3) est celle de la perpendiculaire menée à l'extrémité (a cos 9t b sin 9) du diamètre de l'ellipse et l'équation (4) en est la dér^yée relatiye à 9. Donc le problème proposé par M. Brocard reyj/Bmt à trouver Ji'^nyjeloppe de cette perpendicujlaire, problème traité p^ Tortolini, qui, en éliminant 9 entre les équations (3) et (4), est paryena à l'équation [4 (a* + }* — a^V) — 3 (a^x^ + Vy*)y = [9a»(2>»—a«)«*+9}» (2a»— 6«)y«-4 (a«+J«)(2a«—J«) (2>» —«•)]«. Mais, comme l'a fait observer Catalan {Cours t Analyse^ p. 461), an lieu de discuter cette équation, il yaut mieux tirer xeiy des équations (3) et (4) ou plutôt, ici, des équations (1) et (2) : a* + c* sin* © J* — «ÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE, MET AGÉOMÉ TRIE. Sur la géométrie non euclidienne; par MM . Dauge et Mansion . Problème de géométrie solide ; par Hachette Problème de Bruno ; par Quête let et M. Neuberg .... Sorcêrtains triangles; par M. E. N Barisien . .... Ihi triangle est isoscèle, sMl a deux bissectrices égales (G. Tarry) Théorème de géométrie ; par M. Soons . . Snr lea triangles à la fois semblables et homologiques ; par M. V. Jerabek Sor un lieu géométrin83 (2)11 128 176 215 216 NR 92 784. 785. ^789. >^803. ><814. 815. 825. 857. 876. 882. X886. X889. 892. 89i:bU . 901 . 905. ^909. 910. 932 . 933. 935. 939. 940 . 942 . ^944. 945 . 946. ^947. X948. posés (2)11 216 216. 240 (2) III 31 56. 56. 80. 176 216. 240 210 264 264 280 (2)1? 31 32. 55 55 104. 104. 104. 127 127. 128. 128 1W8. 151 151 . 151 «éSOL (2) VI NR 114 NR NR NR NR NR 134 22 23 25 i6 134 POSKB aisoL (2) IV (« ^I 27,274 X949. . 151 . 952. . 152 953' . 152 954. . 152. . 185 955. . 175. . 117 956. . 175. . 136 957. . 175. . 137 X959. . 175 ^960. . 176. . 69 X961 . . 176. . 177 962. . 176. . 180 ^^963. . 176 94 964 . 214. 181 965. . 215. . 188 966. . 215. . 185 967. . 215. . 232 >^968. . 215. . 128 X969. . 215. . 185 970. . 216. . 70 971 . . 216 972. . 216. 96 X973. . 216 974. . 239. 73 975. . 239. . 97 976. . 239. 49 977. . 239. 98 978. . 239 979. . 240. . NR XiJSO . . 240. . 187 X981. . 240. . 28 983 . 263. . 188 9J:J4 . . 263 . 139 (^) La rédaction de Mathesis a en portefeuille de bonnes solutions des questions qui ne sont pas marquées des lettres NR (non résolues); elle engage ses coUabo- rateors à porter de préférence leurs efforts sur celles-ci. - 286 — 965. ^^966. 'W7. 988. 'W9. 990. 991. 992 993 • 994. ^995 *996. X997. 998. 999. 1000. MOOl. '*1002. 1008. >^1004. 1006. 1006. 1007. ^1008. ><1009. 1010. 1011 . ^1012 . 1013. 1014. noi5 . ><1016 . ><1017 . X1018 . ><1019 . ><1020. 1021 . 1022. X102H. 1024. 1025. 1026. rofii («)IT 268 264. 264. 264 264 264. 279. 279. 279 280. 280. 280. 280. 280 280 (2) V 31. 32 82 82. 32 56. 56. 56. 56. 80. 80. 80. 80. 104 164 et 240 104 104 104 128 128 128 128 152 152. 152 152 ftâfOL (2)TI Hoan. 1028. 49 >^1029. . 50 1030. ^1031. 1032. . 207 1033. . 100 X1084. . 116 1035. 1036. 52,75 1087. . 189 X1038. . 209 X1039. . 190 1040. X1041. 1042. 1043. . 274 '<1044. 1045 1046. . 237 1047. 1048. . 257 1049. . S6D 1050. . 260 28 >^1051 . . 269 1058. . 275 X1053. . 277 1054. . NR 1055 1056 1057. >'1058. 1059. 1060. 1061 . ><1062. ><1063. 1064. 1065. . 80 1066. ><1067. '^1068. rasis aiiOL MtiB RisOL t2) V (2) VI ,^S (2) VI . 176 1068. . 176 1070. . . 188. . 278 . J76 X1071 . . 128 . 176. . 1072. . . 142 . 215 >^1073. . 142 . 215 1074. . . 142. . NR . 215 1075. . 142 . 216 1076. . 192 . 216 1077. . 192 . 216 X1078 . . . 192 . 216 1079 . 198. . NR . 216 X1080. . 215 . 240 1081. 216. . NR . 240 1082. . .. 215 ^0 et 264 X108S. . 215 . 240 1064. . 215 . 264(t.VI,31) 1065. . 216 . 264 1086. . 216 . 264 1087. . . 216. . NR . 264 1088. . 216. . NR . 280 X1089. 240. . NR . 2%0. . NR 1090. , 210. . NR . 280 X1091. . 240 . 280 1092. > 240,280 NR C2) VI 1093. . 264 32 1094. . 264. . NR . 32 X1095. . . 264. . NR 32 1096. . 264 82 1097. . '^80. . NR . 32 1096. . 280. . NR . 56 1099. . , 280. . NR . 56 1100. . 280. . NR 66 . 56 Question 8 DB LA N.C.If. 80 219 . • . . . 54 80 314 . ... . 76 . 80 315 ... . 101 80 816 . . . . 127 . 104 362 . . 140 . 104 599 . ... . 191 . 104 558 . 210 . 104 554 . . 818 . 128 TABLE DES NOMS. Abel, 204. Adams, 904. Ampère, 69, 253. Andereon, 903 Ando^er, 247. André, 8è. Anonyme, 49, 97. Apollonius, 136,209. Appell,88. Archimède, 119,245. Aubry, 42, Antomari, 279. Bail, 69. Barbarin, 143. Barbette, 73, 132, 264. Barisien, 14, 22, 24, 26, 30,31,32,33,49,60,71, 73,97,98.100,116,124, 135, 136, 137, 139. 180, 183, 185, 188, 191, 192, 193.908,214,215,916, 232, 236, 239, 240, 259, 260, 263, 265, 275, 279, 280. Ba8tin,25,26,97,117,122, 125, 136, 137, -^37. BéKault, 66. Beltrami, 10, 228. Beman, 47. Bernardières (de), 18. Bertrand (J.), 252. Bessel, 251, 272. Biermann, 204. Bobillier, 200. Borel, 176, 205. Boudin, 64. Bourrienne, 184. Boutin, 29. Brahy,l7. Breithof, 133. Brierley, 104. Brisson, 250. Brocard, G, 217,221. Brocard. H., 15, 28, 32, 50, 56, 80, 98. 104, 128, 142, 1^03, 216, 934, 949, 978,280. Branner,18. Bruno, 19. Buiaseret, 100, 122, 207. Buysens, 122, 259, 960, 967. C (A.), 121, 237. Calinon, 68. Camus, 237. Cantor(M.), 68. Carnot, 42. Carvallo.133. Catalan, 18, 143,200, v56, 278 Cauchy,69,177,204,250, 252. Cesaro (B), 229. Chasles.55, 113, 193,265. Chômé, 87. Clairaut, 250. Clebsch, 225. Colart, 44, 52, 100, 122, 124, 209, 237, 269, 270. Collenne, 164. Comberousse (de), 87. Copernic, 248. Cornu, 18, 274. Cotes, 4:2. Couturier, 214. Critescu, 23. 24, 26, 28, 30,50,73,74, 99,117, 122, 136, 137, 140^ 180, 184,233,237,261,275. Darboux, 250. 271. Davidoglou, 237. Da^is, 203. Dauge, 7, 13. Delahaye, 50, 123, 214. Delaunay, 249. Demartres, 47. Demoulin,25, 42. Denobele, 124. Dëprez 24, 32, 49, 50, 51, 52, 54, 56. 73, 75, 94, 97, 98, 100, 117, 192, 125, 136, 137, 179, 183, 188,208,209,236,237, 240,259,260,261,262, 276, 277, 280. Descartes, 298, 245. Deschacht, 49. Dickstein, 271. Dinchlet, 69, 204. Dobbs, 125. Drach, 206. Droz Famy, 25, 27, 49, 50, 53, 73, 94, 96, 97, 98, 100, 101, 117, 122, 123, 128, 134, 135, 137, 178, 181, 189, 190, 193, 208. 215, 235, 237, 940, 261,264,265,276. Dahamel, 112. Dupin, 119. Duporcq,80, 104, 1 18, 142, 192. Duran Loriga, 105. Durège, 37. Kberhard, 247. Bngel, 9. BstèTe, 18. Euclide, 18, 109, 925. Buler, 29, 950, 879. Fagnart, 64. Faifofer, 174. Fairon, 23, 28, 123, 185, 237,259. Fauquembenrue, 29, 97, 28,30,54,76,101,127, 140, 210, 912, 974, 978. Faura, 202. Fermât, 245. Fibonacci, 92. Fleuriais, 18. Foucault, 273. François, 98. Francq,50. Frenet, 177. Fresnel, 18. FroloY, 109, 925. Fuhrmann,d03. Fuss, 272. Oalois, 176. Garcia de Galdeano, 972. Gauss, 204. Gelin, 21,55,86, 161, 273. Genèse, 79. Gérard (L.), 46. Gerono, 191,255. Gibson, 203. Gillet, 27, 49, 73, 97, 98, 186, 137, 180, 183, 296. Glasban, 133, 271. Gob, 42, 50, 129, 223. Goorsat, 69, 88. Gr&fe, 133. Graindorge, 48. Greffory^2 Griess, 87. JHaas(Mii«de), 199. — 288 — Habich,42. Hachette. 18, 19, 112. Hacken, 28, 24, 28, 49, 98, 187, 277. Hageo, 213. Halphen, 251. HalBted, 47. Hardy, 67. Hopkins, 272. Houël, 225. Humbert, 21?. J. (F.), 47, 201,275. J. (Liëge), 289, 264. Jablonski. 46. Jacobi, 250. Janssen, 18, V74. Jehibek, 15,37.81. JoachinuBthal, 186. Joneaco (B.), 122, 237, 276 277, Joneaco (J ), 28, 26, 28, 29, 50, 51, 58, 78,74, 79,95,98,117,122,128, 134, 136, 139, 180, 185, 189,236,237,261,275, 276,277. Jordan, 249. Jowa, 247» Juël, 247. Meelhoff, 78, 99. Kepler, 248. Kiepert, 164, 228. King, 66. Klein (F.), 87, 204. Klompers, 28, 49, 50, 52, 69, 73, 97, 99, 100, 122, 189,190,209,257,261, 275. Kronecker, 204, 282. Kummer, 250. liachlan, 202. Lagrange, 19. Laisant, 46, 85, 89, 129, 252. Lambert (Th.), 47. Lamé, 251. Laurens, 1*^5, 237. Laurent, 252. Lebègue, 272. Lechalas, 68. Leclerc, 67. Legendre, 13, 45, 109. Leibniz, 68, 69, 204, 245. Lemaire, 47. Lemoine, 71, 85, 203,204, :;55. Leverrier, 249. Lie, 9, 69. 174, 250. Liénard, 262. Lindemann, 221 • Liouville. 251. Lobatscbefsky,9, 68,228. Lœwy, 274. Longchamps (de), 25, 89, 245. Loudon, 272. Lucas (Bd.),dO, 76, 101, 127. lUaclaurin, 42. Mackay, *4;08. MagnuB, 272. Mandart, 28, 49, 78, 98, 189, 257, 260, 275, 276, 277. Mansion, 7, 13, 45, 69, 84,112,114, 174, 175, 207, 225, 245, 252. Massau, 133. Mayer,250. Me Lellan, 174, 274. M*Clel]an, 202. Meray, 88. Merlin, 237. Milne, 202. Mister, 18. Moigno, 253. MoiTre, 44. Molk, 88. Monge, 69, 112, 135,1^51. UTeuberg, 25, 26, 32, 40, 50, 52, 56, 57, 60, 69, 75,80, 84, 88, 91, 94, 101, 128, 137, 142. 164, 176, 178. 188, 189, 190, 192, 203, 204, 209, 215, 216,221,287,240,253. Newton, 42, 68, 84. 204. Niewenglowski, 175. Nyt. 78. Ocagne (d*), 42, 89, 206. Fainlevé, 47, n7. Pagani, 142. Pascal (E.), 174. Pell, 45. Pelz «n. Picard (K.), 251, 271. Poincaré, 84. Polak, 122. , Poort, *^8, 09, 98, 128. I Pressland. 203. I Quetelet (A ), 19, 142. ! Realis, 30, 54, 140, 209, I 212. I Rei8S,42, 118. Retali,49,71,97,100,122, 192. Retsin, 202. Ribaucour.25. Riemann, 9, 227. Roberval,112, Hocquigny (de), 28, 184. Rouché, 87. Rouse, 260. Salmon, 46. Schmit, 202. Schoute, 117. Schrôter, 87. Seligmann, 287. Servais, 26, 26, 42, 99, 120, 184« 185, 186, 187, 207,262. Smith, 46. Socolof, 183. SoUertinsky, 142. Sondât, 80. Soons, 27, 28, 49, 57, 98, 263, 274. Steiner, 25, 37, 42, 288, 243 Stieltjes, 47. Stolz, 205, Strymeersch, 275. Stuyyaert,21, 46, 56, 92, 129, 132, 198, 229, 256, Sutton,66. Syivester, 80. Tannery (J.), 22, 88, 205. Tarry, 4l. Taylor, 208. Teixeira, 174. Thélie, 202. Thirion, 248. Tiete. 237. TUly(De)5,8,18,828. Tisserand, 18, 177, 247, i:73, 274. Tortolini, 278. Transon, 187. Tucker, 104,164,202,804, Tzitzéica. 71.287, 276. Vaschy, i50. Van Aubel (H.), 50, 57, 94. Verdeyen, 100, 101, 117. Verheist, 49. Verhulst, 200. Vuibert, 103, 104. ll'asteel8(C.B.;, 241. Weierstrass, 204, 250. Wentworth, 271. Wolstenholme, 8U. Wronski, 271. LA GEOMETRIE NON EUCLIDIENNE AVANT LOBATCHEFSKY. Théorie der Parallellinien von Euclid bis auf GatMs, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der NichteucUdischen Géométrie, in Genieinschafl mit Friedrich Engel herausgege- ben von Paul Staeckel. Mit 145 Figuren im Text und der Nachbildung eines Briefes von Gauss. — Leipzig, Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1895. — In-8" de x-325 pages, avec une planche de fac-similé. Le Uvre que vient de publier M. St&ckel, professeur à l'Uni- versité de KOnigsberg, en collaboration avec M. Engel, profes- seur à l'Université de Leipzig, est l'un des plus intéressants qui aient paru depuis longtemps sur l'histoire des principes de la Géométrie. Il contient, en traduction ou en original, d'une manière com- plète ou dans leurs parties essentielles, les travaux des géomètres sur la théorie des parallèles, pourvu qu'ils soient antérieurs à ceux de Lobatchefsky et de Bolyai et qu'ils aient de l'importance au point de vue de la Géométrie non euclidienne. Ce n*est donc pas une histoire complète de la théorie des paral- lèles que M. Stftckel a voulu écrire : comme il le fait remarquer dans la préface, rien que pour rassembler les matériaux d'une pareille histoire, il faudrait beaucoup de temps. Nous ajouterons que, d'après ce qui a déjà été fait dans cette direction (i), on peut conjecturer, sans crainte de se tromper beaucoup, que la chose n'en vaut pas la peine : la plupart de ceux qui, depuis Euclide, ont voulu et veulent encore édifier la théorie des parallèles sur de nouvelles bases, manquent d'originalité ou de rigueur, et il n'y a aucune utilité à tirer des essais sans valeur et sans portée du juste oubli où ils sont ensevelis. Mais un petit nombre de géomètres, parmi lesquels il faut citer Euclide lui-même, puis surtout Saccheri, Lambert, Legendre, (1) Voir, par exemple. Eudidis ElemefUorum Ubrisex priores graece et latine. Edidit J.-C. Camekcr, Berolini, 1824, L I, pp. 40244a : Excursus ad ElemetUorum, I. 29, où sont analysés un grand nombre d'essais de démonstration du postulat 5 d*£uclide ou de propositions équivalentes. Ces essais sont la plupart sans valeur. — 2 — Gauss, Schweikart et Taurinus, doivent être regardés comme ayant préparé les découvertes de Lobatchefsky, de Bolyai et de Riemann, et c'est à ceux-là qu'est consacré surtout le livre de M. Stfickel. Leurs écrits, sauf une page ou deux du dernier opuscule de Taurinus, n'exigent pour être compris que la connaissance des mathématiques élémentaires et, par suite, ils sont à la portée de tout le monde. Ils peuvent donc servir d'introduction à la géo- métrie non euclidienne et aider les esprits non encore initiés aux vues modernes sur les principes de la géométrie à se familiariser avec ces principes et à les comprendre. Ils peuvent aussi contri- buer à ouvrir les yeux aux philosophes qui, sur la foi de Kant et sans autre raison que les assertions sans preuve de la Kritik der reinen VernunfU croient à la valeur absolue de la seule géométrie euclidienne. Nous allons analyser successivement les diverses sections de l'ouvrage de M. Stftckel, en ajoutant ou substituant çà et là nos propres vues aux siennes. 1. Préface et tables des matières (pp. iii-x). L'auteur raconte comment M. Beltrami a retrouvé, en 1889, le livre oublié de Sac- cheri, et lui-même, en 1893, un mémoire de Lambert sur la théorie des parallèles, puis, pendant l'impression du présent ouvrage, les Èlementa de Taurinus, qui sont le complément et la continuation des travaux de Saccheri et de Lambert. Il fait ensuite ressortir l'importance historique et philosophique de ces divers écrits. 2. Euclide (vers 300 avant J.-C.) (pp. 1-14). L'auteur donne une notice sommaire sur Euclide. Il traduit ensuite les définitions, les postulats et les axiomes du livre I, les énoncés des 32 premières propositions, avec les démonstrations, en abrégé, des propositions 5, 6, 7, 13, 18, 20, et, textuellement, celles des propositions 16 (L'angle extérieur d'un triangle surpasse chacun des deux inté- rieurs opposés), 27 (Deux droites sont parallèles si elles font avec une sécante des angles alternes internes égaux), 29 (Réci- proque de 27 et 28), 32 (L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des intérieurs opposés ; la somme des trois angles est égale à deux droits). L'auteur signale avec raison la perfection logique du premier livre des éléments. Euclide a très bien vu, dit-il, les difficultés cachées qui existent dans la théorie des parallèles. C'est pour- quoi il a établi à part, par exemple, la proposition 16, qui est indépendante du postulatum (comme d'ailleurs toutes les autres — 3 — propositions du premier livre jusqu'à la 28® inclusivement), bien qu'elle soit un corollaire de la proposition 32. Nous trouvons que M. StAckel a raison d'apprécier comme il le fait l'ouvrage immortel d'Euclide. Nous sommes persuadé qu'il aurait placé plus haut encore le premier livre des ÉUmenta^ si, au lieu d'employer le texte de Heiberg, il avait employé l'édition de Peyrard ou celle de Camerer. Dans celles-ci (qui sont d'ailleurs d'accord aves les meilleurs manuscrits, d'après Heiberg lui- même), il y a six postulats et neuf axiomes, tandis que Heiberg, pour des raisons insuffisantes et à tort, selon nous, a placé le sixième postulat parmi les axiomes et supprimé ou mis en doute les axiomes 4» 5, 6, et 7 (i). Or, quand on met sur la même ligne d'importance les postulats 5 et 6, savoir : 5. Si une droite rencontrant deux droites fait du même côté des angles intérieurs dont la sonmie soit moindre que deux droits, les deux droites prolongées indéfiniti- vement se rencontrent du côté dont la somme est inférieure à deux droits ; 6. Deux droites ne comprennent pas d*espace ; on reconnaît que tous les systèmes possibles de géométrie sont compris dans le tableau suivant : A. Géométrie eticlidienne, fondée sur les postulats 5 et 6. B. Géométrie lohatchefskienne, qui repose sur le postulat 6 seulement, tandis que le postulat 5 n'est pas vrai dans ce système. C. Géométrie riemannienne, où le postulat 5 est vrai, même pour deux droites quelconques, mais où le postulat 6 n'est pas vrai (2). Euclide a donc si admirablement choisi ses postulats fonda- mentaux qu'il suffit de faire toutes les hypothèses possibles sur leur existence pour obtenir tous les systèmes de géométrie où la droite, le plan et l'espace sont supposés homogènes. 3. Wa/K« (1616-1707) (pp. 15-30). Le célèbre auteur de l'ilrf^ n%etica infinitorum, premier titulaire de la chaire fondée par Sir Henry Saville, à Oxford, spécialement pour y expliquer (1) Voir notre article Sur les postulats et les cuciames d'Eudide (Annales de la Socuété scientifique de Bruxelles, 1889-1890, t XTV, èe pariie, pp. 3545). (2) Voir notre note Sur la métagéoméirie et ses trois subdivisions (Bulletin de l^Académus royale de Belgique, 1895, 3« série, t YXY, pp. 495498). — 4 — Euclide, a publié, en 1693, deux notes relatives aux Éléments, où Ton trouve la substance des leçons académiques faites par lui en 1651 et en 1663. La seconde, qui contient une démonstration du 5« postulat, est traduite dans le livre de M. StAckel. Wallis admet comme point de départ un nouveau postulat souvent reproduit dans la suite : il existe des triangles semblables, La démonstra- tion de Wallis n'est pas tout à fait rigoureuse, même si Ton admet son postulat, mais elle peut être rendue telle, si l'on remplace sa proposition 7, qui n'est pas vraiment démontrée, par une autre qu'il est facile d'imaginer. Le postulat de Wallis est d'aiUeurs trop étendu : on peut établir le cinquième postulat d'Euclide, si l'on admet l'existence de deux triangles équiangles non équiva- lents, comme l'a remarqué Saccheri. Le travail de Wallis n'est donc pas une étude approfondie sur la théorie des parallèles et aurait pu être exclu sans inconvénient du livre que nous analysons. 4. Sacc/rert ("1667-1733) (pp. 31-136). Nous avons publié, il y a quelques années, une analyse sommaire du premier livre de l'ouvrage du P. Saccheri : Euclides ab omni naevo vindicatus (Milan, 1733), où cet ingénieux géomètre essaie à son tour de démontrer le cinquième postulat d'Euclide, mais sans en intro- duire aucun autre (i). Ce premier livre est ici traduit complète- ment, et la traduction n'occupe pas moins de 96 pages du Recueil de M. Stftckel. L'ouvrage de Saccheri, bien qu'ayant été cité maintes fois au siècle passé et dans celui-ci (Camerer, en particulier, le résume très exactement dans son édition des Éléments d'Euclide), était à peu près oublié quaud Beltrami, en 1889, en fit ressortir l'importance au point de vue de la géométrie non euclidienne. Saccheri a commis de graves erreurs de raisonnement chaque fois qu'il a eu recours à la notion de l'infini ; mais dans les autres parties de sa dissertation, il est presque toujours rigoureux. C'est ainsi qu'il a très bien établi les premières propriétés de l'équi- distante d'une droite et qu'il a prouvé le théorème suivant : Si le postulat 5 d'Euclide n'est pas vrai, deux droites se rencon- trent, ou sont asymptotes Vune de Vauire (parallèles dans le sens lobatchefskien), ou perpendiculaires à une droite com- mune à partir de laquelle elles divergent indéfiniment Il est donc un vrai précurseur de Lobatchefsky. (1) Annales de la Société sciextifique de Bruxelles, 1889-1890, XIV» ^ partie, pp. 46-59. — 5 — On peut aussi, en un certain sens, le regarder comme un précurseur de Riemann ; car, dès le début, il considère les trois hypothèses suivantes qui correspondent évidemment aux trois géométries possibles : Dans un quadrilatère birectangle où deux côtés opposés adjacents aux angles droits sont égaux, les deux autres angles peuvent être droits (Euclide), ou obtus (Riemann), ou aigus (Lobatchefsky). La majeure partie de son li\Te est consacrée à cette troisième hypothèse qu'il appelle rhypothèse de Tangle aigu. Mais U examine aussi l'hypothèse de l'angle obtus, c'est-à-dire qu'il donne maints théorèmes de géométrie riemannienne. Il montre aisément d'ailleurs que cette hypothèse est incompatible avec le postulat 6 d'Euclide, ou plutôt avec la proposition i6 du livre I des Éléments, qui repose au fond sur ce postulat. M. Stâckel, dans son introduction à l'ouvrage de Saccheri, semble admettre que ce dernier a prouvé rigoureusement la proposition suivante : Si Vune des trois hypothèses est vraie dans un setd cas, il en est de même dans tous les autres. Mais dans les notes ajoutées à la traduction, il a signalé certains défauts de la démonstration. Ce théorème n'est d'ailleurs pas si facile à démontrer d'une manière complète, et nous ne croyons pas qu'il l'ait été avant 1879, dans VEssai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique de M.DeTilly. Ajoutons, pour terminer, que Saccheri, qui a donné de mau- vaises raisons pour rejeter l'hypothèse de l'angle aigu, n'a jamais douté de la vérité absolue du 5® postulat d'Euclide : il croyait vraiment l'avoir démontré. Sur ce point, il est plus loin de Lobatchefsky qu'Euclide lui-même. Il en est ainsi, d'ailleurs, de tous les suivants, Gauss et Schweikart exceptés. La partie critique de l'ouvrage où Saccheri examiné les essais de Proclus, Nassareddin, Clavius, Borelli et Wallis est très bien faite. 5. Lambert (1728-1777) (pp. 136 208). Ce géomètre suisse (il était né à Malhouse, ville qui n'a été annexée à la France qu'en 1798) a écrit, en 1766, une dissertation sur la théorie des paral- lèles qui a été publiée après sa mort, en 1786, mais qui ne semble pas avoir été connue autant qu'elle méritait de l'être. C'e^t M. Stftckel qui, en 1893, l'a retrouvée, et elle a été signalée au monde savant par Lie dans la préface du tome III de sa Théorie des groupes de transformation. 11 est possible que Lambert n'ait pas eu en mains l'ou- vrage de Saccheri, mais il en a eu au moins une connaissance 6 — indirecte, par exemple, par l'analyse de Klûgel (1763) qu'il cite. Son point de départ est le même, au fond, que celui de Saccheri. Il considère un quadrilatère trirectangle et examine successivement les trois hypothèses suivantes : le quatrième angle est droit, obtus, ou aigu. Il traite à part ces trois hypothèses. Il prouve sans peine que la première conduit à la géométrie euclidienne et que la seconde est incompatible avec le postulat 6 d'Euclide; mais il observe qu'elle est réalisée sur la sphère, les grands cercles y jouant le même rôle que les droites dans le plan, ce qui est une idée nouvelle et féconde. Dans l'étude de la troisième hypothèse, il arrive à ce résultat remarquable : Vaire d'un triangle est proportionnelle au déficit angulaire, en donnant ce nom à la différence entre deux droits et la somme des angles du triangle, somme qui est inférieure à deux droits. Il conjecture que cette hypothèse est réalisée sur une surface qu'il ne définit pas et qu'il appelle une sphère ima- ginaire. On sait que Beltrami a prouvé, en 1868, l'exactitude de cette conjecture. Enfin, Lambert remarque que, dans l'hypothèse de l'angle aigu et dans celle de l'angle obtus, il existe une mesure absolue pour les grandeurs géométriques. Dans son dernier paragraphe, il rejette à son tour, comme Saccheri, l'hypothèse de l'angle aigu, pour une mauvaise raison. Si elle était vraie, on pourrait inscrire un polygone régulier dans l'équidistante d'une droite. Or, pareil polygone, selon lui, est évidemment inscriptible dans une circonférence dont le centre est du côté de la droite où ne se trouve pas l'équidistante ; par suite, ce polygone et l'équidistante devraient rencontrer la droite, ce qui est absurde. M. Stâckel semble croire que le Mémoire de Lambert a été sans influence sur les géomètres qui sont venus après lui. Nous ne partageons pas cette opinion : Legendre et Gauss connaissent le résultat le plus important trouvé par le savant suisse ; il en est de même de Taurinus, qui d'ailleurs cite explicitement Lambert. 6. Legendre (1752-1833) {passim, pp. 19, 37-38, 212-213). L'ou- vrage de M. Stâckel ne contient pas d'article spécial consacré à Legendre, bien que les écrits de ce géomètre aient contribué beaucoup plus que ceux de Wallis aux progrès de la théorie des parallèles. Ils sont aussi plus originaux qu'ils ne le paraissent au premier abord. Voici comment on peut les résumer : 1*^ Il a donné une démonstration analytique du théorème sur la somme des trois angles d'un triangle, insérée d'abord dans le texte des deux premières éditions de ses Éléments de Géométrie, — 7 — puis rejeiée dans la note ii de ses éditions ultérieures. Cette dé- monstration, — plus complète dans l'édition anglaise publiée par Brewster, en 1822, à Edimbourg, que dans les autres, — est beau- coup plus profonde que celle de Wallis avec laquelle on peut la confondre à première vue. Elle suppose implicitement un postulat^ il est vrai ; mais si on l'affi^anchit de ce postulat, elle conduit d*une manière naturelle à la géométrie non euclidienne, comme nous l'avons vérifié. 2^ Il a prouvé, d'une manière simple et rigoureuse, dans les éditions 3 à 8 de ses Éléments (}e postulat 6 d'Euclide étant supposé admis), que la somme des angles cTun triangle ne petU surpasser deua> droits. Dans la douzième édition (1823), il a donné (I, 19) une démonstration du théorème : la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droits. Cette démonstration complétée par Lobatchefsky (Études, n» 19), comme elle doit évidemment l'être, prouve en réalité que la somme des angles n'est pas supérieure à deux droits. 30 II a établi rigoureusement, en 1833, que si la somme des angles est égale à deux droits dans un seul triangle, il en est de même dans tous. Par suite, d'après le 2^, si elle est moindre dans un seul triangle, elle est moindre dans tous (le postulat 6 d'Eu- clide étant toujours supposé vrai). En maints endroits de ses écrits sur la théorie des parallèles, Legcndre est loin d*avoir toujours été rigoureux. Mais il a bien vu les difficultés de cette théorie. ^ Il fallait, dit-il dans sa note 11, déduire de la définition de la ligne droite une propriété... qui exclût toute ressemblance avec la forme d'une hyperbole com- prise entre ses deux asymptotes. „ Il connaît le théorème de Lambert : ^ Le déficit, s'il y en avait un dans les triangles rectilignes, serait proportionnel à l'aire du triangle, ., dit-il dans la note 11 de sa douzième édition (i). 7. Gauss (1777-1855) (pp. 209-236).M. StAckel a réuni dans son livre tous les passages des écrits de Gauss où il parle des prin- cipes de la géométrie, savoir : 8 lettres, dont une à W. Bolyai (1799), une à Gerling sur Schweikart (1819), une à Taurinus (1824), deux à Bessel (1829, 1830), trois à Schumacher (1831, 1831, 1846), puis deux comptes rendus (1816^ 1822) où il réfute aisément des démonstrations superficielles du postulatum. Les (1) Ce passade ne se trouve pas dans les éditions 3,4, 8, ni dans la traduction anglaise faite sur la 11«. U manque donc probablement dans les onze premières éditions. — 8 — lettres de 1819 et de 1824 étaient inédites avant la publication du livre de M. StAckel, On peut déduire de ces documents les conclusions suivantes : i® Gauss s'est occupé des principes de la géométrie dès 1792. 20 C'est probablement lui qui, le premier, a reconnu que la géométrie non euclidienne pouvait n'être pas la seule absolument rigoureuse, et que la géométrie physique pouvait correspondre à la géométrie idéale où la somme des trois angles est plus petite que deux droits. Aussi se prononce-t-il nettement (1830) contre la conception kantienne de l'espace (i). 30 Rien ne prouve que Gauss soit allé d'abord bien loin dans ses spéculations sur la géométrie non euclidienne. Jusqu'en 1824, il ne cite aucun théorème qui ne soit une conséquence de ceux de Saccheri et de Lambert. 40 Plus tard (voir lettres de 1829 et de 1846), il a développé ces vues. Peut-être les Elementa de Taurinus ont-ils été l'occa- sion de ces nouvelles recherches. En tout cas, ce n'est qu'en 1831, dans sa lettre du 12 juillet à Schumacher, qu'il donne une for- mule n'appartenant pas à la partie élémentaire de la géométrie non euclidienne. Elle se trouve d'ailleurs dans les Elementa de Taurinus. 50 Gauss, qui n'a rien écrit de suivi sur ce sujet jusqu'en 183 1 (lettre du 17 mai), et dont la méthode diffère, dit-il, de celle de Lobatchefsky (lettre de 1846), n'a pu avoir aucune influence sérieuse sur celui-ci, pas plus que sur Jean Bolyai. En somme, selon nous, d'après les documents produits jusqu'à présent, Gauss occupe, dans l'histoire de la géométrie non eucli- dienne, une place moins élevée que nous ne le pensions avant la publication du livre de M. Stackel. 8. Schtveikart (1780-1857) (pp. 243-248). Schweikart, successi- vement professeur de droit à Charkof (1812-1816), à Marbourg (1816-1820) et à Kônigsberg, a publié, en 1807, une théorie des parallèles qui ne contient rien de nouveau. Mais ultérieurement, vers 1819, il est arrivé, sans aucune influence de Gauss, à la conviction qu'il existe une géométrie parfaitement rigoureuse, indépendante du 3« postulat d'Euclide, et qu'il appelle Astral- géométrie. Elle est d'ailleurs identique à la géométrie lobatchefs- kienne. Schweikart a convaincu Bessel de la valeur de l'Astral- (1) Voir dans Gauss, Werke, II, pp. 177, la même idée exprimée plus nettement encore. On la trouve aussi chez Ampère, Philosophie des scietices, 1. 1, p. 64 de la seconde édition. — 9 — géométrie et a eu la plus grande influence surson neveu Taurinus. Les théorèmes de rAstralgeometrie qui sont cités par Schwei- kart dans ses lettres sont ceux que Ton peut tirer de Saccheri et de Lambert (existence de l'asymptote d'une droite, aire du triangle non euclidien). 9. Taurinus (pp. 236-286). Taurinus (né à KOnig dans l'Oden- wald en 1794, mort à Cologne en 1874), après avoir fait des études de droite a vécu comme particulier à Cologne, où il se fixa en 1822. Sous l'influence de son oncle Schweikart, il se livra vers 1824 à une étude approfondie des premiers principes de la géométrie. 11 soumit ses premiers essais à Gauss qui l'encouragea et lui parla avec conviction de l'absolue rigueur de la géométrie où Ton suppose la somme des angles d'un triangle inférieure à deux droits. La lettre de Gauss est reproduite en fac-similé à la fin de l'ouvrage. Taurinus publia, en 1825, une brochure intitulée : Théorie der Parallellinien (102 pages), en 1826 un complément intitulé : Creomeiriue prima Elementa (76 p.), dont presque tous les exem- plaires ont été brûlés par l'auteur, quand il eut constaté avec quelle indifférence cet opuscule était accueilli. Des fragments de ces deux brochures sont reproduits par M. StAckel. Taurinus connaît Saccheri et Lambert, mais il va plus loin qu'eux sur un point important. Il pense comme eux qu« c'est la géométrie euclidienne qui est réalisée dans la nature: il lui semble absurde que la géométrie réelle dépende d'une certaine constante. Plus explicitement que Lambert, il affirme que la seconde hypothèse de celui-ci correspond à la géométrie sphéri- que et que c'est pour cela qu'elle ne contient aucune contradiction. Mais la géométrie fondée sur la troisième hypothèse est aussi absolument logique, car elle correspond à la relation suivante entre les angles et les côtés d'un triangle : Ch ^ = Ch ^ Ch ^ ~ Sh ^ Sh ^ cos A, qui n'a rien de contradictoire. Cette formule est trouvée par induction, en supposant imaginaires les côtés d'un triangle sphé- rique. Taurinus ne sait pas si cette trigonométrie correspond à quelque réalité, c'est-à-dire à une géométrie relative a certaines courbes tracée sur une surface; mais cela ne l'empêche pas de résoudre diverses questions de géométrie métrique non eucli- dienne, entre autres de donner l'aire du triangle en fonction de ses côtés, la longueur de la circonférence et l'aire du cercle. — 10 — £n somme, Taurinus, le premier, a publié une esquisse de trigonométrie non euclidienne. lo. Liste des écrits sur la théorie des parallèles jusque 1837. Table alphabétique des auteurs cités : 1° dans cette liste; 2» dans le texte. Additions et corrections (287-325). Au moyen des indi- cations contenues dans ces diverses tables, on peut retrouver aisément dans le volume de M. StAckel les nombreux renseigne- ments qu'il contient, non seulement sur les géomètres cités plus haut, mais aussi sur un grand nombre d'autres dont nous n'avons pas parlé; entre autres sur ceux-ci : Nassareddin, Clavius, Borelli, Giordano da Bitonto, Kaestner, KlQgel, Hindenburg, d'Alembert, Fourier, Lagrange, Seiffer, Lobatchefsky, les deux Bolyai. La longue analyse qui précède permet au lecteur de se faire une idée de la haute valeur historique du livre publié par MM. StA- ckel et Eugel. Nous le signalons à l'attention de tous ceux qui s'intéressent à la question des premiers principes de la Géométrie. On peut résumer comme il suit les résultats obtenus par les géomètres sur les principes fondamentaux de la géométrie, avant la première publication de Lobatchefsky. On suppose admis le postulat 6 d'Euclide. 1. Théorème de Legendre. La somme des angles d'un triangle ne peut surpasser deux droits. Elle est égale ou inférieure à deux droits dans tous les triangles si elle l'est dans un seul. IL Théorème de Saccheri. Dans l'hypothèse où la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits, deux droites se rencontrent, ou sont asymptotes l'une de l'autre, ou ont une perpendiculaire commune à partir de laquelle elles divergent. III. Théorème de Lambert. Dans la même hypothèse, l'aire d'un triangle est proportionnelle à son déficit angulaire. IV. Théorème de Taurinus. Cette môme hypothèse répond à la relation suivante : Ch -^ = Ch p- Ch -p — Sh :^ Sh p- cos A, * entre les côtés o, 6, c et un angle A d'un triangle. Par suite, elle ne peut conduire à aucune contradiction logique. V. Théorème de Gauss et de Schweickart, Cette hypothèse peut être réalisée dans la nature, contrairement aux assertions gratuites de Kant dans la Kritik der reinen Vernunft. — 11 — VI. Remarque. Saccheri, Lambert et Tauriuus ont trouvé les premières propositions de la géométrie riemannienne ; les deux derniers savent qu'elle correspond à la géométrie euclidienne de la sphère et soupçonnent une correspondance semblable pour la géométrie où la somme des trois angles d'un triangle est infé- rieure à deux droits. Enfin, la conclusion suprême à déduire de cette étude histo- rique est la suivante : La découverte de la géométrie non eudi- dienne, vers 1830, était inévitcMe (Halsted). P. Mansion. Extrait de la Revue des qviestions scient^ques, 2e série, 1896, t Vm, pp. eOMiS. Extrait de la Revue des questions scienHfiques, 2e série, 1895, t Vm, pp. 613-617. La Géométrie réglée et ses applications, par G. Kœnigs, professeur suppléant au Collège de France. — In-4<* de 148 pages. — Paris, Gauthier- Villars et fils, 1895. Ce travail, qui a déjà paru dans les Annales de la FacuUé des Sciences de Toulouse, est divisé en cinq chapitres d'étendue inégale. Dans le chapitre I (pp. 3-15), l'auteur définit d'abord les coor- données tétraédriques de la droite, puis il cherche, dans ce système de coordonnées, la condition de rencontre de deux droites. Généralisant ensuite la notion des coordonnées tétraé- driques, il met en évidence la proposition suivante : A tout système de six variables Xt, X2, x^, x^, x^, xe liées par une relation quadratique w (x) = 0, fie discriminant non nul, on peut faire correspondre une droite déterminée de Vespace, la correspondance ayant ce caractère que V équation exprime la rencontre de deux droites x et x. Le chapitre II (pp. 16-24) débute par une courte étude géomé- trique du complexe linéaire, considéré au point de vue projectif : définition du plan polaire d'un point, du pôle d'un plan, notions sur les droites conjuguées et propriétés qui s'y rattachent. La fin du chapitre contient une définition analytique de l'invariant d'un complexe linéaire et la détermination des coordonnées de la conjuguée d'une droite donnée. Ces rapides indications sur le complexe linéaire sont utilisées au chapitre III (pp. 25-56) dans lequel on s'occupe des systèmes de complexes linéaires. La discussion est faite avec le plus grand soin. Le chapitre IV, consacré aux premiers principes de géométrie infinitésimale en coordonnées de droites, traite de plusieurs sujets distincts. M. Kœnigs considère d'abord une surface réglée, et il étudie les systèmes de complexes linéaires qui ont avec cette surface un contact du p^^^^ ordre, c'est-à-dire qui renferment p -]- i — i3 — génératrices consécutives de la surface. La discussion conduit Tauteur à examiner le cas où l'on a, pour toute génératrice rectiiigne, « (x) = o, x' désignant la dérivée de x par rapport ao paramétre i dont dépendent les génératrices. La surface réglée est alors développable. Si, en outre, on a identiquement u (x') = o, x" étant la dérivée seconde de x par rapport à iy la surface réglée est constituée soit par les génératrices d'un cône, soit par les tangentes d'une courbe plane. M. Kœnigs se pose ensuite la question suivante : soit un faisceau plan variable, déterminé par deux droites a et 6 qui se coupent en 0. Quelle est la condition pour que la tangente au lieu du point 0 fasse partie du faisceau plan, quelles que soient les variations des paramétres dont dépendent les droites a et 6 P La réponse, en coordonnées de droites, revêt la forme la plus simple : Pour qu'il eu soit ainsi, il est nécessaire et il suffit qu'on ait &> fb I da) — 0. La solution montre en outre que le nombre des paramètres se réduira nécessairement à deux et que le faisceau plan devra être constitué : Soit par un point d'une surface et le plan tangent en ce point; Soit par un point d'une courbe et un plan quelconque tangent à la courbe en ce point ; Soit par le plan tangent d'une développable et un quelconque des points de contact de ce plan avec la développable; Soit par un point et un plan d'une droite, arbitrairement associés ; Soit par un point d'un plan, associé à ce plan ; Soit par un plan mené par un point, associé à ce point. Dans tous ces cas, M. Kœnigs dit que le faisceau plan a une enveloppe. Ce résultat si élégant permet de démontrer deux théorèmes importants. L'un est le théorème bien connu dû à M. Pasch : Bans tout complexe de droites, le lieu des points singuliers coïncide avec Venveloppe des plans singidiers. L'autre est le théorème suivant, partiellement trouvé par M. Cayley et complété par M. Klein: Si taules les droites d'un complexe sont singulières, elles ont une enveloppe, c'est-à-dire qu'elles touchent une surface fixe, non développable ou développable, ou bien coupent une courbe fixe. La tin du chapitre traite des cougruences. L'auteur établit d'abord par la géométrie et l'analyse cette propriété fondamen- tale : Les droites d'une congruence sont tangentes à deux — 14 — surfaces : les focales de la congruence. Elles peuvent se grouper en deux familles de séries réglées développables ; sur chacune des surfaces focales, les arêtes de rebroussement des dévelop- pables d'une famille et les lignes de contact avec les dévelop- pables de Tautre famille forment un système conjugué. M. Kœnigs examine ce qui arrive lorsque pour chaque droite de la congruence les plans focaux sont confondus, et il obtient les deux cas suivants, dont le second est assez rarement consi- déré : ou bien la congruence est constituée par l'ensemble des tangentes aux lignes asymptotiques d'une famille d'une surface, ou bien elle est le lieu des tangentes à une développable aux différents points d'une courbe tracée sur cette développable. La notion du contact d'une complexe linéaire avec une congruence conduit à la considération d'une classe remarquable de congruences : ce sont celles qui possèdent suivant chacune de leurs droites un complexe linéaire osculateur.Toute congruence de la nature indiquée est caractérisée par ce fait que les coor- données de chacune des droites qui la composent, exprimées en fonction de deux paramètres arbitraires, vérifient une même équation de la forme de Laplace. C'est ce que montre M. Kœnigs, qui prouve en outre par des considérations géométriques que cette propriété caractéristique peut être remplacée par la suivante, trouvée par M. Darboux : Les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale. On a vu, au chapitre I, qu'il existe une infinité de systèmes de coordonnées de droites et que chacun d'eux est caractérisé par la relation tù (x) == 0 qui existe entre ces coordonnées. Deux systèmes présentent un intérêt particulier : l'un est défini par l'équation : (i) ^x iT, + a?, a?3 + a?3 a?5 = 0 ; l'autre, considéré par M. Klein en premier lieu, est tel qu'on a : (il) œ] -{- xl + col + af^ + x] -[- xl = 0. L'étude de ces systèmes forme l'objet de la première moitié du chapitre V (pp. 92- i46).On montre que les coordonnées du type (i) sont les coordonnées tétraédriques relatives à un certain tétraèdre. Quant au type (11), il met en évidence l'existence de six complexes linéaires Xi = 0, a;, = 0, ..., xs = 0. La configu- ration de ces six complexes jouit de propriétés nombreuses et intéressantes qui sont exposées dans tous leurs détails. — i5 — Dans la seconde partie du chapitre V, l'auteur montre, d'après M. Klein, que la géométrie de la droite dans Vespace ordinaire est identique à celle d'un point sur une quadrique à quatre dimensions dans un espace à cinq dimensions^ puis il complète cette vue en établissant que la géométrie réglée, au point de vue dualistique et projectif, est identique à la géométrie anallag- matique d'un espace à quatre dimensions. Autrement dit, on peut faire correspondre à toute droite de l'espace à trois dimen- sions un point de l'espace à quatre dimensions de manière qu'à toute transformation dualistique ou projective de l'espace réglé corresponde, dans l'espace à quatre dimensions, une transforma- tion n'altérant pas les sphères de cet espace. L'auteur termine en cherchant ce qui correspond dans l'espace à quatre dimensions aux principales figures de l'espace réglé : complexe linéaire, congruence linéaire, faisceau plan et hyper- faisceau. Comme on le voit par cette courte analyse, M. Koenigs s'est surtout attaché aux questions fondamentales, et il les a traitées avec une grande ampleur et une grande netteté. Il est probable que son exposition des principes de la géométrie réglée est destinée à devenir promptement classique. Puisse le savant professeur suppléant du Collège de France trouver le temps de compléter son livre en publiant la suite du traité didactique dont le présent ouvrage peut être considéré comme l'introduc- tion magistrale. A. Demoulin. 450 QUESTIONS D'ARITHMOLOGIE PAB Ai. 88E -m. JExeLIN Docteur en Philosophie et en Théologie Professeor de Mathématiques supérieures au CoUège Saint-Quirin à Huy HUY COLLÈGE SAINT-QUIRIN 1896 PROPRIÉTÉ. Imprimerie de Ad. Wesmael-Cbarlier, nie de Fer, 58, Namur. QaestloBB d'arithMologie. 2388. Combien y a-t-il de nombres de n chiffires? Combien faut-il de chiffres poar les écrire? 2389. Quel est le nombre de chiffres nécessaire pour écrire tous les nombres denois 4 jusqu'à celui qui est formé de n chiffres 9? 2390. On écrit la suite des nombres naturels sans séparer les différents chiffres : quel est le milliardiôme chiffre de cette suite, et à quel nombre appartient-il?— /?. i;4«3456790. 2391. On écrit tous les nombres depuis t jusqu'à celui qui est formé de n chiffres 9 : combien de fois écrit-on : i» le chiffre zéro; 2« chaque chiffre sif^ificalif? 2392. Les cinq premières pages d'un dictionnaire ne sont pas numérotées; mais la pagination des autres pages a nécessité l'emploi de 33336 caractères : quel est le nombre de pages de ce dictionnaire? — R. 86i2. 2393. On Ut les nombres de i à 9 à l'aide de neuf mots différents; de 10 à 99, à l'aide de quinze nouveaux mots. Pour les lire de iOO à 999, il faut un mot de plus, le mot cent; de iOOO à 999 999 Je mot mille; de 4000 000 à 999999999, le mot million. On lit donc les nombres de 4 à 999999999 à l'aide de 27 mots différents. Supposons que, pour lire les nombres de plus de neuf chiffres, on les partage en tranches de neuf chiffres, à partir de la droite, et qu'on appelle ces tranches, à partir de la deuxième jusqu'à la onzième, milliards, tnlliards, trilliards, quatrilliards, quintilliards, sextiUiards, septilliards, octiUiards, nonilliards, décilliards. On demande à l'aide de combien de mots différents on pourra lire tous les nombres ayant moins de cent chiffres. (Gelin.) 2394. Vérifier que, pour énoncer les nombres de 4 à 99, ii faut 474 mots, si les nombres 70, 80, 90 se lisent septante, oclante, nonante, et 202 mots, si les nombres 70, 80. 90 se lisent soixante-dix, quatre-vingt, quatre-vingt-dix. 2395. Faire voir que, pour énoncer les nombres de 4 à 999, ii faut dix fois autant de mots que pour énoncer les nombres de 4 à 99, plus 1700 mots, c'est-à-dire 3440 ou 3720 mots. (Gelin.) 2396. Faire voir que, pour énoncer les nombres de 4 à 999999, 11 faut deux mille fois autant de mots que pour énoncer les nombres de 4 à 999, plus 998000 mots, c'est-à-dire 7878000 ou 8438000 mots. (Gelin.) 2397. Faire voir que, pour énoncer les nombres de 4 à 999999999, il faut trois millions de fois autant de mots que pour énoncer les nombres de 4 à 999999, plus 4997 millions de mots, c'est-à-dire 42347 ou 43157 millions de mots. En admettant que l'on prononce, en moyenne, 465 mots par minute, combien faudra-t-il d'années de 365 jours pour énoncer tous les nombres de un à un milliard f (Gelin.) — R. 442 ou 452 ans. 2398. Trouver : \^ le plus grand et le plus petit nombre de six chiffres; 2« le plus grand et le plus petit nombre composé de six chiffres différents. 2399. Quinze chrétiens et quinze Turcs se trouvent sur un navire en danger. Après avoir jeté à la mer toutes les marchandises, le pilote déclare qu'il est nécessaire de sacrifier encore la moitié des passagers. 11 les fait mettre en ligne, et les comptant par ordre, fait jeter à l'eau chaque neuvième homme. 11 se fî4 QUESTIONS d'arithmologis 4 trouve que les quinze chrétiens sont sauvés. Quelles places occupaient-ils? — R. 1, 2, 3, 4, 40, H, 43, 4i, 45, 47, ÎO, 21, «, 28, 29. 2400. Cent hommes étant disposés sur un rang, on fait sortir du rang le premier, le onzième, le viogt-uniôme, le trente-unième, et ainsi de suite jusqu'lau nonanle-unième, puis on fait serrer le rang. On recommence rappel de It mtae manière, et on continue ainsi jusqu'à ce quil ne reste plus que neuf hommes. Quels sont les numéros que postaient ces hommes dans le rang primitif? — R. 37, 42, 47, 5:^, 59, m, 74, 83, 93. 2401. Écrire les trente-deux premiers nombresentiersdanslesystème binaire. 2402. La différence entre un nombre de deux chiffres et ce nombre renversé est égale à 9 fois la différence des deux chiffres. 2403. La différence entre un nombre de trois chiffres et ce nombre renversé est égale à 99 fois la différence des chifflres extrêmes. 2404. La différenee entre un nombre de trois chiffres et ce nombre renversé a 9 pour chiffk*e du milieu et 9 pour somme des chiffres extrêmes. 2405. La différence entre deux nombres composés des mêmes chiffres, écrits dans un ordre différent, est divisible par 9, et, en général, par la base diminuée de i. 3406. La diflërence entre un nombre composé d*ttn nombre impair de ohiffînes et le même nombre renversé est divisible par 99, et, en général, par le carré de la base, diminué de i. 2407. La somme des six nombres de deux chiffires que Ton peut former avec trois chiffres différents est égale à 22 fois la somme de ces chiffres. On suppose, dans cette proposition et les quatre suivantes, que le même nombre ne renferme pas plusieurs fois le même chiffre. (Gblin.) TMS. La somme des six nombres de trois chifflres que Ton peut former avec trois chiffres différents est égale à 222 fois la somme de ces chiffres. (Geum.) 2409. La somme des donne norabresdedeux chiffres que Ton peut former avec quatre ohiflkw difiérents est égale à 33 fois la somme de ces chiffires. (Geijn ) 2410. La somme des vingt-quatre nombres de trois chiffres que Ton peut former avec quatre chiffres différents est égale à 666 fois la somme de ces chifRres. (Gbun.) 2411. La somme des vingt-quatre nombres de quatre chiffres que Ton peut former avec quatre chiffres différents est égaie à 6666 fois la somme de ces chiffres. (Gbun.) 2412. En admettant que le même chiffre puisse entrer plusieurs fois dans le même nombre, on peul^ avec trois chiffres donnés, former neuf nombres de deux chiffires, dont la somme est égale à 33 fois la somme des chiffres donnés, ou vingt-sept nombres de trois chiffres, dont la somme est égale à 999 fois la somme des chiSï*es donnés. (Gblin.) 2413. Un nombre est formé de deux chiffires dont ta somme est 40««t ce nombre diminue de 72 lorsqu'on intervertit Tordre de ses chiffres. Quel est-il? — £. 91. 2414. Quel est le nombre de trois chiffres qui jonit des propriétés suivantes : i* la somme de ses deux chiffres extrêmes est 40; 2* la somme des six nombres que Ton peut former en permutant ses trois chiffires est égale à 3330; 3» Texcès de ce nombre' sur le même nombre renversé est 396? — R. 753. 2415. Trouver un nombre de quatre chiffh^, savant : \^ qu*il reste le même 8 tuasnoin »'aeitiiiiologs ttS quand on écrit ses ebifRres dans l'ordre inverse; 2« que la somme des quatre lÂiffres est tt; 3<> que Tezoôs du nombre formé par les deux chiffres de droite sur le nombre formé par les deux chiffres de gauche est 27. — R, 58S5. 2%16. Quels sont les nombres de trois chiffres qui sont égaux, chacun, à la somme des six nombres de deux chiffres que l'on peut former en prenant leurs chiffres deux à deux? — R, i% 264, 396. Tkïl. Soient deux nombres de n chiffres, et dont la différence est d; on écrit ces deux nombres à la droite, puis à la gauche l'un de Tautre : la différence entre les deux nombres ainsi obtenus est égale à d fois le nombre formé de n chiffres 9. On a, par exemple, 361354 — 354361 » 6993 ==^ 999 X 7. (Gelin.) 2418. Soient trois nombres de ii chiffres, ei dont la différence du premier au deuxième et du deuxième au troisième est d ; on écrit ces trois nombres à la droite, puis à la gauche Tun de Tautre : la différence entre les deux nomUires ainsi obtenus est égale à 2d fois le nombre formé de 2n chiffres 9. Oo a, par exemple, 381 374367 -367 374384 »= 13999 986»=999999XU. rGsuN.) 2^9. Soient quatre nombres de n chifi&es et dont la différence de chacun au suivant est d; on écrit ces quatre nombres à la droite, puis à la gauche les ans des autres : la différence entre les deux nombres ainsi obtenus est égale an produit de trois facteurs, qui sont : la différence d, le nombre formé de n chiffres 9, et le nombre 343, dans lequel on intercale, entre 3 et 4, et entre 4 et 3, n — i zéros, c'est-à-dire à( H SiMi75 - h\ 208:iti; 98*U25. 1 QUESTIONS D*ARITHMOLOGIB 227 243^ Poor multiplier un nombre par 9, on écrit le complément à 10 du dernier chiffre à droite de ce nombre, puis on ajoute, successivement, en allant de droite à gauche, chaque chiffre avec le complément à 9 du chiffre raivani; le dernier chiffre est a^jouté à 9, mais on n'écrit pas la dizaine de celle somme. Former, d*aprôs cette règle, le produit par 9 des nombres 1896 el 54908763. — R, 47064; 494 478 867. 2435. Pour multiplier par 9 un nombre formé de deux chiflTres consécutifs, on peut opérer comme il suit : Si le chiffre le plus grand est celui des unités, on écrit le chiffre des dizaines, puis 0, puis le complément à 40 du chiffre des onilés. Si le chiffre le plus grand est celui des dizaines, on écrit le chiffre des onilés, puis 8, puis le complément à 40 du chiffre des unités. Former, d*aprô8 celte règle, le produit par 9 des nombres 67, 76, 78, 87, 89, 98. — R. 603, 684, TOt 783, 801, 881 2436. Pour multiplier un nombre par un autre ayant le même nombre de chiffres, tous égaux à 9, on écrit, à la droite du nombre diminué de 4, te complément de ce nombre. Former, d'après celte règle, le produit de 87 par 99, 00 de 4896 par 9999. — R. 8613; 48958 404. 2437. Pour multiplier un nombre de m -f n chiffres par un nombre de n chiffres, tous égaux à 9, on retranche du premier nombre, diminué de 4, le nombre formé par ses m premiers chiffres à gauche, el on écrit à droite le complément du nombre formé par ses n derniers chiffres à droite. Former, d*après celle règle, le produit de 257 par 99, ou de 648409532 par 9999. — i2. 25443; 6480447210468. 2438. Deux nombres étant terminés par 5, leur produit sera terminé par 25 lorsque les chiffres de leurs dizaines seront de même parité. 2^. Deux nombres étant terminés par 4 ou 3 ou 7 ou 9, leur produit sera terminé respectivement par 04 ou 09 ou 49 ou 81 lorsque la somme des chiffres de leurs dizaines sera 0 ou 40. (Gei.in.) 2440. Deux nombres étant terminés par 2 ou 4 ou 6 ou 8, leur produit sera terminé respectivement par 04 ou 46 ou 36 ou 64 lorsque la somme des chiffres de leurs dizaines sera 0, 5, 10 ou 45. (Gblin.) 2441. Deux nombres étant terminés Tun par 7 et Tautre par 8, leur produit sera terminé par 56, lorsque les chiffres 7 et 8 seront précéda du même chiffre pair, ou qu'ils seront précédés le premier d'un chiffre impair, le second d'un chiffre pair, dont la différence est 5. (Gbun.) 2442. Un produit de deux nombres est terminé par 99 dans les cas suivants : 4* Tun des nombres est terminé par 4 et l'autre par 9, et le chiffre des dizaines do premier surpasse de 4 le chifllre des dizaines du second ; 2^ les deux nombres sont terminés par 3, el la somme des chiffres de leurs dizaines est 3 ou 13; 3» les deux nombres sont terminés par 7, el la somme des chiffres de leurs dizaines est 5 ou 45. (Gklin.) 2443. En multipliant un nombre par 17, on l'augmente de 208. Quel est-il? 2444. Que devient le produit de deux nombres : i^ lorsqu'on augmente ou qu*on diminue l'un de ces nombres d'une unité; ^ lorsqu'on les augmente ou qu'on les diminue l'un et l'autre d'une unité; 3* lorsqu'on augmente l'un et qu'on diminue l'autre d*une unité ? 2445. Le produit de deux nombres est 42807. Si l'on augmente l'un d'eux de 4, le produit devient égal à 43 435. Quels sont les deux nombres ? — /?. 754 , 457. 9M OCEsnons i^ABrnraofjOGii S 2M6. (tunt données deux suites de nombres <|ui en oontiennenl rtana ssiiDl t\uii TsMira* la s^imma des produits obtenos en multipliant les noBibres qui iHinuintni la même rang dans les deux suites est la plus grande possible lonqM \m nombres de chacune de ces suites sont disposés par ordre de grandev. 2447. Diviser nfi:{i:i5U70947265eî5 par 95367431 640 625 : !• par II m^jihodo ordinaire; t* par la méthode des compléments; ^ par la déoon- p'Mition en facteura du dividende et du diviseur; À^ en divisant cinq fois Nuccflssivement le dividende par 9; 9* en divisant vingt fois snoceasiveflMBt le dividende et te diviseur par 5; 6^ en multipliant dix fois successivement le dividende et le diviseur par 4. — R. 59049. 2448. Si, dans la division de deux nombres entière, pour vérifier le chiflire du (luoilnnt d*une division partielle, on multiplie le premier chiffre à gauche du diviseur, ou Ic8 deux premiers, ou les trois premiers, etc., par le chiflire I essayer, et que Ton retranche le produit de la partie correspondante da dlvldondo, le chiffre essayé est exact dans les cas suivants : 4* si le reste est Nupilrimir ou égal nu chiffre que Ton essaie: 9? si le reste est supérieur an ohilTro suivant du diviseur ; 'A^ si le reste est égal au premier chiffre suivant do divmour et on mémo temps tel que, si on rajoute au chifiRre suivant du divi- dende. In somme soit su|)érieure ou égale au cbiflVe que Ton essaie, on snpé- rionre un deuxième chifllno suivant du diviseur. (Allottb.) 2449. La somme de deux nombres est 9999999999; si on les divise Fnn par rautn\ lo quotient est 80 et le reste 90 : quels sont ces deux nombres? — h' 9 87t> 54» «10, I i3 ilîk\ 7K9. 2450. 1^ difliHtmco de deux nombres est 8i64l9753i; si on les divise l'un imr i*Mutr(\ le quotient est 8 et le reste 9 : quels sont ces deux nombres? — W W7tV54:«l, HH4.W7K9. 2451. Kn divlsaiu un nombre par 17. on le diminue de 9QS. Quel est-il? 2453. Quols «ont U^ nombrt^jt qui, divisés par n. donnent un reste égal an quoiioni* A\ lo* n — I prt^miors multîplo$ de h -f I. 2453. Ou«^ ^1 le quotient cH quoi est le ro$ie de la division de oA — 1 par a.' h\f* - t. Il ~l. 2454. |tjin$ louto division, le dividende o$t plus grand que le double du reste. 2455. r.mr qu>n p»is5«\ $an$ ohainjNT le n»te d*une division, intenreftir le divïM^r ot \^ quiviifQi^ il l^ui n pa:«M' scxMiier su à'v>dec>de« ^as cfaangier |0 ^jUvS^eni. <^$t ar no:n$ i^ nH4^ m.v.R$ I. À$T. FVxtr c:i\>« r(::j^j^« sac» oMc^r > qnotyr.:. ssipNa^r le dirijear ;^ ^ «» :tMk :: ti;;^ et 2 k:^: c>-^ > ?v^e ftv: e^il » $8NrMcr à m fys le w ♦;/ ./tss ii'4\i iK i^*^. cv>.' .Vx.Vt? .-.;: ,'. \-»«i' sr: rf rfîsw 3Iin; SKKrmr ^*S^ ^,^^- rt.v M.*». »7* ,->4'nf^* •? l'i'.xifa . H'MCir n atoe ^.'•mj.-rf tr Pt .*: ^^voc^f fv « .* ^aea:', . îM ; ,'v i iyJf ^w if rf«tf jcic «fil I QUESTIONS D*AR1THM0L0GIB 229 cième fadeur, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu*on ait employé tous les facteurs : e dernier quotient obtenu est le quotient cherché; quant au reste, il est égal I la somme des restes des divisions successives, multipliés chacun par les liviseurs précédents. 2461. Si Ton divise la somme de deux nombres par leur quotient augmenté le 1, on obtient le plus petit de ces nombres. (Bourgeois.) 2462. Si Ton divise la différence de deux nombres par leur quotient diminué le i, on obtient le plus petit de ces nombres. (Bourgeois.) 2463. Le produit de n nombres a au plus autant de chiffres qu*il y en a dans es n facteurs, et au moins autant qu'il y en a dans les n facteurs, moins it — 1. 2464. Le nombre des chiffres d*un quotient est égal à la différence entre le lombre des chiffres du dividende et le nombre des chiffres du diviseur, ou à »tle différence augmentée de i. 2466. La puissance de degré m d*un nombre de n chiffres a au plus mn et 10 moins mn — m + 1 chiffres. 2466. Le nombre des chiffres de la racine entière de degré m d*un nombre Je n chiffres est compris entre n : mein — i : m — i. (Geun.) 2467. Deux nombres, divisés par leur différence, donnent des restes égaux. 2468. Les puissances semblables de deux nombres, divisées par la différence Je ces nombres, donnent des restes égaux. 2469. La différence des puissances semblables do deux nombres est divisible ;>ar la différence de ces nombres. 2470. La différence des mômes puissances paires de deux nombres est divi- sible par la somme do ces nombres. 2471. La somme des mêmes puissances impaires de deux nombres est divi- sible par la somme de ces nombres. 2472. Si deux nombres, divisés par un même diviseur, donnent des restes igaux, il en sera de même des deux nombres obtenus en les augmentant ou sn les diminuant l'un et l'autre d'un même nombre, ou en les multipliant par un même nombre. 2473. Si les termes d*une somme diffèrent respectivement des termes d*une lutre somme de multiples d'un même nombre, les deux sommes, divisées par ce nombre, donneront des restes égaux. 2474. Soient, dans un système quelconque de numération, 1, a, ^, c, etc., les restes de la division des puissances successives de la base, i, 40, 400, 1000, etc., par un diviseur D : un nombre est divisible par D, lorsque la somme des produits de ses chiffres, à partir de la droite, respectivement par 1, a, b, c, etc., est divisible par D. On peut remplacer un reste quelconque par son complément au diviseur, et soustraire au lieu d'ajouter le produit cor* espondant à ce reste. Déduire, de ce théorème : i® qu'un nombre est divisible par 3 ou par 9, lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 ou par 9; 2* qu*un nombre est divisible par 6, lorsque la différence entre le chiffre de ses unités et le double de la somme des autres chiffres est divisible par 6; 3* qu'on nombre est divisible par 12, lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres ^ droite, ajouté à quatre fois la somme des autres chiffres, donne un nombre divisible par ii; 4° qu*uo nombre est divisible par 15, 18 ou 46, lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite, ajouté à dix fois la 3 tSO QUISnOfIS D'àlUTHMOIXKStS i# somme des aatres chifflres, donne un nombre divisible par 45, 48 ou 45; 5«qu\in nombre est divisible par 7, lorsqu^ayant élé partagé en tranches ds trois chiffres, la différence entre la somme des produits des drifllres des tranches de rang impair, respectivement par 1, 3, 3, et la somme des prodnits des cbiffiresdes tranches de rang pair, respectivement par les mêmes nombres, est divisible par 7; 6* qu'un nombre est divisible par 4, lorsque la tliflérenee entre le chiffre de ses unités et le double du chiffire de ses dizaines est divisiMe par 4; 1^ qu'un nombre est divisible par 8, lorsque le chiffre de ses anilés, pins deux fois le chiffre de ses dizaines, plus ou moins quatre fois le chiflRre de ses centaines, est divisible par 8. 2475. Plus ((énéralement, soient 4, a, b, c, etc., les restes de la division des puissances i, 40*, 40^, 10^, etc., de la base, par un diviseur D : un nombre est divisible par D, lorsque la somme des produits de ses tranches de n chifflreB, à partir de la droite, respectivement par 4, a, 6, c, etc., est divisible par D. Dédotre, de ce théorème : i^ qu'un nombre est divisible par 11, lorsque la somme de ses tranches de deux chiffres est divisible par 44 ; 2» qu'un nombre est divisible par 7, 11 ou 13, lorsqu'ayant ^é partagé en tranches de trois chiffres, la différence entre la somme des tranches de rang impair et la somme des tranches de rang pair est divisible par 7, 44 ou 43; 3® qu'un nombre est divisible par 27 ou par 37, lorsque la somme de ses tranches de trois chiffres est divisible par 27 ou par 37. 2476. Plus généralement encore, soient i^a,b, c, etc., les restes de la division des puissances 4, 4(H, 40*»+«, 40*»+«+p, etc., de la base, par un diviseur D : on nombre est divisible par D, lorsqu'ayant été partagé en tranches respecti- vement de m, n, p, etc., chiffres, la somme des produits de ces tranches respec- tivement par 4, a, 6, c, etc., est divisible par D. 2477. Un nombre est divisible par un diviseur D de 40», lorsque le nombre formé par ses n premiers chiffres à droite est divisible par D. Déduire, de ce théorème, des caractères de divisibilité par 2 et 6, 4 et 26, 8 et 125. 2478. Un nombre est divisible par un diviseur D de 40*> — 4, lor^ue la somme de ses tranches de n chiffres est divisible par D. Déduire, de ce théorème, des caractères de divisibilité par 8 et 9, 11, 27 et 37. 2479. Un nombre est divisible par un diviseur D de 40** + t« lorsqu'ayant été partagé en tranches de n chiffres, l'excès de la somme des tranches de rang impair sur la somme des tranches de rang pair est divisible par D. Déduire, de ce théorème, des caractères de divisibilité par 44, 404, 7 et 43, 73 et 437. 2480. Un nombre est divisible par un diviseur D de m.40'* — 4, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droite de ce nombre, la somme du nombre de gauche et de m fois le nombre de droite est divisible par D. Déduire, de ce théorème : 4* qu'un nombre est divisible par 29 ou par 31, diviseurs de 899, ou 900 — 4, lorsque le nombre de ses centaines, augmenté de 9 fois le nombre formé par ses deux premiers chiffres à droite, est divisible par 29 ou par 34; ^ qu'un nombre est divisible par 31 ou par 43, diviseurs de 3999 ou 4000 — 4, lorsque le nombre de ses mille, augmenté de 4 fois le nombre formé par ses trois premiers chiffï^ à droite, est divisible par 34 ou par 43. (Gelin.) 2481. Un nombre est divisible par un diviseur D de m.10" + 4, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droite de ce nombre, la différence entre le nombre de gauche et m fois le nombre de droite est divisible par D. Déduire, de ce H QUESTIONS D'AKlTHmiiOGIB 281 théorème : 4« qu'an nombre est divisible par 17 ou par 58, diviseurs de 901, lorsque le nombre de ses centaines, diminué de 9 fois le nombre formé par ses deux premiers cfaiffres à droite, est divisible par 47 ou par 53; ^ qu'un nombre est divisible par 23 ou par 29, diviseurs de !20(H, lorsque le nombre de ses mille, diminué de S fois le nombre formé par ses trois premiers chifflres à droite, est divisible par 23 ou par 29. (Jacob de Gelder.) 2462. Soit D un diviseur de 10* — p : un nombre est divisible par D, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droite de ce nombre, la somme de p fois le nombre de louche et du nombre de droite est divisible par D. Déduire, do ce théorème : i^ qu'un nombre est divisible par 47, diviseur de 94 ou iOO — 6, lorsqne le produit du nombre de ses centaines par 6, augmenté du nombre formé par ses deux premiers chiffres à droile, est divisible par 47; 9^ qu'un nombre est divisible par 83, diviseur de 996 ou 1000 — 4, lorsque le produit du nombre de ses mille par 4, augmenté du nombre formé par ses trois premiers chiffres à droite, est divisible par 83. (Gelin.) 2483. Soit D un diviseur de 10** + P : un nombre est divisible par D, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droite de ce nombre, la différence entre p fois le nombre de gauche et le nombre de droile est divisible par D. Déduire, de ce théorème : l*' qu*un nombre est divisible par 53, diviseur de 106, lorsque le pro- duit do nombre de ses centaines par 6, diminué du nombre formé par ses deux premiers chiff'res à droite, est divisible par 53; S*» qu*un nombre est divisible par 19 ou par 53, diviseurs de 1007, lorsque le produit du nombre de ses mille par 7, diminué du nombre formé par ses trois premiers ehifi'res à droite, est diviftihie par 19 ou par 53. (Gelin.) 2484. Soit D un diviseur de m. 10** — p, et D premier avec m : un nombre est divisible par D, lorsque, ayant séparé n chiff'res sur la droite de ce nombre, la somme de p fois le nombre de gauche et de m fois le nombre de droite est divisible par D. Déduire, de ce théorème, qu'un nombre est divisible par 53 ou par 283, diviseurs de 29998 ou 30000 — 2, lorsque la somme de 2 fois le nombre de ses dizaines de mille et de 3 fois le nombre formé par ses quatre premiers chiffres à droite est divisible par 53 ou par 283. (Gelin.) 2485. Soit D un diviseur de m. 10** 4- P. et D premier avec m : un nombre est divisible par D, lorsque, ayant séparé n chiff'res sur la droite de ce nombre, la difl'érence entre p fois le nombre de gauche et m fois le nombre de droite est divisible par D. Déduire, de ce théorème, qu*un nombre est divisible par 58 ou par 151, diviseurs de 8003, lorsque la différence entre 3 fois le nombre de ses mille et 8 fois le nombre formé par ses trois premiers chiffres à droite est divisible par 53 ou par 151. (Gelin ) 2486. Un nombre est divisible par un diviseur D de m. 10» — 1, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droile de ce nombre, le quotient du nombre de gauche par m, augmenté du nombre formé en écrivant le nombre de droite à la droile du reste, est divisible par D. Déduire, de ce théorème : 1« qu'un nombre est divisible par 29 ou par 31, diviseurs de 899 ou 900 — 1, lorsque le quotient du nombre de ses centaines par 9, augmenté du nombre formé en écrivant à la droite du reste ses deux premiers chiff'res à droite, est divisible par 29 ou par 31 ; ^ qu'un nombre est divisible par 31 ou par 43, diviseurs de 3999 ou 4000— 1, lorsque le quotient du nombre de ses mille par 4, augmenté ^2 QUESTIONS D'ARITHMOLOOIE it du nombre formé en écrivant à la droite du reste ses trois premiers chiffres à droite, est divisible par 31 ou par 43. (Gelin.) 2487. Un nombre est divisible par un diviseur D de m.10* 4- 1. lorsque, ayant séparé n chifiVes sur la droite de ce nombre, le quotient du nombre de gauche par m, diminué du nombre formé en écrivant le nombre de droite à la droite du reste, est divisible par D. Déduire, de ce théorème : i^ qu*un nombre est divisible par 17 ou par 53, diviseurs de 901, lorsque le quotient du nombre de ses centaines par 9, diminué du nombre formé en écrivant à la droite du reste ses deux premiers chiffres à droite, est divisible par 47 ou par 53; ^ qu'un nombre est divisible par 23 ou par 29, diviseurs de 2001, lorsque le quotient du nombre de ses mille par 2, diminué du nombre formé en écrivant à la droite du reste ses trois premiers chiffres à droite, est divisible par 23 on par 29. (Gelin.) 2488. Soit D un diviseur de m. 10** — p : un nombre est divisible par D, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droite de ce nombre et divisé le nombre de gauche par m, la somme de p fois le quotient et du nombre formé en écrivant le nombre de droite à la droite du reste est divisible par D. Déduire, de ce théorème, qu*un nombre est divisible par 571, diviseur do 3997 ou 4000 — 3, lorsque, ayant divisé par 4 le nombre de ses mille, la somme de 3 fois le quotient et du nombre formé en écrivant à la droite du reste ses trois premiers chiffres à droite est divisible par 571. (Gelin.) 2489. Soit D un diviseur de iTi.iO" + p : un nombre est divisible par D, lorsque, ayant séparé n chiffres sur la droite de ce nombre et divisé le nombre de gauche par m, la différence entre p fois le quotient et le nombre formé en écrivant le nombre de droite à la droite du reste est divisible par D. Déduire, de ce théorème, qu'un nombre est divisible par 53 ou par 151, diviseurs de 8003, lorsque, ayant divisé le nombre de ses mille par 8, la différence entre 3 fois le quotient et le nombre formé en écrivant à la droite du reste ses trois premiers chiffres à droite est divisible par 53 ou par 151. (Gelin.) 2490. Un nombre est divisible par 4 lorsqu'il est terminé par un chiffre pai- rement pair, précédé d'un chiffre pair, ou par un chiffre impairement pair, précédé d'un chiffre impair. (Gelin.) 2491. Un nombre est divisible par 8 lorsque, le chiffre de ses centaines étant pair, le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 8; ou lorsque, le chiffre de ses centaines étant impair, le nombre formé par ses deux derniers chiflVes à droite est divisible par 4 sans l'être par 8. (Gelin ) 2492. Déterminer les chiflVes x et y de manière que le nomhroJiG^y soit divisible par 47. — /?. 1, 9. 2493. Déterminer les chiffres x et 1/ de manière que le nombre 1234xy soit divisible par 8 et par 9. — /?. 8, 0 ou 0, 8. 2494. Déterminer les chiffres x. y, z de manière que le nombre ixyl^z soit divisible par 792. — R, 0, 2, 2. 2495. Dans la multiplication de 426357 par 9805, l'opérateur a placé le premier chiffre à droite du second produit partiel sous le second chiffre à droite du premier produit partiel. Il fait ensuite la preuve par 7 ou par 9 ou par il. Découvrira-t-il son erreur?— R. Non. 2496. N étant un nombre formé de m chiffres 9, et A un nombre formé de iZ QUESTIONS D*AR1THM0L0GIB S33 m chiffres quelconques, tout commun diviseur des deux nombres N cl A divise les nombres obtenus en échangeant les chiffres de A par permutation circulaire, c'est-à-dire les nombres formés successivement en enlevant le premier chiffre à gauche du nombre précédent pour le transporter à sa droite. Par exemple, le nombre 13, qui divise 999999 et 675038, divise aussi les cinq nombres 750386, 503867, 038675, 386750, 867503, formés successivement en enlevant le premier chiffre à gauche du nombre précédent pour le transporter à sa droite. 2497. La somme ou la différence de deux nombres pairs, ou de deux nombres impairs, est un nombre pair; et la somme ou la différence de deux nombres, Tan pair, Tautre impair, est un nombre impair. 24â6. Le produit de plusieurs nombres, tous impairs, est un nombre impair; et le produit de plusieurs nombres, dont un au moins est pair, est un nombre pair. 2499. De deux nombres pairs consécutifs, l'un est impairement pair et Tautre pairement pair. 2500. Tout nombre pairement pair est la somme de deux nombres impairs consécutifs. 2501. Tout nombre impair est égal à un multiple de 4, augmenté ou diminué d'une unité. 2502. Si Ton prend au hasard deux nombres entiers, Tun d*eux ou leur somme ou leur différence est un multiple de 3. 2503. Parmi n nombres consécutifs, il y en a un qui est divisible par n. 2504. Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6. 11 en est de même de leur somme. 2505. Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24. 2506. Le produit de cinq nombres consécutifs est divisible par i^. 2507. Le produit de six nombres consécutifs est divisible par 7iO. 2506. Le produit de sept nombres consécutifs est divisible par 5040. 2509. Si mn est un multiple de d, plus i, un nombre quelconque, écrit dans la base m, et le môme nombre renversé, supposé écrit dans la base n, sont en même temps divisibles ou non divisibles par d. (Geun.) 2510. Si les deux sommes ax -f ày et ay + bx sont divisibles par un certain nombre, les deux produits (a + b){x + y) et (a — b)ix — y) seront aussi divi- sibles par le même nombre. 2511. Si les différences a— () et c—d sont divisibles par un certain nombre, les différences ac — bdeiad — bc seront aussi divisibles par le même nombre. 2512. Si ma + nb est divisible par m — n, le produit (a -f à){m + n) Test aussi. La réciproque n*est pas vraie. 2513. Le produit n(^n + t)(3n+1)(4n + \)...{mn + i) est divisible par tous les nombres premiers inférieurs à m. 2514. Trouver n nombres entiers consécutifs dont aucun ne soit premier. — R. Au produit de tous les nombres de 2 à n -|- i, ajouter successivement tous les nombres de 2 à it + 1 . 2515. A Texception des nombres premiers et des nombres simplement pairs, tout nombre entier est égal à une somme do nombres impairs consécutifs. 2516. Tout nombre premier, autre que 2 et 3, est un multiple de 6, augmenté ou diminué d*une unité. La réciproque n'est pas vraie. S34 OinsnoNs D'AïuTHMOLOGm 14 2517. Décomposer en leurs facteurs premiers les nombres f814749767t06Ni9 10011^150390625, 2478758911082496, 7837433594376961, 9227446 9US79S(H. 2518. Trouver tous les diviseurs des nombres 96, 360, 1024, 64000, 331776. 2519. Trouver le nombre, la somme et le produit des diviseurs dhn nombre entier. 2520. Le nombre des diviseurs d*un nombre entier est pair, excepté si os nombre est un carré. 2521. Trouver le plus petit nombre admettant 12 ou 15 ou 100 ou 180 difi* seurs. — R, 60; 144; 46360; 277200. 2522. Déterminer un nombre composé des facteurs premiers 2, 5, 7 et Isl que, si on le multiplie par 5 ou par 7, on augmente do 8 ou de 12 le nombre de ses diviseurs. — R. 1400. 2523. Quel est le nombre de deux chiffres qui admet le plus grand iHMibre de diviseurs? — R. 60, 72, 84. 90 ou 96. 2524. Décomposer les nombres 96, 144 et 360 en deux facteurs entiers, de toutes les manières possibles* 2525. Décomposer le nombre 364535248833068544 en quatre flMteurs premiers entre eux deux à deux. — R. 512 X 59049 X 823543 X 14641. 2526. De combien de manières un nombre entier peut-il être décosiposé en un produit de deux facteurs entiers? 2527. De combien de manières un nombre entier peut-il être décomposé en un produit de deux facteurs premiers entre eux? 2528. De combien de manières un nombre entier peut-il être décomposé en deux facteurs do môme parité? 2529. La somme des diviseurs d'un nombre pair, donnant des quotients pairs, est égale à la somme des diviseurs de la moitié de ce nombre. 2590. Un nombre pair étant décomposé, de toutes les manières possiUes, en deux facteurs, Tun pair, Tautre impair, la différence entre la somme des facteurs pairs et la somme des facteurs impairs est égale à la somme des diviseurs de la moitié de ce nombre. 2531. Le nombre des diviseurs d*une puissance d*un nombre est premier avec le degré de cette puissance. 2532. On appelle nombre parfait celui qui est égal à la somme de ses parties aliquotes. Démontrer : 1® que les nombres de la forme 2»~'(2* — 1) soat parfaits, lorsque 2" — 1 est premier (Evclidb); t» qu*il n'existe pas de nombres parfaits pairs autres que ceux qui sont compris dans cette formule (Culbr); 3* que la somme des inverses des diviseurs d*un nombre parfait est égale à 2. 2533. On ne connatl que neuf nombres parfaits, correspondant aux valeurs 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61 de n dans la formule 2«- >(2" — 1). Calculer ces nombres. - R, 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176. 2534. Démontrer : i^ que tout nombre parfait pair, autre que 6, est un multiple de 9, plus 1 ; 9? que tout nombre parfait pair, autre que 28, est un multiple de 7, plus ou moins 1 ; 3^ que les nombres parfaits pairs sont terminés par 6 ou par 28; 4<* que tout nombre parfait pair terminé par 6 est un multiple de 45, plus 1 ; 5* que tout nombre parfait pair, terminé par 8, est un multiple de 30, moins 2; 6* que le nombre des centaines d'un nombre parfait terminé il aOBBlIOllS D*ARrrH1fOLOt« S85 pir 8 est an multiple de 9; 1« que toat nombre parfait pair, autre que 6 on 496, eat terminé par 46, ffî, 36, 56 ou 76; 8<» que Toctuple d*un nomt^re parfait pair, augmenté de i, est un carré. 2535. Vérifier que les six nombres suivants sont sous-douàles, ou égaux à la moitié de la somme de leurs parties aliquoles : ^.3.5, S^.3.7, ^.5.7.19.37.73, y.3.11.31, «13.3.41.43^27^ ii*.5. 7.49.34. 154. (Descartes et Fermât.) 253& Vérifier que les nombres â^33.5.7 et î».3s.5.7.43 ou 30240 et 32760 sont sous-triples, ou égaux au tiorsde la somme de leurs parties aliquoles. (Dsscartes.) 2537. Vérifier que les quati*e nombres suivants sont sous- quadruples : t».3*.5.7.4 12.17 19, 2^0.34.5.72.442.19.23.89^ 2".5.72.43.49a.37.73.427, 2».3».5. 7«.43?.49.31.6I. 127.337. (Fermât.) 2538. Vôrifier que les deux nombres suivants sont sous-Quintuples : 1PJT.53.7*.44.43«.172.31.44.6l.241.307.467.2804, 2".3B. 53.7.44.4.^.49.29.34.43. 61.143.427. (Fermât.) 2539. Vérifier que le plus petit nombre abondant impair est 40665. On appelle nombre abondant celui qui est moindre que la somme de ses parties aliq notes. 254ÛL Si le nombre 2^ + 4 est premier, le nombre 2» ' M2" -f 4) surpasse de 2 la somme de ses parties aliquoles. 25%1. Vérifier que la somme des diviseurs du cube de 7 ou dn cube de 751 530 est un carré. — R. 400; 4 292054400^. 25^ On appelle amiables deux nombres dont chacun est égal à la somme des parties aliquoles de Fautre. Démontrer que les nombres 2f« (3*.2*"~ * — 4) ei 2»(3.2«~ > ~1)(3.2" — 1) sont amiables, lorsque les facteurs entre parenthèses sont premiers. On connaît trois couples de nombres amiables, eorrespondant aux valeurs 2, 4 et 7 de n : calculer ces trois couples. — R. 220 et 284, 17296 et 18416, 9363584 et 9437056. 2543. Vérifier que les nombres 3^7^.13.19.53.6959 et 3\72.13.1% 179.2087 sont amiables. (Eulbr.) 2544. Tout nombre premier absolu est premier avec tous les nombres qui ne soat pas ses multiples. 2545. Si un nombre premier ne divise aucun des facteurs d*un produit, il ne peut diviser ce produit. 2546. Deux nombres consécutifs, et, en général, autant de nombres qu*on voudra, parmi lesquels il y a deux nombres consécutifs, sont premiers entre eux. 2547. Trois nombres entiers consécutifs, dont un seul pair, sont premiers entre eux deux à deux. 2548. Tout diviseur d'un nombre est premier avec le nombre qui le précède oo qui le suit. 2549. Deux nombres impairs consécutifs sont premiers entre eux. 2560. Deux nombres premiers entre eux sont aussi premiers avec leur somme et avec leur différence. 2551. Si la somme de deux nombres est un nombre premier, ces deux nombres sont premiers eux. 2552. Si la différence de deux nombres est un nombre premier, ces deux nombres sont multiples de ce nombre premier, ou sont premiers entre eux. 2553. Si a et ^ sont premiers entre eux, a + (^ et a^ — a^-f ^> ne peuvent avoir d*autre commun diviseur que S. S36 QUESTIONS D*ARITHMOLOGIE 10 2554. Si deux nombres sont premiers entre eux : 1* leur somme el leur produit sont premiers entre eux ; ^ leur différence et leur produit soot premiers entre eux; ^^ leur somme et leur différence sont premiôres entre elles oo ont 2 pour plus grand commun diviseur. 2555. Si a, b, c, d sont quatre nombres premiers avec p et si les différeneei ab—cd eta — c sont divisibles par p, la différence ^ — d est aussi divisible parp. 2556. Si a + ^ D*est pas divisible par le nombre impair n» le quotient de a" + ^ par a + ^ est premier avec a-\-b. Mais si a + (^ est divisible par »■, le quotient de a" + b* par n(a + b) est premier avec a + b, 25Ô7. Si N = a'"^« c, a, b, c étant des nombres premiers, démontrer qa*il y m a"*- * W*- ^ cp- ^ {a — \) ib — i) (c — i) nombres premiers avec N moindres que N. 2558. Le nombre des nombres entiers premiers avec un nombre N et moindres que sa moitié est la moitié du nombre des nombres premiers avec N et moindres que lui. 2559. Trouver le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple des trois nombres 7^ i04 136 308 736, (35i605 460591688, 7 S13 895 789838336. - R. 110075314176, 47330370277 li9 31 9 496. 2560. Partager, sans mélange, 2479 litres d*un liquide et 1517 litres d'an autre liquide en le plus petit nombre possible de volumes, tous égaux. — R, 67 et 41 volumes de 37 litres. 2561. Dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres par la méthode des divisions successives : 1® le quotient de la dernière division ne peut ôtre inférieur à 2; 2« un reste quelconque est au moins égal à la somme des deux restes suivants et il est moindre que la moitié du reste qui le précède de deux rangs. 2562. Trouver les deux plus petits nombres dont le plus grand commua diviseur soit 12 et s'obtienne par dix divisions successives. — R. 1728, 1068. 2563. Le nombre de divisions à effectuer pour trouver le plus grand commua diviseur de deux nombres est au plus égal au degré de la plus haute puissance de 2, non supérieure au plus petit des deux nombres . 2564. Le nombre des divisions à faire pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres ne peut excéder cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres proposés, ni môme trois fois ce nombre, si ToQ fait en sorte qu'aucun des restes n*excède la moitié du diviseur correspondant. 2565. Pour avoir la limite la plus approchée du nombre des divisions à faire, dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres, parmi celles qui ne diminuent pas lorsque le plus petit des deux nombres augmente, il suffit d'écrire les termes de la suite 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc., où chaque terme est égal à la somme des deux qui le précèdent, jusqu'au premier terme supérieur au plus petit des nombres donnés, et de compter le nombre des termes pré- cédents. Si l'on fait en sorte qu'aucun des restes n'excède la moitié du diviseur correspondant, on substitue à la série donnée la suivante : 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, etc., où chaque terme est égal au double de celui qui le précède, plus l'avant-précédent. 2566. Le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui de l'un de ces nombres et de leur différence. il QUESTIONS D^ÀRITHMOLOGIB S37 2567. Le plus grand commun diviseur des nombres aeib est le môme que celui des nombres a+bmeia±à + bm. 2568. Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on divise par le plus petii de ces nombres chacun des autres nombres; on opère de la môme manière sur le plus peiit nombre et les restes obtenus, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à des nombres dont le plus petit divise chacun des autres : ce plus peiit nombre est le plus grand commun diviseur cherché. 25G9. Pour trouver le plus grand commun diviseur d'un nombre a et du produit ^c, on cherche le plus grand commun diviseur D de a el ^; on divise a par D et on cherche le plus grand commun diviseur d du quotient et de c : le produit hd esi le plus grand commun diviseur cherché. 2570. Étendre la méthode précédente à la recherche du plus grand commun diviseur d*un nombre et du produit de plusieurs autres. 2571. Le plus grand commun diviseur de deux nombres a et ^ est égal au oombre des multiples de b contenus dans la suite a, ^a, 3a, ..,ba. 2572. Étant donnés trois nombres a, b, c, on forme les deux suites a, Sa, 3a, ,.,ca^ b, 2^, ^b,,..cb, et on cherche combien de fois deux termes de méaie rang de ces deux suites sont simultanément divisibles par c : ce nombre de fois est le plus grand commun diviseur des trois nombres. 2573. Trois nombi*es impairs quelconques ont le môme plus grand commun diviseur que les demi-sommes de ces nombres pris deux à deux. 2574. Étant donnés n nombres dont la somme est s et dont le plus grand Goairoun diviseur est d, démontrer que le plus grand commun diviseur des nombres obtenus en retranchant de s chacun des nombres donnés est égal au produit de d par un diviseur de n — 1. 2575. Trouver les trois plus petits nombres qui, divisés successivement par 9, 10, il, 12, 43, donnent toujours 8 pour reste. — R. 25748, 51 488, 77228. 2576. Trouver les trois plus petiis nombres qui, divisés successivement par 9, 10, 11, 12, 13, donnent respectivement pour restes 1, 2, 3, 4, 5. — i^. 25732, 51472,77212. 2577. En divisant 1347, 1965, 2386, 9306 par un certain nombre, on obtient res- pectivement pour restes 51, 21, 10, 18: quel est ce nombre?—/?. 54,72, 108ou216. 2578. On demandait à un marchand de chevaux combien il en avait. Il répondit : J'en ai plus de 500 et moins de 1000; en les comptant quatre par quatre, ou cinq par cinq, ou six par six, il en reste chaque fois un; mais en les comptant sept par sept, il n'en reste point. Combien ce marchand avait-il de chevaux? — R. 903. 2579. Les neuf Muses, portant chacune le môme nombre de couronnes, ren- contrent les trois Grâces et leur offrent des couronnes. Les Grâces et les Muses ont alors chacune le môme nombre de couronnes. Quel est le nombre de celles-ci? — R. Un multiple de 36. 2580. Les trois Grâces portent des oranges, chacune le môme nombre; elles rencontrent les neuf Muses et leur donnent chacune le môme nombre d'oranges : chacune des Grâces et des Muses se trouve alors également par- tagée. Quel est le nombre des oranges? — R. Un multiple de 12. 2581. On place l'une contre l'autre trois règles, longues chacune de 360 mil- limètres, de manière qu'elles aient les extrémités communes. Chacune est tXk (itumùott » AAmnoucK U /liv'i4^ en partie tel«i: r»a»<» i^ 'livuioiu de la premièfe laleal 8 aîDi- m^,tr^,«, /->;ii^ ^^ \» n^/'iti'ih M tùMxvMAjnA et eeiie» de la lioîaiiae SD oûlë» ttt^ePA^ UhHTtUiMf \th iraiu i« 4ivt.4ioo qui eofacideni sur les iniîs rfiflei. — A 1%, 10. ^>i îîTl, ïfMï; ir,, y), 18. >B8^« A qii^lii:» beur^ \fs% ntMX ai^'iiiies d'oae horloge soai-eUes J^unemt r»ijir«!> - /iT t/m hntA (>r^mier» rouliiples de I77 heure. VM. K i\nt\\\fM y-MTê-A Um iUiux uiyiwiWfA d*uoe horloge sool-eiles en Usât droiMt? /^ \Ah hu%i; (ir^micni muiuplcs impairs de j^ d'heure. 'UtM. s i\tÈvMti% tmiir/ïd W.^^ deu% aiKuiUes d'une borlos^ soot-elles pcrpea i\u'MU\\rt*% V\êni\ A Vm\Tti1—U. Le» 22 premiers multiples impairs de 17 dlieoreL SjTiHf». A f{iif)tlf;ii hr;ijrf;N TanKlc don deu% aiguilles d*une horloge esl-il éfcalà //!» 'itiniclo (iniii? U, I^JH onze premiers multiples de 4 ^ heure, aoKOieolés 011 «iifiiiriiii'M lin , ,^ ,■ iiIhMiiimi^uo nu ntpriiduira rojipoclivomont 730, 697, 4427, et, en tool, HHN* iiiii 011 i-ri liiMiron. Urwtfi Pniir inriin roumiun tunliiplo do plusieurs nombres soit le plus peliU Il iiMii 01 il «uilK \\\\\\\\ lo diviMini MmvoHsIvoment par chacun de ces nombres, tut lUiiuihiifi Uiui tiuoltonlH pi'iMiuorH onirt^ oux. UfUtU Ouiutd un utMiihro oui diviiiililo par plusieurs nombres premiers entre ous doux 1) doux, tl ORl dtvinUUo |K)r lour plus (H'tit commun multiple. Ur\)H) lo pUik )muu (Huinuun nuilupl<^ ^1<^ nombros 1, ^, 3,. ..Su eet le im^uo ^\\w iviui dim «ombiiM» « M, h ♦ 1 « + 3,..,:iH. (Catalan.) <^*« ^. •" ( I. ^ 1 4« , . ^ I .t I (\st lo nuVuo gue celui des nombres d, ^ ■• I-* ' <. ^ « 4 I xMmi^^n^ ^'V^ Ni ion «),uUioiu» do U s\\\\y\K\x\ x)o dou\ OU iduis^icur» Qombn» par ua ^S'M,i:o nomhiv ii«\iu p«vimiim» ooux» oux. %>o di^ujor nombre e*i le plus grand d>(V'( N: .,\» «)m^o%^)\(>k ,i«' i.-^ o«M>:,No dVn n^vml^rv {ur deax ou plasieara A4U N^x x,xiU «vnv^vxnv* 4m^4,v «s*\. to ;v\>wh\ n,\wîcert^ \t î>iu5 jnku cOABon ivH ;. .v.vjk is\:« •NM>\A',i'.i' w*- , ,\\* •x" *o tts^ivr* ryoarîvw «i €)pl à an vkr, . ,^, ,s\»v>4^4-,r, ^♦^^^^^.^5, ,* o \.>v .vt. /.' ♦va* ^"Aï^.* «wTtt^t à.vi^wrâes ^VN . . .. ♦>\ «vN u ,\H*r. *>♦«: 1* A' • ^ t» ,^,' *i ^.\llb^ \> «** Aff* > ••'>«:" 4'»"'.'»3i;fl àinaé tf QUESTIONS D*AUTH1IDL0GIB 939 Scieur prodail et leur plus petit commun multiple; ou 4« leur plus grand eoBmuD diviseur et leur plus petit commun multiple. 2597. On marque m points sur une circonférence, et on les foint de f> et n an pareourant la circonfôreace toujours dans le môme sens. Démontrer : 4* qu*OD reviendra au point de départ après avoir franchi un nombre de pointa égal au plus petit commun multiple de m et it; ^ que le nombre des points de division (]u*on aura touchés sera égal au quotient de m par le plus grand com- mun diviseur de m et n; 3* que le nombre de fois que Ton aura parcouru la eirconférence sera égal au quotient de ?t par le môme plus grand commun divisear. Un nombre terminé par ^, 3, 7 ou 8 ne peut ôlre un carré parfait. Le chiffre des dizaines d*un nombre carré est pair, excepté lorsque oe carré est terminé par 6. 2600. Le carré d*un nombre terminé par 5 est terminé par 0^, !Et5 on 6f5. 2601. Tout nombre carré est terminé par Tun des vingt -deux nombres suivants de deux chiffres : 1* par les nombres 00 ou 25; ^ par les nombres 01, S4, 44, 64, 81, ou 04, U, 44, 64, 84, ou 09, *29, 49, 69, 89, formés d*un cbifllre pair suivi de 4 ou 4 ou 9; 3« par les nombres 46v 36, 56, 76, 96, formés d*un chiffre impair suivi de 6. 2602. Quand un carré est terminé par 4 ou par 9, le chiffre de ses centaines est pair ou impair, suivant que le chiffre des dizaines est pairement ou impai- rement impair. (Gbrondal.) 2603^ Les carrés terminés par deux chiffres égaux sont terminés par 00 ou 44. et leurs racines sont terminées par 0, 42 ou 88, 38 ou 62. 2G04. Les carrés des nombres terminés par 0000000000 ou 0000000004 ou 4 787 409376 ou 8242890625 sont terminés respectivement par les mômes chiffres. 2605. Connaissant les neuf derniers chiffres 224406889 du carré d*un nombre, trouver les neuf derniers chiffres de ce nombre. (Gbun.) — R. 265840083, 765840083, 363466333, 86:^466333, ou les compléments à 4000000000 de ces quatre nombres. 2606. Si l'on écrit les uns à la suite des autres les chiffres des dizaines des carrés successifs terminés par 4 ou par 4 ou par 6 ou par 9, la suite que Ton obtiendra sera périodique, la période aura dix chiffres, et les deux chiffi^es à égale distance des extrêmes dans la période seront égaux. 2607. Toute somme de deux carrés a un nombre pair de dizaines, si elle est terminée par 4, 5 on 9, et un nombre impair de dizaines, si elle est terminée par 3 ou 7. (CsaoNDAL.) 2608. Pour faire le carré d*un nombre terminé par 5, du nombre 95, par exemple, on multiplie le nombre 9 de ses dizaines par le nombre suivant 40, et on écrit 25 à droite du produit. 2609. Réciproquement, un nombre terminé par 25 est un carré partit, lorsque le nombre de ses centaines est le produit de deux nombres oonsécotifli. 2610. Poor former le carré d'un nombre composé de n chiffres 9, on écrit n —\ chiffires 9, puis 8, puis n — \ chiffres 0, puis 4. On a, par exemple, 99992 = 99980004. (iBN Albanna.) 2611. Le carré du nombre 9090909094 est formé de deux parties iden- tiques. 11 en est de môme des carrés de ses neuf premiers multiples. — R. 00826446284 00826446284. 240 QUESTIONS DARITHMOLOGIB 1Ù 2612. Trouver les carrés parfaits de trois, quatre, cinq ou six chiffres qoi, retournés, sont encore des catTés parfaits. — R. i® 124, 144 et 444, 469 et 961, 484, 676; 2« 4089 et 9801; 3» 44641, 69696; 4« 698 K96. 2613. Si A est un nombre composé de ^m chiffres 1 ou 4 et B un nombre composé de m chiffres 4, le nombre A + B + 1 est un carré. 2614. Dans tout système de numération, les nombres 124, 43321, 4 234314, 423454324, etc., sont des carrés de nombres formés d'autant de chiffres 4 qoe Tindique le chiffre du milieu de chacun de ces nombres. 2615. Dans la base 42 et dans la base 46, un carré ne peut être terminé que par Tun des chiffres 0, 4, 4 ou 9. (Gelin.) 2616. Dans tout système de numération, le double du nombre qui précède la base el le carré de ce nombre s'écrivent avec les mômes chiffres, pris dans Tordre Inverse. J 2617. Pour écrire dans la base B^ un nombre écrit dans la base B, on partage ce nombre en tranches de deux chiffres, et on remplace chaque tranche par le chiffre qui la représente dans la base B^. 2618. La différence des carrés de deux nombres est égale à la somme de ces nombres multipliée par leur différence. 2619. Le produit de deux nombres est égal au carré de leur demi-somme moins le carré de leur demi-différence. 2620. Le carré d'un nombre impair est un multiple de 8, plus 4. 2621. Le carré d'un nombre premier, autre que 2 et 3, est un multiple de 24, plus 4. 2622. Le carré d'un nombre pair, divisé par 46, donne pour reste 0 ou 4. 2623. La différence des carrés de deux nombres consécutifs est égale à la somme de ces nombres. 2624. Trouver deux nombres consécutifs, sachant que la différence de leurs carrés est 4789. — R. 894, 895. 2625. Tout nombre impair est la différence de deux carrés consécutifs. 2626. Tout nombre pairement pair est la différence de deux carrés entiers. 2627. Si deux nombres sont premiers avec 3, la différence de leurs carrés est divisible par 3. 2628. Si deux nombres sont premiers avec 5, la somme ou la différence de leurs carrés est divisible par 5. 2629. La somme des carrés de deux nombres entiers n'est divisible par 3, 7, 14, 19, 23, 31, que si ces nombres sont eux-mêmes divisibles par 3, 7, 11, 19, 23, 31. (Gelin.) 2630. Si la somme des carrés de deux nombres est le double d'un carré, la différence dos mêmes carrés est divisible par 48. 2631. La somme d'un nombre impair et du carré de la moitié du nombre immédiatement inférieur est un carré. 2632. Le double produit de deux nombres quelconques, la demi-différence et la demi-somme de leurs carrés sont trois nombres tels que la somme des carrés des trois premiers est égale au carré du troisième. 2633. Si un carré entier a^ est égal à la somme de deux autres carrés entiers ^3 et c^ : 1<» l'un des nombres b, c est divisible par 3; 2» l'un des nombres 6, c est divisible par 4; 3* l'un des nombres a, b, c est divisible par 5. t1 QUESTIONS D'ARITHMOLOGIB 24i 2634. Si le carré d*un nombre entier est la somme des carrés de deux autres, 61 si les trois nombres contiennent le facteur 2 respectivement aux puissances a, t, c, Tun des nombres ^ ou c est égal à a et Tautre au moins égal à a + 2. 2635. Si on nombre pair est la somme de deux carrés entiers, sa moitié est aussi la somme de deux carrés entiers. 2636. Tout nombre premier, autre que % est, d'une seule manière, la diifé- rence de deux carrés entiers. 2637. Si un nombre premier est décomposable en une somme de deux carrés entiers, il ne Test que d*une manière. 2638. Si deux nombres, l'un pair, l'autre impair, sont premiers entre eux, la différence de leurs carrés ne peut être un carré que si leur somme et leur diffé- rence sont elles-mêmes des carrés. 2639. Si deux ou plusieurs nombres sont chacun la somme de deux carrés, leur produit est aussi la somme de deux carrés. 2640. Si deux ou plusieurs nombres sont chacun la somme d*un carré et d'un même multiple d*un autre carré, leur produit est aussi la somme d'un carré et do même multiple d'un autre carré. 2641. Le produit de deux ou trois ou quatre ou cinq nombres consécutifs n'est jamais un carré. 2642. Le produit de quatre nombres consécutifs, augmenté de i, est un carré. 2643. La somme des produits deux à deux de trois nombres impairs quel- conques n'est jamais un carré, (de Rocquigny.) 2644. Si un nombre est la somme de trois carrés, son carré est la somme de quatre carrés. 2645. Le cube d'un nombre terminé par 5 est terminé par ifô, 375, 625 ou 875. 2646. Si un cube est terminé par ^ ou par 6, le chiffre de ses dizaines est impair. S'il est terminé par 4 ou par 8, le chiffre de ses dizaines est pair. 2647. Si un cube est terminé par n chiffres 9, sa racine cubique est aussi terminée par n chiffres 9. (Gelin.) 2648. Trouver les six derniers chiffres d'un nombre, sachant que son cube est terminé par 777777. (Gemn.) — K. 260753. 2649. La différence des cubes de deux nombres consécutifs est égale au triple produit de ces nombres, plus i. 2650. Trouver deux nombres consécutifs, sachant que la différence de leurs cubes est 197377. — i?. 256, 257. 2651. Si Ton écrit les uns à la suite des autres les chiffres des dizaines des cubes successifs terminés par 2 ou par 4 ou par 6 ou par 8, la suite que l'on obtiendra sera périodique et la période aura cinq chiffres. 2662. Tout cube entier est un multiple de 7, ou un multiple de 7, plus oo moins 1. 2653. Tout cube entier est un multiple de 9, ou un multiple de 9, plus ou moins 1. 2654. Le cube d'un nombre premier, autre que 2 et 3, est un multiple de 18, plus ou moins i. 2655. Si l'on divise un nombre et son cube par 6, on trouve le même reste. 2656. Les restes de la division par 9 des cubes consécutifs se reproduisent périodiquement de trois en trois. S49 arasnom D^ARirnoLOcii fl 2667. La somme des cubes de trois nombres oonséoatife est dmsible iMr 9 ot par le triple du nombre du milieu. 2658. La somme des cubes de trois nombres dont aucon a^est divisible par % .H, K, 7 ou i3 n*est divisible par S, 3, 5, 7 ou 13. (Geltn.) 2659. Lo cube d*un nombre entier est la différence de deux carrés doit Hm ost divisible par 0. 2660. Si au cube d*un nombre entier on ajoute 3, 4, 5 ou 6 anitës d*an ordra quelconque, la somme n^est jamais un cube. 2661. Lo cube d'un nombre entier est égal ft la somme de ce nombre et de son produit par le nombre qui le précède et le nombre qui le suit. 2662. 1^0 cube de la somme de deux nombres est égal à la somme des cubes do CCS nombres, plus trois fois leur produit multiplié par leur somme. 2663. Lo oubo de la différence de deux nombres est égal à la différence des ouhoR do cos nombres, moins trois fois leur produit multiplié par leurdifféreoee. 2664. U produit do deux ou trois ou quatre nombres consécotifs n'est Jamnis un cube. 2665. lia qunlriùmo puissance d*un nombre terminé par 5 est terminée par 0<)tH, ot sa huillômo puissance est terminée par 90695. 2666. Ln quatriômo puissance d*un nombre non terminé par 0 ni par 5 est terminée par i ou par 6. 2667. Ia différence dos quatrièmes puissances de deux nombres non divi- siblos par X ost divisible par 5. 2668. I«a quotriômo puissance d*un nombre impair, non terminé par .■(, est un mnlliplo do 80, plus i. 2669. Si un nombre est la sommo de doux autres : i<* la somme des carn\8 dos produits deux i^ doux des trois nombres est un carré; i* la somme dos carrés dos trois nombres ot des carrés do leurs produits deux à deux, augmcnttV) de I, ost un carré: ^ la sommo des cubes des trois nombres, i^outée à leur triple produit, ost lo doublo d*un cube; i^ la somme des produits do carré do chaquo nombro par la somme des doux autres nombres, lûoulée au produit dos trois nombres, est lo double d*un cube; 5* la somme des quatrièmes puissances dent trois nombres est lo double d*un carré. fGEi.iN.) 2670. U oinquic'^mo puissance d*un nombro est terminée par le môme chiffire que eo nombrtv Par suite, les derniers chiflVes des puissances successives d*on nombr(> se rtn>roi1uisont ptViodiquomont de quatre en quatre degrés. 2671. 1.0 ohiflVe des diiaines do la cinquième puissance d*un nombre n*est jamais I ni 8 (r.KLi!i.) 2672. La difforonco des sixièmes puissances do deux nombres non divisibles par 7 est divisible par 7. 2673. Ln diff(^renro des dixièmes puissances do deux nombres non divisibles par \\ est divisible par IL 2674. I.a différence des douiièmes puissances de deux nombres non divi- sibles par 13 est divisible par 13. 2675. La differeniH> des seitièmes puissances de deux nombrvs non divisibles iKir 17 ost divisible par 17. 2676. Lo chiffre des ditaines de mille d'une puissaiKX> quelconque vie 5 n*est jiinais 3 ni S, vL^R^TT.^ tt QDCSTimiB D'ARlTHieLOGIB US 2677. Le chiffre des^izaines d*une puissaDce qnelconque de7 est 0 ou 4. (Gelîn.) 2678. Lorsque le chiffre des dizaines d'un nombre impair est pair, le chiffre des dizaines d^une puissance quelconque de ce nombre est aussi pair. (Gelin.) 2679. Lorsqu'un nombre est terminé par 6 et que le chiffre de ses dizaines est impair, le chiffre des dizaines d'une puissance quelconque de ce nombre est aussi impair. (Gelin.) 2680. Toute puissance d*un nombre terminé par 24 est terminée par 76 ou par S4, suivant que le degré de la puissance est pair ou impair. (Gelin.) 2681. Toute puissance d*un nombre terminé par 96 est terminée par 76; de plus, à Texception du carré, le chiffre des centaines de celte puissance est impair. (Gelin.) 2682. Toute puissance d*an nombre terminé par 76 est terminée par 76; de plus, le chiffre des centaines de cette puissance est impair. (Gelin.) 2683. La somme des puissances semblables de dix nombres consécutifs est terminée par 3 ou par 5, suivant que le degré de la puissance est divisible ou ■*e8t r>as divisible par 4. 2684. Dans un système de numération dont la base esiîn : i^ les nombres terminés par n ont toutes leurs puissances terminées par it, si n est impair, et par 0, si n est pair; ^ les nombres terminés par n + ^ ont leurs puissances terminées par n -fl* si n est impair, et alternalivement par n + '1 et i, si it esl pair; 3® les nombres terminés par n — i ont leurs puissances terminées alternativement par n ~ i et ri + 1, si n est impair, et alternativement par » — 1 et 1, si 11 est pair. 2685. Dans tout système de numération dont la base est Sn, deux nombres terminés par deux chiffres dont la somme est Sn, ont leurs puissances paires aussi terminées par deux chiffres dont la somme est in. 2686. Toute puissance d*un nombre entier est la différence de deux carrés entiers. 2687. Toute puissance d'un nombre entier n est égale à la somme de n nombres impairs consécutifs. 2688. Si un nombre eât une somme de trois carrés, toute puissance de ce nombre est aussi une somme de trois carrés. (Catauin.) 2689. La somme des produits deux à deux de quatre nombres impairs con- sécutifs n'est puissance d'aucun nombre, (de Rocquigny.) 2690. La somme des mêmes puissances paires de neuf ou douze nombres consécutifs n'est puissance d'aucun nombre. (Gelin.) 2691. Plus généralement, si n est un multiple de 9 mais non de 27, ou un multiple impair de ii, la somme des mêmes puissances paires de n nombres entiers consécutifs n'est puissance d'aucun nombre. (Gelin.) 2692. n étant un nombre entier quelconque : i- n{n 4- \){n + 2), nin + 1)(2» + I), n{n + 1)(4ii + i), n» + » et n^ - n sont multiples de 6; 9^ nHn* — i) esl multiple de 60; 3» ii(n« — i) (n« — 4) est multiple de 420; 4« nHn* — \) (n* - 16) est multiple de 3600; .V îi(n2 _ \, {n'i — 4) («2 — 9) est multiple de 5040; 6» n(n« — i; {4n^ — i) (4>i« — 9) esl multiple de 630; îfU QUESTIONS D*ARITHI10L0GIB V T n{n — 2) (2» + 3) {n^ - i) (in^ - \) est multiple de ««) ; 8« n(ww — i) esl mullipie de 2730. 2693. Si n est pair : 1» n(rt2 — 4) est multiple de 48; 20 w(»* — 16) est multiple de t9i0; 3» n2(n« + 144) est multiple de 2880. 2694. Si n est impair : i« n(w* — 1) est multiple de 2i0; 2<» nHn^ — 1) (w* — 1) est multiple de 5760; 30 „2(„2 « I) („6 «. 1) esi mullipie do 4032; 40 w2(w4 — \) (w8 — 4) est mullipie de H5200. 2695. Si n est impair et premiernvec5,(n^ — 1)(n^—i) est maltiple de 12800. 26%. Si 71 est pair et premier avec 3, 6, 13, 17, (n^ — 1)(n* — 16) est mol- tiple de 795600. 2697. Si n est impairemenl pair, n(n^ — 1)(n* — 4) est multiple do 4W. 2698. nHn^ — \f est mullipie de 54000, si n est pair, et de 13621000, si 11 esl impair. 2699. a et ^ étant des nombres eniiors, ab{a^ — M) est multiple de 30. 2700. Si a et ^ sont premiers avec 10, le produit ««««_ \) {tfi^\) (a^— ^) est multiple de 46080. 2701. Si a, b, c sont trois nombres premiers avec 2, 3, 5, le produit (a* - M) (a* — c*) (M - c*) esl divisible par 13824000. 2702. Si a et ^ sont deux nombres premiers plus grands que 7, le produit ia'^ — \) ib'^ — 1) (a« — b^) esl multiple de 5X0608. 2703. Si n est premier avec 3, a*»» + a» + 1 est multiple de a* + a + 1. 2704. n étant un nombre entier quelconque : 40 ç2n + 2 -I- 3«» + 1 est multiple de 7 ; ^o 26» + 1 +32» + 2 esl multiple de H; 30 26» + 3 4- 3<» + 2 et 23" + * + 3. 5*» + 1 sont multiples de 17; 40 2» + 1 4. 2n + 4 4. 52» + < est multiple de 23; 50 33» - 3 4. 7n.23» - 1 est multiple de 29; go \\în _ ^n esl multiple de 57; 70 28«» + 2 + 7<» + < esl mulliphMlo65; go 312* + 6 4- i est mullipie de 730; 90 25i». 34» — 43n. 52» est mullipie de 992; 10* 6«»+« + 83«- + i8 esl mullipie de 308800. 2705. n étant un nombre eniicr quelconque : 40 2«" — 3« — 1 esl multiple de 9; 20 23" + « + 21n — 4 est mullipie de 49; 30 ,^2- — g^ — 4 est mullipie de 64; 40 ^ah _ 45^ _ 4 est multiple de 225; 50 72H + 1 _ 48„ - 7 est multiple de 288. 2706. Quols sont les restes de lu division des puissances successives de 61 par 13, ou des puissances suc(!essiv4>s de 13 par 61, ou des puissances succes- sives de 101 par 31 ? — R. 9, 3, 1 ; 13, 47, 1 ; 8, 2, 16, 4, 1. 2707. Trouver le reste de la diviî»ion de 13^^ par 7, 9, 11, 17, 19, 23,29, 31. - I^. 6, 4, 2. 4. 15, 3, 22, 13. tt WUflOm D^AMTHlIOiJMIB t45 1708. Quelle est la plas haute puissance de 47 on de 1i4 gui dhrise le produit de tous les nombres de i à i 000000000? Par combien de xéros est «erminé ce produit? - R, 47««» W7; 444^9»we. ^9999993 zéros. 2709. Tout nonbre,autreque j^ de la forme i^'*'*+4, ou n^+4, est composé. 2710. Si 2» + 4 est le produit de deux nombres aet^, a — ietd — i sont Visibles par la môme puissance de 9. 2711. Vérifier que le nombre 9^ + 1 est divisible par 974477. 2712. Vérifier que le nombre f^^ + ^ est divisible par 4446^9. 2713. Pour extraire la racine carrée d'un nombre, dans le cas où cette racinedoit avoir un grand nombre de figures, on détermine, par la méthode ordinaire, plus éê Ift moitié des chiffres de cette racine ; on obtient ensuite les autres chHIVes en divisant le dernier reste, suivi des tranches non employées* par le double de la racine déjà trouvée, suivi d*aulant de zéros qu'il reste de chiffres à obtenir : awlemcnt le dernier chiffre à droite de la racine peut être trop fort d'une unité. 2714. Pour extraire la racine cubique d'un nombre, dans le cas où eetie rteine doit avoir un grand nombre de figures, on détermine, par la méthode ordinaire, plus de la moitié des chiffres de cette racine; on obtient ensuite les aolrea chiffres en divisant le dernier reste, suivi des tranches non employées, pnr le triple carré de la racine déjà trouvée, suivi de deux fois autant de xéros qu'il reste de chiffres à obtenir : seulement le dernier chiffre à droite de la rteine peut être trop fort d'une unité. 2715. Si deux nombres entiersontlemémenombredeohiflnre6,etqtt'il8aientplus de la moKié des chiffres à gauche en commun, la différence de leurs racines carrées sera moindre que \ et la différence de leurs racines cubiques sera moindre que|. 2716. Pour réduire une fraction à sa plus simple expressiout connaissant le plus petit commun multiple de ses deux termes, on divise ce plus petit commun multiple par les deux termes de la fraction, et on renverse la nouvelle friction ainsi obtenue. 2717. Si les deux termes d'une fraction on t le même nombre de chiffres, ou si on taa ramène à en avoir le même nombre en écrivant des xéros à la gauche du terme qui en a le moins, on ne change pas la valeur de cette fraction en écrivant plusieurs foisdesuite le numérateur et un même nombre de fois le dénominateur. 2718. a, b, c, d étant quatre nombres entiers tels que l'on ait ad — bc^i^ démontrer que les fractions a : ^, c:d, a:a+€, c:a+c^ b:b+d^ dib-^-d, a-^mbic+md, a+nc:b+nd sont irréductibles. 2719. Étant données plusieurs fractions, les remplacer par d'autres qui lesf soient égales et telles que le dénominateur de chacune soit égale au MOiérateur de la suivante. — R. On multiplie les deux termes de chaque fraction par les dénominateurs de toutes celles qui précèdent et par les numé- rtteors de toutes celles qui suivent. 2720. Les numérateurs de plusieurs fractions égales sont des équimultiples des quotients obtenus en divisant les dénominateurs par leur plus grand eommun diviseur. 2721. On range, par ordre de grandeur, toutes les fractions irréductibles, moindres que l'unité, dont le dénominateur est inférieur à un nombre donné, 40, par exemple. Vérifier les propriétés suivantes de la suite de fractions «isai obtenue : i* Deux fractions équidistantes des extrêmes ont le mêo» S S46 QUESTIONS D*àRrrHMOLOGIB % dénomiDateur et leur somme est l'unité; 9* la différeDce des produits do BiUBé- râleur de chacune de deux Tractions consécutives par le dénominatear ds l'autre est égale à l'unité; 3<» chaque Traction est égale à celle qu'on obtient ei syoutant terme à terme celle qui précède et celle qui suit. (FànsT.) 2722. Pour trouver le numérateur de la différence de deux firactioos, dont on prend pour dénominateur le produit des dénominateurs de ces dSHX Tractions, on peut multiplier le numérateur de la première par la différenoe ém deux termes de la seconde, et le numérateur de la seconde par la différsoee des deux termes de la première : la différence de ces deux prodaits est It numérateur cherché. (Bardbl.) 2723. Si Ton soustrait deux Tractions, dont le dénominateur de cbscoiit surpasse le numérateur de it, le numérateur de la différence sera égal à n foît la différence des numérateurs. (Gbun.) 2724. La somme ou la différence de deux Tractions irréductibles, de déooni- nateurs différents, est une Traction irréductible. 2725. La somme ou la différence d*une Traction irréductible et de son carré est une fraction irréductible. 2726. La somme de trois Tractions irréductibles ne peut être un nombre entier, si l'un des trois dénominateurs contient un Tacteur premier qui ne divise aucun des deux autres. 2727. La somme de plusieurs Tractions irréductibles, dont les dénominateurs sont premiers entre eux deux à deux, n'est jamais un nombre entier. 2728. Pour qu'une Traction soit un cube, il Tant et il suffit que le produit de l'un de ses termes par le carré de Tautre soit un cube. 2729. Quel est le plus petit nombre par lequel il faut multiplier les deux termes d*une Traction pour que le dénominateur de la nouvelle Traction soit un carré ou un cube parTail? 2730. Quelles sont les Tractions, de dénominateur it, qui sont égales à leur racine carrée prise à 1 : w près? — i?. n — 2 : w, n — i : n, n + i : «. 2731. Trouver la Traction génératrice de la fraction décimale périodique simple 0'i8i818... en prenant successivement pour période 18, 4848, 481818. Faire voir à priori l'équivalence des Tractions génératrices obtenues. 2732. Trouver la Traction génératrice de la Traction décimale périodique mixte 0*4481848... : i^ en prenant pour partie non périodique 4 et pour période 48 ou 4848; ^ en prenant pour partie non périodique 44 et pour période 81 ou 8184. Faire voir à priori l'équivalence des Tractions génératrices obtenues. 2733.Trou ver les dénominateurs des Tractions irréductibles donnant naissance à des fractions décimales périodiques simples dont la période ait quatre chiffres. 2734. Trouver les dénominateurs des Tractions irréductibles donnant nais- sance à des Tractions décimales périodiques mixtes dont la partie non périodique ait deux chiffres et la période trois chiffres. 2735. Faira la somme, la différence, le produit et le quotient de deux Tractions décimales périodiques simples ou mixtes. 2736. Une Traction égale à la somme des inverses de trois nombres consé- cutifs engendre une Traction décimale périodique mixte. 2737. Pour convertir en Traction décimale une fraction ordinaire ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur un nombre formé de n chiffires 9» I f7 QUESTIONS D^ARITHMOLOGIB ^7 on écrit, à la droite du point décimal, n — i zéros, puis i, puis n — 1 zéros, pois i, et ainsi de suite indéfiniment. On a, par exemple, ^ =» 0001 004004... 2738. Pour convertir en Traction décimale une Traction ordinaire dont le Bumérateur est l'unité et dont le dénominateur est Tormé d'un nombre M, composé de m chiffres quelconques, suivi d'un nombre N, composé de n chiffres 9, on écrit, à la droite du point décimal, m +n ^i zéros, puis les n chiffres du quotient obtenu en divisant par M + ^ l'unité suivie dem + n^i zéros; puis, successivement, les n chiffres du quotient obtenu en divisant par 11+ 4 le reste suivi du quotient de la division précédente. Pour diviser i par 45999, par exemple, on écrit 0*0000; puis on divise 40000 par 46 : le quotient est 625 et le reste 0; on divise 6fô par 46 : le quotient est 039 et le reste 4; on divise 1039 par 46 : le quotient est 064 et le reste 15; on divise 45064 par 46 : le quotient est 941 et le reste 8 : on trouve ainsi 0*00006^039064944... pour le quotient demandé. Diviser, d'après la règle énoncée, 4 par 49, 199, 4999..., ^, ^99, 2999... (Gelin.) 2739. Les fractions irréductibles de même dénominateur engendrent des fractions décimales limitées qui ont le même nombre de chiffres décimaux, ou des fractions décimales périodiques qui ont le même nombre de chiffres non périodiques et le même nombre de chiffres périodiques. 2740. Lorsqu'une fraction irréductible donne naissance à une fraction décimale périodique : 1^ la période est divisible par 9, si le dénominateur est premier avec 3; 99 la période est divisible par 44, si le nombre de ses chiffres est pair et le dénominateur premier avec 44. 2741. Si deux fractions ordinaires, dont la somme est l'unité, donnent naissance à deux fractions décimales périodiques simples ou mixtes : i^ les chiffres décimaux de même rang ont pour somme 9; 2^ les restes de même rang ont pour somme le dénominateur commun. 2742. Lorsqu'une fraction irréductible donne naissance à une fraction décimale périodique dont la période se compose de deux nombres complé- mentaires, c'est-à-dire tels que les chiffres de l'un soient les compléments à 9 des chiffres de même rang de l'autre, les restes correspondant à deux chiffres complémentaires ont pour somme le dénominateur delà génératrice. 2743. Si, en réduisant une fraction ordinaire en fraction décimale, on trouve nn reste égal à l'excès du dénominateur sur le numérateur : 4<» la fraction décimale sera périodique simple ; S* la période sera composée de deux nombres complémentaires. 2744. Si une fraction irréductible, dont le dénominateur est un nombre premier, donne naissance à une fraction décimale périodique dont la période ait un nombre pair de chiffres, cette période sera composée de deux nombres complémentaires. 2745. Si le dénominateur de la génératrice d'une fraction décimale pério- dique est un diviseur de 10'* + 1« la période sera composée de deux nombres complémentaires. 2746. Réciproquement, si la période d'une fraction décimale périodique est composée de deux nombres complémentaires, le dénominateur de la généra- trice est un diviseur de 10" + 1* 2747. Soit p le dénominateur d'une fraction irréductible donnant naissance »Z i EK î'Tiïï.i;^! Mc Tiiiif iiSTisiBiffw F!»»* »!■» Il pénoAc Ml pi — 1 dulwi: y sert o£ . lw a» !:nftsi ita — 1, Sta — 3LliB-^T«« Ma +ft-Si|- ;:« — •- iiLiSLi âas âa ttifir»* t t. t*-4LSL*.T,iwS tiiifii «lois dw il :e"j:«if- > r = :te — !.. *h Eà.*« * « i «■"jwnai « -J- 1 loi» éÊM \ê z^'-.rjz s ■» Liâ-Tw £Lifi?si iK iMt S » ^ ••■ — *• 1» chîfllres 0, 3. fc i «i:'»r':»iu « i^i* 3tis it sér*3K « j« >■:?« cUfim « + I fa»- Siy» î '.«TT. — r. « aii •« i & ft» »£^s CK «me. ce eerate sen le néiM, qui 3if s:- . f zzmeriLi^T &f a i-fcsij»: î" il ^êriade aen wpf^B^ de dfln 27%?. > M rfCÂ.; a frws-icjs dscsfcies ^é^iodîl|DeB ta Inclioat M- zz:. :• fs :-:>i: •« iiie>:*iLJAiPLT em ex i>«uhec sfeaier pi : t* le DombradM tiàif TES if iArK :tÊr»c»3e sari u traetr àe f — 1 ; fr a l'oe nqge en eadfl .â» :£f-^âs 3f c&KTdf »r>>û£«:euù)rf ésMrataeenuidîTîseordeii^i 275â >: .; 7 zi z-xl!*-* :<>gB«r,« sdl: ■ îe TOVtee des ehîffces decbacoii ââ& ^e*" :oe« iisn-fifs iûAzes; s&s»aee ta Snesioas irrédaclibta doolia dii>^3..u.f:ir css r^ jc bMiiiot ms dLJL-« ôe ckassse des périodes anzqoriki ûx&f?; Lii:>5u>:^ jdF fra.-c.c.ss :!r»x»:tJa^es éau le déBoainatear est jp*^^ 2731. S r fs; rres: £•.-. :•{!$ xr?:»» Mx^eelta doeneol neiseuiee Ifli tn^:x.:zi :rrec-jr-.::..d$ iû&i :t5 yéStXL.zitiecs soui d« ponsaoees de p, aarool :o£'.d$ c^:<:i:*:>seis$ oe 3ecs Zjmbt^-w cogfiiHfTiiiyi o« aarool lovlei H Iiox^^v a:;»i;r ce et f -«^ 2752 > .•:i rei;.: «1 rec a*'.» et* fracik» irrédociibie dont le déooai- T.y.ezT is\ 3c rr>ij . ôe &dc:t<.->» ;-«aî«r&. lotr» que t es 5, aocon desieitei c'esji ï;5 :.f ml- ::t «s fKrecr*? ?.rMEj*rç ca âeoomiDaieor. ^ 2.o3. >. .e 26c:.x ii*:K;r fzre frKïLw :r>?JoAiià:^ «sx le prodoîl de ém .K\r:-^5 ^:>eir^^-* fi « :. la;-^ ofae * e: ?t. k o^zb:^ des chiffres de la période ^ 2.>t. s e àe£« nii^r c cae f-».^.x: irrêgocx^bie est le prodoil de trois .*c\c --$ prtMB:ere 4, t. ,\ %i\r» 3w i « .V > D^^mbî* des chiffres de la période fJ^ ^^.i; ;^^:^-*-'^-" ^"-^- •-•-^^^^r. rrédoKiWe est on pitKlait de per\vi; ^. vC!"^ «3 ff^^-r.-<. taîr-s qsf * « 5 Je p^mbre des chiflh» data ï^-'odlx .;^^^".^ "* -^^ ^^'°^«« "»-î >> <*» oombres de chiffres des ob;.M,n\i;\^fa^;""^* "^ •'*^''^^'''* :rr>Mû.^.b!e5 an: ont poor déDomioaieiirs oi:??f. ii^^inirr.^' *^''"'' "^'*^^ n^.r.^xîu» 00 iow^ IMn de l'Wlre 275? k î-*,.^ j. 9 QUISTRms D^ARITHMOLOGIB 249 plieés sur les deox plataaux sont en raison inverse des longueurs des bras de Ma eorrespoodsnts. — R. Il perd. 17S6^ Si l'on doil acquitter en deux paiements égaux une somme empruntée à intérêt composé, la moyenne entre les deux délais de paiemenl est supé- rtawo aa délai qui serait imposé pour la libération en nn seul paiement d*im- portance double. 2759. La moyenne arithmétique de deux nombres est plus grande que leur ■oyenne géométrique; en d*autres termes, la demi-somme de deux nombres eil plus grande que la racine carrée de leur produit. 2760. Plus généralement, la moyenne arithmétique de plusieurs nombres est plus grande que leur moyenne géométrique; en d'autres termes, la »' partie de la somme de it nombres est plus grande que la racine n« du produit de ces ■enbres. 27G1. La différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géomé- trique de deux nombres est moindre que le carré de leur demi-diiforence, dffiaé par le double du plus petit. 27G2. Une puissance de degré quelconque de la moyenne arithmétique de plnaieurs nombres est moindre que la moyenne arithmétique des puissances de degré de ces nombres. Un nombre est dit la moyenne harmonique entre plusieurs autres, loraqae Tinverse de ce nombre est la moyenne arithmétique entre les inverses dea autres nombres. Démontrer que la moyenne harmonique de plusieurs •OBibres est moindre que leur moyenne géométrique. 2764. Si quatre termes d^une proportion sont écrits par ordre de grandeur, la somme des extrêmes est plus grande que la somme des moyens. 2785. Démontrer que (ac + bdH^ est ^1 ou inférieur à (a* +- b^){c'^ + dP), mhraat que le rapport a : ^ est égal ou non égal au rapport c : d. 2766. Si, dans une proportion, le premier conséquent est la moyenne arithmétique des deux antécédents, le second antécédent sera la moyenne lamiODique des deux conséquents, et réciproquement. 2767. Si quatre nombres sont tels que le second et le troisième soient, respectivement, la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique entre les deû qui le comprennent, ces quatre nombres sont en proportion. 2788. Si la moyenne arithmétique de deux nombres est à leur moyenne géométrique comme la moyenne arithmétique de deux autres nombres est à lear moyenne géométrique, ces quatre nombres sont en proportion. Le même théorème a lieu, s*il s'agit des moyennes arithmétique et harmonique, ou géométrique et harmonique. 2769. Dans toute suite de rapports égaux, la moyenne géométrique entre la tomme des antécédents et la somme des conséquents est égale à la somme ta moyennes géométriques des deux termes de chaque rapport. 2770. Réciproquement, si, dans une suite de rapports, la moyenne géo- métrique entre la somme des antécédents et la somme des conséquents est égale à la somme des moyennes géométriques des deux termes de chaque rapport, tous ces rapports seront égaux. 2771. Si, dans une suite de nombres, chacun est la demi-somme de ceux qui le comprennent, ces nombres forment une progression par différence. iSO QUESTIONS D*ARITHMOLOGIB 36 |^ 2772. Si, dans une saite de nombres, chacun est moyen proportionnel entn ceux qui le comprennent, ces nombres Torment une progression ptr quolisoL 2773. V^% 1/3, 1^5 ne peuveni Taire partie d'une môme progressioa p» différence ou par quotient. 2774. Pour que la somme de deux termes quelconques d'une progressioi par différence fasse partie de cetie progression, il faut et il suffit que l'an dei termes de la progression soit un multiple de la raison. 2775. Pour que le produit de deux termes quelconques d'une progressiot par quotient fasse partie de cette progression, il faut et il suffit que Vun ém termes de la progression soit une puissance de la raison. 2776. Dans une progression par différence de 3n termes, la somme des n termes du milieu est égale à la demi-somme des fn autres termes. 2777. Si, dans une progression par différence ou par quotient, on «joola chaque terme au suivant, on obtient une nouvelle progression par différenoe ou par quotient. 2778. Le produit de quatre termes consécutifs d'une progression pir différence, augmenté de la quatrième puissance de la raison, est un carré. 2779. Dans une progression par quotient de six termes, la différenoe des toinei extrêmes est plus grande que cinq fois la différence des deux termes du milieo. 2780. Si, dans une progression par difféi*ence, trois termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison est divisible par 6, à moins que le premier terme ne soit 1, â ou 3; s'il y en a cinq, la raison est divisible par 30, à moins que le premier terme ne soit 4, 2, 3 ou 5; sMl y en a sept, la raison est divisible par 210, à moins que le premier terme ne soit 1, 2, 3, 5 ou 7. 2781. Plus généralement, si, dans une progression par différence, n termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison de cette progression est divisible par le produit de tous les nombres premiers de i à n, à moins que le premier terme ne soit Tun de ces nombres. 2782. La moyenne géométrique des termes d'une progression arithmétique est comprise entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des termes extrêmes. (Todhunter.) 2783. La somme des n premiers nombres impairs est égale à n^. 2784. La somme des n premiers nombres entiers est égale à î it (rt + i)- 2785. La somme des carrés des n premiers nombres entiers est égale à \n{n + i)(in + \), 2786. La somme des cubes des n premiers nombres entiers est égale an carré de la somme de ces nombres, ou à \n'\n -\- 1)^. 2787. Quelle est la somme do tous les nombres contenus dans une table de multiplication qui s'étend jusqu'à n multiplié parn.' — R, {nKn + 1)*. 2788. Pour avoir la somme des nombres de i à 10", on écrit 5, puis n ~ i chiffres 0, puis 5, puis n — 1 chiffres 0 ; ou bien on écrit les deux moitiés du nombre 10** à la suite Tune de l'autre. (Levât.) 2789. Pour avoir la somme des carrés des nombres de 1 à 10", on écrit n chiffres 3, puis 8, puis w — 1 chiffres 3, puis 5, puis n — 1 chiffres 0. (Levât.) 2790. Pour avoir la somme des cubes des nombres de 1 à 10", on écrit 25, puis n — 2 chiffres 0, puis 5, puis w — 1 chiffres 0, puis 25, puis 2» — 2 chiffres 0. (Levât) I t Il QUESTIONS d*àrithmologib 254 tJ9i. On sépare la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, ii, etc., en groupes successifs renfermant, le premier un terme, le deuxième deux termes, 1» troisième trois termes, et ainsi de suite. Démontrer que la somme des lemes de chaque groupe est un cube. 2792. La somme des n premiers termes de la suite i, 3, 6, iO, i5, 24, etc., où b différence de deux termes consécutifs va sans cesse en croissant d'une «ailé, est \ n{n + \) (n + 2). 2793. Plus généralement, la somme des n + 1 premiers termes de la suite a, fl + r, a + 3r, a + 6r, etc.. est égale k{n + \}a+i n{n+ i)(n+2>r. 2794. Le rapport des logarithmes des nombres, pris dans une certaine base, aux logarithmes des mêmes nombres, pris dans une autre base, est constant. 2796. Quelle doit être la base commensurable d'un système de logarithmes poor que le logarithme de 42 soit commensurable? — R, 42». 2796. On appelle petTnutations de n lettres les résultats que Ton obtient en éerirant ces n lettres les unes à la suite des autres de toutes les manières possibles. Cela posé, démontrer : 4* que le nombre des permutations de n lettres différentes est égal au produit des n premiers nombres; ^ que le B 400822865284 651408896 m. 2799. Quel est le nombre despermutations que l'on peut former avec les lettres de ce vers de La Fontaine : // faut, autant qu'on peut, obliger toutlemonde? — R, 24327668937472670334320799744000000. 2800. De combien de manières peut-on arranger ce vers de Thomas Lansius : Mars, mors, sors^ lis, vis, Styx, pus, nox, fex, mala, crux^ fraus, en conservant la mot mala à l'antépénultième place, pour se conformer à la mesure? — R. 49916800. 2601. Parmi les permutationsdesdixlettresdu mot (i^ocra(i«, combien yen a-t-il qui commencent par a, combien par ami, combien où les lettres a, m, i 00 sont séparées par aucune autre lettre? — R, 362 880; 5040; 244 920. 2602. On appelle airangements de m lettres n à it les résultats que l'on obtient en prenant n des m lettres et en écrivant ensuite ces n lettres les unes à la suite des autres de toutes les manières possibles. Cela posé, démontrer : 4* que le nombre des arrangements de m lettres n à n, au cas où aucune lettre ne puisse être répétée, est égal au produit de n nombres entiers décroissants à partir de m; 2<> que le nombre des arrangements, au cas où l'on puisse répéter plusieurs fols la môme lettre, est égal à m\ 9S/Ï Q0I8TI0N8 D*ARITBIIOLOGII 2603. Avec les sept couleurs de l'arc-en-ciei, le rouge, l'onncâv le jattM,le vert, le bleu, l'indigo ei le violet, combien poarrait-on feira de drapem tricolores différant par la nature ou par Tordre des couleurs? — R. 910. 2804. Un coffre-fort est muni d'une serrure à combinaisons, composée es cinq pièces portant chacune les vingt-six lettres de Talphabei : de eoabian de manières peut-on former le mot pour ouvrir? — R, il 881 376. 2805. Un télégraphe a six bras, pouvant occuper chacun qualre posithns différentes : combien de signaux peut-on faire avec ee télégraphe, tous Iss bras étant employés dans chaque signal? — R. 4096. 2806. Combien peut-on former de nombres de trois chiffres avec les chiffres impairs 1, 3, 5, 7, 9 et quelle est leur somme? — R. 195; 0937ft. 2B07. Combien peut-on former de nombres de trois chiffres avec les chiffres pairs 0, 2, 4, 6, 8 et quelle est leur somme, le zéro ne devant élra le troisième chiffre à gauche d*aucun nombre? ^ R. 100; 54400. 2608. Combien peui-on former de nombres de neuf chiffires avec les neaf chiffres significatifs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et quelle est leur somoM? — R, 387 4^ 489; 215 233 604 784 766 395. 2809. Combien peut-on former de nombres de neuf chiffres avec les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et quelle est leur somme, le zéro ne devant être le neuvième chiffre à gauche d'aucun nombre? — R. 900000000; 494999999550000000. 2810. On appelle combinaisons de m lettres n à n les résultais que Tôt obtient en prenant n des m lettres de toutes les manières possibles, dev résultats devant différer par une ou plusieurs lettres et Tordre des lettres étant indifférent dans chaque résultat. Cela posé, démontrer : \^ que le nombre des combinaisons de m lettres n à n, dans le cas où aucune lettre ne puisse être répétée, est égal au nombre des arrangements de m lettres n à m, divisé par le nombre des permutations de n lettres, ou au produit de n nombres ealiers décroissants à partir de m, divisé par le produit des n premiers nombres; t» que le nombre des combinaisons de m lettres n à m, dans le cas où Vw puisse prendre plusieurs fois la môme lettre, est égal au produit de n nombres entiers croissants à partir de m, divisé par le produit des n premiers nombres. 2611. D*unc compagnie de 100 soldats, combien peut-on tirer de piquets de 10 hommes : \^ de manière à comprendre toujours le môme homme; t* ds manière à exclure toujours le môme homme? — R, \^ 1731030945644; 2« 15579278510796. 2812. Avec 15 officiers anglais, 12 français et 12 allemands, combien peut-on former do conseils de guerre composés de 3 officiers anglais, 3 français si 3 allemands? — R. 22022000. 2813. Le jeu de Boston se compose de 52 cartes, dont on donne treize au premier joueur, treize au deuxième, treize au troisième et treize au quatrième : combien de jeux différents peut offrir le jeu de Boston? ^ R, 53644737765488792839237440000. 2614. Do combien de manières la roue de fortune peut-elle amener einq numéros gagnants à une loterie de 90 numéros? Combien y a-t-il de combi- naisons renfermant un numéro désigné d'avance, ou deux numéros, ou trois» ou quatre, ou cinq? Quelle est, d*après cela, la probabilité de gagner pour une 3S QUESTIONS D*ARITHIIOLOOIS 253 personne qui a pris un extrait, ou un ambe, ou un lerne, ou un quaterne, ou UD qoine? La probabilité est le rapport du nombre des cas fovorables au nombre total des cas possibles. - R. i» 43949268; "t SU1626, 409736, 3744, 86, 1; ifc»J_ _i I i _J .Uil **7» Il 748» 511 03»» 4Ï"949»f«8' 2815. Le produit de deux facteurs variables, dont la somme est constante, eat maximum lorsque ces deux facteurs sont égaux. 2816. La somme de deux nombres variables, dont le produit est constant, eat minimum lorsque ces deux nombres sont égaux. 2817. Le prix d*un diamant est proportionnel au carré de son poids. Prouver qQ*eo séparant un diamant en deux morceaux, on en diminue la valeur et que la dépréciation est la plus grande quand les deux morceaux ont le même poids. 2818. Tout nombre impair, non terminé par 5, a un multiple formé de tous ehiffres i. (Plateau.) 2819L Tout nombre entier a un multiple formé de plusieurs chiffres 9, snivis ou non de plusieurs zéros. 2820. Tout nombre entier a un multiple formé de plusieurs périodes de cbiffres donnés, suivies ou non de plusieurs zéros. (Crbllb.) 2821. Le produit i. 2.3.4.5... 0? —1) n^est pas divisible par ^, si p est premier. 2822. Le produit i.2.3.4.5... (n — 2) est divisible par n, si n est un nombre non premier, supérieur à 4. (Catalan.) 28S23. Le produit d*une suite de n nombres, dont le premier est 2 et dont chacun surpasse le précédent de 4, est égal au produit de n nombres entiers consé- cutifs croissants à partir de n+1*0na, par exemple, 2. 6. 10.44. i8. 22. 26. 30 »9.40.4i. 42. 43.44.45.46. 2824l Le produit de n nombres consécutifs croissants à partir de n -j- 4 est égal aa produit des n + 4 premiers nombres impairs, multiplié par 2». On a, par exemple, 8. 9 40. 44. 42. 13. 44 =-4. 3. 5. 7. 9. 44.43 X 2^. 2825. Le produit des 2~ premiers nombres est égal à 2» multiplié par le produit des m premiers nombres impairs multiplié par le produit des m premiers nombres entiers. 2828. On divise le produit des ^ premiers nombres successivement par chacun de ces nombres : démontrer que la somme des quotients est un multiple de 2a + 1< 2827. Le produit de n nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres. 2828. Le produit 4.2.3.4.5... m est divisible par le produit 4.2.3... a X 1.2.3... ^ X 4.2.3... c, sia + ^ + cestégalou inférieur à m. 2829. Si p est premier, le quotient de (p — 4) (p — 2; (p — 3)...(p — n) par 4.2.3...n est un multiple de p, augmenté ou diminué de 1, suivant que n est pair ou impair. 2630. Si p est premier, le quotient de (p — 9 (p — 3) (p — 4)...(p — n) par 4.2.3...(ii — 4) est un multiple de p, diminué ou augmenté de u, suivant que n est pair ou impair. (Catalan.) 2831. Étant donnés deux nombres entiers, si Ton divise le plus grand par le plus petit, le plus petit par le reste de la division, le premier reste par le deuxième, le deuxième par le troisième, et ainsi de suite, démontrer que le rapport du plus petit nombre au plus grand est égal à Tinverse du premier 254 QUBsnoNS d*arithmologii 34 quotient, moins i'invereedu produit des deux premiers quotients, plusHovene du produit des trois premiers quotients, moins t*inverse du produit des quatre premiers quotients, et ainsi de suite. 2832. Dans la suite de Fibonacci, i, 2, 3, 5, 8, 13, t1, 34, 85, 89, 144, etc.. où chaque terme est la somme des deux qui le précèdent : 1« il y a toujours an moins quatre et au plus cinq termes consécutifs qui ont le même nombre de chiffres; ^ si Ton cherche le plus Rrand commun diviseur de deux nombres quelconques, par la méthode des divisions successives, il est impossible que plus do deux restes consécutifs tombent entre deux termes consécutifs de la série, et, s*il y en a deux, il n*en tombe aucun dans l'intervalle précédent: 30 si Ton considère trois termes consécutifs de la série, la dilTérence entre le carré du terme du milieu et le produit des deux autres termes est égal ft l'i 4<» si Ton considère quatre termes consécutifs, la différence entre le produit des deux termes moyens et celui des deux termes extrêmes est égale à 1 (Gbijx); 5<» si Ton considère cinq termes consécutifs, la différence entre la quatrième puissance du terme du milieu et le produit des quatre autres termes est égale à i (Gblin); 6* la somme des n premiers termes est égale au terme de rang n +2, moins 2; 7<> la somme des n premiers termes de rang impair est égale au terme de rang Sn, moins 4 ; 8<» la somme des n premiers termes de rang pair est égale au terme de rang Su + 1, moins 1 ; d> si l'on prend n termes consécutifs, la différence entre la somme des termes de rang pair et la somme des termes de rang impair est égale au terme de rang n — i. 2833. Chaque semestre, un homme achète un pigeon femelle, donnant deux mâles le premier semestre suivant, deux femelles le second, et ainsi alterna- tivement : quels seront les nombres de tous les pigeons mâles et de tous les pigeons femelles au bout de n semestres? (Noël.) — R. ^h^ et |n^, si n est pair; \{fi'^ -|- 1) et ^{n^ — 4), si n est impair. 2834. Kiant donnés quatre points sur une droite, on multiplie la distance de l'un d'eux à chacun dos trois autres par la distance des deux points restants : démontrer que Tun de ces produits est égal à la somme des deux autres. 2835. Démontrer qu'avec cinq poids de i gramme, cinq poids de 40 grammes, cinq poids de 400 grammes, cinq poids de 4000 grammes, etc., ou avec un poids de 4 gramme, un poids de S grammes, un poids de 4 grammes, un poids de 8 grammes, etc., ou avec un poids de 4 gramme, un poids de 3 grammes, un poids de 9 grammes, un poids de 27 grammes, etc., on peut peser un corps dont le poids est un nombre quelconque de grammes. 2836. Disposer les neuf premiers nombres en triangle, de manière à vérifier les conditions suivantes : 4® la somme des quatre nombres écrits sur chaque côté est constante ; 2® si l'on prend le nombre écrit à chaque sommet, avec les deux qui le précèdent et les deux qui le suivent, la somme de ces cinq nombres est constante; 3® si Ton prend le nombre écrit à chaque sommet, et les deux qui sont écrits sur le côté opposé, Tcxcès de la somme de ceux-ci sur le premier est constant. Les propriétés précédentes subsistent pour les carrés des mêmes nombres. (Cesaro; Gelin.) — /?. 2, 3, 7, 8; 8, 4, 6, 5; 5, 4, 9, f. 2837. Disposer les 9 ou les 15 ou tes 49 ou les 84 premiers nombres en cairés magiques, c'est-à-dire de telle manière que la somme des nombres pris hori- zontalement ou verticalement ou diagonalement soit constante. ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES Ft'SIO?(?l£E AVEC L'ASSOCIATION SCIENTIFIQUE DE FRANCE (Fund(^c par Le Verrier en 1861). CONGRÈS DE BORDEAUX — 1895 M. EmUe VI6ARIË Expcrl-fr'Munc'lrc à Laissac (Avcyron). r f U BIBLIOGRAPHIE DE LA GEOMETRIE DU TRIANGLE [V 8J — Séavre du 5 août iSff^ — Depuis 1873, la géométrie du triangle a pris une extension consi- dérable, au point de constituer aujourd'hui une branche particulière deti sciences mathématiques, et un grand nombre de mémoires ont été écrits sur ce sujet. En 1885, au Congrès de Grenoble, M. Emile Lemoine avait com- muniqué une. notice bibliographique contenant les titres des écrits publiés sur cette nouvelle géométrie avant 1873, et aussi de 1873 à 1S85. Au CongiVs de Paris, en 1889, nous avions ajouté un certain nombre do titres fi ceux, de la liste de M. Lemoine, et continué ainsi la bibliographie jusqu'en 1889. La prévSento communication a i>our but de faii'o suite aux deux notices bibliographiques dont nous venons de parlei*, en les complé- tant et on donnant l'indication des mémoires parus de 1889 à 'ï^"'* Nous ferons usage des abréviations que voici, déjà adi un grand nombre de géomètres, en conformité de diversi 2 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES de la Commission du Répertoire bibliographicpie des Sciences mathématiques. ABRÉVIATIONS EMPLOYÉES M. Mathesis (Oand). Z. II. Zeitschrifl de Hoffmann (Leipzig). A. G. Annales de Gergonne (Nistnes et Paris). A. Gr. Archives de Grunert (Leipzig) (et continuations). A. F. Association Française pour rAvancement des Sciences. B. D. Bulletin des Sciences Mathématiques de M. Darboux (Paris). Gr. Journal de Grelle (Berlin) (et continuations). N. A. Nouvelles Annales de Mathématiques (Paris). N. G. Nouvelle Correspondance Mathématique (Bruxelles). J. E. Journal de Mathéujatiques Élémentaires de M. de Longchamps (Paris). J. S. Journal de Mathématiques Spéciales de M. de Longchamps (Paris). Q. J. The Quarterly Journal... (Londres). E. T. The Educational Times (Londres). R. E. T. Rcprint of the Educational Times (Londres). S. M. Société Mathématique de France (Paris). G. R. Comptes rendus de l'Académie des Sciences (Paris). M. M. Messenger of Mathematics (Londres et Cambridge). M. A. Mathematische Annalon (Leipzig). R. M. Rivisla di Malematica (Turin). J. M. Journal de Liouville (Paris) (et continuations). S. M. L. Société Mathématique de Londres. S. M. E. Société Mathématique d'Edimbourg. S. M. A. Société Mathématique d'Amsterdam. S. R. L. Société Royale de Londres. B. A. B. Bulletin de l'Académie de Belgique (Bruxelles). P. M. S. Progreso Matematico (Saragosse). R. S. L. Société Royale des Sciences de Liège. A. N. L. .\ccademia Pontificia de Nuovi Lincei (Rome). M. A. B. Mémoires de rAcadémie de Belgique. Nota. — (3), VI, 363-300, s'upil/îc : 3'»o série, tome VI, pages 303 à 303. ADDITIONS AUX NOTICES RlIîLIOGRAPHIQUES Publiées en 1885 (Lemoine) et en 1889 (Vigarié) I. — ÉCRITS ANTÉRIEURS A 1873. 1647. B. Cavalerius. Excrcitalioiies geomctrica). 1 vol. (nononii-c). 1(j59. Viviani De maximis et ininiiiiis. p. 143 (Florenliîc). KîO'J. H. Fahky. . . . Synop.sis ^eometrica. 1 vol. (Lyon). 174(). W. CiiAïM'LK . . Miscellanea curiosa matliemalica. I, 123. 1748. L. KuLKiu . . . Variîr (lemonslraliones geomclricii\(Novi commer tarii Ac. Se. Imp. Petmpol.) 1749. R. SiMsoN . . . Apolhuiii Pen^aoi l^iocorum Plauonim. Libri II 171).1SU. 17512. Th. Simi»son . . Select exercise-s. 1 vol. (Londres). 1755. J. Landen . . . Luciibraliones niatlicinalicu!. 1-6. 1822. Â.-L. Grelle. 1827. T.-S. Davies . 1828. J. Steiner . . E. VIGARIÉ. — BIBLIOGRAPHIE DE LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 3 1765. RrccATi Instituzioni analiliche. 2 vol. (Bologna). 177H. R. SiMSON . . . Opéra quijcdam reliqua. 171. 181G. Grûson Abbandlun^en der Akad. der Wissensch. zu Ber- lin (1816-1817). Sammlun^i^ malh. Aufsûtze und Bemerkungen (Berlin). Symmetrical properlies of plane triangles (Phil. Mag.)- n, 29-31. Développements d*une série de théorèmes relatifs aux sections coniques. A. G., XIX, 34-64. (Gesam. Werk. 1, 191.210.) 1831. C.-J. Matthes. Commentatio de proprietatibus quinque circu- lorum. 41. Die geomelrischen Gonstructionen , ausgefûhrt miltelst der geraden Linie und eines festen Kreises. (Gesamm. Werk. I, 489-492.) Ueber Système von Kmflen (Gleve). Trigonometry. 4« édition. J. M., VIII, 158. 1846. G.-B. Marsano. Memoria sui triangoli simili (Genova). 64 p. 1850. Lehmus Cr.jtomeL. 1859. NiEGEMANN. . • Analytischo Entwickelung der Sâtze ûber die Transversalen und merkwûrdigen Punkte des Dreiecks aus allgcmeinen Prinzipien. Kôln. Pix)gram. des Kathol. Gymnasiums. 1859. I. TpDiiUNTER . Plane trigonometry. 1 vol. 1863. R. TowNSEND . Modem geomelry of the point, Une and circle. 1,117-143. 1863. J.-B. Marsano. Considerazioni sul triangolo rettilineo. 1 broch., 71 p. (Genova). Exercices de calcul inûnitésimal. 2« édit., 138. Sur les maxima et minima d'une fonction des rayons vecteurs menés d'un point mobile à plusieurs centres fixes. (Acta Soc. Se. Fennica?), 191. Note [on the geomelry of the plane triangle. R. E. T., 65. 1869. W.-H. Besant. Conic Sections. 1 vol. Neue merkwûrdige Punkte des Dreiecks. 1833. J. Steiner . . 1834. Heinen. . . . 1841. J.-R. HiND. . 1843. J. Bertrand. 1866. Frenet. . . . 1866. LlNDELÔF. - . 1867. J. Griffiths . ? J. DÔTTL . . . . 11. - ÉCRITS DE 1873 A 1889. 1873. M. AZZARELLI. . 1874. M. AzZARELLI. . 1877. J. BooTH .... 1878. H. Van Aubel. Formole goncrali per assignare i lati dei triangoli reltangoli primitivi. A. N. L., XXVI, 13 p. Alcuni prublemi riguardanti il triangolo rettilineo. A. N. L., XXVII, 42 p. Newgeometrical Methods. 2 vol. Deux propriétés générales des courbes du 3^ degré* N. G., IV, aV>-356. .j.rr«* ■ .•.•: ^k. ■■'. k .■ ' •■ ' > .1 ( ]'1fp'.if Vf 1 ■•/»'.< i I ist-t,iu*'U\«.*pra i tnian^ 'i iififM*>-.i. A. N. L., XL, 18 p. l'fojfi'rlii' . of liif fi^qin* coiisislin£^ of atrian^li^an-i îî. M. I'.., VI. lin» s(|ii;ir lier v^iTMilliiiip^ii lt('\v(*<;ui)^eines ûhnlichverân- ilrrliilicu chcuou SvshMus. 880-884. J''.»'./ Vf ,N//MîM M. JHM7 \ ", M A m: A'.. t « I \ I II V> ' t I ii: ; li .\ \ ■ N V . iiiiu nu;u\rmr nr issu \ is'AV i u..*»i\.»!r..':: ,' u\'t;'.'.^iio <'.i \ i* ^U*> principos de la î^»•.'.\ .**!.- „\\»:r..*îi-..» vlu îi ..i!:^lt\ 1 vol. < Paris). *•. . \.\ w\.".^'\' ■.;* .'..' '.; î .i::>:V::î::ilion linéaire. M » - \ \ \ . '.V -AvS * '■•■". ». ■ * ». • -:.:■ ■:■: ôt\fIop- ::-t A. F. \. \ ; \. >^ 1 * t K • \ .% « .;n :* ■ - E. VICARIÉ. — BIBLIOGRAPHIE DE LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 5 Pi. TucKER Isoscelian Hexagrams. S. M. L., XXI, 29 p. ? A Syllabus of modem plane geometry. (Associât. for iniprov. of geomet. teaching.), 32 p. J ^C B* I T R F* Tl f ^ ' ( Remarques sur une transformation quadratique. M.r,'OcACNE \ «• S. L. (2), XVI, 18 p. M. AzzARELLi Generalizzazione del problema délie médiane di un triangolo rettilineo. A. N. L., XLII, 14 p. J.-S. \fACKAY nislorical notes on a geometrical problem and theorem. S. M. E., VIII, 2 p. S. Kepinskiego .... Wlasnosci szczegolnych trojek punktow trojkata. (5i p.). Matemalyczno fizycznych. (Varsovie), II. 1890 J.-S. Mackay The Wallace Une and the Wallace point. S. M. E., IX. R. TucKER Some properlies of co-normal points of a parabola. S. M. L., XXI, 442-451. E. Cksaro Sur remploi des coordonnées barycentriques. M. (1), X, 177-190. J. Neuberg Sur les projections et les contre-projections d'un triangle fixe et sur le système de trois figures directement semblables. M. A. B., XLIV, 86 p. P. Mansion Crelle ou Brocard? M. (1), X, 28-30. W. FuHRMANN .... SynthelischeBeweiseplanimetrischerSatze.l vol., XXIV, 190 p. (Berlin). G. DE LoNGCHAMPS . . Sur le tétraèdre ortliocen trique. M. (1), X, 49-53, 77-82. W. FuHRMANN .... Sur un nouveau cercle associé à un triangle. M. (1), X, 105-111. A. G Sur le 176^ porisme d'Euclide. M. (1), X, 115. A. GoB Sur quelques transformations de figures. A. F. (Limoges), XIX, 1-18. J. Neuberg Sur les figures symétriques successives. A. F. (Limoges), XIX, 18-23. A. Poulain Sur quelques séries de points remarquables dans un triangle. M. (1), X, 246-251. C.-A. Latsant Propriétés du triangle. — Orientation moyenne. — Points équisegmentaires. A. F. (Limoges), XIX, 2.3-29. E. Lemoinf Sur les triangles orthologiques et sur divers sujets che Strahlenbûschel erzeuirt werden. A. «îr., \, ±î5-26i3- A. Poulain Princij>es de îa nou\elle i:é-.ni:vîrie du triangle. I Lrooh., 4»3 r-. ■■ Paris . A. Evv?:c:« H Dlo Bp.varJ^chvn Ge!:!de. Br ch., XV, 153 p. T"» * ■ l-ertm . E. Li\:::nf S*;: ur.e tran<:rii.:iî:-:r. n?!ati\e à la ç?r»>métrie du t:iin;:!e. >. M., Xl\, T :-. E. CvTAiAN S-:r 't^liisr* :e Br:«\i: j. F. A. B.. XLIX. USi) p. F. M.;\l^v l-.i^tv:u-:r:v :;vu:An:ed\: Triîc.;!-. M J.,18«>-197. E. l"':ii:.';-: luih-.r.s'.:::.::..-::::. a.:: ^n- :. etns Lee We^e. Pro- ■^ ^ ^ . V •' •■ \ "^ .T'-T.N- < •■ .< • -. ^ : ■ »• ~ - . M. « II. • >:"■.:— ... :- . ^-.î . :y .'.. : . "_.... r :- rrr:i',;tt. \^ . • , * '. • * ... . ' - >i — - r ^■^•.... > >.«." .. . V • . i - ■♦-A •*. - ~ ■ • . .- s X ■ ■ ■ ' • < ■ >.. - .V ^'' .\ .1 z "Lir.j'i* E. V.:.4?.*i \;4:--'^> i. \v.i;v»vi.i-> i\* ■,-< • -.î"^. .:? ^v'iiares ▼ E. VIGARIÉ. — BIBLIOGRAPHIE DE LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 9 (le los circulos de Schoute. P. M. S., II, 97-105, 173-176. H. Lemoine La géométrographie ou Tart des constructions géométriques. A. F. (Pau), XXI, 36-100. H. Lemoine Résultats et théorèmes divers concernant la géo- métrie du triangle. A. F. (Pau), XXI, 101-132. L TucKER Geometrical note. S. M. E., XI, 4 p. .-S. Mackay Early hisiory of the symmedian point. S. M. E., XI, 92-103. L TucKER Two circular notes. S. M. E., XI, 6 p. .-S. Mackay Adams liexagons and circles. S. M. E., XI, 104- 106. .-S. Mackay Hisiory of the nine-point circle. S. M. E., XI, 39 p. L TucKER A geometrical note. S. M. L., XXIV, 162-166. tERNÉs Transformation par inversion symétrique (suitcj. J. E. (4), I, 3-5, 25-31, 49^8, 73-82, 97-101, 121-131, 145-151, 169-174, 193-200,217-223, 241-247, 265-272 (à suivre). •I. YiGARiÉ Les progrès de la géométrie du triangle en 1891, J. E. (4), I, 7-10, 34-37. V. BouTiN Exercices divers (suite). J. E. (4), I, 36-38, 69-70, 94-96, 113-115, 141-143, 156-159 (à suivrej. E. Le.voink Rê^He des analogies dans le triangle. — Transfor- mation continue. J. E. (4), I, 62-69, 9!-9:î, 103-1 OG. A. Poulain Transformation des formules des triangles. J. E. (4), 1, 110-113, 136-139, 151-153. A. BouTiN Exercices. J. E. (4), 1, 179-183, 2.30-23:], 272-278. A. Poulain Quelques changements de coordonnées. J. E. (4), I, 228-230. •^« BouTiN Distances des points remarquables du triangle. J. E. (4), I, 248-258. Mme p^ Prime Contribution à Tétude des cubiques. J. S. (4), I, 3-5. C.-.V. Laisant Détermination analytique de Taire d'un triangle. J. S. (4), 1, 77-79. '^•BouTiN Exercices divers (suiiej. J. S. (4), I, 88-90, 115- 1 16, 163-166 fà suivre). '^' U:gli Piccole note e sunti di note. (Periodico matem. per rinsogn. secund., VII, 5 p.) '• Casey A sequel to the first six books of the Eléments of Kuclid. (Ediled by P. A. E. Dowling.) 6« édit., 302 p. (Dublin et Londres). '• Hahn Heitriige zur Géométrie des Dreieoks. 16 p. (Pro- grainm de lleppenbeim). 1893 ^KRNÈs Ti-aU'^formalion p.ir inversion symétrique (suite). J. E. (4), II, 3-7, 25-29, 49-54, 76-79. 10 /»MyAfiL.*V/> A V'trî.k'.'i , . , A. V/$\:i\^ . . . . A. JJoirnw , . K. VffiAitiC:. . 11. Vi:MltlKltK. A. INmii.ain . .I.-S. Mackay K. Ij'iMOlNM . J. (ii.AlhlN . . v\ II, Vi luiiriiK. M'"" K. Vwww. K. \ iiiAMii:. . .1. Ni rin lu; , K. I.l MtMNi: , Y . I.» MiMN!' . . \ tiiM» .... K I * \hVN> . . I\ l\ » \^ U . . • •• .\ . . . V ■ 1. . Kx«rc:ces divers ^ffiii>>. J. L. 4 . DL 19-»,3i,| iM7-li;9, 134,159-161, ITI^lSl. du4-dLCk,2S-|l 22^;, •2r>4-2r>j, 273-275 à fHtr/v/. Thrême< «iir les cubiques. J. S. • 4 >. II, 14-15. Sur la tran^forrration continue. J. S. (4t, Ht Not<: hur re11ip«e de Ixrngchainps. J. S. \4>, II, KK#îiï:ic«fs divers (suite), J. S. (4î, IL 44-45, 6fr (Ml, «M-Kj, 113-414, 154-155 (Vi «uirrey. LoH |)rot;rê.s de la {géométrie du triangrle en 189i J. K. a;, 11,61-6.3,85-88. Siii- Ui tlu'oreinc de Poncelet. J. E. (4), II, 79^. Points h l'infini sur certaines droites. J. S. (4\ II, 77-78. Niiliî dn ^ç,'.oniùlrii\ J. K. (4), II, 97-100. Lettre ù M. do Lon^cliamps. J. E. (4), II, 135-1%. Sur (|nei({uc.s propriiHés relatives aux projections des sonniiots d'un trian<;1c sur les bissectrices. J. M. (4), II, 17M7î). Sur une transformation des n«;uresde la géométrie du trianjile. J. S. (4), II, 249-255. Los (irculos de Tueker y sus casos particulares. \\ M. S., 111, :i;i:u;i40 («) suivre). Notes de j,v»»niêlne. .\. F. (Besançon), XXII,2645. lliMoplêiiuMils de •rêomélrojrraphie. A. F. (Besan- Von\ Wll, \VM:>1, Noti's de «.vométiio. A. F. (Besançon), XXII, Sur une t'oriuule dveuiant le rayon de courbure des ivnuiues. A. F. ^In^sani/on^ XXII, 254-257. VpplivMl\Mi :iu tètraiHliv de la transformation v\»iuiime. \. F. r»e>,iusvu', XXIK 1 k>-16^). lîex'îuoî! lo.d 11 'îe. S. M. K.. XIL & p. Tw.» l:::*e!s v»:" x*.:v.it. - li\;»o:U^'a>. S. M. E., XU/Tp \\\ tîi^N :v :e <•.:!■ î.» .:-\ :i:".' los :; Ji*>es. A. F. !v-. .1,1 fi.-.' -. ■'.■■ -^ .'. I ^ .■-■.■ ". ... -e L".iihé- ::, d:. i.-i.î. E. VIGARIÉ. — BIBLIOGRAPHIE DE LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 11 •'. Prime Sur le cercle orthocentroïdal. M. (2), III, 33-36. UBERG Sur l'hyperbole de Feuerbach. M. (2), III, 81-89. lSTEEls Propriétés de deux triangles. M. (2), III, 89-90. UBERG Rayon de courbure de certaines courbes planes. B. A. B. (3), XXV, 374-386. (Supplément à Mathesis, juin 1893.) RTRAND Note sur quelques propriétés du triangle. M. (2), III, 155-162. LoNGCHAMPs . . Cours de mathématiques spéciales. Supplément. 1 vol., 472 p. (Paris). OF Sur les brocardiens d'un point par rapport à un point. M. -(2), III, 166. :uRiCE Questions de mécanique. M. (2), III, 222-223, 243-244. Halsted Elementary synllietic geometry. 1 vol., 2® édit. (New York). 1894 MOINE Le raport anharmonique étudié au point de^vue de la géométrografie. — Application de la géométrografie à la géométrie descriptive. A. F. (Gaen), XXIII. L'BERG Notes diverses. A. F. (Caen), XXIII. »B Transformation d'un quadrangle. A . F. (Caen), XXIII. MOINE Suite des notes de géométrie. A. F. (Caen), XXIII. uiiRMANN Sâlze und Aufgaben aus der Sphârischen Trigo- nométrie. (Program. des Kônig. Bealg. a. d. Burg zu Kônigsberg), 38 p. MOINE Élude sur le triangle et sur certains poinls de géométrographie. S. M. E., XIII, 24 p. Mackay Isogonic centres of*a triangle. S. M. E., XIII. CKER Some properties of two Tucker circles. S. M. L., XXV, 389-394. UTiN Exercices divers (suite), J. E. (4), III, 28-29, 65- 67, 79-80, 108(^(1 suirrc/ MOINE Note à propos de la solution de la question 503. J. E. (4), III, 81-82. CHEi Sur l'exercice 315. J. E. (4), III, 87-88. vvERNAS Notes sur les symwlianes. J. E. (4), IH, 169-170. Farny Sur les triangles dont les côtés sont en projjression arithmétique. J. E. (4), III, 193-196. VIackav Propriétés du triangle, J. E. (4), III, 217-221. :t Noie sur les figures semblables. J. E. (4), lïl, 241-245. UTIN Exercices divers (suitej. J. S. (4), III, 204-206, 233-2.35. CKER Parabolic note : Co-Normal points. S. M. E., Xllï, 7 p. 12 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES J. GiLLET ...'.... Sur le cercle des neuf points. M. (2), IV, 49 J. Neuberg Noie sur un lieu géométrique. M. (2), IV, ( 116-120. A. Gofi Rayon de courbure d'une conique. M. (2 133-134. E. Lemoine Notes sur la géométrie du triangle. M. (2 153-158. J. Wasteels Sur la transversale d'un triangle. M. (2 158-159. J. Neuberg Sur les figures semblables. M. (2), IV, 164- H. Mandart Sur une ellipse associée au triangle. M. (S 241-245. J. Neuberg Sur quelques quadrilatères spéciaux. M. (S 268-271. G. RiCHARDSON . . . . ) et I Modem plane geomelry. 1 vol., 202 p. (Lon A. -S. Ramsey ) 1895 I.-J. ScHWATT A geometrical Ireatment of curves which a gonal conjugales to a straigbt Une with r to a triangle (Part first). Broch., 45 p. i York). J.-S. Mackay Properties connecled wich the angular bis of a triangle. S. M. E., XIII, 66 p. J.-S. Mackay Formulai connected witb Ibe radii of the ir and the excircles of a triangle. S. M XllI, 2 p. Cf. Tarry Sur le déplacement des figures semblables. (4), IV, 70-83. L. Vautré Le théorème de Feuerlmch. J. E. (4\ IV, 83 J.-S. Mackay Propriétés du triangle. J. E. (4), IV, 97-100. G. Tarry Propriétés de trois figures égales. J. E. (4' 100-101. A. BoiiTiN Exercices divers (suite), J. E. (4), IV, i^ ti)8-lîH), 273 275 (à suivre), G. MiCHKi Sur les points de Feuerhach. J. S. (4), IV, 1 G. Tarry Sur l'axe d*homologio du trianjîle fondamen du triangle de Hrocard. M. (2), V, 4-7, N.-C. Simjker Sur im j^roupe de coniques inscrites ou c scriles à un triangle. M. (2), V, 105-111. E. LiÊNARD Sur la transformation continue. M. (2),V, 115 A. G Sur ime conique du plan d'un triangle. M V, iilAi». E.-N. Barisien .... Résumé des propriétés concernant les tria d'aire maximum inscrits dans Tellipse. M V, 42-45. J. Neuberg Sur quelques coniques du plan d'un tri; ABG. M. (2),V, 60-(a E. VIGARIÉ. — BIBLIOGRAPHIE DK LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 13 BPREZ Propriétés concernant les triangles d*aire maxi- mum inscrits dans l'ellipse. M. (2), V, 81-83. RAN-LoRiGA Notes sur le triangle. M. (2), V, 85-80. Mandart Sur les centres isogones. M. (2), V, 153-155. S'eubkrg Sur un cas particulier de Fhomologie (Neder- landscli. Natuuren genees Kundig. Congres, te Amsterdam), 8 p. J Détermination du centre de similitude de deux figures directement semblables J. E. (4), IV, 195-197. oz-Farny Note sur un article de Mathesis M.^2), V, 226- 227. [^HASSiOTis Quelques propriétés du cercle conjugué à un trian- gle. J. E. (4), IV, 218222, 267-269. ERLNS * • ^ - t Démonstrations géométriques d'un théorème de ^' ^ M. Sondai. M. (2), V, 265-267. ^euberg Triangles orlbohomologiques. M. (2), V, 267-268. ^EUBERG Triangles trihomologiques et triorthologiques. M. (2), V, 198-202. ,6 nombre total des Mémoires, Oucrofjes ou écrits diccrs se •portant à la géométrie du triangle et qui sont mentionnés dans notices bil)liograi)hiquos que nous avons rai)pelées au début de la sente communication, se répartit de la inauiôro suivante : ■ DATES Lkmoine VlGAIUÉ TOTAUX 1885 1889 18ir) Avant 1873 De 1873 à lS8r> . . . De 1885 à 1889 .. . De IB^J à 1895 . . . Totaux . . . 23 78 41 27 UiJ 30 9 7 219 9( lli 176 219 101 237 265 003 oit un total de 60: J lit ros. ous n'avons pas, comme dans la notice de M. Lomoine (188.%), ou is la nôtre (1889), donné une liste des questions proposées et olucs relatives à la géométrie du triangle, publiées dans divers 14 ASSOCIATION FRANÇAISE POim L^ATANCEMENT DES SCaENGBS recueils mathônuikkpies. Leur nombre est aujourd'hui considéraU et nous nous proposons d'en donner, à un prochain Congrès, u liste aussi détaillée que possible (*). (*) Malgré toat le soin que noos avons pu apporter en dressant la liste précédent est à supposer qu'elle contient des erreurs ou des omissions. Nous serons reconnais aux lecteurs qui voudront bien nous adresser — à Laissac (Aveyron) — des rectificat ou des renseignements complémentaires. Nou^ en tiendrons compte à uns a occasion. Iki.«l.ai\ - linp. u. GoCNiMMi »-•>'. r.'it o..m..^«. Premiers principes de la Métajéométrie on Géométrie générale '). Quidquid contradictionem non impHeat» Detis potest. S. Thomas, C. On n, 8. I PRÉLIMINAIRES. Depuis un siècle, les mathématiciens ont soumis les principes fondamentaux de la science de l'espace à un examen critique qui leur a permis de créer, à côté de la géométrie ordinaire, ou géométrie euclidienne, deux autres systèmes de géométrie tout aussi admissibles, tant au point de vue de la rigueur logique qu'à celui de leur application possible à l'étude du monde physique. Le premier de ces systèmes est la géométrie lobatchefe- kienne, ainsi nommée parce que c'est Lobatchefsky (1793-1856), qui en a trouvé les bases vers 1826 et en a donné un exposé complet dans de nombreux écrits publiés de 1829 à 1856 *). Le second est la géométrie riemannienne, dont l'idée fonda- mentale, presque sans aucun développement, a été indiquée par Riemann (1826-1866) en 1854 et publiée seulement en 1867^). i) Résumé de conférences faites à VIndU\d supérieur de Philosophie de Louvain, le 16 mai, le 30 mai. et le 6 juin 1895. <) L*université de Kazan, où Lobatchefsky a été professeur, a publié (1883- 1886) une édition complète de ses œuvres géométriques, en deux volumes in-4o (550 pages en russe, 23 en allemand, 102 en français). 5) Ueber die Hypothesen tvdche der Geontetrie eu Chrunde liegen (Mémoires de Goettingue, 1867, t xm). Ce mémoire est reproduit pp. fô4-S69 de la pre- mière édiUon des Riemann's Werke (1876). Lldée fondamentale dont nous parlons dans le texte se trouve p. S66, § % dernier alinéa. — 2 — L'ensemble des trois géométries, euclidienne, lobatchefs- kienne, riemannienne, lesquelles ont d'ailleurs une partie commune, constitue la Métagéométrie ou Géœnétrie générale. L'existence de trois systèmes de géométrie distincts a une importance considérable au point de vue philosophique. Elle implique, en effet, le renversement de Tune des bases de la lùntik der reinen Vemunft de Kant : elle prouve l'inanité de ce que l'on peut appeler son impèi^atif géométrique. Nous nous proposons d'exposer d'une manière élémentaire et sous forme didactique, dans les pages qui suivent, les prin- cipes de la Métagéométrie jusqu'à sa subdivision en trois branches et d'esquisser les conséquences philosophiques que l'on peut en déduire. Nous faisons précéder cet exposé d'une notice historique sommaire sur les travaux les plus importants dont les principes de la Géométrie ont été l'objet depuis Euclide jusqu'à M. De Tilly. De cette manière, le lecteur qui voudra bien nous suivre, pourra peu à peu se débarrasser de cette idée préconçue qu'il ne peut exister qu un seul système de géométrie, et il se fami- liarisera avec les vues nouvelles qu'il rencontrera plus tard dans les deux systèmes de géométrie non euclidienne. Avant même d'en avoir éprouvé la valeur au point de vue logique, et au point de vue de l'étude de la nature, il sera disposé à leur donner l'adhésion de son esprit, parce qu'il aura appris sous le patronage de quels géomètres éminents ils se trouvent placés. II ESQUISSE HISTORIQUE. La géométrie élémentaire a été constituée comme science par les (Irocs, du sixième au troisième siècle avant J.-C. On peut ratUïchcrsos principaux progrès à quelques noms illustres. - 3 — Thalès (640-548), ou Tun de ses disciples, a trouvé que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droits ; Pythagore (580-500), que dans un triangle rectangle, le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés con- struits sur les autres côtés ; Eudoxe (408-355), que la pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur ; de plus, on doit à ce dernier la théorie des proportions entre grandeurs incommensurables. Archimède (287-212), outre un grand nombre de vérités mathématiques d'une nature très cachée, découvrit de nouvelles propriétés fondamentales de la circonférence, du cylindre, du cône et de la sphère. EucLiDE (vers 300), un peu antérieur à Archimède, réunit dans ses Éléments les découvertes géométriques de ses devan- ciers ^), sans rien y ajouter d'essentiel, mais en substituant des preuves irréfutables à leurs démonstrations parfois trop peu rigoureuses. La perfection logique des Eléments d'Euclide leur a valu une royauté incontestée dans l'enseignement jusqu'à la publication des Éléjnents de Géométrie de Legendre (1752-1833), en 1794. Ceux-ci moins rigoureux, mais plus complets que ceux d'Eu- clide, contiennent, de plus que ces derniers, l'exposé des découvertes d' Archimède en géométrie élémentaire ; la théorie des triangles sphériques qui a été aussi connue des Anciens et dont les débuts remontent peut-être à Eudoxe ; enfin des notes savantes sur des points difficiles et un traité de trigonométrie. Dans les Eléments d'Euclide, la théorie des parallèles et tout ce qui en dépend repose sur la proposition suivante : DeiLc droites d'un plan qui fo)it avec une troisième^ d'un même côté de celle-ci, des angles intérieurs dont la so?n?ne est infé- rieure à deux angles droits, se 7'encontrent de ce côté. Cette 0 Les livres I-VI, Xl-Xm des Éléments sont consacrés à la Géométrie ; les livres VII-X, à rarithmétique, science dans laquelle Euclide a été plus original qu*en géométrie : le livre X des Éléments lui appartient presque en entier. — 4 — proposition, souvent appelée le postulatum d'Euclide, est en réalité le cinquième des six postulats^) que le géomètre grec a mis en tête de son livre immortel. D'Euclide h Legendre, tous les efforts des mathématiciens qui se sont occupés des principes de la Géométrie se sont con- centrés presque exclusivement sur le cinquième postulat d'Muclide. Pendant plus de deux mille ans, on a fait de vains efforts pour le déduire de propositions antérieurement établies. IHolémée el Proclus dans l'antiquité, Nassireddin au moyen- Age, Clavius à la renaissance, Wallis (1616-1707) et beaucoup d'autres (jui essayèrent de le démontrer ne parvinrent guère qu*A le remplacer \nir des postulats à peu près équivalents. De ces postulats, celui de Wallis (1()93) : il eocisle des triangles sembUibles, semble seul avoir survécu à son auteur *). Kn ITIîa, le \\ Saccheri, S. J. (ie)()7-1733), ouvrit une voie nouvelle, sans s en douter, en examinant ce que deviennent les principes de la géométrie qumid on suppose que le cin- quiéuu* postulat d*Kuclido nest pas vrai. Raisonnant dans celte hvpinhose, il établit un grand nombre de propositions entre autres colle-i*i : Deux droites situées dans un même plan peuvent occuper trtùs |H)sitions diliei'enies Tune par rapport à lauuv ^1 : elles se ivnconiivni ou elle^ se rapprochent indéfi- >> C(^ |Hv»tulats«que uous doimims te^LtueUemeut dans les deupanfET^ilies ijiuiv&uts« s^ tr\>uveut avtHr uouf asLÎouies. aprvs les défiiiîtioios du |«eiiiier Uvn» des Flêoieiits. Daus certaùis luanuscrits (luais uou dans les meOletns) et daus beaiKvup d^éditious les quatrii^me. ciuqui<^me et ^ûième pcshiiats sont deveuus les axiomes tO. U. Vt. '\ IVur les reuseûcuemeuts blblio^riphiques relatif!» aux direfs d^-uit il es^t questiou ici et dans la suite, vyirootre artiele intitula : Soèicf W^ ret-Aen-Arfct d^ .V ZV T\Uj$ ei» J/etiiye<;w«efne lReTu« des questions s» lîques. ^ >ehe . t. v u. p. âJS4^^Si&. 1?^ ou Matbests. i^tt6^ sappiénent) et uotre cv»uipte rvudu de l'ou^raiçe de >taekel : rfc^^vntf dur F^JurvUUUaHfm ivM ^.Mot elles^ :miu partout t**|»i>tfw^j|^^ — 5 - niment sans se rencontrer, ou, enfin, elles ont une perpendi- culaire commune à partir de laquelle elles divergent (Théorème de Saccheri). Lambert (1728-1777) entre dans la même voie que Saccheri. Il prouve que, dans le cas où le postulatum d'Euclide n'est pas vrai, la surface d'un triangle est proportionnelle à son déficit angulaire (Théorème de Lambert, 176G, publié en 1786). On appelle ainsi la différence entre deux angles droits et la somme des angles du triangle, laquelle est toujours inférieure à deux droits dans le cas considéré. Taurinûs (1794-1874) trouve (1826), dans 'ce même cas, par une divination hardie, la formule fondamentale de la trigono- métrie. Saccheri, Lambert et Taurinûs, ne doutent nullement d'ailleurs que le cinquième postulat d'Euclide ne soit absolument vrai et ils recourent inconsciemment à d'autres postulats plus ou moins spécieux pour le déduire des propositions antérieures de la géométrie. Mais en même temps, Lambert et surtout Taurinûs entrevoient pourquoi on ne parvient jamais à une contradiction quand on se place dans l'hypothèse que le cinquième postulat n'est pas vrai. Cela provient, dit le dernier, de ce qu'il y a probablement des surfaces courbes sur lesquelles certaines lignes courbes ont des propriétés analogues à celle des droites dans le plan, à part la propriété exprimée dans le cinquième postulat d'Euclide ^). De même, dit-il après Lambert, les grands cercles, sur la sphère, ont des propriétés très semblables à celles des droites dans le plan, à part la propriété exprimée dans le sixième postulat d'Euclide : deiuv droites ne peuvent enclore un espace, Legendre (en s'appuyant implicitement sur ce dernier pos- tulat) parvint à démontrer, avec une entière rigueur, deux ') Coigecture parfaitement fondée : Beltrami a prouvé, en 1868, que les géo* désiques de la pseudosphèm jouissent, en effet, des propriétés auxquelles nous faisons allusion ; et il a déduit de là que le cinquième postulat d'Euclide est indémontrable par la géométrie plane. — 6 — théorèmes remarquables dont Saccheri et Lambert s'étaient déjà occupés : V Dans un triangle, la somme des angles ne peut surpasser deux angles droits (1800). 2° Si dans un seul triangle, la somme des angles est égale à deux angles droits, il en est de même dans tous (1808 ; publié en 1833). Legendre d'ail- leurs, comme tous les géomètres précédents, essaya vainement de démontrer le cinquième postulat d'Euclide, mais ses essais de démontration extrêmement remarquables auraient pu le conduire logiquement à l'une des vérités fondamentales de la Métagéométrie, savoir, que les propriétés de l'espace dépendent d'un certain paramètre. Vers 1819, peut-être même auparavant, le plus iUustre des mathématiciens allemands, Gauss (1777-1855) et un juriscon- sulte du même pays, Schweikart (1780-1857), arrivèrent, indé- pendamment l'un de l'autre, à cette conviction que le cinquième postulat d'Euclide est absolument indémontrable, parce qu'il n'est pas contenu dans la notion classique de la droite. Si l'on abandonne ce postulat, on peut établir une géométrie plus générale que celle d'Euclide et parfaitement rigoureuse ; la géométrie euclidienne n'en est qu'un cas particulier ou plutôt un cas-limite. L'expérience seule peut décider si ce cas-limite ou un autre cas particulier très voisin est réalisé dans la nature. Bessel (1784-1846), le célèbre astronome, sous l'in- fluence de Gauss et de Schweikart, arriva aussi à la conviction que la géométrie physique n'est peut-être pas la géométrie euclidienne. Ni (xauss, ni Schweikart ne publièrent rien sur cette géométrie plus générale, dont il vient d'être question; mais ils ne furent pas sans influence sur le neveu du second, Taurinus, qui était en correspondance avec eux. Deux savants plus jeunes que Gauss, l'un russe, Lobatchefsky," l'autre hongrois, Jean Bolyai (1802-1860), étaient arrivés aux mêmes conclusions que lui. Bolyai publia en 1832, en appen- dice à un ouvrage de son père , un court exposé d'un système — 7 — de géométrie indépendant du cinquième postulat d'Euclide. Lobatchefsky, de son côté, dès le 12/24 février 1826, avait fait une lecture publique sur le même sujet devant Tirniversité de Kazan et, en 1829, avait publié les Eléments de cette géométrie nouvelle qui porte maintenant et, à juste titre, le nom de géométrie lobatchefskienne. Pendant plus d'un quart de siècle, jusqu'à sa mort en 1856, il ne cessa de développer ses recherches dans ce domaine, avec une ténacité invincible bien qu'il ne reçût d'encouragement de personne. Ses écrits sur la géométrie lobatchefskienne forment un volume de près de 700 pages in 4^. En 1854, Riemann énonça, dans une leçon inaugurale, sur les principes de la géométrie quelques idées neuves et profondes qui ne furent publiées qu'en 1867, après la mort de ce grand géomètre. On peut en résumer la partie essentielle de la manière suivante : le sixième postulat d'Euclide n'est pas plus que le cinquième contenu dans la définition habituelle de la droite. En abandonnant ce sixième postulat, on peut créer une géométrie différente de celle de Lobatchefsky, plus générale aussi que celle d'Euclide qui en est encore un cas- limite : c'est la géométrie riemannienne. • M. De Tilly,sans connaître les recherches de Lobatchefsky, en avait retrouvé tous les résultats fondamentaux, par une voie personnelle, un peu après 1860. En 1868, il publia une cinématique, une statique et une dynamique lobatchefskiennes. En 1872 et 1873, il établit que le cinquième postulat d'Euclide est indémontrable par un raisonnement géométrique quel qu'il soit. En 1878, il exposa d'une manière complète les principes de la géométrie générale, en partant de l'idée de distance ou d'intervalle de deux points. Cette notion première, que Cauchy, dès 1833, mettait aussi à la base de la géométrie, il l'analyse avec une rigueur magistrale et il en fait sortir successivement la géométrie de Riemann, celle de Lobatchefsky et enfin celle d'Euclide. En 1893, il va plus loin encore, il montre que chacune de ces géoméiries est contenue implicitement toute — 8 - entière dans les relations de La^ange et de Schering entre les distances de cinq points. Personne que nous sachions n'a analysé plus profondément les principes fondamentaux de la géométrie que M. De Tilly. Aussi, dans les pages qui suivent, ce sont surtout ses travaux qui nous servent de guide, bien que la forme de notre exposi- tion soit aussi euclidienne que possible en vue de faciliter l'accès de la Métagéométrie à un plus grand nombre de lecteurs ^). III LES DÉFINITIONS ET LES QUATRE PREMIERS POSTULATS *) 1 . Le point est ce qui n a pas de parties (Euclide, I, Déf. 1). 2. Une ligne est une longueur sans largeur. Les extré- mités d'une ligne sont des points (I, Déf\ "i, 3). 3. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. Los extrémités d'une surface sont des lignes (I, Dif. 5, (î). 4. Un solide est ce qui a longueur, largeur et épaisseur. Les extrémités d'un solide sont des surfaces (XI, Déf, 1, 2). 5. La ligne droite est celle qui repose également sur tous ses points (I, Déf. 4). Remarque. Nous dirons au début du paragraphe suivant 0 D*Ulustre8 géomètres, Cayley. Klein, Darhoux, Poincaré, Beltrami, Riemaun, Helmholtz, Lie. etc.. ont étudié d*iine manière approfondie diverses théories analytii|ues ou géométriques qui ont les rapports les plus étroits avec les recherches dont nous venons de faire rapidement rhistoire sous une forme élémentaire. Ils ont ainsi démontrt' d*une manière indirecte un grand munhre des propositions de la géiimétrie gt'nérale. Faute de compé- tence suffisante, nous ne pouvons donner ici un apervu de leurs recherchies. <) Dans ce qui suit, nous empruntons en général, les définitions, les p09* tulats et les propositions aux Éléments dTuclide, parce qu'ils constitoentt de nos jours encore, le manuel de géi>iuétrie le plus connu et le plus rigou- reux. Nous nous servons de la grande tnlition grecque, latine et française de Peyrard (Paris tSI4. IS|6. ISIS; :i v. in 4*»K Nous réduisims d ailleurs les définitions au strict nécessaire, à )uirt une exception et nous ne repnxiuisons pas les neuf axiomes d*Euclide. parve que ceux que nous employons impli* citement sont admis par tout le monde. - 9 — dans quel sens cette définition, sur laquelle on a beaucoup discuté, a été entendue par Euclide et tous les géomètres. Premier postulat ^). Qu'il soit demandé de mener de tout point à tout point une ligne droite (I, Post. 1). Deuxième postulat. Et de prolonger, en ligne droite et en continuité, une droite limitée (I, Post. 2). 6. La surface plane est celle qui repose également sur toutes les droites qu'elle contient (1, Déf. 7)*). 7. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme la circonférence, toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure étant égales entre elles. Ce point se nomme le centre du cercle (I, Déf. 15, 16) ; ces droites se nomment les rayons du cercle. Troisième postulat. Qu'il soit demandé de décrire un cercle de tout centre et de tout rayon (I, Posf. 3). 8. La sphère est une surface telle que toutes les droites menées d'un point appelé centre aux points de cette surface sont égales entre elles. Ces droites se nomment les rayons de la sphère (XI, Déf. 14-17 modifiées). 9. Un angle rectiligne est l'inclinaison mutuelle de deux droites (1. Déf. 8-9, abrégées). 10. Lorsque une droite en rencontre une autre en faisant avec celle-ci deux angles égaux de part et d'autre , chacun de 0 On peut analyser plus profondément que ne Fa fait Euclide les notions fondamentales de la géométrie et augmenter considérablement le nombre des postulats. Voir, par exemple, I Principii di Geontetria, logicametUe espasiù Saggio di G. Peano (Torina, Bocca, 1889 ; 40 p. in 8o) et SuUe /Wnda- mefUi deUa Geometria. Nota di G. Pbako (Rivista di matematica, 18M, IV pp. 51-90). Dans notre paragraphe final, nous indiquons nous-mème com- ment Cauchy ramène les notions de droite et de plan à celle de distance. Mais U est bon d'observer que les postulats 5 et 6 d'Euclide sont presque les seuls dont les géomètres se soient sérieusement préoccupés. •) Le lecteur est prié d*admettre la possibilité de Texistence d*une pareille surface comme un postulat supplémentaire jusqu'à notre paragraphe finaL La définition d'Euclide a été toujoiu*s entendue dans le sens de la définition de Legendre : ** Surface dans laquelle prenant deux points à volonté et joignant ces deux points par une ligne droite, cette ligne est tonte entière dans la surtace. „ — 10 — ces angles s'appelle un angle droit, et la première droite est dite perpendiculaire à la seconde (I, Déf. 9). Quaùnème postulai. Qu'il soit demandé que tous les angles droits soient égaux entre eux (I, Post. 4) ^). 1 1 . L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit (I, Déf. 11). 12. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit (I, Déf. 12). 13. Les figures rectilignes ou polygones sont terminées par des droites (I, Déf. 20). 14. Les fi'gures trilatères ou triangles sont formées par trois droites ; les quadrilatères, par quatre (I, Déf. 21, 22). 15. Le triangle équilatéral est celui qui a ses trois côtés égaux ; isoscèle, deux côtés égaux ; scalènè, trois côtés inégaux ; rectangle, qui a un angle droit ; obtusangle, un angle obtus ; acutangle, trois angles aigus (I, Déf. 24-29) *). 16. Un quadrilatère est un carré, s'il a ses côtés égaux et ses angles égaux ; un rectangle, s'il a seulement ses angles égaux ; un losange ou rhombe, s'il a seulement ses côtés égaux ; un rhomboïde, si ses côtés et ses angles opposés sont égaux (1, Déf 30-33 modifiées) 3). IV ■ LE CINQUIÈME ET LE SIXIÈME POSTULAT. LES TROIS GÉOMÉTRIES. La définition de la ligne droite donnée plus haut, même lorsqu'on la complète par les postulats 1, 2, 4 n'exprime ■ 1) Ce postulat, en apparence inuUle, est, en réalité, indispensable, comme nous Tavons dit ailleurs, pour éviter de considérer, dans un même système de géométrie, diverses sortes de droites. L'introduction de ce postalti par EucUde, dans ses Éléments, prouve combien il avait étudié profbiidémeiit les principes de la géométrie. 2) La possibilité de Texistence des figures ayant les propriétés énooeées se déduit assez facilement de diverses propositions élémentaires d*£iieliéeu ^) Nous donnons ces définiUons, qui ne servent pas tontes dans la sviteb — 11 — guère que la parfaite homogénéité de cette ligne, c'est-à-dire l'identité de toutes les droites et de toutes les parties de cha- cune d'elles. En somme, la droite est une ligne homogène entièrement déterminée par deux quelconques de ses points, suffisamment rapprochés. Dans son exposé de la géométrie élémentaire, Euclide emploie encore deux autres postulats tous deux relatifs à la droite, savoir : Cinquième postulat. Qu'il soit demandé que, si une droite rencontrant deux droites (situées dans un même plan), fait d'un même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, les deux droites prolongées indéfiniment se rencontrent du côté dont la somme est inférieure à deux droits (I, Post, 5) Sixième postulat. Qu'il soit demandé que deux droites ne contiennent pas d'espace (I, Post. 6). Par définition, on appelle Géométrie eu^didienne , celle où l'on admet les postulats 5 et 6 ; riemannienne, celle où l'on rejette le postulat 6 et, où, par suite, comme nous le prouve- rons, on peut démontrer le postulat 5 c.omme une conséquence des propositions antérieures ; lobaichefskienne, celle où l'on rejette le postulat 5 et, où d'après ce qui vient d'être dit, le postulat 6 subsiste nécessairement, puisque son rejet implique- rait l'existence du postulat 5. Beaucoup de propriétés de la droite et aussi du plan et de l'espace sont différentes dans les trois géomé tries. Mais un grand nombre d'autres sont indépendantes des postulats 5 et 6 et forment la partie commune aux trois systèmes. 11 y en a aussi qui sont communes à deux seulement. Nous allons faire connaître les vingt-six premières proposi- tions d'Euclide qui ne s'appuient pas sur le postulat 5, ni, en pour montrer comment on doit modifier celles d'Euclide afin de les rendre applicables à la géométrie générale. On peut encore construire aisément, au moyen des ÉlémentSj les figures dont U est question au no 16, — 12 — nu ('AtrUtïU mrm^ ^:omm^ nous le dirons plos bas, sur le ] LuUt fi, i^i par husut, appartlennem aux trois géométries. VIMW-HIX PKOPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES COMMUNES Ar:X TROIS GÉOMÉTRIES. l)ttriH ri; <|ui Huit, nous supprimons les démonstrations ou NoIuLion» quand elles sfjnt faciles à trouver ou identiques cnllitH (h) \A*mM\i\vii ; nous esquissons les autres, en laissant, ^(s\\(\vti\, un loctour le soin de faire les figures. Dans une p \\\\isvis ('•tudiî, il «Ht préférable de supposer que les vingt- proproNitions suivantes sont exposées seulement en géomét ourlidionnn nt (m géométrie lobatchefskienne ; puis, après propoNition xxxiii, dont la place logique eût été avant le p Hiutt |mnigraplio, introduire, dans un certain nombre de propositionH, dt^s rostrii^tions indispensables, comme nous diNouN apH\s xxxm, pour (|uollos soient vraies aussi en g uioirio rirniannionno. I. Sur uno droite^ donnôo ot linie, construire un trian (Vi|uilaiond. |\'oir l.KOKNimK. u. Vrob, lOJ. II. Kn \\\\ point donnô A, mener une droite égale à i \\\\\\w donnée 1U\ [On joint AH ; on construit sur AB truingleeijuilattn^al A1U>; le eeivle de centre B, de rayon ! e\mpe l>|î pndiMi^e en K ; le cercle de centre 1) de rayon ] c\M\pe l> \ pi\d\U\v;e en l\ Ln ligne VK*'HC. Celle constructi ne \a|^puie \\\w sur les ti\ùs pivuiiei^s posuilats oi sur la p Ul Knu \lî\uiv^s inei^ales etani dv^niuw^, reinincher de pluN k;i\u\dc u*\c diN^ue CiCale a la plus jv:iu\ Solution ramei A \<\ pî\\\slo*^»,x^ l\ iVvA ,î ;.;"*; *.v*N >x^!î; c*:hu\, U :\u :1s v!:: un angle é| ^•>^iu* N x^'*.*.\' »u*-.'A v\\v\N v'4;:iu\ v*:,s.*u:: h chacun. [\ — 13 — . Dans un triangle isoscèle ABC, les angles B et C oppo- lux côtés égaux AC, AB sont égaux. Les côtés AC et AB t prolongés respectivement jusqu'en E et D, au delà de C , les angles CBD, BCE sont aussi égaux. [Prenez CE=BD les prolongements de AC, AB; joignez CD, BE. Les igles ACD, ABE, puis BCD et BCE sont égaux ; etc]. I . Réciproquement, si, dans un triangle, deux angles sont IX, les côtés opposés seront égaux et le triangle seraisos- . [Voir Legendre, I, 13]. II. Deux triangles ABC, ABD situés d'un même côté de ne peuvent être tels que Ton ait AC=AD, BC=BD [Joi- is CD ; les triangles ACD, BCD sont isoscèles ; si C est ; du triangle ABD et D hors du triangle ABC, on a angle ) > BCD=BDC > ADC, ce qui absurde, puisque ACD=- ]!; si C est à Tintérieur de ADB, soient EC, FD les prolon- ents de BC, BD ; alors ACD > ECD=FDC > ADC, ce est absurde, puisque ACD -= ADC]. III. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont les côtés IX chacun à chacun. [Démonstration au moyen* du théo- e précédent]. X. Diviser un angle donné en deux parties égales. [Voir .,11, Prob. 5]. ^. Partager une droite donnée en deux parties égales. îr Leg., 11, P?'oô. 1]. .1. Par un point donné sur une droite, élever une perpen- Jaire à une droite. [Voir Leg., II, Prob. 2]. AI. Dun point donné hors d'une droite abaisser une per- iiculaire sur cette droite. [Voir Leg., Il, Prob. 3]. JII. Toute droite qui en rencontre une autre fait avec î-ci deux angles adjacents dont la somme est égale à deux les droits. [Voir Leg., 1, 2]. A\ . Si deux angles adjacents valent ensemble deux angles ts, les deux côtés extérieurs sont en ligne droite. [Voir ., 1. 4J. y . Si deux droites se coupent les angles opposés au Fig.l - u - sommet sont égaux. [Voir Léo., I, 5]. Corollairb. Si une droite fait,, de part et d'autre, en un point, des angles égani avec deux autres droites, celles-ci sont le prolongement l'une de l'autre. XVI. Ayant prolongé (Fig. 1) enBDun côté ABd'un triante ABC, l'angle extérieur CED est plus grand que chacun des angles intérieurs (tpposés BAC, BOA. [Soit E le milieu de BC; pro- longez AE de EF = AE ; joignei FB. Le triangle BEF = ACE; donc Tangle BCA = EBF < CBD. On prouve de même que l'angle opposé par le sommet à CBD est plus grand que CAB], XVII. La somme dedeux angles d'un triangle est inférieure à deux droits. [Conséquence du théorème précédent]. XVIII. Dans un triangle ABC, an plus grand côié AC est opposé le plus grand angle B. [Portons sur AC > AB, la longueur AD = AB. On aura angle B > ABD =■ ADB > C]. XIX. Dans un triangle, au plus grand angle est opposé le plus grand côté. [Conséquence du théorème précédent]. XX. Dans un triangle ABC, un côté AB est plus petit que la somme des deux autres AC, CB. [Prolongeons AC de CD = BC ; joignons DB. On aura angle D = angle DBC < angle DBA ; donc AB < DA = AC + CB]. Corollairb. Dans un polygone, un côté est plus petit que la somme des autres côtés. XXI. Si d'un point pris à l'intérieur d'un triangle on mène aux extrémités d'un côté deux droites, la somme de ces droites est moindre que celle des deux autres côtés et leur angle est plus grand que celui de ces côtés. [Démonstration au moyen des propositions 10 et ^0 ; voir aussi Léo., I, 9J. XXII. Construire un triangle avant pour côtés trois droites données dont chacune est plus petite que la somme des (Jeux autres. [Voir Lkg., U, Ptvb. 10]. — 15 — XXIII. En un point d'une droite donnée faire un an^e égal à un angle donné. [Voir Leg. II, Prob. 4]. XXIV. Si deux côtés d'un triangle sont égaux aux deux côtés d'un autre triangle ; si l'angle compris par les premiers est plus grand que l'angle compris par les seconds, le troi- sième côté du premier triangle sera plus grand que le troi- sième du second. [Voir Leg., I, 10]. XXV. Réciproquement, si les deux côtés d'un triangle sont égaux aux deux côtés d'un autre triangle ; si le troisième côté du premier est plus grand que le troisième côté du second, l'angle compris par les premiers côtés sera plus grand que l'angle compris parles seconds. [Voir Leg., I, 10, scholie]. XXVI. Deux triangles sont égaux s'ils ont deux angles égaux chacun à chacun et un côté égal à un côté, ces côtés étant compris entre les angles égaux, ou opposés à des angles égaux. [Soient ABC, DEF deux triangles ayant AB = DE, l'angle A = l'angle D et B = E, ou C = F. Si AC était > DF, portons AG = DF sur AC et joignons GB. Le triangle AGB sera égal à DEF. On aura angle E = angle GBA < ABC, ce qui est absurde, si E = B ; ou F = angle AGB > ACB, ce qui est aussi absurde, quand on suppose F =« C]. VI PROPOSITIONS COMMUNES A LA GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET A LA GÉOMÉTRIE LOBATCHEPSKIENNE ^). XXVII. Si une droite EF (non riemannienne) fait avec deux avives (non riemanniennes également) AB, CD des angles alternes internes égaicx AEF, EFD, ces deux droites ne se rencontrent pas (Euclide, I, 27). [Car si ces droites se rencon- traient du côté des points B et D, en G, on aurait l'angle AEF, extérieur au triangle EFG, égal à l'angle intérieur 0 Ces propositions, dont nous empruntons la première à Euclide, sont indé* pendantes du oe postulat, mais s*appuient essentleUement sur le — 16 — EFG ou EFD, ce qui est absurde d'après 'xvi. De même, les droites ne peuvent se rencontrer de l'autre côté en deçà de A et C, en un point H]. Corollaire. Les deux droites ne se rencontrent pas non plus si les angles alternes externes, ou les angles correspondants (l'un externe, l'autre externe d'un même côté de la transversale) sont égaux ; ou si la somme des deux angles internes* ou externes, d'un même côté est égale à deux droits (EucLiDE, 1, 28). XXVUl. Premier théorème de legendre. Dans m tHangle (pwn rieniannien) , la somme des trois angles ne peut sw^passer deux angles droits. Premià*e démotistration (Legendre, Géométrie, 3* édition, Paris, Didot, 1800, livre 1, prop. 19). ««Soit s'il est possible, (Fig. i) ABC un triangle dans lequel la somme des trois angles est plus grande que doux angles droits. Sur AO prolongi:^ prenez CE = AC ; faites langle ECD = CAB, le côté CD = AB ; joignez DE et BD. Letriangle CDEsera égal au triangle BAC ^ puisqu'ils ont un an- gle égal compris ontrt^ oôtes égaux chaoun î\ chacun (j>rop. iv ; donc on aura lande i^KO - AiMt. lande ODE = ABC et le troisième côté Kl> ogal au tnMsième IU\ l^nsque la ligne Ai'E est dn.nte, la somme des angles ACB, lU'O, IH'K t^i epUe à deux angK^ droits : or on suppose la s^Mume des aUirU^ du triangle ABC plus grande que deux angles dtvits : on avu^a done 1^ VB ABv^ ACB ^ At B - BCB - ECD ; n^traivhatu de jv^rt et d\\uti\^ Ai^B ooramun et CAB — ECD, il !\^ster:i VBv' ^ Bi'B ; et jvuw v;ue les vvtes AB, BC du tnHî^4:le VBv\ sn^î,; ^ 4:,u;\ ,\u\ xvu^ v'O. v"B du iriansrle BCD, il se;\su;: sjue le ;i\^.s;è:uo VC os; t^lus gmnd t^ue le troisième BB ^prvY ^v^^ — 17 — Imaginons maintenant qu'on prolonge indéfiniment la ligne AC, ainsi que la suite des triangles égaux et semblable- ment placés ABC, CDE, EFG, GHI, etc. ; si Ton joint les sommets voisins par les droites BD, DF, FH, HK, etc., on formera en même temps une suite de triangles intermé- diaires BCD, DEF, FGH, etc., qui seront tous égaux entre eux, puisqu'ils auront un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun. Donc on aura BD = DF = FH = HK, etc. Cela posé, puisqu'on a AC > BD, soit la différence AC — BD = d ; il est clair que 2d sera la différence entre la ligne droite ACE égale à 2AC et la ligne droite ou brisée BDF égale à 2BD ; de sorte qu'on aura AE — BF ~ 2d. On aura de même AG — BH = 3d, AI — BK = 4d, et ainsi de suite. Or, quelque petite que soit la différence d, il est évident que cette différence, répétée un nombre de fois suffisant, deviendra plus grande qu'une longueur donnée. On pourra donc supposer la suite des triangles prolongée assez loin pour qu'on ait AP — BQ > 2AB ; et ainsi on aurait AP > BQ + 2AB. Or, au contraire, la ligne droite AP est plus courte que la ligne anguleuse ABPQ, qui joint les mêmes extrémités A et P, de sorte qu'on aura toujours AP < AB -|- BQ -f- QP ou AB < BQ -f 2AB. Donc l'hypothèse d'où l'on est parti est absurde ; donc la somme des trois angles du triangle ABC ne peut être plus grande que deux angles droits. « Seconde démonstration^). Supposons que la somme des angles du triangle ABC (Fig. 1 , proposition xvi) surpasse deux droits d'un angle a, par exemple. Soit BC le côté le plus petit du triangle ABC. Il est facile de voir que la somme des angles du triangle ABF est la même que celle des angles du triangle ABC. 1) Cette seconde démonstration, due aussi à Legendre, se trouve livre I, prop. 19 de sa géométrie, mais seulement dans la 12« édition (1823), et avec un léger défaut qui a été corrigé par Lobatchefsky, dans le no 19 de ses Geomelrische UiUersuchutigen jmr TIteorie der ParaJJeUinien (OEuvres, p. d57). Elle s*appuie sur la même construction que la proposition xn d*£aclide, donnée plus haut. — 18 — En outre, le plus petit angle BAC du triangle ABC est égal à la somme AFB -f- BAF des angles du triangle ABF. Le plus petit de ces deux angles AFB, BAF, s'ils sont inégaux, est inférieur à - BAC, et s'ils sont égaux, chacun sera égal à IBAC. Opérant sur le triangle ABF comme sur le triangle ABC, on en déduira un triangle où le plus petit angle est au plus égal à la moitié du plus petit des angles AFB, BAF, et, par suite, au plus égal à IBAC. En continuant ainsi on arri- verait à un triangle où la somme des angles serait toujours égal à celle des angles de ABC, c'est-à-dire deux droits plus a ; mais où, en même temps, il se trouverait d'abord, deux angles dont la somme serait une fraction aussi petite qu'on le voudrait de BAC et par suite, moindre que a ; ensuite un troisième angle moindre que deux droits. Dans ce triangle, la^omme des trois angles serait donc à la fois : P 2 droits -}- a; 2^ moins que deux droits augmentés de moins que a ; ce qui est absurde. On ne peut donc supposer que dans un triangle non riemannien la somme des angles surpasse deux droits et le théorème est démontré. XXIX. Second théorème de Legendre. Si dans un seul triangle la somme des trois angles est égale à deux angles droits y il en sei^a de même pour tout autre t^nangle *). « Supposons que dans le triangle ABC (Fig. 3) la somme des trois angles soit égale à deux angles droits ; deux au moins de ces angles, A et C seront aigus. Abaissons, du sommet du troisième angle B, la perpendiculaire p sur le côté Fifç. 3 opposé AC. Cette perpendiculaire parta- gera le triangle ABC en deux triangles rectangles dans chacun desquels la somme des trois angles devra enèore être égale à deux droits, sans quoi elle serait, dans l'un I) Nous donnons textuellement la démonstration de Lobatchefsky {G, UnL etc. n» âO. Œuvres, p. 558) qui n*est peut-être pas assez développée, mais qoe le lecteur peut aisément compléter là où elle est trop brève. Legendre en t donné une autre qui est plus longue. — 19 — Ëe ces trianglos i)Ius grantle que Jeux droits, ou dans le triangle total plus petite que deux droits. On obtiendra Honc ainsi un triangle rectangle, dont les côtés de l'angle Droit seront p et q, et au moyen duquel on pouira for- ner un quadrilatère dont les côtés oiijiosés seront égaux ntre eux {prop. xxn) et dont les cotés adjacents p ei q seront perpendiculaire l'un à l'autre. Par la répétition de ce quadrilatère, on pourra en former un autre dont les côtés fieront np et q, et enfin un autre ABCD (Fig. 4) ayant ses côtés perpendiculaires entre eux et dans lequel AB = mq, BC = np, DC = mq, AD = np. m et n étant des nombres entiers quelconques. Ce quadrilatère sera divisé par la diago- nale AC en deux triangles rectangles égaux. ABC, ADC dans chacun desquels la somme des Irois angles est égale à deux droits. Or, on peut prendre les nombres « et m assez grands pour que le triangle rcclanglu ABC dont les côtés de l'angle droit sont AB = mq, BC - np renferme dans son intérieur tout autre triangle rectangle donné EBF,Iorsqu'onaiirafait coïncider leurs angles droits. En menant la ligne El ', on obtient des triangles rectangles ayant deux à deux un côté commun. Le triangle ABC est formé par la réunion des deux triangles ACE, ECB, dans chacun desquels la somme des trois angles ne peut suri)asser deux droits ; elle doit donc être, pour chacun, égale à deux droits, sans quoi elle ne serait pas égale à deux droits dans le triangle total, De même, le triangle ECB se compose des deux triangles ECF, FEB, d'où il s'en- suit que dans FEB, la somme des trois angles doit être égale h deux droits. Cela doit donc avoir lieu, en général, pour un triangle quelconque, puisque tout triangle peut-être décom- |pos('' m doux triangles rectangk — 20 — Corollaire. En géométrie non riemannienne, deux hypo- thèses seulement sont possibles : la somme des trois angles est égale à deux droits dans tous les triangles, ou elle est moindre dans tous. Vil TROPOSITIONS CARACTÉRISTIQUES DE LA GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET DE LA GÉOMÉTRIE LOBATCHEFSKIENNE. *) XXX. Si le cinquième postulat est vrai, deuœ droites qui ne .^e reixconirent pas^ font avec une transversale des angles intérieurs dont la somme est égale à deux angles droits ^EUCLIDE, I, 29). Car si cette somme n est pas égale à deux droits, elle est supérieure à deux droits d'un côté de la transversale, infé- rieure à deux droits de l'autre, puisque, d'après la proposition \in, la somme des quatre angles intérieurs est égale à quatre droits. Or, d'après le cinquième postulat, les droites données se rencontreraient du côté où la somme des angles est infé- rieure à deux droits, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc, otc. Rkmakqi'k. Kn géométrie euclidienne, deux droites qui ne se rencontrent pas sont AxW^ }Hirallèles , i\>ROLi.AiUK. Deux parallèles font avec une transversale des angles alternes internes égaux ; des angles alternes externes égaux ; des angles correspondants (c'est-à-dire d'un même côté l'un intérieur, l'autre extérieur) égaux. XWl. Avi/ />ni/om;«* (Kig. 5.) en BD un côté AB dun triamjU AIU\ lUngir twtcrieur ('Hl> est égal à la somme des deu.v upti;U\^ intètueurs <>/>/H>xVt\v ACH, BAC. et la somme des tfvis itnifU's intt'f'ieurs ilu tt^iungle ca7 égale ù deux droits ^ si te eini^uiènte postuint est vrai [Kvex.wv., K 31-3S). >) l>Ati'« co |^rtu*rH|»h«\ coiiuuo tUu^ Ir prt'ovUeut. nous admettons le «UXÎI'IIIO |K»^«UllAt \l'Ku\'IUIo. Faisons l'angle CBF égal à l'angle ACB (prop. xxiii); BF Estera parallèle à AC (prop. xxvii). Par suite (prop. xxx, l'oroll.j, ) l'angle FBD-CAB; donc CBU, i qui esi égal à CBF + FBlt, est j ^al à la somme des deux [■Angles intérieurs ACB, CAB. Ensuite ABC + CBD est égal à i somme des trois angles inlu- ^eurs ABC. ACB, CAB. ^''^' '• Corollaire. Si le cinquième posLuIat est \Tai. la somme des ingles est égale à quatre droits dans un quadrilatère. XXXII. Récipt-oquement si la somme des angles de tout ti-i- \ffle esl égale à deux angles droits, le cinquième postulai est ; c'est-à-dire que deux droites AB, CD, qui font arec une troisième EF deux angles iidérieurs d'un même côté dont la somme est plus petite que deux angles droits, prolongées suffî- jammeni se rencontrent de ce côté (LecîENDRE, 12" éd.. I, 23}. " Soit (Fig. 6.( la somme BEF+ EFD inférieure à deux Iroils ; menez FG de manière que l'angle EFG=AEF, vous la somme ^EF+EFCl égale :i sommo BEF + lEF et, par ronsé- [nent. égale à deux mgles droits, et " '' " ioi.'Wjue BEF+EFD est plus petite que deux angles droits. i droite DF sera comprise dans l'angle EFG. Par le point F tirez une oblique FM qui rencontre AB en il, l'angle AMF sera égal â GFM, puisque, en njouiant de part ( d'autre une même quantité EFM-rFE.\l, les deux sommes nt égales chacune à deux angles droits. Prenez en.suite S=FM et joignez FN ; l'angle AMF extérieur au triangle d.N, est égal à la somme dcsdeu.\ intérieurs gpposôs MFN, SF (Prop. xxxi) ; ceux-ci sont égaux entre eux, puisqu'ils |ït opposés k des côtés égaux MN, F,M ; donc l'angle AMF — 22 — ou Hoii ('•gai MVCj 08t double de MFN ; donc la droite FN iVwÏHo , ot il sera encore vrai que FZ prolongée ivnoontro AU on un point dotorminé : donc à plus forte raison la droite FI> comprise dans langlo KFZ, rencontre AB. » i\>Koi.i viuK. I. Kn j;éi>motrio euclidienne, cest-à-dire si Ion admoi los postulats 5 ot i\ la somme des trois angles irun irian^rlo t^st Oiîalo à doux droits. i'ou\Mi viKK II. Kn goomotrio lobaichotskienne, c'est-à-dire si I\m\ ivjoiTo lo p\^siulat o ot si Ton aihnot le postulat 6, la sonuuo dos n\Ms at\jrlos trun triangle osi toujours inférieure î^ \lou\ dt\ùis ; \vllo \l un quadrilatoiv est inférieure à quatre dt\ùis. Oar oUo no peut |vis ottv suporiouiv prop. xx%nii) ; si oUo ou»u o^alo à dou\ dw^its dans un s K!. :vsuv.u\ l:t sv^v,;::io de^s :r\ns angles d'un 'iv:.t:'*:'s* ON, v'^rslo ,; siovA vl!v:u<. or. 4^v:uo:rie euclidienne, • * . « » » • •» • ^■v_ « ■ ■ . » ,\ «, \ H .*^ ■,»\ \*,A. , •>» t . . ^x>'s.,v ,« ,t •». . c%.v » *v* >i^frn I HT « xm >:^ \/;:- .;',./•. Cx\^:v.< .r;o V'.o*v..svr'.or:u\ oI> es" supérieure & — 23 — VIII. PROPOSITIONS CARACTÉRISTIQUES DE LA GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE *) XXXIII. Si deux droites passant par un point A ont un second ^ point d'intersection B, toutes les autres droites du ilan des deux pi^emières qui passent par A, passent aussi jar B ^. Soient (Fig. 7) Aa, Ad deux droites se rencontrant une ;econde fois en un point B. Du point A comme centre, avec in rayon Aa plus petit que AB, traçons une circonférence 2bcde/g rencontrant Aa en a. Ad en d. Supposons, pour fixer les idées, que Tare ad soit les trois septièmes de la circonfé- rence. On peut concevoir, sur la circonférence, un point g tel {ue l'arc dg = Tare ad ; je dis que la droite Ag rencontrera a droite Ad en B. En effet, on peut transporter la figure VaBdD formée par les deux droites AaB, AdB de manière jue la première AaB de ces droites , vienne s'appliquer sur la 1) Nous prions instamment le lecteur de ne pas lire les raisonnements ]ui vont suivre en donnant implicitement au mot droite le sens qu*il a en géométrie euclidienne ou en géométrie lobatchefskienne. Dans le présent [paragraphe, dont la place logique, à part la dernière proposition, serait après e quatrième, droite ^ pian, cercle désignent des êtres géométriques ayant uniquement les propriétés énoncées dans les définitions 5. 6, 7 et dans les |uatre premiers postulats ; de plus« par la définition même de la géométrie riemannienne. nous rejetons le sixième postulat et, par suite, nous admettons |a*il y a au moins un couple de droites qui peuvent enclore un espace. <) Un second point est pris dans le sens propre ; nous supposons qu*il i*y a pas, entre A et B, un point X, commun aux droites considérées.; car s'U sn était ainsi, le point B serait le troisième au moins et non le second point d*intersection de ces droites. ^) Comme Gauss Ta fait remarquer, et conrnie on peut le prouver d*une manière élémentaire, en géométrie non euclidienne, il n*y a jamais de simi- litude sans égalité. D n*y a donc pas moyen de dessiner la ressemblance d'une figure non euclidienne à une écheUe plus petite que la réalité : on ne peut qu*en indiquer la disposition générale. Cest à cause de cette circon- stance que nous devons marquer le point B sur la direction de toutes les droites de la figure. seconde Af/B, et celle-ci sur Ag. Puisque AnB et ArfB « coupent en B. il en sera de même de ces droites dans leur nouvelle position At/B et A^r. ce qu'il fallait démontrer. Soient encore l'arc gc = dg. cf—gc, fli=cf, be = f'b. Les droites At;, Xc, A/', A6. Ac reo- contreront aussi Ad et iVu en B. De cette manière, les sept droil qui pussent par A et par les m points a, b, r, d, e. f, g (côiut- divisent évidemment la circo lorence en parties égales), rencontrent toutes en B. D< d'entre elles d'ailleurs ne p vent se couper avant B ; car deux se coupaient en X, ai de se couper en B, on prouve qu'il en serait de même de toutes, et. par suite, de Aa, , dont B ne serait pas le second point d'intersection. Les droites Ain, An, passant par les points de subdivit d'un de ces arcs ef, par exemple, en trois, ou un plus nombre de parties égales se couperont aussi pour la fois en B. Supposons d'nbord que l'une de ces droites A rencontre AcB en B ; alors, on prouve aisément, comme p] haut, que An rencontre Ani en B. comme on a prouvé tani que /\^ rencontre Ad en B. Si Am rencontrait At'B, avaai point B, en X, on v-errMt comme plus haut que An, pi Af rencontrent Am et Ae en X ; donc B ne serait pas 1© poi où A/* rencontre Ac pour la seconde fois '). || On remari|uern [[ue Am indéfliiiment pmloiigt^ doit renciinlrer A«B, A/'Ei.ou CCS doux «Imites Alafniuen B. Car s'il en était autrement, presoiiai Amiine lnngut>ur Am/i HU|i^neure & AfB, partixeiuplu. égaleâ AeBg, géli au delà du ti sur AcR. Ln cirronfùrviiire de ceiilrc A. de rayon Xq, aurait point (/ extérieur, et ud point p intérieur A l'espace AvBfA encloa par dons droites AtB, A^B. et reiirwdrurait une au mmus de ces droites on puiiit Y. La disliuici: AY inf(^rieur« tuu i^fnle) A Ait. serait l'galo au rayon i qui est supérieur A AB, re qui oui abniirde. _ 25 — Donc enfin les droites passant par A et par les points de subdivision de la circonférence en un nombre quelconque de parties égales, c'est-à-dire toutes les droites imaginables qui émanent de A rencontrent toutes An, pour la seconde fois, en B '). Corollaire 1. Deux droites quelconques passant par un autre point C du plan se coupe en un second point D, situé à la même distance de C que A de B. Car oii peut transporter ces droites dans le plan de manière à faire coïncider C avec A «t les droites avec deux des droites qui passent par A et se rencontrent pour la seconde fois en D. Nous appellerons SA, la distance AB ou CD. Corollaire 11. La droite aA prolongée au delà de A, en Aa', aboutit en B, où elle rencontre AdB, AcB. Définition. Deux points comme A et B, distants de 2A, Bont dits opposés. Corollaire III. A un point A' de Aa (Fig. 8) est opposé un point B' sur aB prolongé ; A'Aa' prolongé aboutira en B' ; donc le prolongement de aB au delà de B vers B' se confond avec Ao'B ; une droite riemannienTie est donc une ligne fermée AûBa'B, de longueur 4i sur laquelle on peut avancer indéfiniment comme sn}' un cercle, mais où la distance maxima de deux points est 2i. fis-8 Corollaire IV. Le plan rîemannien formé de l'ensembledes droites riemanniennes Aa, Aft, etc., est une surface fermée, partagée en deux régions par chacune de ces droites. Corollaire V. Deux droites riemanniennes m et n quel- conques se coupent en deux points opposés. En effet (Fig. 9), joignons un point A de la première 7)i à un point C de la seconde n par une droite AC ; AC rencontrera la première droite en un second point B opposé à A, la seconde en un ■) On peut cnosidërer, pi l'on veut, den arcs incommensurables avec la circonférence ; mais ce cas se ramène à celui qui est considéré dans le texte d'après le sens symbolique de ce mot incommensurable. — 26 — second point D opposé à C. La ligne ACBA sur laquelle se trouvent les points C et D est divisée en deux parties égales par le point B ; le point C étant situé dans la première partie, le point D est dans la seconde, puisque CD = AB = 2 À. La ligne m entoure le point C complètement, puisqu'elle réunit les points A et B,à droite et à gauche de la droite ACB. lien résulte que la ligne n qui réu- nit C à D aussi à droite et à pj ^ gauche de ACB rencontre m en deux points. Ces points sont opposés d'après le corollaire i. Corollaire VI. En géométrie riemannienne, le 5* postulat d'Euclide est toujours vrai, puisque les droites d'un même plan se rencontrent toujours. En géométrie lobatchefskienne, le 6® postulat d'Euclide est toujours vrai ; puisque s'il était faux dans un seul cas, on pourrait établir la proposition xxxm et son corollaire vi, lequel n'est pas vrai en géométrie lobat- chefskienne. Remarque. Les vingt-six propositions du § v sont vrAiéàen géométrie riemannienne, mais on doit introduire dans m certain nombre d'entre elles des restrictions provenant de ce que les distances, considérées dans les données, les constne- tions ou les raisonnements ne peuvent parfois pas surpasser 2 A, pour que les démonstrations ou les solutions soient irré- prochables. Pour les triangles, le plus simple est de supposer, par définition, que les côtés sont inférieurs à 2A. On trouve assez aisément que la construction supposée dans la proposi- tion I, implique que le côté du triangle équilatoral à construire est non seulement inférieur à 2A, mais à g A ; mais cela n'entraîne pas une restriction analogue pour les propositions ii et III, dont les constructions sont toujours exécutables, an besoin, en plusieurs fois. La proposition xvi et celles qui en dépendent directement supposent essentiellement les longueurs considérées inférieures à 2A. Mais un bon nombre des autres sont vraies dans tous les cas, contrairement aux apparences. 'égcr. nous ne faisons pas en détail rénmnéraliim des Birictîons à introduire dans les propositions du § v : le lecteur & en géométrie euclidienne reconnaîtra sans peine que les ftpriéiés des tigui-es rectilignes d'un plan ricmannien sont ^ogues à celles des tigiires tormées sijp une sphère par des i de grand cercle. — Quant aux propositions xxvii àxxxii, nnterviennent explicitement ou implicitement des droites lies, elles ne peuvent évidemment être démontrées qu'en ^métrie euclidienne ou lobatcliofskicnne. XXXIV. Dnns mt triangle riemannien ABC, la somme des trois angles est stipé'teurc à dcu.v angles droits (Démons- tration de M. De Tilly). Soit (Fig. 10) E le milieu de CB ; menons AE et prolongeons cette ligne d'une longueur EF = xVE ; menons aussi FB. Le triangle EFB sera égal à EAC. Supposons F h l'intérieur du triangle CBO, 0 étant le point de rencontre de ACQ et AB, ou le point opposé à A. Soit encore I le milieu de BF. Joignons A! ot prolon- geons celte ligne de IJ ^ AI. Si le point J est à l'intérieur du triangle BFO. soit L le milieu de BJ. I^ = AL |le point N est en dehors de la figure). Si le point N est à l'intérieur du triangle B.Tp. faisons encore une construction analogue sur le triangle ABN et continuons de même indéfiniment. Les somme des angles dans les triangles successifs ABC, ABF, AB.I, AB\, etc., est toujours la même, comme il est facile de le voir. Bien entendu, on prend pour l'angle en B des triangles ABF. ABJ. ABN,... les sommes ABE + EBF. ABI -I- IBJ. ABL -f LBN, etc. i — 28 — Si l'un de ces angles B toujours de plus en plus grands, est supérieur ou égal à deux droits, autrement dit, si l'un des points I, L, etc., se trouve en dehors du triangle BCO cm sur BO, le théorème est démontré; car évidemment cet angle en B, avec les deux autres angles du triangle considéré a une somme supérieure à deux droits. Or, l'un des points 1, L, etc., est nécessairement en dehors de BCO. En effet, soit D le milieu de AC ; menons DE, El, IL, etc. Le triangle CDE est égal au triangle BEI. Par suite, l'angle CED = angle lEB, El = DE et en est le prolongement. On démontre de même que 1L=E1 et ast aussi le prolongement de El. La droite DEIL coupe ACQO, en un point P, situé au delà de 0 à une distance OP == AD. Par suite, en portant sur DEIL, indéfiniment des droites El, IL, etc., égales à DE, qui est d'ailleurs inférieure à DEP = 2A, l'un au moins des points 1, L, etc., se trouvera, soit sur la ligne AB, soit à l'extérieur du triangle BCO. Le théorème est donc démontré. CoRoixAiRK. Dans un quadrilatère riemannien, la sonune des angles est supérieure à quatre droits. IX RÉSUMÉ. VRAIE NATURE DES POSTULATS 5 ET 6. On pout résumer ce qui a été exposé dans les cinq para- graphes précédents do la manière suivante. Dans loxposé systématique de la géométrie, on est amené logiquement à poser deux dilemmes. Prr)iiirr tinnumc. l. Ou hien il existe au moins un couple de droites distinctes ayant deux points communs (géométrie fucmtnnn'nuie . Dans ce cas, tout couple de droites ayant un point commun en a un second, dit point opposé au premier, et la somme des angles de tout triangle est supérieure à deux driMts. — 29 — 2. Ou bien, deux droites distinctes ne peuvent jamais ivoir deux points communs (postulat 6 : géométrie non rieman- tienne), et dans ce cas, la somme des angles d'im triangle juelconque n'est jamais supérieure à deux droits (Premier 'héorème de Leg endive). Second dilemme. Dans cette dernière hypothèse 1. Ou t)ien deux droites d'un plan qui font avec une transversale les angles dont la somme est inférieure à deux droits se rencontrent (postulat 5 : géométine euclidienne). Alors la somme des angles de tout triangle est égale à deux droits ; et l'on se trouve dans ce cas, si la somme des angles d'un seul triangle est égale à deux droits {Second théorème de Legendre). 2. Ou bien il y a au moins une couple de droites d'un même plan qui ne se rencontrent pas et qui font avec une trans- versale des angles dont la somme est inférieure à deux droits (géométrie lobatche/skienne). Dans ce cas, la somme des angles de tout triangle est inférieure à deux droits. On peut encore exprimer les mêmes idées, sous une autre forme, de la manière suivante : La définition 5 et les postulats 1, 2, 4 caractérisent le gen7^e droite. Si l'on y ajoute le postulat 5 seul, on obtient la définition de la droite riemannieyme; le postulat 6 seul, celle de la droite lobatchefskienne ; les postulats 5 et 6 , celle de la droite euclidienne, La somme des angles, dans un triangle riemannien est supérieure à deux droits ; elle est inférieure à deux droits, dans un triangle lobatchefskien ; elle est égale à deux droits dans un triangle euclidien. Les propriétés du plan, ou plus généralement, celles de l'espace dépendant essentiellement de celles de la droite, on djoit distinguer de ihême les plans et les espaces riemanniens, lobatchefskieyis et euclidien. Les propriétés communes aux trois géométries sont des propriétés des genres droite, plan, espace; dans les manuels, — 30 — elles sont mêlées sans distinction avec celles qui n'appartien- nent qu'à Tune ou qu'à deux des espèces que nous venons de définir. Dans tout ce qui précède, nous n'avons dû recourir nulle part à une de ces assertions arbitraires que Kant a appelées jtigements synthétiques à priori. Les postulats 5 et 6 n'appar- tiennent nullement à cette catégorie de propositions. Ce sont simplement des définitions méconnues, comme l'a très bien dit M. Lechalas. Les postulats 5 et 6 sont indispensables pour distinguer les espèces du gen7'e droite, rien de plus ^ Ils ne sont ni contenus dans la définition de la droite générale ni en contradiction avec cette définition ; ils en sont indépendants. X ESQUISSE DES PRINCIPALES PROPOSITIONS DE LA MÉTAGÉOMÂTRIS. INDÉMONTRABILITÉ DES POSTULATS. Une fois arrivé au théorème fondamental sur la somme des trois angles d'un triangle en géométrie euclidienne, lobat- chefskienne ou riemannienne, on peut exposer parallèlement ces trois branches de la Métagéométrie ou géométrie générale, comme la fait M. De Tilly dans son célèbre essai de 1878. 1) Quo Ton nous permette ici une comparaison. En algèbre, on étudie les propriétés des équations du second degré à coefficients réels cufi-{-hœ-]-c^^ (}es équations se divisent en trois classes, selon que Ton a fr^— 4ae négatit nul ou positif, ou encore selon que leurs racines sont imaginaires, ou égales, ou réelles et inégales. Certaines propriétés des équations du second degré sont vraies pour les trois classes ; d*autres n*appartiennent qu'à une seule de ces classes, ou à deux d*entre elles. On peut dire, en imitant le langage des géomètres, que 6'>— 4ac^0 est un postulat qui caractérise les équations à racines réelles et inégales. &'- — ku:=0, un postulat qui caractérise ceUes qui ont des racines égales, enfin 6-^— 4a<*^0, un postulat qui caractérise celles qui ont des racines imaginaires.— Mais un esprit bizarre, peu au courant des théories algébriques, et imbu «railleurs des idées de Kant, pourrait dire : "* L'intellect humain est ainsi fait qu'il admet, sans preuve aucune, que, dans toute équation du second degré, l'on a b'^ — 4ac=0 ; cette relation est un juge* ment synthétique à priori que nous ne p(»uvons ni ne pas admettre, ni établir avec rigueur. „ — 31 — La Métagéométrie comprend d'abord un grand nombre de propositions communes aux trois géométries. Ainsi» dans les Éléments de Legendre, on peut regarder comme telles, outre les 18 premières propriétés du livre I, une grande partie de celles du livre II et du livre V, tout le livre VII, puis une faible partie des livres IV et VI . Au contraire, la théorie des parallèles, celles de la simili- tude, la mesure des longueurs, des aires et des volumes, telles quelle est exposée dans Legendre, appartiennent exclusivement à la géométrie euclidienne, comme aussi la relation fonda- mentale a» = J« + c' (E) entre l'hypoténuse a et les côtés ô et c d'un triangle rectangle et ce qui en dépend essentiellement. En géométrie lobatchefskienne, la théorie des parallèles est remplacée par le théoi^ème de Saccheri et ses conséquences : deux droites d'un plan se rencontrent, ou sont asymptotes l'une de l'autre, ou divergent indéfiniment à partir d'une per- pendiculaire commune. La théorie de la similitude n'existe pas, mais on prouve aisément que deux triangles équiangles sont égaux. La recherche des longueurs, des aires et des volumes se fait tout autrement qu'en géométrie euclidienne. On trouve, en particulier, que l'aire d'un triangle est proportion- nelle à son déficit angulaire, c'est-à-dire à la différence entre deux droits et la somme de ses angles (théorème de Lambert) ; par suite, quelque grand que soit un triangle, sa surface est toujours inférieure à une limite finie. La relation qui lie rhypoténuse et les côtés d'un triangle rectangle est Ch ^ = Ch ^ Ch f (L) OÙ / est une quantité constante, dite constante lobatchefskienne. En géométrie riemannienne, deux droites d'un plan se ren- contrent en deux points opposés ; deux triangles équiangles sont égaux ; il n'existe pas de théorie de la similitude. I^a — 32 — recherche des longueurs, des aires et des volumes se fait à peu près comme en géométrie lobatchefskienne ; l'aire d'un triangle, toujours finie, est proportionnelle à son excès angulaire, c'est- à-dire à la différence entre la somme de ses angles et deux droits. La relation entre l'hypoténuse et les côtés d'un triangle rectangle est cos - = cos - cos - (R) r étant une constante, dite constante riemannienne, telle que 2A = TT r % Des relations (E), (L), (R) on déduit les trigonométries planes, euclidienne, lobatchefskienne ou riemannienne. Elles sont différentes Tune de l'autre, mais la trigonométrie sphé- rique est la même dans les trois systèmes et identique à la trigonométrie riemannienne plane. On tire encore de chacune des relations (E), (L), (R), une relation correspondante entre les dix distances mutueUes de cinq points ; nous appellerons ces relations (E'), (L'), (R') ; Lagrange a trouvé la première, M. Schering les deux autres. M. De Tilly a prouvé que la relation (E') résume la géométrie euclidienne toute entière et que, de même, (L'), (R') résument les deux géométries non euclidiennes. Par suite, on peut dire la même chose des relations plus simples (E), (L), (R) puisque l'on peut en déduire (E'). (L), (R') % 0 Pour la démonstration de la relation (L), voir une article de M. Géiud, dan^ les Nouvelles AntujUes de mathématiques, 3e série, t. XII, pp. 74-tt (février 1893) ; pour (R), nos Principes fondamentaux de la fféaméirie nm euclidienne de Biemann (supplément à Mathe^is, 18S)5, 2e série, t V). Let ouvrages de M. De Tilly contiennent d'ailleurs la démonstration de toQtes 1m formules dont il est question dans le texte. . ^) Au point de vue de l'analyse, on peut déduire les relations (R*), (L'), (El de la suivante entre les distances ix, 2x, Sx, ix, bx d*un point quelconque ff aux points 1, 2, 3, i, 't, (^. ^, v. c, ;. sont des constantes indépendantes dec) >cos(-^j |^cos{^) 1 vcos(^) 1-dcos(^)4-fcos(~)=0. On trouve (R') en faisant coïncider a- avec 1,2, 3,4,5. puis éliminant les oon- stantes entre les cinq équations obtenues; (L') s'en déduit en remplaçant r - 33 — Au point de vue de l'analyse mathématique» les relations (E), (L), (R) sont des cas particuliers d une seule égalité. En effet, (L) et (R) se transforment en (E), si Ton fait r ou / infini, et (L) devient (R) et inversement si Ton suppose l = r \/^^. De môme (L') et (R) donnent (E ), si Ton y fait r ou / infini, et (L') devient (R) et inversement, si l = r |/^^. Les trois géométries sont, au fond, le développement des conséquences de (E) ou (E') (géolnétrie euclidienne) ; (L) ou (L') (géométrie lobatchefskienne) ; (R) ou (R') (géométrie rieman- nienne). Par suite, toutes trois sont également rigoureuses et inattaquables comme édifice logique. 11 en est ainsi, en parti- culier de la géométrie euclidienne. Mais, avant qu'on eût réduit à ce degré de simplicité les principes fondamentaux de la science de l'espace, on n'était pas parvenu à prouver que les postulats 5 et 6 de la géométrie euclidienne sont compa- tibles entre eux et avec les définitions et les autres postulats. C'est donc M. De Tilly qui, en ramenant toutes les vérités des trois géométries aux relations (E), (L), (R') entre les distances de cinq points, a établi, sur une base inébranlable, les fonde- ments non seulement des deux géométries non euclidiennes, mais aussi ceux de la géométrie euclidienne. Les remarques précédentes sur les relations analytiques entre les distances des sommets d'un triangle rectangle,ou entre celles de cinq points quelconques,font comprendre, «po^totori, pourquoi on a vainement essayé, pendant deux mille ans, de démontrer les postulats 5 et (3. Au fond, dans ces tentatives infructueuses, on tâchait de prouver que les relations (E) ou (E) sont équivalentes à (L), (L) ou (R), (R). Or, cela est manifestement impossible : pour déduire (E) de (L'), ou (E) de (L),il faut ajouter à (L) ou (L) la condition supplémentaire par / 1^^ : enfin (E ) est le cas-limite correspondant à r ou / infini. Voir notre article sur ce sujet dans les AnnaJea de la Société scientifique de Bruxelles, 189i-18d5, t. XIX. 2e partie, pp. 189-190. Rien n*est plus facile d*aillcurs que d*étahlir une géométrie générale ana- lytique à quatre dimensions ou plus, c'est-à-dire caractérisée par une relation entre les distances de six points ou plus. - 34 — l = Qo; de même (R) ne donne (E), ou (R) ne donne (E') que si Ton suppose r =» x . XI LA GÉOMÉTRIE PHYSIQUE. « Nous avons vu que, si l'on se place à un point de vue purement rationnel, toutes les géométries, pouvant être con- struites sans entraîner de contradiction, ont une égale valeur, sont aussi vraies les unes que les autres. Mais on peut se demander à laquelle d'entre elles est conforme notre univers. Pour beaucoup, la réponse à cette question n'est pas dou- teuse : notre univers est euclidien. A cette affirmation sans réserve, il est d abord indispensable d'opposer une restriction à laquelle ne saurait contredire aucune personne nous ayant suivi jusqu'ici : du moment que le système de géométrie cher- ché no présente aucun caractère de nécessité, nous ne pouvons le connaître que par la méthode d'observation ; c'est unique- ment par des mesures que nous arriverons à déterminer le paramètre de notre univers, à supposer même que notre uni- vers soit identique à lui-même, ce que rien n'impose a priori. Dès lors, cette détermination ne pourra être faite qu'à un certain degré d'approximation, comme toutes les détermina- tions expérimentales (G. Lechalas, Éfude sur Tespace et le iemps, Paris, 18l>t>, p. 88^. -^ De plus, il laudra admettre que nous pouvons être pratiquement certain de l'invariabilité de nos étalons do mosuro quand nous les employons dans des endroits ditToronts, los autres circonstances restant les mêmes. Cela posé, voici comment Ion conçoit que Ion puisse déter- miner oxporimentalomont quoUo est colle des trois géométries idoalos qui corivspond au monde physique et trouver la valeur dos constantes riomannionno ou lobatchofskienne , le cas ^*hoant . Kn pratiquo. un til tondu très tin ivaliso aut;mt que possible — So- le concept général de la droite et nous permet de constater jue les arêtes de tel corps solide sont des droites, que certaines surfaces sont des plans, etc. On peut donc construire des instruments de mesure élémentaires, par exemple, des règles divisées, au moyen desquelles on pourra estimer et comparer des distances. On pourra aussi tracer des figures géométriques sur un plan, par exemple, des triangles rectangles isoscèles. Suppo- sons, en premier lieu, que Ton ait trouvé, pour im pareil triangle que rh}T)oténuse est égale à | fois le côté. On en x)ncliu'a aisément que cette figure est riemannienne ; car on peut déterminer une valeur réelle x ^=\n qui vérifie la rela- tion (R), mise, dans le cas actuel, sous la forme cosa? coso? = cos I X, V désignant le rapport du côté du triangle à la constante riemannienne, tandis qu'il n y en a aucune qui vérifie les rela- tions (L) ou (E), comme Ion peut s'en assurer. La constante riemannienne sera égale au côté multiplié par (4 : tt). En second lieu, si Ton a trouvé un triangle rectangle isoscèle où le rapport de Thypoténuse au côté est égal à (2195 : 1469), ^n en conclura que cette figure est lobatchefskienne, car la relation (L), mise sous la forme l)ù X désigne le rapport du côté à la constante lobatchefs- kiennne est vérifiée à peu près par x = |/2, tandis qu'aucune i^aleur réelle ne vérifie les relations (R) ou (E). La constante lobatchefskienne est égale au côté multiplié par V^2, à peu près. En troisième lieu, ^i Ton a un triangle isoscèle où le rapport de l'hypoténuse au côté est égale à 1/2, on en conclura que celte figure est euclidienne, car la relation (E) est la seule qui soit vérifiée dans cette hypothèse. — 36 — Mais, à vrai dire, ce dernier cas ne se présentera jamais puisque Ton ne peut mesurer exactement deux longueurs dont le rapport est le nombre incommensurable i/2. La valeur approchée de 1/2 est 1,41421 35623 73... En pratique, on peut trouver pour les valeurs du rapport de Th^^oténuse au côté d'un triangle rectangle isoscèle des valeurs approchées de 1^2 ; par exemple, des valeurs trop petites : 1.41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ; etc. ou des valeurs trop grandes : 1.42 ; 1,415 ; 1,4143 ; 1,41422 ; etc. Dans le premier cas, on trouvera que le triangle est rie- mannien ; dans le second qu'il est lobatchefskien ^). Mais quel que soit le degré d'exactitude des mesures effectuées, jamais on ne trouvera 1^2 pour le rapport cherché : il est donc impossible de prouver expérimentalement qu'un triangle rectangle isoscèle est euclidien. Cette conclusion s'étend à une figure quelconque composée d'un certain nombre de points dont on mesure les distances. Ces distances, n'étant jamais connues que d'une manière appro- ximative, peuvent bien vérifier à peu près la relation (El ; mais, on peut toujours supposer aux paramètres r et Z qui entrent dans (R') et (L'] une valeur assez grande par rapport aux distances mesurées pour que celles-ci vérifient avec une exactitude tout aussi grande les relations (R') et (L'). Il est donc impossible de prouver* que la géométrie physique est euclidienne, même si elle Vesi réellement. En lait, dans la partie de l'univers accessible directement ou indiretnement à nos mesures, la géométrie physique est *) Pour d^iuontrt^r ces assortions, on prouve. |>ar l'analyse infinitésiiiialfl^ le théorème suivant : Tu triangle rectangle isoscèle est riemannien, eucIidieD ou lobatchefskien suivant que le rapport de rhypi>tènuse au côté est inférieur égal ou supérieur  \ i' — 37 — approximativement euclidienne. Toutes les distances mesurées vérifient avec une approximation très grande la relation (E) ou des relations non euclidiennes (R), (L') qui n'en diffèrent pas pratiquement. Notre imagination est aussi très approximativement eucli- dienne, si Ton peut ainsi dire. Mais certaines illusions d'optique que les mesures et la raison corrigent aisément paraissent au premier abord d'accord avec les géométries non euclidiennes : P Deux longues allées parallèles d'arbres nous donnent l'image de deux droites lobatchefskiennes asymptotiques. 2** Si nous suivons du regard dans l'azur du ciel deux directions émanant d'un même point de l'horizon, nous aboutissons, à la fin, en un point opposé de l'horizon, comme si nous avions suivi deux droites riemanniennes *). XII LA MÉTAGÉOMÉTRIE ET LE KANTISME. Euclide a défini, il y a vingt deux siècles, dans ses Éléments, les notions fondamentales de la géométrie : le point, la droite, le plan, etc., avec une précision suffisante pour qu'il ait pu en déduire logiquement la partie générale de la science de l'es- pace. De plus, dans ses postulats 5 et 6, il a, en réalité, ])articularisé la définition de la droite de manière à pouvoir démontrer les principes spéciaux de cette partie de la géomé- 1) ** Reid a montré que si rhomme était réduit au simple sens de la vue, en pouvant dès lors connaître que retendue superficieUe à deux dimensions, et prenant pour des lignes droites ce qui serait réellement des arcs de grands cercles tracés sur une surface sphérique dont le centre serait dans son œil, les triangles qu*ils considéreraient comme rectilignes pourraient avoir deux angles ou même leurs trois angles droits ou obtus, et que la géométrie d'un Ael homme serait toute différente de la nôtre, deux de ces lignes qu*ll pren- drait pour droites se rencontrant, par exemple, toigours en deux points, en sorte que la notion de deux droites paraUéles serait contradictoire pour lui ,. Ampère, Essai sur la philosophie des sciences. Première partie (2e éd. p. 64). — 38 — trie générale qui porte maintenant le nom de géométrie euclidienne. Lobatchefsky, Riemann et leurs continuateurs ont créé de même les deux autres branches de la géométrie générale : la géométrie lobatchefskienne et la géométrie riemannienne. Les trois branches de la métagéométrie sont des sciences rationnelles, composées de propositions qui se démontrent sans recourir à l'expérience, par simple analyse, rapproche- ment et comparaison des concepts fondamentaux. Ces propo- sitions sont donc des jugements analytiques, pourvu que Ton donne à ce terme le sens traditionnel de propositio per se nota, et non le sens kantien de jugements identiques ou quasi iden- tiques. Du caractère analytique des propositions géométriques, résulte la valeur apodictique des trois branches de la métagéo- métrie et la possibilité de se servir de chacune d'elles, pour démontrer des propositions d'analyse pure. Ainsi, au moyen de la géométrie euclidienne, on a pu établir la trigonométrie générale, c'est-à-dire la théorie des fonctions sinus et cosinus, que l'on peut aussi exposer directement sans recourir aucune- ment à la géométrie. La théorie des sinus et cosinus a pu être ensuite utilisée pour étudier la géométrie lobatchefskienne et la géométrie riemannienne, de manière qu'en apparence, mais en apparence seulement, celles-ci semblent s'appuyer néces- sairement *sur la géométrie euclidienne. La géométrie physique, au contraire, est une science d'ob* servation, où l'on recourt à la géométrie rationnelle comme auxiliaire. C'est l'observation qui permet de conclure que les distances physiques, dans la nature, vérifient très approxima- tivement la relation (E'), ou les relations (L'), (R'), r et tétant extrêmement grands ; autrement dit, c'est l'observation qui nous apj)ren(l que la géoméî rie physique est une géométrie à très peu près euclidienne, et à trois dimensions. Au point de Mie logique, cette dernière proposition est donc unjugetnent — 39 — empirique, ou si Ton veut employer une autre terminologie un jugonerU synthétique a posteriori. Dans la première édition (1781) de la Kritih der reinen Vemunft, puis, sous une forme plus développée, dans la seconde (1787), Kant a émis sur la géométrie et l'espace des vues qui sont en complète opposition avec ce qui précède. Comme on Ta remarqué (Milhaud, Kant œmme savant, dans la livraison de mai 1895 de la Revue philosophique de Ribot, pp. 482-510), Kant n'avait pas de connaissances scientifiques sérieuses. ** 11 a touché à de nombreuses ques- tions, mais en philosophe plutôt qu'en savant et en philosophe préoccupé surtout, à la manière antique, d'assurer les fonde- ments à piHori de la science. Après Newton, après les savants du xviii* siècle, Kant ne semble pas de son temps. Ses vues parfois ingénieuses ont un caractère trop vague. On sent qu elles ne se forment ni au contact des faijs, ni même au contact des connaissances mathématiques de l'époque. Elles restent pénétrées de quelque naïveté, malgré les apparences de la forme savante et elles font plus songer à certaines théories d'Aristote ou même des Ioniens qu'à Euler ou à Newton (pp. 502-503). r^ Mais Kant avait appris et enseigné les mathématiques élémentaires et il avait été frappé du caractère universel et nécessaire de leurs propositions. Sa profonde conviction de leur certitude apodictique d'une part, l'impossibilité où il se trouvait, d'autre part, de les ramener à des jugements analy- tiques, à cause de la manière étroite dont il concevait ceux-ci, le conduisirent à faire des mathématiques (puis de la méta- physique elle-même) une science absolument subjective. Les propositions fondamentales des mathématiques et, en particu- lier, de la géométrie, dénuées de preuves proprement dites, par hypothèse, mais auxquelles la raison adhère nécessaire- ment, sont appelées des jugements synthétiques à pHori pour les distinguer des jugements synthétiques à jjos(eHo7n ou propositions empiriques, dans lesquelles l'attribut exprime — 40 — • quelque qualité contingente du sujet *). L'espace, pour Kant, eut une représentation nécessaire à p-iori, qui sert de fonde- uwm H toutes les intuitions extérieures et est la cause de là (certitude apodictique de tous les principes géométriques. La môtagéométrie est en contradiction radicale avec cette concoi)tion de l'espace comme représentation nécessaire à jtriori. En effet, la métagéométrie implique l'égale possibilité d'un noml)ro indéfini de géométries diverses, la géométrie euclidienne (ral)or(l, puis toutes les variétés de géométries non euclidiennes corresj)ondant à toutes les valeurs imaginables des paramètres r et /. Comment la conception kantienne de l'espace pourrait-elle donner à la fois à l'entendement toutes les géométries diverses comme représentation nécessaire à jmovi t C'est manifestement impossible. La métagéométrie n'est pas moins en opposition avec les vues que Kant avait sur resj>ace jusque vers 1769, quand il admettait encore, avec divers philosophes, que l'espace était une n^alité extérieure, existant indépendamment des objets. Oans 00 systt^mo, comme aussi dans celui où la géométrie '\ Kant Xi^ cite explicitement qu'un tK's petit nombre de ces prétendus juiri^ments synthétiques à priori relatifs à la gr^miêtrie : Dans un triangle un c^>t«^ est plus |H«tit que la Si>mme des deux autres : Tespace n*a que trois dimensions ; deux driMtes ne peuvent enclore un espace, etc- La première «)e ces pn»|H^tions est, en rt^litê, un jiurement analytique appartenant à la lMS>motrie rationnelle. d^Hit nous avons esquiss^^ la démonstration, au $ V, d^apK^s Kuclide : la s*y>mde appartient à la géométrie physique et est un jttlEremet^t >ynt Indique à pivefeW«>i*i ; la tn^isième est le postulat 6 d^Eodide, qtii équivaut à une «1t'finitii>n c^^mme ni>us rav«\ns dit au $ IX. Sur ee postu- lat 1^ Kant parie d'aUvr^i avec Texactitmte d'un «M>i>mètre riemannien : * So M fcrf» U ti^r«>c^^«trà r»>i«icv. twrtJ^ II. \ n<* 4 !.. puissent système rcntnJne à Afkm\€*T exAcitrwni V c»>ntniire. Fn ph>%iqm\ Kant cite onnnie jugements '«^>r.thi-îï.'';>c^ ^ iw,,*x la k4 de la c»H^stAnv>c *ie la massr et celle de rêgniité «V Va^'-ls^. iM «W îa nf«ctKMi. de«i\ principes ti«^nt nt^ns dtHitons iurt qaH 'CssuTii^ V >aen^ precîs eî ^w j^wit des j^pefne»t> >\ut>Hf'tJqT>es à ptitieHorL ~ \.«»w^ |w>«>«.*n^ ^e î.*B< W .'^ucement^ sx-nlheti^nes a p^nri ée Canlae ,-^vMi^: vUtî^ ''utm' .••!; Vav!re de cy^ caï«>ç^^ries ; 3<> i^Xulats qm snal d^ré^ï; Nv:^ ^>c*;r^^^ *îe> ;iice«rNrsnî> ana^l^piï^v a>k^««f^ ^^j»qçvTïv«''s syT>îWîïCtNr«^ A rv*!9»y*'*/» -» d,^7ïî T. T. "a |«as la TMkttjnr ^miurHpff — 41 - serait une science purement empirique, l'existence de trois systèmes de géométrie rationnelle est aussi inconcevable que dans le système de la KiHtik dei^ reinen Veimunft. Enfin, la métagéométrie permet encore de répondre par un argument ad hominem à la première antinomie de* la raison pure : Le monde est à la fois fini et infini dans Vespace. Si même le raisonnement de Kant était rigoureux, si la contra- diction qu'il signale ne venait pas uniquement d'une confiision entre l'espace réel et l'espace idéal, il suffirait, pour lever toute difficulté, de remarquer que Kant suppose implicitement dans son exposé que le monde est euclidien. Or, s'il était riemannien, l'antinomie n'a plus de sens : en droit et en fait, le monde serait fini. Quand on réfléchit à la suite des idées qui ont conduit Kant à son système, on arrive à cette conclusion développée par M. Milhaud dans l'article cité plus haut: « Le point de départ le la critique de la raison pure est la constatation toute naïve lu caractère nécessaire et universel des jugements mathéma- tiques y* (p. 509). Le subjectivisme métaphysique de Kant semble être sorti de son subjectivisme mathématique ; il y a ?n léte de la Kintik der reinen Veimunft l'affirmation d'une espèce à'impà^atif géométrique pour employer une heureuse expression de M. Lécha las. La métagéométrie, en montrant l'inanité des idées de Kant sur l'espace, a donc ruiné, par la base, la métaphysique du 2riticisme comme nous le disions dans l'introduction à cet Dpuscule ^). 1) " Hat nun Helmholtz Recht und is das Kaiit*sche Fundament falsch, so fUlt damit auch der Inhalt und die Méthode welche hieraus gewachsen ist ; dann ist femer die jahrhunderUange Richtung der deutschen Philosophie eine verfehlte „ R. Krause. Kant und HehnhcUs ûber deti Ursprung und die Bedeutung der Raumsanschauung und der geomelriseken Axiome (Lahr, 1878; d*après Hoppe, Archives de Grunert, Litt. Ber. S49, pp. 7-11, tome 63, 1878). Helmholtz est cité ici comme le représentant de l'origine empirique des postulats. APPENDICE. LA GÉOMÉTRIE COMME PHYSIQUE MATHÉMATIQUE DES DISTANCES. Leibniz a défini la ligne droite de la manière suivante : La droite est le lieu des points iimnobiles d*iin corps qui se nxeui, deux de ses points étant fixes ^). . • Cette définition de la droite, sans être modifiée essentielle- ment, peut être mise sous une forme plus maniable, si Ton y introduit la notion de distance ou d'intervalle de deux points, en entendant par là un nombre qui caractérise ce couple de points. L'origine expérimentale de cette notion de distance est connue de tout le monde : certains solides nous paraissent invariables et nous disons que deux de leurs points sont à telle ou telle distance, quand nous pouvons porter entre ces points une règle divisée supposée elle-même invariable, ou les parties de cette règle, un nombre minimum de fois ; ce nom- bre est la mesure de la distance ou simplement la distance des deux points. Cela étant posé et en regardant la notion de distante comme une notion première, Cauchy a défini la ligne droite de la manière suivante : La ligne droite AB est une ligne telle que chacun de ses points est distant de A et de jB, coimne ne l'est aucun des points de F espace. Tout point H extérieur à la droite est tel, au contraire, qu'il y en a au moins un autre K qui est distant de A et de B comme l'est H. ^) Sit corptis aliquodfCujus duoputicta sint immola et fixa,ip8U9n corpus nihilominus moveatur, tutic omnia punda corporis quiesceMa imei' dent in redam quae per duo punda fixa transit. Œuvres math, de Leflmii, éd. Gerhard!, V, p. 137 (Citation empruntée à Cantor, QeschicMe der MaOnt^ matik, III. c. 83, p. 3:2). - 43 - Cette définition est équivalente à celle de Leibniz : en effet, quand on fait tourner un corps contenant à la fois les points A, B, M, H autour des points A et B supposés fixes, il est clair que si M est sur la droite AB, il reste immobile par définition, tandis que H pourra venir prendre une autre position K. La définition de la droite de Cauchy, bien qu'identique au fond à celle de Leibniz, a sur celle-ci l'avantage de conduire naturellement à une définition analogue pour le plan. Pour Caucby, un plan ABC est une surface telle que chacun de ces points est distant des points A, B, C, non supposés en ligne droite, comme ne test aucun auti^e point de l'espace. Tout point H extérieur au plan est tel, au contraire, qu'il y en a au moins un autre K qui est distant de A, de B et de C, comme l'est H. Considérons trois points A,B,M situés sur une droite et un point H extérieur. Si, A et B étant fixes, on fait tourner un corps dont A,B,M,H font partie, de manière à amener, par exemple, H en K, le point M, d'après la définition de Leibniz, restera immobile. Par suite, on peut dire que le corps tourne autour de AM, ou de BM, au lieu de dire qu'il tourne autour de AB ; autrement dit, la droite AB est identique à la droite AM, ou à la droite BM, si M est sur AB. On peut exprimer la même chose, en introduisant dans ce qui précède la notion de distance, c'est-à-dire en recourant à la définition de la droite due à Cauchy, de la manière sui- vante : admettons que pour tout point X, deux des distances XA, XB, XM a^ix poi}its A, B, M d^une droite, déterminent la troisième (Proposition A). Si X est un point H extérieur à la droite AB, il existera un-point K tel que KA = HA, KB = HB, et, par suite, KM ^ HM. Mais les relations KA = HA, KM = IIM expriment que H et K sont extérieurs à la droite AM ; de même KB = HB, KM = HM expriment que H et K sont extérieurs à la droite BM. Tout point extérieur à AB est donc extérieur à AM et à BM ; la réciproque étant vraie d'ail- leurs, AB est identique à AM et à BM. — 44 — Les considérations précédentes s'étendent au plan. Soit un plan déterminé par trois points A, B, C ; M un quatrième point de ce plan. Admettons que, po\ir tout point X, trois des distayices XA, XB, XC, XM déterminent la qiuxtiHènie (Propo- sition B). Si X est un point H extérieur au plan ABC, il exis- tera, d'après la définition du plan due <à Caucby, un autre point K, tel que Ton ait KA = HA, KB = HB, KG = HC, et, par suite, KM = HM. Cette dernière relation, avec deux des précédentes, exprime que H et K sont extérieurs, soit au plan ABM, soit au plan BCM, soit au plan CAM. La réci- proque étant vraie, ou en conclut que les plans ABC, ABM, BCM, CAM sont identiques. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant : Une droite MN est contenue toute entière dans le plan ABC qtd contient les points M et N (Proposition C). En effet, d'après ce que l'on vient de voir, le plan ABC est identique au plan ABM, qui est lui-même identique au plan AMN. Soit H un point extérieur au plan ABC ou AMN. Il y aura, d*aprèsla définition du plan de Cauchy, un second point K, tel que Ton ait KA = HA, KM = HM,'^KN = HN. Cries deux dernières égalités expriment que K et II sont extérieurs à la droite MN. Tout point extérieur au plan ABC étant extérieur à la droite MN, celle-ci ne peut avoir aucun de ses points en dehors du plan, elle y est donc contenue toute entière ^). La proposition C est donc une conséquence des propositions A et B. Quelle est la nature de celle-ci ? Sont-elles une consé- I) Les définitions données par Euclide pour la droite et le plan sont croyons-nous, le résumé de considérations analogues à celles que nous venons d'exposer ; au moins ces définitions, si obscures au premier abord semblent susceptibles d'une interprétation littérale d*accord avec ce qui précède. — Gauss, dès 1829, dans une lettre du 27 janvier, adressée à BesseL a critiqué avec raison la définition du plan donnée par Legendre : *Lt définition du plan, dit-il, comme surface qui contient toute droite qui y « deux de ses points, contient plus de conditions qu'il n'en faut pour déter- miner cette surfece. Elle implique donc un théorème qui doit être préalable- ment établi. „ quence de la définition de la droite et du plan dues à Cauchy ; ou bien sont-elles des postulats à ajouter à ces définitions, pour caractériser complètement la droite et le plan ; ou enfin, ces propositions sont-elles incompatibles avec ces deux défi- nitions i On peut répondre partiellement à ces questions de la manière suivante : En admettant la proposition C, ou les propositions A et B, d'où Ton peut la déduire, on trouve, comme nous l'avons dit au § X, dans chacun des trois systèmes de géométrie, une relation entre les dix distances de cinq points' quelconques. On peut obtenir de même une relation entre les six distances de quatre points d'un plan, et une relation entre les trois distances de trois points d'une droite. Réciproquement, de ces relations, qui ne présentent rien de contradictoire, on déduit aisément par l'analyse, soit la proposition C, soit les propositions A et B ; ces diverses propositions sont donc compatibles entre elles et la troisième hypothèse faite plus haut est ainsi écartée ; autrement dit, les propositions A et B sont des conséquences des définitions de Cauchy, ou elles en sont le complément. On ne peut d'ailleurs, de cette manière, savoir quel est celui de ces deux derniers cas qui se présente. Mais on peut aller plus loin. Une fois qu'on en est arrivé à se servir, comme nous venons de le faire, des relations qui caractérisent respectivement l'espace à trois dimensions, le plan ou espace à deux dimensions, la droite ou espace à une seule dimension, on est conduit logiquement à admettre complètement le mode d'exposition de M. De Tilly et à regarder la géométrie comme la physique mathématique des distances. Dans ce mode d'exposition, la distance de deux points, définie comme nous l'avons fait plus haut, devient la seule notion fondamentale irréductible de la géométrie. On en déduit la notion des figures égales, si diflScile à préciser d'une autre manière ; puis, par l'intermédiaire des ^relations — 46 — qui caractérisent la droite, le plan et Tespace à trois dimen- sions, la définition des longueurs, des aires et des volumes ; enfin, la géométrie toute entière, sans recourir à aucun postulat, mais sous trois formes différentes, euclidienne, lobatchefskienne et riemannienne. L'exposé élémentaire de la géométrie générale, tel que nous l'avons esquissé d'après Euclide, Lobatchefsky, Riemann et leurs continuateurs, dans les §§ III à X, conduit aux relations caractéristiques entre les distances de trois points d'une droite, de quatre points d'un plan, de cinq points d'un espace à trois dimensions. Réciproquement, l'exposé analytique de M. DeTiUy, qui part de la notion de distance et des relations dont il vient d'être question, permet de retrouver tous les résultats de l'exposé élémentaire, et prouve, par suite, que les définitions, les postulats et les axiomes qui sont le fondement de cet exposé élémentaire sont compatibles les uns avec les autres. Réunis, l'exposé élémentaire et l'exposé analytique, constituent donc un système complet de géométrie générale, absolument inattaquable au point de vue de la rigueur. N TABLE DES MATIÈRES. I. Préliminaires 1 II. Esquisse historique 2 III. Les définitions et les quatre premiers postulats . . .8 IV. Le cinquième et le sixième postulat. Les trois géométries . . 10 V. Vingt-six propositions élémentaires communes aux trois géo- métries 12 VI. Propositions communes à la géométrie euclidienne et à la géométrie lobatchefskienne 15 • VII. Propositions caractéristiques de la géométrie euclidienne et de la géométrie lobatchefskienne 20 VIII. Propositions caractéristiques de la géométrie riemannienne . . 2!) IX. Résumé. Vraie nature des postulais 5 et 6 2K X. Esquisse des principales propositions de la Métagéométrie. Indémontrabilité des postulats 90 XI. La géométrie physique 94 XII. La Métagéométrie et le kantisme 37 Appendice. La géométrie comme physique mathématique des distances 42 Extrait de la Revue Xéo-Scolastique, mai et août 1896, t. III, pp. 14^170, 242-259. Louvain* - Typ. Polleunis et Ceutcrick MATHESIS MATHESIS RECUEIL MATHEMATIQUE L'USAGE DES ÉCOLES SPÉCIALES ET DES ÉTABLISSEMENTS D'INSTRUCTION MOYENNE P. MANSION PUBLIK PAR BT J. NBITBBKO «■ éléTe de r£cole normale des sciences, sCessear ordinaire à l'Université de Gand, Membre de l'Académie royale de Belgique, etc. Ancien èlAre de r&oole nonnalc des scisacst, Professcar ordinaire à l'UniTersité de Liège, Correspondant de l'Académie rojrale de Belgique, etc. AVKC LA COLLABORATIOR DE PLUSIEUBS PROnSSBUKS BEL0E8 R illAVOnS. Ot piciurm matkaUt Ph. BxSTOIIé DEUXIÈME SÉRIE. TOMB Vn. — ANITÉE 1897. (tous XTII Dl LA GOLLICTIOH.) GAND D. HOSTE . ÉDITEUR IMPRIMBUR-LIBRAIRE 47, RUB DES CHAMPS, 47 PARIS GAUTHIER-VILLARSAFILS IMPRIMEURS-LIBRAIRES 55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTlNSy 55 OAND, IMPRIMERIE C. ANNOOT-BRAECKMAN, AD. HOSTE, SUCCESSEUR 1897 B. n. Bulletins de TAcadëmie royale de Belgique. C* 11* Comptes rendus de TAcadëmie des sciences de Paris. N. A. M. Nouvelles Annales de Mathématiques (depuis 1842). C 0. Q. Correspondance physique et mathématique, fondée en 1825 par Gabnibi otQuRTiLBT, continuée par Qubtklbt. N. (-* M. NouToUo Correspondance Mathématique (1874-1880). J. M. B. (ou J. M. S). Journal de Mathématiques élémentaires (ou Journal de Mathématiques spéciales), fondé en 1877 par Bourgst, continué ptr 0. DB LONQCHAMPS. I. M. Intermé, \\h S27<33â si^niirte ; Peuiiômo série, tome troisième, pages 8S1 à 3SS. UNE CODRBE OUBLIÉE, La ooncholde da R. de Sluse; p«r M. GiNO IxiHiA, profesBeur à la Faculté des sdeoces de Gêne» {Italie). Pwmi les courbeB du troisième ordre qui passent par les points circu- !«Jri!s k l'iofiDi, il ; en a une ayant un axe de STmétrie qui a échappé à la généralité des géomètres jas- ..qu'au moment où l'on publia la I oorreapondance entre R. de Sluse I «t Ch. Hujrgens (•). C'est celle L qu'on appelle eonekoïdi slutienne V*i que l'inventeur construisait somme il suit : « Étant donnés un poiat O, une droite r el une con- mte k*, on tire par O une droite krbilrair« qui coupe r en M et on portd sur OM â partir de M et » U direction OM un segment ' tel qu'on ail OM.Mr = i'; 1 des points P est une conchoïile 3lusieone(*') ». Si l'on prend e pôle O et comme axe polaire la perpendioulaîre menée par O ^ r cKHuéquent, l'équation polaire de la courbe est W^ C. La Paige. Corrttponàanet dt Btné-Fra*Ç9it dt Sluu etc. (Bulleltlno di ■falioipsaa B di Storia dallf Sdeoie mitemaliclie, T. XVII, ISB4, p. IS'I-CSt ^1**^ Voir U Uttre dn ^Ium & irujrgoo» An l> ocrobr» laït, jiabliii» T. IV, p. 948 p nmplélet de ÇA nuygmt (La Hayo. 1891], — 6 - et son équation cartésienne : (1) a{x — a) (a?' + y*) = h}x\ Si Ton porte le segment — - à partir de M dans ladirection MO eaMP', OM le lieu des points P' aura pour équation (1') fl (a? — a) (0' + y») = — k*x' ; il n*a plus, comme la courbe (1), la forme d'une conque. Toutefois, comme Péquation (1') peut se déduire de (1) en changeant la cons- tante positive V dans la négative — V, il est naturel de considérer (1) comme Téquation générale des oonchoïdes slusiennes lorsque k est une constante réelle ou purement imaginaire. Pour obtenir une construction de la courbe plus pratique que celle qui a été proposée par R. de Sluse, considérons le lieu des points N tels qtt*on ait OM.ON = A», 0» M| N étant trois points d*une même droite. Ce lieu est le cercle F qui a pour centre le point G f — » 0 ] et qui passe par Torigine ; sur chaque t9^n Tooteur partant de 0, Ton a ON — MP=-PM'. • I>ono : € étant donnés un c^^ile F, un point 0 sur son contour et une droite r parallMo i^ la tangente au point 0, on tire par 0 une droite arbi* traire qui ooupo la droite en M et le cercle en N; sur cette droite on |K>rto À jvartir do M toujo irs du oôtê de 0. ou bien du côté opposé MP*, MP ■=« ON : lo lieu dos (HÙnts résultants est une conohoîde slutftto vvurbe, r est une asvmptote d'inâexion. tandis que O est an |Knnt doublo ; les t;ingi>nte4 oorrespv^ndanies étant représentées par Féqna- tivMt v^*' "T J^*^ •^' -1~ ,t • = 0, le p^nni 0 est toujours un point isolé si l*> 0; dans le oas où i* < 0, il est un nv\*ud, un point de rebroassenkent v'^u un point isoU suivant qu'on al' suivrieur ê^ ou inférieur — «•. 8i Von vvmVine Fêquauon ^ l> avec jr = î x, on arrire à représefiier la v\>ttoiiv^uîe jvar 4es deux ê«4uations suivantes : \-^ - ^ -r-_. ..v^ jr='aA — «a j^i}\ ' « 1 -^iM — 7 — Il 8* ensuit qtio la condition pour que les trois points de la courbe qui correspondent à A =a a, j3, y soient sur une même droite est : (3) Py + y«+«|3»«i+i!, et que les deux points d'inflexion que la courbe a à distance finie (^) correspondent aux valeurs de A qui sont racines de l'équation • a» + r û>* = — : ces points — qui sont réels seulement si a* -f- ^* > ^» c'est-à-dire pour les courbes douées d'un point isolé — ont pour coordonnées (4) ^_4a(a» + A->)^ ^_^ 4(a« + l«)ï 4a« + *• ' (4a» + *•) v/3 Or, si l'on élimine k* entre ces deux relations, on obtient l'équation (5) « (a?» + y*) =« 4tfy» qui représente le lieu de tous les points d'inflexion des conchoïdes qui ont en commun le point double et l'asymptote d'inflexion; ce lieu étant évidemment une cissoïde de Dioclès, on peut conclure le remarqua- ble théorème que R. de Sluse a énoncé dans la première de ses lettres qae nous avons citées. Des équations (2) l'on tire, par un calcul facile, la condition suivante pour que quatre points qui ont pour paramètres a, |3, y, d soient sur un cercle : (6) a«((37d + «7<î + «(3<î + «P7)-(«' + *')(« + P + y + d) = 0 d'où l'on peut aisément tirer plusieurs conséquences. On trouve ainsi que le cercle osculateur à la courbe au point À, la coupe en un point A' déterminé par l'équation (7) a« (}.» + 3/« /') — (a* + V) (3A + A') = 0 ; intersement, par un point quelconque de la courbe passent trois cercles osculateurs, Us trois points d'oscuîation se trouvent sur un même cercle avec le point d'où l'on est parti. Semblablement : à chaque point de la (*) Ces points ont été troutés par Huyf ens à ce que dit de Sluse dans sa let« tre du 12 Janvier 1663 (Œuvres ds Eujfçens^ toi. cité, p. 292). — 8 — oourbe correipondent deux cercles bitangenU : Tun a son centre sor Taxe de symétrie (c*est ce qu*on pouvait prévoir), Tautre a avec la courbe une corde do contact dont l'enveloppe est de la quatrième classe, etc., etc. Cela suffit, selon nous, pour prouver que la eonchoïde slusienm «s mérité pai Voubîi dans lequel on Ta laissée. Ûônas, 5 dëcembra 1800. NoTK. La eonchoïde slusienne est une podaire de parabole, le pôle étant sur Paxo. Elle admet une génération analogue à celle de la cissoide, la tangente au cercle directeur étant remplacée par une parallèle à cette droite. On peut Tongendror mécaniguement au moyen d*un inverseur. Nous pourrons revenir sur cette courbe. (J. N ). ^^DÉVELOPPEMENT DE V'^x EN FRACTION CONTINUE par M. A. Boutin. Quand on réduit \y^x (w, entier) en fraction continue, les quotients incomplets forment une suite périodique; le premier quotient a est |/â? à Tunité près par défaut, et ne se reproduit pas; la période commence au second terme et se termine par 2a. On a 1 l > = « + Noui pi>sei\^uf » pour simidiôer récriture : Lu» ubleau suivant donne, pour le^s: !200 pn^miers nombsres, « et U IMT^BÙ^fv» (v^rivxi^ des quotients incomplet. I t — ^K^); ^»— ,K1,2>: i> = (2.4^: | •--*;?, 2, 4-; I f «=iV, l, l, K4 ; l »= e, 1,4^; l t# = Ov^. o: I 14-= ci, 1. :?. Uô': I •*-- ,3.1,0»; \ il = 4.> ; I t«-. 4, 4.s<; l !•= 4.:?. I. 3. L :?. S ; l «• = »4. 2, 8»; I «t — v*^ 1^ l^ :^* - ^ > *^ » «%=..!, K ?. 4.::\ :. S : l 1M ^ 4. I 3. :. < . V «4 = ,4, K S ; | «€ y. 10; ; I 9t - :v X 10 . l t* = ,3^ 3. e. ;<. 10 ; 1/44 = l/4ê = 1/48 = l/&t = l/'»S = l/S» = |/»» = ^/•» = |/'6t = !/•• = l 71 = 1/7» = V/»t = V/8» = V/8# = i/9H = [/— = V/«« = /•4=. ^/•» = l/«7 = l/9fi = V/tO« |/l04 V/IOC V/t#7 (5 (5 (5 (5 (6 (6 (6 (« (7 (7 (î (7 (î (7 (8 (8 (8 (8 (8 (8 (8 (9 (9 (9 (9 (9 (9 (9 (9 = (10 = (10, = (10 1 1 4 2 1 1 1 4 3 2 1 1 1 1 5 3 2 1 1 1 1 9 3 2 o 4 - 14^ — tM^ — %>% - « I I ^(10, 2, 3, 1, 2, 4, 1,6,0, 1, 4, 2, 1, 3, 2,20); '(H), 2, 20); l/if f -.(10, 1, 1, 6, 1, 1, 20); (10, 1,1,2,1,1,20); 1/1I4«(10,1, 1,1,2,2.1,1,1,20); (10, 1,2,10,2,1,20); (10, 1.2, 1.1, 1, 1,1,2,1,20); (10, 1,;*, 2, 1,4, 1,2,3,1,20); .(10, 1.1,2,4, 1,20); (10, 1.5. ;J, 2, 10,2.3,6,1.20); (10, 1,0, 1,20); l/ifO — (10, 1,20); (II. 22); i/lt4e=t» (11, 11,22); (11,7.2. 1, I, 1.3, 1.4. 1,3, 1, 1,1,2,7,22); (II. r». I, I. 5. 22); l' •«6-»(ll,4, 2, 4, 22); Ol.i^t>. î».-')î /•W-'-(ll,2, 1,3. 1,6, 1,3, 1,2,S2); in.V\2,S2); I '141 -(11.2.4, 11,4,2,22); (11,2.2?); (U, K 1,7, 5, 1. K 1.2» 1, 1, 1.5, 7, M. 22); OU K 1.2, K3, l. 10, K3. 1,2, 1. 1.22): ilU U K l. l. l. K 1.22): | 144 -= (11, 1, 1, 1, 22); *IK l.V\2, L 1.2. 2. L22h l 1411 = vlK 1.^, 1,22); k\\. \.^. l..\T. K 1. 2, II, 2. K 1, r, 3, 1,3. 1,22); ,1UK4. K22: I 141 * lU^ K<>. 1 2^'^: ,n,KUVK22U \ Iâ4-*,IK 1,22>; OX\XM\ I ti4 -- J2, U\ 21^: | 14? =* il2, 8, M); vlX\ tv ^4 ; I 144 -- vl2. 4, 1,5. 3. 3, 5, 1, 4, 24)i il^ 4,XH : ,U\ ,^. X\ :. 1,.^, 4. K U K IL U M,4..^, 1,7,2,3,84); :x\ ,^. X'4\ \ ^^^4 U\ X\ K X\ ::, X\ î, X\ ^4i: " o v'^ ',^ ^ > ^^ ^ ^ ^^ >•> ■^^J^. ,^ v^ » ■x >. » ^ n ^ 1 t V Mt% • X ■ « ^ s ■• X • X s «^W « » ^ . X ^ , ' X . ^ . * * . * . »^. •. *- %» «.^^ XX ■» > X », *L- s . ^ », X ■« ^». ^» . » X ^^^ ■> ■\ XX ^ . X-. > X. .X*. X -s X. X ». x^ «^«. X . x^. «X. *fc «xilx ,%',x,X Î4 ; X . % . X .V -V . . i*>; l/^tU4L = (12 l/te« =. (12 l/t#7 = (12 |/I70 « (13 |/l»«=(13 l/t7» = (13 1/1»* = (13 1/177 = (13 j/I»8 = (13 l/t»9 = (13 V/I»0 = (13 i/l8t = (13 l/t8« = (13 |/l84 = (13 I/I8* = (13 1/ I8« = (13 |/t89 = (13 I/I88 = (13 V/I»« = (13 l/^t9t = (13 p/tS« = (13 l/im» = (13 l/im4 = (13 l/tmn = (14 |/l«» =- (14 V/«00 = (14 - 11 - 1, 4, 6, 4, 1, 24); /iM « (12, 1, 5, 2, 5, 1, 24); 1,7.1,1,1,2,4,1,3,2,12,2,3,1,4,2,1,1,1,7,1,24); 1. 11, 1, 24); /!•« = (12, 1, 24); 26); /l71 = (13, 13,26); 8, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 6, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 8, 26); 6, 1, 1, 6, 26); 1/ 194 = (13, 5, 4, 5, 26); 4,2,1,2,4,26); l/t9#=. (13, 3, 1,3,26); 3,3,2,8,2,3,3,26); 2,1,12,1,2,26); 2, 1,1, 1,3,5, 13,5,3, 1, 1,1,2,26); 2,2,2,26); 2, 4, 1, 8, 6, 1 , 1, 1, 1, 2, 2, 1. 1 , 1, 1, 6, 8, 1, 4, 2, 26); 2,26); |/tM = (13,l, 1,8, 1, 1,26); 1,1.3,2, 1,2,1,2,3,1,1,26); 1,1.1,1,26); 1,1,1,3,4,3,1,1,1,26); 1,2,13,2.1,26); 1, 2, 2, 6, 2, 2, 1, 26); /ism = (13, 1, 2, 1, 26) 1,3,1,1,1,2,2,2. 1,1, 1.3, 1,26); 1, 4, 1, 1. 3, 2. 2, 13, 2, 2, 3, 1, 1, 4, 1, 26); 1,5,1,26); 1,8,3,2,1,3,3,1,2,3,8,1,26); 1, 12, 1, 26); l/l«* = (13, 1, 26); 28); |/«8 = (14, 14,28); 9, 2, 1, 2, 2, 5. 4, 1, 1, 13, 1, 1,4, 5,2, 2, 1, 2, 9,28); 7.28). Ce tableau permet de vérifier les propositions suivantes, dont quelques- unes sont bien connues : P Le dernier terme de la période est 2a, comme on Ta dit plus haut ; 2* Abstraction faite de son dernier terme, la période est symétrique ; 3* Si a et les n premiers termes de la période sont communs aux déve- loppements de i/x et de i/^x -f- il, que h et h' désignent respectivement, les premiers termes non communs; on a A > h\ si h et h' sont de rang impair dans la période ; h ^h\ si leur rang dans la période est pair. 4* l/«> + l == (a, 2a) ; 5* [/a^~-Ç2 == (fl, a, 2^^ î — 12 — 6« i/a» — 1 « (a - 1 , 1 , 2(1 — 2) ; !• |/a« — 2 — (a — l,l,a — 2, l,2fl — 2); 8« j/4a« + 4 — (2a, a, 4a) ; 9« y/Aa^^a^ (2a, 4, 4a) ; 10- j/4a' - a == (2a - 1, l. 2, 1, 4a - 2) ; 11- t^a> + a«»(a,2,2a); 12" l/^Ua» - 2a « (iia - 1, 1, 1, 1, 6a - 2) ; 13- |/9a>+10a + 3 = (3a+l. l. 2, 3a + I, 2, 1, 6a -f 2) ; 14«|/9a« + 8a + 2=»(3a4-l,2, 1.3a,l,2,6a + 2); 15- i^2hm^ — 14m + 2 = (5w — 2, 1, 1 , l,l,10m-4); 16- l.>^144a« -^ 127a + 28 = (12a - 6, 1 . 2. 2. 2, 1, 24a — 12) ; l> k^625a' -f 364a + 53 « (25a + 7, 3, 1, 1, 3, 50a + 14 ; 18* \ 36a» + 17a -f 2 =. (Ca + 1 , 2, 3, 2, 12a + 2) ; 19* l/26ii» — 2m =. (5m -1, 1, 3. 1, 10m — 2); 80* \/m^(pJ^ \Y~— « = (4m — 1, 1,2/?, 1, 8m — 2); SI* \ m'(2/>4-3)«-2ii^=[v2|hf3)m-l,l,2/)+l.l,2m(2/»+3)— 2]; «(4/»i + 2/»-|-i,2, 2il,2,8j)i+4p + 2i); 23* l ^5a» — 52a + -^ = ll5a - 2, 3, 1, 3 30rt - 1) ; 24* Quel quo »oit rentier i, oq peut toujours trouver une infinité de valeurs enUères de a, en progression arithmétique, et telles que s étant entier, on ait : j/jr«(a,3,i.3,2a); 25* r^tîOa + H)» 4- ^ + 5 = (20a + 11. 4. 2, 4, 40a 4- 22) ; 21^* à étant entier quelconque» à chaque râleur de i, on peut flaire cor- n^pondre une iuânitê de râleurs entières et en pr\>grx^ssion arithmé- tique de «i« de manière que jr étant entier» on ait : I X == vit, 4, 2i, 4, 2a ; 27* > et c é;ant de« entiers quelcoT^quec»* mais teU que pour c iapouir, k $uit obl^ratoiremeat impair* à chaque dètermiuaito:: ce I et c> oa p«>um âùre coneapoiuln» une ioiiBité de Taleurs À> a^ enùèrsa - 13 — ai an progression arithmétique^ de manière que a soit entier, et que Ton ait : l/a? = (a, J, c, J, 2tf); 28* |/(2a + l)' + 4 = (2a + l,a,l,l,a,4a + 2); 29- l/(29a + 1)« + 24a + 1 — (29tf + 1 , 2, 2 , 2, 2, 58a -f- 2) ; 80* k étant un entier arbitraire, pour chaque valeur de 1, on peut trouver une infinité de valeurs de a, entières et en progression arithmétique, telles que x soit entier et qua Ton ait : l/x = (fl, 2k, 2, 2, 2k, 2a)i 3f i/4 {8w + 2)» + 7w + 5 = {6m + 4, 1, 1, 2, 1, 1, 12m4-8); 32- l/(10m + 7)»+llw+8 = (10m + 7, 1, 1, 4, 1, 1, 20m + 14); 33* l/4(7m + 5)» + 15m + ll = (14«n+ 10, 1, 1, 6, 1, 1, 28f»-f 20); 34* l/lfn(4p + 6) -f-3;? + 4]« + m(4p + 7) + 3^ + 5 = = (4;?m 4- 6m, 1, 1, 2p + 2, 1, 1, Spm -f- 12m); 35» Si Ton a : l/a? = (a,l, 1,1, , 1,1, 2fl) Tonité étant répétée n fois dans la période, on a : « = a(fl+l)+^ _J , Un désignant le terme de rang n de la suite de Lamé ou de Fibonacci, OXlUn=0. On peut toujours trouver une infinité de valeurs de a telles que œ soit entier, sauf dans le cas où n -|- 1 est un multiple de 3. On peut multiplier indéfiniment les remarques analogues aux précé- dentes. UNE PROPRIÉTÉ DES CONIQUES- par M. J. Wastbsls, professear à TAthénée de Gand. Au point P éTune conique, on mène la normale et deux cordes PA, PB, paiement inclinées sur celle-ci. Les tangentes en A et B à la conique se coupent sur la normale. DÉMONSTRATION. Soicut T Tintersectiou des tangentes, G et D les inter- sectioiis de la droite AB avec la tangente en P et avec la normale. — 14 — La polaire de C par rapport à la conique passe par D, conjugué harmo- nique de C par rapport à la droite AB ; elle passe également par P, pôle de la droite PC; donc elle se confond avec la normale. D*un autre côté» la droite AB passe par C ; son pôle T se trouve donc sur la polaire de C ou sur la normale. Remarque. Si AB était parallèle à la tangente en P, Tégalité des triangles PDA, PDB prouverait que D est le milieu de AB ; donc, la nor- male PD deviendrait un diamètre (elle serait même un axe) et AB serait une de ses cordes conjuguées; la propriété serait donc évidente. Cas particulier. Si d'un poM P d'une conique à centre, on mène les deux cordes PA, PB passant respectivement par les deux foyers de la courbe f les tangentes aux points A elB se couperont sur la normale en P. Réciproque du théorème général : /Si Xet B sont les points de eon- tact des tangentes menées à la conique par un point de la normale en P, les cordes PA, PB sont également inclinées sur la normale. Note. — Plus généralement, si au point P d'une conique, on mène une corde fixe PN et deux cordes variables, PA et PB, également incli- nées sur PNy la droite AB passe par un point fixe Q, et les tangentes en A et B se coupent sur une droite ûj.e q. Car les cordes PA, PB se corres- pondent dans une involution ajant pour rajons doubles PN et la corde PN' perpendiculaire à PN. Le point fixe Q est à l'intersection des tangentes en N et N^ La droite q se confond avec NN'. (J. N.). ""NOTES MATHËMATIQDËS. t. Deux questions de concours. L ^î Pan a les deux suites 1- 2, 3, ... {n — 2), (m— 1), s, (2«— 1). 0-« — 3), (2« — 5;, ... 5, 3, 1, H !• •• mmitiplii ckaqui terme de la première par le ttrme correspoudMnt dk U se€9ule, ^xe^Ie sera la somwu de i-ms Us pr-dmiU ainsi oltemms? ^Coooour» ^nêr^ de l.i oIjL>se de seconie soien^fiLe vie Bel^i^ue, 18^). On lrN>ttTe successivemeat s«l-ehi — l»-r ^-1-^ — 3; -r3.C^« — -^i-î r •- [-• — i^» — 1)] - 15 - = 2«(l+^ + 3H i-n)— [1,1-1-2.3 4-3.5-] [-h(2ii — l)] = 2n(l+2-| }-»)— [2(l>4-2«+3«4 }.««)— (14-2+3-j f-n)] = (2fi+l)(l + 24-3-| ^-n)— 2(l« + 2« + 3«4 h»*) (2it + I)(«+l).n (2w + l)(7t + l).»^(2»+l)(H + l)n "^ 2 ' 1,2.3 "* 1.2.3 La iomm$ dêwganéUe est donc égaU à la somme des carrés des n premiers nomères entiers. Oo peut arrirer à ce résultat par un autre procédé qui montre claire* ment pourquoi on trouve la somme des carrés des n premiers nombres. Si dans la première série on remplace 2 par 1 -j- 1 > 3 par 1 -}- 1 4" ^» et ainsi de suite, la somme S que Ton cherche sera la somme des nombres renfermés dans le tableau suivant : (2« — l)4-(2« — 3) + (2n — 5)+ .. + 5 + 3+1 (2» — 3) + (2n — 5) H 1- 5 + 3 + 1 (2» — 5)H h54-3+l 5 + 3+1 3+1 1 La première ligne horizontale est la somme des n premiers nombres impairs; elle est égale, d'après une formule connue^ au carré de n ou n*. La deuxième ligne horizontale est, de même, la somme des n — 1 pre- miers nombres impairs ; elle vaut par conséquent (n — 1)'. Et ainsi de suite. On aura donc IL Si Ton range les termes de la progression arithmétique "^ i.D.c/.lo.... de la manière suivante : 1 5.9.13 17.21.25.29. i3 iê wMsière qu'il p ait dans chaque ligne deucs nomires de plus que dans — 16 — la ligne précédente^ quelle sera la somme des nombres contenus doMS k p* ligne? (Concours général de la première scientifique, 1896). D'après la loi de formation des lignes horizontales, on voit que la première ligne contient 1 terme; la 2* ligne, 3 termes; la 3* ligne, 5 ter- mes, et ainsi de suite ; la (p — !)• ligne contiendra 1 + 2 (p — 2) — 1)* -[- 4 {2p — 2). La somme S de ces 2p — 1 te^ mes, qui est la somme demandée, sera donc, diaprés la formule connue, S-[l + 4(p-l)' + l+4(y-l)' + 4(2j>-2)]^^^) OU S = [l + 4(p-l)» + 4(p-l)j(2p-l) OU encore S=ll+2{p-l)y{2p = l) = {2p--ir. La somme d$s termes de la p^ ligne est donc égale au cube du nomin des termes de cette ligne. (Un abomiïb)* •. Sur une propriété des coniques. M. Mannheim vient de proposer, dans le J.M.E., 1896, p. 96, le théorème suivant : Une tangente quelconque t menée au cercle inscrit à un triangle ABC rencontre les bissectrices AI, BI, CI, aux points Ai, Bi, C|. Les secondes tangentes menées de ces points au cercle rencontrent respectitemeid la côtés BC, CA, AB en At, Bj, C2. Démo7itrer que les points Ai, Ba, Ci, soid situés sur une même droite i' passant par I. Cette proposition, ainsi que nous Ta fait observer M. A. C, est suscep- tible de généralisation : Le cercle peut être remplacé par une conique quelconque inscrite au triangle ABC, et le point I par un point quelcon- que du plan ABC. Une transformation par polaires réciproques conduit à cette autre propriété : Une conique étant circonscrite à un triangle ABC^ les drottesqnijtt — 17 — gnenl un point quelconque D deeelie courte aux points de rencontre À,t,Bi, Ci d'une transversale quelconque d avec les côtés BC, CA, AB, coupent la conique en trois nouveaux points At, Et, Cs tels^ que les droites A As, BBs, GCs concourent en un point D' de la transversale. Nous allons indiquer une démonstration géométrique du dernier théo* rème ; son corrélatif peut s*établir par des mojens analogues. Le triangle ABC et la transversale d déterminent un quadrilatère complet ajant pour sommets opposés A et Ai, B et Bf, G et Ci; par suite les droites DA et DAi, DB et DBf, DC et DC| se correspondent dans un faisceau involutif, et marquent sur la conique les couples AA2, BBs, CCs appartenant à une involution. On en conclut que les droites AAt^ BB9, CCs concourent en un même point D'. Cherchons le lieu décrit par D' Jorsque D parcouil la conique donnée. Les points As et D se correspondent dans une involution de pôle Ai ; de même Bs et D sont des éléments conjugués d*une involution de pôle B|. Donc At et Bs sont des éléments homologues d*une homographie tracée sur la conique, et les droites AAt, BBs se correspondent dans deux faisceaux projecti&. Ces faisceaux sont même perspectifs; car lorsque D est en C, As coïncide avec B, et Bs avec A, de sorte que AB est un élément uni des deux faisceaux. Le point D' décrit donc une droite. En faisant coïncider D avec B ou A, on trouve pour D' le point Ai ou B| ; donc le lieu de D' est la transversale donnée d. (J. N.) S. Sur la définition de la multiplicationi*). La définition adoptée généralement pour la multiplication des nombres ayant été Tobjet d*une critique dans une note (Afathesis^ avril 1896) publiée par MM. Laisant et Lbmoinb, il n*est peut-être pas inutile d'examiner s*il j a lieu ou non d'apporter des modifications à cette définition. L'argument principal sur lequel s* appuient les auteurs est Tambiguité que présenterait la formation du multiplicateur. Cette ambiguïté existe-t elle réellement? 11 est facile de voir qu'il n'en est rien. En effet, admettre que Ton peut former le multiplicateur autre- ment que par addition ou soustraction serait supposer la multiplication déjà connue. C*est d'ailleurs le cas de l'exemple cité : une élévation au (^) Nous insérons Tolontiers cette note, bien que nous soyons d^ayis qu'il oonTient d*étendre saccessiToment la définition naturelle de la multiplication aux dlTers cas que Ton rencontre» en arithmétique, en algèbre, en géométrie, etc. (JRédaetùm). 2 - 18 - carré implique la notion de la multiplication, et supposerle multiplicateur formé de cette manière serait faire usage, dans la définition, de la chose à définir. Quant à la difficulté qu'éprouvent les con^mençants à comprendre cette définition, et aux explications que celle-ci exige, il 8*est déjà présenté, aa début de Tétude de Tarithmétique, des notions non moins abstraites, et la plupart des définitions, entre autres celles de T unité, de la mesure d* une quantité, etc.,., exigent autant, sinon plus de développements. A. LiSTRAT (Bouilloa). 4. Sur la question 949 [MatAesis, (2) VI, pp. 27 et 274) (*)? ^^ question est énoncée ainsi : On sait que l'expression (a^ + b*y est une somme de deux carrés. Démontrer qu'on peut aussi la mettre sous la forme dune somme de trm ou de quatre carrés. (E. Fauqubv^eroue). Jq Y0U3 ai adressé, en octobre 1886, U formule suiyaqte : (a) (a + ty '^{ar^ ly + Aah. [{a + hy + (a — })♦ + (a»— »•)»]. En remplaçant a et & par a* et &', on a une décomposition de (a' -{'^7 en quatre carrés. J^ai donné également la formule : (P) {a + hy = {a — hy + Aah. [(a» + 2ab - hy + (a« — 2ab — «-)» + [a* + l'y + (2aJ)»]. En remplaçant a et J par a' et >', on a une décomposition de {a} + h^f en dnq carrés. Pour la décomposition en trois carrés, je me servirai encore d'une formule de mes lettres d'octobre 1880 : (y) {a + hy = (a — hy + ah. [(2a + 2i)« + (2a — 2>)»]. On multiplie les deux membres par (a + hy et on remplace a et J par a« et h\ En résumé, (a* + h^y est une somme de 2, 3, 4 et 5 carrés. Je remarque même qu'en remplaçant dans le second membre de la formule ((3) le terme (a* -|- h^ par (a' — h^ -}- (2aft)S on aurait une décomposition en six carrés. Moulins, 13 août 18U5. G. DE RoCQTJiaNT-ADA:<805. (*) Nous pe^rrettons le retard de la publication de cette note; la lettre de notre honorable correspondant avait été égarée. (J. lf.)i -19- SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÊgl?. ^QnestloD 99ft. (Voir Mathesii, (2) IV, p. 203). D^un point P du plan d'une f^faholt^ on abaisse trois normales à la courbe, dont les pieds sont A,B,C. Montrer que 1* Le lieu des points P tels que la somme des carrés des projections des côtés du triangle 4BC sur la tqngenfe au SQmmef sçit cqi^tante, est une ligne droite. 2^ Le lieu des points P tels que la somme des carrés des projections des mêmes côtés sur Vaxe soit constante^ se compose de deux droites. 3* Le lieu des points P tels q^e la somme d^ carrés des projections des côtés du triangle ABC sur Vaxe soit égale à la somme des carrés des projec- tions des mêmes côtés sur la tangente au sommet, se compose de deux droites, (E. N. Barisibm). Solution par M. Cristescu. Soient y* = 2px réquation de la parabole, (a, |3) les coordonnées de P et {Xf, yt), {Xt, yx), {x$, y$) les coordonnées de AyB,C. On sait que y^, yi, jfi sont les racines de Téquation y»^2p(a-y)y-2p«^ = 0; (1) par conséquent y lyi + y f^i + yiy i -= — 2;? (Q[^ FI. Lorsque le rapport (EA : AB) tarie : !• Les droites A'A", B'B", C'C" se coupent constamment sur l'hyper- bole passantpar A', B', C\ le centre de gravité g de ABC, le centre 0 du cercle circonscrit et le milieu de la distance des points de Brocard. 2* Le centre de gravité du triangle A"B"C" reste Jixe. ^ Chacun des côtés du triangle A"B"C'' enveloppe une parabole tan- gent à un côté du triangle ABC et aux deux hauteurs issues de ses extré- mités. (Dbprbz.) Solution par M. P. Bastin (Liège). 1* Désignons par ). le rapport (BA : AB). Le point A'' appartient à la hauteur issue de A et sa distance à ce dernier point est égale à jïa. C'est ce qui résulte des triangles B'AA', HAE dont les côtés homologues sont perpendiculaires et dans le rap- port h Set coordonnées normales, relativement au triangle ABC, étant : T+2' --2^"»^' -^cosB, réqoation de la droite A' A'' est : M (J« — c*)x + b (4S + }.fl») y — c (4S + /a>) ^ = 0. On trouverait de même pour les droites B'B'' et C'C : ^a(43i-U')x-{'U{c' - a«)y + c(4S + ;.*«)« = 0, a(4S + }4i*)x — b{4S-\''lc')y + }^c{a* — b') z = 0. On vérifie aisément que le déterminant des coefficients des inconnues est nol : les droites A' A", B'B", C'C concourent donc en un point M. Les pointa A", B", C" marquent sur les hauteurs issues de A, B, C des divisions semblables; donc les droites A'A", B'B", C'C" engendrent trois faisceaux homographiques et le lieu du point M est une conique — 22 - par les points A', B% C\ centres des fàisoeaax. Dans Thypo- / = 0, le point M se confond avec ^ ; il se confond avec 0 ai À .=> x : ces deux derniers points appartiennent donc à la conique. Le point P, milieu de la distance des points de Brocard, est défini par kségidités dierchant quelle valeur doit être attribuée à i pour que Â.'A'' passe par ce point, on trouve ,_ 4S^_ Ce résultat étant sjmétrique par rapport à a,i et e, on est en droit de conclure que les droites A'A'% B'B", C'C concourent au point P. Le point g est toujouns situé à l'intérieur de A'B'C; la conique, lieu de M, doit donc nécessairement avoir deux branches et ne peut être qu'une hyperbole. 2* Nous prouverons que le centre de gravité du triangle Â/W' reste fixci en montrant que la somme algébrique des distances de ses trois sonmiets à une droite quelconque du plan est indépendante de A. Les distances de A", B", C" au côté BC sont égales respectivement à T+'2' -2^^' -2<^B, et leur somme algébrique se réduit à — • 2S 2l On obtiendrait» de même» -T- et — pour sommes des distances de ces h c points aux côtés AG et AB. ABC étant une position particulière de A"B"C", le centre de gravité de ce dernier triangle n'est autre que g, 2p La droite A"C", joignant les points homologues de deux divisions homographiques, envoloppe une conique touchant les bases des deux divisions I c*ost-à-dire les hauteurs issues de A et de C. Les points A el G étant homologues, le côté AO est tangent à la courbe. Les points à rinûni sont homologues : la conique, tangente à la droite de Tinfini, est donc une parabole. On raisonnerait de morne pour le» droites A"B" et B"C". — 23 — M. Droz-Farnt a résolu la même question. Kotre zélé correspondant obsefve que, dans l'hypothèse I = 1 , les droites A'A", B*B", C'C" se croisent au centre du cercle circonscrit au triangle qui a pour sommets les centres des carrés construits- extérieurement sur BC, CA, AB (voir question 987). Il remarque également que l'hyperbole A'B'C'O^ est la conique des neuf points du quadrilatère ABCRyOÙ A est le point de Steiner du triangle ABC. Qiiesiiott teoa. (Voir Mathesis, (2), V, p. 32). Soient a, ^^ y, d les points de Gergonne des cercles imorits awB faces BCDy CDA« DAB, ABC d'un tétraèdrs. Trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les arêtes BC=-fl, CA«±:*, AB=*k=^a'i DB = y^ DC = c' pour que les droites Aa, B,3, Qy^ Di soient les ginératHces d'un hyper- boloïde ou pour qu'elles concourent en un mim point. (Genty.) Solution par Af> R. B. 1* Il suffît de trouver troiâ droites qui 8*appuient à la fois sur kx, B|3, Cy, Dd, Nous pouvons faire t}asser Tunè de ces lignes par le point ï> de D^ ; comme elle se trouve nécessairement dans les trois plans DAa, DBj3, t^C^f nous exprimerons que ces plahs passent par une même droite. Soieht a', j5', y les points où les droites Da, Dj3, Dy rencontrent BC, CA, ÀB; ce sont les points de contact dé BC, CA, AB avec les cercles inscrits aux faces DBC, DCA, DAB. Les droites Aa% B;3', Cy' devront conéourii* étl Un niémé point, ce qui s'exprime par l'équation Ba' C^' A/ a'C>'A*/B~ Or Ba' = {(BD-fBC — DC) = ^(J'+a-c'),etc. On & donc la première condition (1) (V + a — c') (c' 4- J — a') (a' + c — V) = Bq Tordonnant suivant les lettres a, hi c, on trouve — 24 - Si Ton opèrd de même successivement en A» B, G, on obtient (2) (j_|-a — c)(c + J'-a')(a' + c' — J) = (c+a— S)(fl' +J'— c)(J+c'— a'), (3) (y + a' — c) (c + J — fl) (a + c' — J') — (c-f-a' — J')(«+*-<î)(*'+c' - a), (4) (j + a' — c')(c' + J' — «)(A + c — J)=» ((?'+a'—^)(a+J'— (?')(» + (?— a). Les quatre égalités (1), (2), (3), (4) se réduisent à ti*oi8 : le produit des trois dernières donne, après simpliâcation, la première. Si Ton multiplie la première successivement par chacune des autres, on obtient le système (g ^ b'-^c'Xa' + c — b'){a + i — c){a' + c' — i) ^ ^^ (a'4-S-c')(ft' + c — a')(J'4-c'-a)(a + J — c)"" ' ^ ^ (c' 4- a — h') (ô' + c — a') ((?' + a' - é) (^ + c — a) par lequel on peut également exprimer les conditions de la question. L*égalité (5) se réduit à une forme plus simple : Le dénominateur ne diffère du numérateur que par les signes de b, b\ c, c\ et si Ton ordonne par rapport aux lettres a, a', on trouve aisément (8) (j + j' — c — c') [a {V — c) (S — c') -|- a' {V — c') (* — c) + aa' (a — a')î] =- 0. Les égalités (6) et (7) se ramènent à (9) (c + C' — a - a') \b (c' — a) (c — a') + *' (c' — a') (c — a) + W (* — *')] = 0, (10) (a + a' — J — J') [c (a' — J) (a - J') + (.'(«'— y){a — i)-|lcC(c — c')] = 0. IL Si les droites D^, kx se coupent, les droites Ad, Da rencontrent BC au même point ai, et les cercles inscrits aux faces DBG, ABG toa- chent BG en ai. Or les distances de B au point de contact de BG avec Tun ou Tautre de ces cercles ont pour expressions { (BD -}- BG — CD), J (BA + BG — AG); de là la condition b -j- i' = c+c'.On en conclut que les quatre droites Aa, B/3, Gy, Dd concourent en un même point lorsque (11) fl-|-a' = * + ^' — c + eJ'; — 26 — les quatre cercles appartiennent alors à une même sphère inscrite entre les arêtes du tétraèdre ABCD. On voit que les égalités (11) sont com- prises dans celles qu*on a trouvées ci-dessus. NoTB. Cette solution demande un supplément de discussion. Les équa- tions (5), (6), (7) résultent de (1), (2) et (3); mais ne forment-elles pas un système plus général? Un système de la forme A=» A', B^^B', C = C entraîne AB = A'B', BC =- B'C, CA = C'A'; mais ces nouvelles équations sont aussi une conséquence de A =s — A', B = — B', C = — C. (J. N.). QaestloD tOOtt. (Voir MaiAests, (9) V, p. 32). Par le foyer F éTune parabole on mène une corde AFB. Le eerde de diamètre AB rencontre la parabole en deux autres points C et D ; le cercle de diamètre FA rencontre la parabole en trois autres points B'^C^D'; le Cercle passant par F et tangent à la parabole en A rencontre la parabole en deux autres points B" et C". 0 étant le sommet de la parabole, démon- trer les relations FA + FB — FC — FD =: 8F0, FA — FB' — PC — FD' = 4F0, 4FA — FB" — FC" = 8F0, 2 (PC -t- FD - FB) - 6 (FB' -f FC + FD') + FB" + FC" = 0. (E. N. Barisibn). Solution par M, E. Colart (Huj). En éliminant y entre les équations y« z= 2px et x^ -{-y* — 2ax — 2by -J- c = 0 d'une parabole et d'un cercle, on trouve une équation dont le terme en x^ a pour coefficient 4 (p -^ a). Si donc on désigne par x'^ x^^ x"\ x^ les abscisses des points A, B, C, D d'intersection des deux courbes, on a x" '\'X" + «'" + x^ = 4{a —p), p d'où l'on tire, en tenant compte de la relation FA = x' -^-^9 FA-f-FB + FC-}-FD = 2(2tf — p). (1) La valeur du premier membre dépend donc uniquement de l'abscisse du centre du cercle. 1* Considérons d'abord le cercle décrit sur la corde AFB comme diamètre. Alors 2a = aK + a?" = F A + FB — p . — 2!« - Eh ititroduis&ht cette valeur dans l'égalité (1), on trouve FA + FB — FC — FD = 4;? = 8F0. (2) 2" Si le cercle oonaidéré est décrit sur FA comme diamètre» on a 2a=i?+a?'=FA+|- Alori, régalité (1) doilne FA — PB' — FC - FD' = 2p = 4F0. (3) 3* Ënân, en cherchant Tabscisse du centre du cercle passant par F et tangent en A à la courbe, on trouve _ 12ifc" + 8px' + p« Pour cette valeur de 2at Tégalité (1) devient : 2FA + FB" + FC" «= 6jf' -^p «= ÔFA -- 4p, 4F A — PB" — FO" ^Apc=> avo . (4) 4* En multipliant les égalités (2), (3), (4) respectivement par 2, — 6, 1» puis leâ ajoutant membre à meitibre, on obtient la dernière relation proposée. Ont résolu la niéme question MM; Bastin, Buysrns, Davidoolou, J. JonX8CO« KLOMPKÉS) bÉPRKZ et B. JONKSCO. (Voir Ûathesii, tôtae V, p. 104). SoUrU EL, B', C les pieds du hauteurs d'un triangle ÀBC; Ai, As la projections de A' sur AB, AC ; fei, Bi celles de B' sur BC, BA ; Ci, Ci celles de C sur CA, CB. Démontrer la relation fl«. A'AïAi + J». B'BiBi + c*. C'CiC, = ^ . (J. JONBSCO). Solution par MM. Colart, Lbmoinb, Couturier, Hacken, Barisibn» B. JoNEâcoy KlompërSi Cristescu, a. Francq, Delahaye, Mandart et Droz Farny. Le second membre de la formule proposée doit être rectifié comme ci-dessus. — 27 — On a saccesdiyement A'AiAi=ï A'A|. A'At siû A ={ h* coô B cos C ëiû A =* — - cosBcosC sin A, d'où a^. À^AiAf = 2S» cos B cos C sin A. (1) Par suite, 2 a*. A'AiAt :» 2â'. 2 cos B cos C sin A » 2S* sin A sin B 6in 0 i^ :^ i Remarques. En multipliant les deux membres de l'égalité (1) par cotg A, on trouve A'A,A, sin 2 A = B'BjBa sin 2B =C'CiCi sin 2C. (Colart). k A « n nn ^ AA.A, BB.B, CC.C2 S R AA'* BB'' ce' 4R« oV AAiA, = i* .BBiBj ^ c*;CC|C,i^ 1^ . R (Barisien). QdeAt lôn DXCTitl. (Voir N. C. M., t. VI, p. 525). Trouver les solutions entières de V équation Note. Parmi les solutions entièrôs dont Inéquation est susceptible, il en existe une dans laquelle la valeur de 2, au second menibre, est é^le à Tunité (en excep- tant le cas où it = 2), et une autre dans laquelle les Valeurs de Zxt ^t 'si ••••> ^a» au premier membre, se suivent en pro^^ression par ditférence. Dans le cas spécial de n = 2, la solution la plus simple de Téquation est donnée par Tégalité 2» 4-7» = 13. 3». (S. RSALIS.) Solution par M. E. Fauquembergub. I. D'après la note de Realis, le nombre Sa-J"^ ^^^ toujours décomposable en une somme algébrique de n cubes entiers (sauf pour n =2). D'abord on trouve directement pour n = 1, 3, 4 : 8=»2S 18 = 3» — 2*- 1», 23==-2»+2» + 2« — P. - 28 — Afin de démontrer la proposition pour n'^ i, nous rappellerons ce théorème, dû à M. Oltramare (Voir Intermédiaire des Malhémaéidenit 1. 1| 1894, pp. 166 et 245) : Tout nombre entier est la somme algébrique de cinq cubes entiers. Soit maintenant un nombre quelconque N ; retranchons-en [n — 5) cubes entiers arbitraires, positifs ou négatifs ; le reste pourra être décom- posé en cinq cubes entiers, d*après les formules de M. Oltramare {loco ciiato). Le nombre N sera ainsi décomposé en n cubes entiers. II. Pour trouver la solution dans laquelle les valeurs de Zi,Ztf ... fa sont en progression arithmétique, posons : gi^xzu — i, t^=s2u'-i, f, = 3» — f, , ^=^nu^§, u étant une nouvelle inconnue. L*équation proposée devient, après avoir remplacé S, par S* et 3S, par (2»+I)S,. Sy — (2n + 1) Syz + 3S,uz* = 3 (2« + l>r» , StU'[uSi — (2» + 1>] 4- 3«»[ttS. — (2« + l)s\ = 0 , (S,tt« + 3««)[¥S, — (2w + 1)5] «= 0 . On en déduit i^Si = (2« + \)z , et par suite i> = 2» + l, f = S. = -^-^- Exemples. Pour n =3 3, 4, 5 : 15^8»+ 15' — 18. 6», _ 1» + 8» + 17» + 26* = 23 . 10» , _ 4« + 7» -J- 18» + 29» + 40» « 28 . 1 5» . III. Représentons par l'égalité «î + «î + «î + + «5 = Na», une solution de Téquation (1) «î + «î + «î+ l-f» = N«», et posons f, sa a, — m\U, ft = «• — «Il «, ••••, in = «» — Wii«, 5e=« — «1» ; réquation(l devient (2) 1ol\ - 3 [Im.aî] t» -+- 3 [ifwja,] ¥» - [^wj ] «» = N (a» — 3w a» » + 3w« « «»— m» «»), — 29 — on, en observant que la\ «s Na', — 3 llmta*^] + 3 Ufwja.] « - [2»iî>' = N(— 3ma«+3f«»aii — m»»»). En fitisant m «= - . , * i on abaisse Téquation au premier de^ en u et Von en tire 3[2f«î<7,— Nm»a] Sabstîtuant cette valeur de u dans les égalités ci-dessus» puis réduisant le tout au même dénominateur, on ne conservera que les numérateurs pour flyfSy •••9^9 ^' Les formules ainsi obtenues donneront une infinité de solutions de réquation (1), puisque les nombres f»i, i»t, ... mn sont arbitraires. Une simplification se présente quand on a f«î + f«J -J- 1» J + • •• -J- f«î = Nm», c*est-àpdire quand on connaît une seconde solution de Téquation (1). Dans ce cas, Téquation (2) se réduit à celle-ci : d'où u = — î— î • Comme dans Tapplication de cette formule, on peut échanger entre elles les valeurs de ai, as, xsf •..» a»! ainsi que les valeurs de mi, fUj, f»iy •..» «tu» on obtiendra, de deux solutions connues, plusieurs autres solutions, qui, à leur tour, en fourniront de nouvelles^ et ainsi, de proche en proche, à rinfioi. ''QUESTIONS D'EXAMEN. 99S. Résoudre les équations 31* «. 7 . 3' + 6.3-' = 0, 5».-i — 3.5»+» = 100. 999. Étant donnés dans Tespace trois points fixes A, B, C, on consi- dère un quatrième point variable S. Soit MNPQ le parallélogramme qui a pour sommeto les milieux M, N, P, Q des côtés SG, SA, BA, BC du -30- quadrilatère gauche SABC. On demande le lieu géométrique du point 8 dans chacun des cas suivants : 1* Les diagonales du parallélogramme MNPQ pestent dans un rapport donné: 2? L*aire de ce parallélogramme reste constante ; 3" Ce parallélogramme reste semblable à un parallélogramme donné. (S* Cyr, Concours de 1896.) lo Soit I le point d'intersection des diagonales PM, QN. Le rapport PI: QI étant constant, I décrit une sphère ayant pour diamètre le segment des points qui divisent PQ dans le rapport donné, û désignait le centre de grfivité du triangle BAC, I divise SG dans le rapport 3:1; donc S décrit une sphère homot|iétiq|}e de la première par rapport à Q. ti^ La hauteur du parallélogramme MNPQ est con- stante; donc MN ebt la génératrie d'un cylindre de révolution, et S décrit un cylin- dre. 29 L'angle PQM et la longueur PQ sont invariables; donc M décrit une cir- conférence située dans un plan perpendiculaire à PQ et ayant son centre sur PQ, et le lieu de S est une circonférence homothétique par rapport à C. Si le rapport donné dans le premier cas était T unité, la sphère serait remplacée par un plan. 978. Démontrer r identité (sin« X + co8« a? — 1)' + 27 sin» a cos» â? »» 0. (E. N. Barisibn). 999. Montrer que le doubla produit d*un sinus par un cosinus da même angle est toujours divisible par la somme de ce sinus et de ce cosinus, augmentée ou diminuée de l'unité» (E. N. Barisibn). En effet, 2 sin a cos « = (sin a + cos « -f- 1) (sin a + cos a — l ). 180. Soient dans un cercle de centre O, un rayon fixe OA et on rayon variable OM . Le lieu des centres des cercles iritangents au triangle OAM se compose du cercle donné et d*une strophoïde droite. Le lieu de Torthocentre du même triangle est une strophoïde (•). (Ë. N. Barisien). Cette proposition se démontre très facilement par les coordonnées polaires. (*) Si nos souvenirs sont exacts, cette proposition est connue et a même été traitée dans Mathtits. (J. N.). - 3J - QUESTIONS PROPOSÉES. ItOl. Dérelopper le déterminant suivant & 3a-|- 2 lignes P(f)- 10 10 1 0 10 10 — 1 z—l 0 0 0 0 —1 z — l 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Q 0 1 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0.. —1^-1 1 Trouver sa yaleur pour « = 1 et pour z = 2. (Stuyvaert). It09. Le plan polaire d'un point quelconque M de la cqbique aux pieds des normales menées d*un point P à une quadrique rencontre la cubique en trois points formant avec le point P un tétraèdre qui est 1* orthocentrique ; 2* conjugué à la quadrique. De plus, Torthocentre commun de tous ces tétraèdres est le point P. (A. Cazamian). nos. On donne un point fixe O situé sur une droite A. Un segment AB da longueur constante a se déplace sur A de façon que 0 soit toujours compris entre A et B. Soit M un point du plan tel que les périmètres des triangles MOB et MOA soient égaux et constants, de yaleur 2p. Montrer que 1^ En général, le lieu du point M est une quartique Q, qui lorsque a yarici p^ise p;ir deux points fîxes; 3* Lorsque p ss a, la quartique Q se décompose en deux ellipses ayant un fojer commun en O. (E. N. Barisikn). Ii04. On considère un cercle de diamètre fixe AB et un point 0 Tanable sur la circonférenco. 1^ Le lieu des centres des cercles tritangents au triangle ABC se com- pose de deux cercles (théorème connu). 2* Le lieu du centre des symédianes du triangle ABC est une ellipse. (E. N. Barisikn). — 32 — ^IlOft. On considère une demi-circonférence AB et un point C sur le diamètre AB. On décrit du même côté que le demi-cercle AB, let demi-cercles AC et CB. Soient : 0 le milieu de AB; D le point du dia- mètre perpendiculaire à AB situé du côté opposé au demi-cercle AB et tel que OD = |AB. Montrer que le centre l du cercle tangent aux trois demi-cercles AB, AG et CB jouit de cette propriété que 10 + ID ■=■ constante quelle que soit la position du point C sur AB (E. N. Barisisn). ^lOOa. On porte sur la bissectrice de Tangle A d*un triangle ABC une longueur AD moyenne proportionnelle entre AB et AC. Lorsque A se meut sur une circonférence passant par B et C, D décrit ainsi une circonférence passant par D et C. (L. Collrttb). PUBLICATIONS RÉCENTES- 1. Mecherches sur la théorie des parallèles , par Michel Frolov. Paris, librairie centrale, Quai des Augustins, 25 (20 p. -f- Bupplément de 5 p. in 8*). Prix : 1 fr. + 0,25. Nouveaux essais de démonstration du postulatum d'Euclide et de réfutation de la géométrie non euclidienne. 2. Traité d'arUhmitique élémentaire, par Tabbé E. Gblin, sixième édition. Namor, Wesmael ; Paris, Retaux; Huy, chez Tauteur, collège 8. Quirin» 1897 (In 8* de 416 p ). Prix : 5 fr. Nouvelle édition, améliorée dans une foule de détails» de cette très bonne arith- métique. 3. Las modemas Oeneralitationes expresadas por el Algebra simbôliea^ las Oeometrias wheucUdeas p el concepto de Eiper-espacio, par D. Z. G. dk Galdkano. catedratico de la Universidad de 2^aragoza. Madrid, Cruzado, 1896 (14:^ p. in 8). Prix : 2 pesetas. 4. Œuvres scientifiques de L. Lorkntz» revues et annotées par H. Valbmtimbb, publiées aux frais de la fondation Carlsberg. Tome premier, premier fascicule Copenhague, Lehmann et Stage, 1896 (210 p. in 8). Ce fascicule renferme six mémoires sur la théorie mathématique de la lumière, dont le dernier renferme Texposé de la théorie électromagnétique de la lumière de Lorentz, différente de celle de Maxwell et publiée deux ans après celle-ci* - â3 - SUR LBS CONIQUES CIRCONSCRITES  UN TRIANGLE^, par M. A. Krahb, professeur à Madrid. t. Soient x^ y, z les coordonnées normales d'an point par rapport au triangle ABC. L*équation d*ane conique /i circonscrite est (1) Xif% + f/ixg + tiXy «= 0 . Les coefficients â^i, |fo Zi sont les coordonnées d*un certain point M qui a une position remarquable par rapport à /i. En effet, les tangentes en A, By C ont pour équations yi «I jPi ' fl?i a?i^yi Smt MJii»M« le triangle formé par les droites. Si Ton combine par sous* traction les égalités précédentes, on obtient les équations des droites AM«9 BM>, CM* sous la forme ffï Zt Zi Xi Xi yi On Toit que ces lignes se coupent au point M (â?iy y,, ^i), centre d*homo- logie des triangles ABC, M«M»Me; Taxe d*homologie est la polaire trili« niaire de M représentée par fl?i yi «I •• Pour reconnaître le genre de la conique fx, cherchons Tintersection de cette courbe avec la droite de Tinfini représentée par (3) ax'^hy + ez = 0. Eliminons s entre (1) et (3) ; nous aurons (4) ayiX* + (axi + Jyi — cf i j sy + toiy* = 0. La nature des racines de Téquation (4) dépend du signe de la quantité c -» (axt + ^i — ^0' — 4tfJ»iyi = 2a*x\ — 21b€Xiffi. La conique /ut sera une parabole si Ton a e s= 0, c*est-à-dîre si le point M est sur Tellipse touchant les côtés du triangle ABC en leurs milieux (^ Cet article, sans être entièrement nouTeaUi peut intéresser nos Jeunes leetous. (JMtelte). 3 — 34 - k', B\ (j. Ce sera une ellipse si e < 0, et une hyperbole si c > 0; eas hypothèses correspondent respectivement au point M intérieur ou exté- rieur à Tellipse c. Supposons M situé sur le côté BG ; l'équation (1) se réduit à et représente la droite BG, et la polaire de M par rapport à Tangle BAC. Si M coïncide avec B ou G, |ui est remplacée par les couples de droites (BC, BA) ou (BC, GA). Enfin, lorsque M est au milieu A' de BG, on trouve pour fx le c6té BG et la parallèle à BG par A. Pour avoir un cercle, il faut placer M au point de Lemoine K (a, b, e). K est donc toujours intérieur à rellipse c. Cherchons la condition pour que la conique p soit une hyperbole équi- latère. L'équation (4) représente les parallèles aux asymptotes de fx menées par C ; comme les coordonnées normales â; et y ne diffèrent que par le facteur sin C des coordonnées cartésiennes prises par rapport aux axes CA et CBy les valeurs du rapport (y : à) tirées de (4) donnent les coeffi- cients angulaires m, m' des asymptotes; la condition de perpendicn* larité étant 1 + nm' + {m + m') cos C = 0, nous devons poser 1-J--1 L-2 cosC = 0, bXi bxt égalité qui se ramène facilement à Xt cos A + y I cos B + f I cos C =s 0. On en conclut que le point M se trouve sur Taxe orthique de ABC (polaire trilinéaire de Torthocentre). S. Le centre N de la conique ^i est déterminé par les équations (6) _^ ^j Les deux sériesde variables (x^y, s), {xi,ft ^i) entrent symétriquement dans le système (5). Par suite, la conique circonscrite à ABC et ayant pour centre M Jouit de la propriété que le centre d*homologie de ABC et du triangle formé par les tangentes en A,B, G, coïncide avec N. -36- Sli Ton égale lei rapports (5) à une quantité ^lyifo on trouve t « yi ' f I d'où, en résolvant par rapport à— i — » — , (Cl ft €i Inversement (6) ^ t îî__. • (— + 2/y + ^ . ^5^ +/|j£^= 0 OU, en désignant par a, ^ les coordonnées du centre de la courbOi te» + 2hsy 4- f«y« + 2^« + 2/y — ^« — /p = 0. Oette équation ne diffère de celle de la conique que par le terme constant ; elle représente donc un système concentrique à la conique. Les asymptotes passent donc par le centre. (H. Mandaet.) — 40 — «•. ThdorimeérArUhméHque{^). -^IlesristeunêinitnMJUnamhrêtiriaÊ^ çiUaires earrés parfaits. En effet, soit 2 un tel nombre. Le nombre triangulaire (4n« + 4«)(4»» + 4ji+l) P' (2p)»(2ii + l)« jouira de la même propriété. De ce second nombre, on en déduit un troisième, ensuite un quatrième, etc. Exemples : 2 ' 2 ' 2 288.289 .^„ 9800.9801 „„„^. = 204»,... 6930»,.... (L. CoLLvm). CONGRES INTERNATIONAL DR MATHÉMATICIENS. Nous sommes heureux d*apprendre que l'idée des Congrès internatio- naux de mathématiciens, qui a surgi à la fois en France, en AJlemagne et en Russie a rencontré Tadhésion d*un grand nombre de savants. La pre- mière réunion aura lieu cette année à Zurich, les 9, 10 et 11 août, et semble devoir être très nombreuse. On sait que les Congrès analogues de mathématiciens allemands ont amené la publication d'oeuvres historiques de premier ordre (histoire de Tinvariantologie, histoire de la théorie des fonctions, etc) ; les congrès internationaux promettent d'être plus féconds encore. (P.M., J.N.) BIBLIOGRAPHIE. Cours de Géométrie descriptive, à Tusage des Candidats à rÉoole polytech- nique, etc., par X. Antomabi, professeur de mathématiques spéoUles an lycée Caraot. Paris, Nony et C**, 1807 (572 p. gr. in-8*, avec nombreuses âgures dans le texte). Prix : 10 frs. (*) Nous publions cette note comme exercice d'algèbre. — On peut démontrer que les exemples indiqués donnent ina$ les nombres triangulaires carrés partkits. (J. N.) — 41 - t ra«TBfs m^itâ d'iltre recommanda i toua ceux qai ëtndlant on « lométrie deicriptiTe, tout bu moins la partie de cette ideore qui eorreapond proftrsmme d'admission I) l'École polytsuhniqae. « l>Un g^D^nl en wt bien ordonnée) : après roxposédesprlDcipet rondamen- [ de U mâthode des projections et de la représentation dei pointa, de la I et du plan, et des relations qui lient entra elles les représentations de I fignroa, l'auteur donaa un aperçu très clair «t tràs développe dsi méthodea proprameat dllea de la géométrie descriptive (cliangement dea plans de proJectIoD, rotalioni, rabnttementi) et de leur application k la résolution des probl&mM des dtstaccee et des nngies. Le chapitre sulrant est consacré aui sections plues et ans LntereectioQS mutuelUs des polfédres, en parti cnlier, des pyramides et des prismes. Immédiatement après maoent des notions sur les projections cotées, ce qui nous pHmIt logiqoe, puisque les procédés de la géométrie cotée sont usex simples pour ir être compris par les élèves qui sont déjà ùimiliariBés avec les problèmes pérsux sur la droite elle plaa, en projections ortbo^nales, et qae d'ailleurs les plieations pratiques de la géométrie cotée ne concernent guère que Is dro!t« et «lïTret II, 111, IV, qui traitent des surfaces courbes, comprennent lesqaestlons •Ilsa relativea au tracé des plans tangents et des sections planes des cônes, des «et des surfkcesde révolution, ainsi <]u» dea intersections mutuelles de ces iQulquea notes complémentkires, sobstanti elles, donnent nn aperçu sommaire h aortsces réglées gaacbes, spécialement celles du second degré, et de l'bélic». P Ce qui caractérise sorlont l'ouvrage c'est une grande clarté d'exposition, le choix exemples résolus, avec tous les déTsIoppements qo'ils comportent. ^ Voici an reste un sommaire plus détaillé de l'ouvrage. LiVBB p&imibr. Les iDcipos ds !a géométrie descriptive. Introduction. La méthode des projections. 1. 1. BepréseatatioQ des corps. S. La ligne droite. 3. Le plan, i, La droite et le n combinés. 5. Les méthodes de la géométrie descnptive(ahangemeDtsdeplBade QS, rabat temenli). 6. Distancae et angles; construction des angles t. 7. Sections planes, intersections et ombres des polyëdraa. 8. Notions ds S ootée. LivBB 11. La tUtermtnation du lurfaeet et Ut plant tangtntt. m BQrrac«s (sphère, cylindres, cônes, sur^ea de révolution), mis aux cdnes et aux cylindres. 9. A la sphère, t. Aux surbces de k^VBB IIL Seetioiu plant* det ntr/atu. 1-9. Sections planes des cônes; | int de la Burfbce latérale ; (ransTormée de la section. 3. Sections planta m; 4. Des surfaces de révolution. Livrk IV. Inttruction de turfact*. Ion de deux cônes ou cylindres. 2. D'un cône ou d'un cylindre avec le révolutioB. S. Intersection de deux lurtacea de révolution. Ueinolti. Problèmes sur les surfkces refilées du second degré, ou qnel- - Intersection d'une droite avec une ijuadrique i soetions planes ellipti- - Notions sur )'lié)ic«. — Exercices divers. (11 y en », en outre, dans le I, aprtechsquechapitrot. — diOets de concours A l'âcoU polytediniquA «t i Ml* OMitrata des Arts et Manuraclurss. — 42 — •ans qve l'anteor soit tombé dans le défaat de prolixité fi commun à bon nombre d'ouTragee sur la géométrie descriptive, enfin la série d*exeroioes ou de questions à résoudre qui termine chaque chapitre, et dont le choix est généralsoieat très hsn* reux et d*Bne difficulté bien graduée. Ajoutons qu'incidemment^ après ayoir traité de la représentation du point, de la droite et du plan» Tauteur fkit remarquer qa*on peut sans inconyéniont supprimer la ligne de terre dans les épures. Mais il a bien soin de dire que cette suppression ne procore qu'une facilité de dessin, en ce qu'elle ne revient qu'à supposer que l'on des plans de projection se déplace parallèlement à lui-mâme de telle sorte qu'on corps se trouve toi^ours dans le premier angle dièdre. Il se garde, avec raison, de supprimer systématiquement cette ligne de terre dans la suite. Somarquons encore que l'auteur emploie couramment le terme de droite /VsuM^ pour désigner une droite parallèle au plan vertical de projection. Cet exemple mériterait d^ètre suivi par tous ceux qui enseignent la géométrie desoriptivo, comme ils emploient déjà tous le terme de droite horizontale pour désigner une droite parallèle au plan horizontal. Les expressions de droite de bout et pUn de bout appliquées à des droites ou des plans perpendiculaires au plan vertical nous parais* sent moins heureuses ; elles éveillent plutôt dans l'esprit de l'auditeur l'idée d'une figure verticale, debout, c'est-à-dire perpendiculaire au plan horizontal. J. Van Rtssblbbbobb. SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. Qaesittoa %%1. (Voir Matkerts, (1), III, 175, 19S). On a 1 t g I i' 1 il L (E. Catalan). SMutUm par M. STarvABRT. — LBMSfs. Si une série «0 + 1*1 -(-»t+ — h*«H — oKt ooUTorgente, et reste telle quand on remplace ses termes par leur Tftleor absolue, la série qui a pour terme général V. = (Un)- se trouve dans le même cas. Car )/^a: «n et lim »» = 0. Donc Tune des règles de convergence de Ganchj est applicable. — 43 — La condition énoncée plus haut est sufSsante, mais non pas nécessaire. La série U» serait encore convergente si i*on avait seulement lim Um inférieure à Tunité. Les séries de la question 267 se trouvent dans le cas du lemme. La première est convergente pour toute valeur positive de q^ sauf ^= 1. En effet le rapport du terme Um au terme précédent estr — ^ — • Si ; ^ If cette quantité a pour limite ;lla limite est nalle« Donc la seconde série est aussi convergente. Cependant l'égalité de l'énoncé est fausse, au moins pour certaines yaleurs de g. Soit 0 km désignant la hauteur abaissée de A sur BC. (Déprbz.) Solution par M. Cristbsco. On sait que fin a sin h» = [/l — cos' d — cos' b — cos' c -^ 2 cos a cos ( cos c. (l) — 44 — Les triangles ZBC , ZCA , ZAB donnent respectiyement cos a = C08 13 cos y — j sin ^siny ^ \ C08 1 =» cos y cos a — { sin y sin a , [ (2) cos tf »s 008 a cos |3 — { sin a sin |3 ; / car chacun des angles BZC, CZA, AZB vaut 120''. Si Ton élève les égalités (2) au carré, et qu'on les ijonte ensuite membre à membre, on obtient : Scos'a = i — i S cos' a + • Scos» (3cos*y — ScosPcosysinpsiny . (3) Si Ton multiplie membre à membre les égalités (2), on trouve cosacosJco8C = — l+ïScos'a — JScos'Pco8*y+Jcos*«oos'|3cos'y i — ^ S cos p cos y sin P sin y -f- f S cos ^ cos y sin P sin y sin' a. i A l'aide de (3) et (4), l'égalité (1) devient : 2 1/3 sin a sin A. ^Scos' a— 2Sco8'Pco8'y 4-3 cos' acos' P cos' y -f- 2 S cos P cos y sin Pain y sin' a. Or si l'on ajoute membre à membre les identités : cos'a — cos'acos'P— cos*ycos*a+cos'«cos'Pcos'y=sin'Psln'ycos'a, cos'P — cos'Poos'y — cos* a cos' P-|- cos' a cos' P cos* y = sin* y sin* «ces* P, cos'y — cos'ycos'a — cos'Pcos'y+cos*«co8'Pcos*y=3»sin'asln'Poos*y, on obtient : S cos' a — 28 cos' P cos' y-|-3 ces' a cos' P cos' y = 8 sin' P sin' y cos' a. Donc l'égalité (5) revient à : 2 . ~~^ sin a sin A«e=» |/8 sin' 0 sin' y cos' a-f-28 cos P cos y sin P sin y sin'a K 3 = l/(S sin p sin y cos a)' =» 8 sin P sin y cos «. NoTB. Voici une autre manière de vérifier la relation proposée. Appelons Wf y les angles ZAB, ZAC ; nous aurons sin A -a sin â; cos y 4~ ^^^ V ^^^ ^' (') Les triangles ZAB, ZAC donnent sind^ sine sin y sint iriinp'"sinl20'' sin y ^ sin 120*' cos P <=> cos a cos c -f" '^'^ ^ ^^^ ^ ^^* ^* cos y =a cos dc cos i 4~ ^'^ ^ ^^^ ^ ^^* y* - 45 - Tironi de là lei yaleurs de sin a^ sin y, cos d^, ces y pour les lubtii- tuer dans Tégalité (a) ; il vient — r sin a sin t sin c sin A &=> sin |3 (cos y — cos a cos b) + sin y (cos |3 — ces a cos tf). Remplaçons encore cos bf cos e p&r les valeurs cos a cos y — | sin a sin y, cos a cos |3 — ^ sin a sin |3 et observons qne sin b sin c sin À. =» sin a sin A« ; nous anrons 2 —7^ sin a sin a sin Aa «s siD |3 (cos y — cos* a cos y 4- 1 cos a sin a sin y) 4- sin y (cos |3 — cos' a cos P -f- 1 cos a sin a sin /3). Réduisons encore en remarquant que oos y — cos' « cos y«=cos y sin' a, cos j3 — cos* a cos |3=scos |3 sin* «, etc. (J. N.). Çaesitloii 979. (Voir JUathâiii (2) IV p. 239). Une courbe fermée plane C ioume iane eon plan autour éTun point 0. On emeieage la courbe Ci, liiu du point de cette courbe pour lequel la tan" çente eet parallèle d une direction Axe. 1* On demande de construire la tangente en un point de Ci . 2* Démontrer que faire limitée par la courbe Ci eet minima quand le point 0 se confond avec le centre de gravité de la courbe C, la densité en chaque point de cette courbe étant supposée proportionnelle à la courbure. d* ù désignant c^te aire minima et Q' l'aire relative à un autre centre de rotation 0\ démontrer la relation Û' = û 4- TT 6Ô" (R. Bricard.) Solution par M. Stuyvabrt. Prenons pour pôle le centre de rotation 0, et pour azcy une parallèle Ox à la direction fixe. Soit A le point de contact de la tangente AT parallèle à Ox avec la position initiale de la courbe C. A est donc un point de C|, — 46 — Dans la position voisine de C, le point A vient se placer en Ai après avoir décrit un arc de cercle, et le nouveau point de contact est B. Les tangentes en Ai et B font un angle Aa qui est égal à Tangle de rotation AOAi.La position limite de AB est la tangente en A à la courbe Ci (Noos supposons la convexité de C tournée vers 0). Dans le triangle AAiBi on a : sin AiAB A|B sinABA,*^ÂÂ^ ^^ l'arc A|B estraccroissement AideTarc de la courbe C, correspondant à Aa et Tare AAi est égal à rA«, r étant le rayon vecteur OA. Quand on passe à la limite, les droites AAi, BAi, AB deviennent res- pectivement la perpendiculaire A» à OA, la tangente AT à G et la tan- gente cherchée A^ à Ci . Donc si l'on appelle |3 l'angle tkT et 6 l'angle AOâ;, la proportion (l), par passage à la limite, devient (2) co8((3 — 6)^ ds ^p^ ^ sin/3 rda r* p désignant le rajon de courbure de C en A. De la relation (2), on tire tg|3. -''^' rsin6-J-p Soit D le centre de courbure de C au point A ; DA rencontre Om en E, DE = r sin 6 + p et CE = r cos 0. Donc ^P=-DÊ- c'est-à-dire que la tangente en A à la courbe Ci est perpendiculaire à CD. Si l'on fait la figure dans le cas où 0 est dans la concavité de la courbe, on trouve par des raisonnements semblables ^^ p — rsinfl et l'on arrive, que p soit supérieur ou inférieur à r sin 0, an même résul- tat que précédemment, à savoir que la tançinU en k à la courte Ci at fêrpendiculaire au rayon vecteur CD ahoutiitaut au centre de eouriure D de la courbe C au même point A. 2* L'accroissement ASi de Taire Si de la courbe Ci, quand on passe de la position A à la position Ai est le triangle curviligne OAB. - 47 — Appelons A9i Tangle BOA. ; on a éfSi «a ^ r*i{9i . Mais, en faisant ionr- ner OBA| autour de 0 jusqu'à ce que OAi vienne en OA, on voit qae B se place sor la courbe C et le triangle OBAi est donc une portion de la surface S de la courbe C; appelons A 6 Tangle BOAi; on aura dS = { rHB. Or la figure montre, si C tourne sa convexité vers 0, que BOA — BOA, + AïOA, A9, = A9 + Aa. Donc on a la relation analogue pour les différentielles des aires, savoir : rfS, = { rW + \ r'da. Pour avoir Si il faudra prendre Tintégrale du second membre entre des limites telles que la courbe initiale C soit complètement décrite. Entre ces limites Jf r'tfO est la surface S limitée par la courbe C, prise avec le signe moins. Si la courbe C tourne sa concavité vers 0, on verra de même que A6i= Aa — AO, mais alors J*^ r^àh est la surface S prise positivement. Dans tous les cas, les limites de œ sont 0 et 27r, puisque la tangente doit envelopper complètement la courbe, et Ton a toujours S,= lr«ia — s. Déterminons les coordonnées X, Y du barjcentre de courbure G de la courbe initiale C. Par définition, le poids de la courbe est tir et les coordonnées X, Y sont données par les relations : I kxda l (tdoi Jo *^0 1 /«27r /»2 j_r®' 27rJ^ XdoLt 0 £ 0 — 48 — et, si les axes sont transportés parallèlementi l'origine en Q, on a, af et y' étant les nouvelles coordonnées, l a'da =i l f'da = 0. ^0 Jo Mais, par ce changement de coordonnées, on trouve Le premier terme vaut /»2ir i*2ir /ifijr JQ Jq ^0 la première partie est égale à ttX* et la deuxième à 0. De même pour le second terme de (a); donc JirV« = 7r(X« + Y«) + if'(«'«+y'«)i« «^0 et enfin, S, = tÏÔg' + { r '' («'• + fr")ia— S ; les deux derniers termes étant indépendants de la position du point 0, cette égalité démontre la deuxième et la troisième partie de renoncé. Voir {Matheêiê, (9) VI, p. 264). Construire un pseudocarré ABCD, connaissant : l"" Le calé AB et les distances des sotnnuts A, B au côté opposé CD. 2? Le côté AB et les distances des sommsts C, D au côté AB. 3® La diago- nale AC et 1$ côté AB et soit la distance du milieu de AB à CD, soU la distance du mUieu (b CD d AB. 4* Les côtés opposés AB, CD et leur angle. 5* Les côtés opposés AB, CD et la diagonale AC. 6* La diagonale ABetles angles opposés C, D. 7* Les côtés AB, AD et F angle B. (DArriz.) SotuHmpar M. J. JoNEsc»n. Soient KK'± CD, BB'XCD; DD'J_ AB; lCJ_kBi A« _LBC ; OPXBC. Soient E le milieu de CD et 0 le milieu AB;EFXAB; GHJ_BC. Appelons I le centre du carré ABRS, 0 itetMOtioo des droites AB, CD. On sait que t'=.DB', BB'=CA', DD' = AC', CC'=BD', ID = IC, Aa = B|3, IDC=.ICD = 45'. mo : EF = J (DD' + CC') = 1 — «); donc7;;=4^iri-^j« 7%%. Par le point d'intersection A de deux circonférences 0, 0\ on mène une sécante quelconque qui rencontre ces lignes en B et B' ; les diamètres BO et B'O' se coupent en M. Trouver le lieu géométrique du point M. L'angle OMO' = OAO'; car OBA = BAO, O'B'A = 0' AB'. Le point U décrit donc une eireonférenoe passant par 0,0' et par le second point d'intersection des ciroonlérenoes données. QUESTIONS PROPOSÉES. ttet. {BÊCiifieation). Déyelopper le déterminant suivant k2%'\'2 «g PW 1 0 1 0 0 1 0 1 — 1 s — 1 0 0 — 1 « - l 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.... — 1«— i Trouver sa valeur pour ip = 1 et pour f = 2 (*) (Stutvâkit.) Ii99. Soit MN la corde normale en un point M d*une ellipse donnée. hà oerole de diamètre MN rencontre encore l'ellipse en un point P« — 68 — Trouver le degré et Taire des courbas sniyantes : 1* L*enveloppe de NP. 2* Le lieu de la projection do oentre de l'ellipse sur NP. 3® Le lien do milieu de NP. 4* Le lieu du pôle de NP par rapport à l'ellipse. (B. N. BAKism). ^ti09. Si Qm^ désigne la somme des produits ji à ji des firactioM r» ô *;;»•••» ~ f on a la formule : 12 3 n 's"q».p = 5(ii« + 3ii). (H. BLLHDÀBr). ^tt09. Soient ABC un triangle sphérique dont les côtés €, >, e sont inférieurs à un quadrant; A', BS C des angles inférieurs à deux angles droits et tels que ., cosA ^, cosB ^ cosC COSA'sr , cosB'sa 7-» cosC = • cos a cos 0 cos e Démontrer que la somme A' -f' B' "f" ^' ^^^ aussi inférieure à deux ■ angles droits. il tO. On donne une involution sur une droite u et un point F exté- rieur à u. Si d*un point quelconque A de t» on abaisse une perpendicu- laire AA'' sur la droite PA' qui joint A au conjugué A' de A« AA" enyeloppe une parabole, dont le fojer forme ayec les points doubles de l'involution et le point P un quadrilatère harmonique. (Daoz Farmt). PUBLICATIONS RÉGENTES- 5. Elliptoïdale evenwiehUvormen eener wenUltnde homogène vloeiitofwiëim, door S. KbUqer, 8. J. Leiden, J. W. Leeuwen (VIIl-196 p. in 8*). 6. Théorie des éguatione algébriquee par J. Petbbsbn» professeur à rUnivenité de Copenhague, traduction par H. LA.URXMTy Examinateur d'admission à TÉoele Polytechnique de ParU. Paris, Qauthier-Vlllars et Fils, 1897 (XIU-S&O p. in 8^. Prix: 10 fr. 7. Leçone nouoellee sur VaneUpee inUnUétifnale et tee ëppUeéUtone géotÊUiHpm par M. Ch. Méràt, professeur à la Faculté des Sciences de Dijon. Paris, Gaathier- ViUars et Fils, 1897 (YI-206 p. gr. in 8*). Prix : 7,50 fr. Voici rindication rapide des si^ets traités dans ce nouveau volume du Cours si original de M. Méray. 1. Intégration indéfinie. 2. Intégrales définies, quand on ne connaît pas l'intégrale indéfinie. S. Équations différentielles élémentidrês. 4. Equa- tions aux dérivées partielles du premier ordre. 5. Maxima et minima et calcul des variations. 6. Intégrales doubles et triples réelles. ÀddUione, 1-2 surunlemme à substituer au lemme de Cauchy dans la théorie des fonctions; démoostratioa -fô - dlnete da lemme de Canchy. 3. Sur la non-nullité du déterminant diiSSrentiel i>ar rapport aux constantes arbitraires d*nn système intégral général. 4. Sur la possi- bilité de faire croître sans limite le module d*une fonction indéfiniment olotrope. S. Sur un cas étendu dans lequel Hnterpolation permet de représenter une fonction a¥«c mke approximation indéfinie. THÉORÈMES SUR LBS TRIANGLES TRIHOMOLOGIQnSS, par M. H. Yàn Aubiu professeur honoraire. Les points du plan d*un triangle de référence ont six à six les mêmes coordonnées barjcentriques. Ainsi, à trois nombres donnés a, P, y corres- pondent le« six points : M.(«,p,y), M» (13, y, a), M.(y,«,P); N.(«,y.p), N»(y.|3,a), Ne (P, a, y). Btant donné le point Ma, il est facile de constraire ses conjugués iiota- rifuet. Soient Ai, Bi, Ci les points de rencontre de AMa, BMi, CM^ avec les côtés opposés, et A'^, B'^, C'^ leurs isotomiqoes (symétriques par rap- port aax milieux des côtés de ABC) ; nous désignons aussi par (As, Bs, Cs), (Ai, Bs, Cs),... les points de rencontre des côtés de ABC avec les droites joignant les sommets opposés aux points M^, Me, N«,... Cela posé, il snfflt de mener A'^C,, B'As, C'^B. ou C^Ai, A'^Bi, B'^Ci respectivement parallèles à CA, AB, BC, puis de joindre les points obtenus aux sommets opposés. Si Ton mène B1C4 , C|B« parallèles à BC, les droites AA', , BB4, GC4 concourent en N«, etc. Pour abréger le discours, nous disons que les triangles M«MftMe, N«NfrNe sont iiohariquei avec ABC. Inversement, ABC est isobarique arec MJd*M«, les coordonnées étant maintenant a' — Py, P' — y a, y* — o^; il est également isobarique avec N.N«Nfr, les coordonnées étant Soient D, E, F trois points qui divisent BC, CA, AB dans un même rap- port « : m; leurs coordonnées étant (0, «1, n), (n, 0, m), (m, n, 0), DFË est on triangle isobarique inscrit à ABC. Les isotomiques D[ Ë' F' de D, E, F •ont les sommets du triangle isobarique inscrit D'F'E'. Les propositions que nous allons énoncer se démontrent très facilement •oit par les éqnipollences, soit par la géométrie analytique. Nous j appli- fierons les notations précédentes. I. Le triangle isobarique M^M^Mt est triplement homologique avec — 54 — ABC; lee centres dliomologie de M.M»Bf, arec ABC. BCA| CAB ont poor coordonnées GtD' Q'H} (l'-a'\} Ponr les relations entra les centres et les axes d'homologie, on peut voir J. M. S., 1887, p. 103. Les centres d*homologie d'un triangle isobariqne inscrit DFB areo ABC, BCA, CAB coïncident avec les sommets A, G, B. II. Si M«M*BI«, NaN*N« sont deux triangles isobariques arec ABC, le triangle MaM*Me est triplement homologique avec N«NftN«. III. Le triangle M^M^M», isobariqae ayec ABC, est triplement homo- logique avec le triangle DEF dont les sommets diyisent BC, CA, AB dans un même rapport. IV. Si MaMftMey N«NftN« sont deux triangles isobariques arec ABC, N«N»N« est trihomologique avec tout triangle dont les sommets diyisent MftMf, MeM«, M«Mft dans un même rapport* V. Soient D, E, F des points qui divisent BC, CA, AB dans un même rapport, et D', B', F' des points divisant les mêmes côtés dans un aotre rapport. Si Ai, Bi, Ci sont les points de rencontre de DE% EF\ Fiy avec FDS DE% BF', et que At, Bi, Ct désignent les points de rencontre de DF| ED', FE' avec ED\ FB', DF\ les triangles AiB,Ci, AgCtBt sont trihomologiques. VI. ^ur les côtés BC, CA» AB d'un triangle ABC, on prend les points A', B' C, tels que ---=---= -p^ -= « et lea points A", B", C", t«b ïskj oa au que BA^^ CB^^ kC"^ BC "" CA "" AB ~ * ' V Les parallèles à AA'', BB'', CC", menées par A', B% C, concourent en un point M. Les parallèles à AA'', BB", CC', menées par B', A', C\ concourent en un point N. Les parallèles à AA", BB", CC, menées parC, B',A', concourent en un point P. 2* Ces trois points, étant désignés par 0«, 0*» 0« dans le cas où «ii^Ov parcourent respectivement les côtés 0»0«, O.O*, 0«0« du triangle 0«OiOf, lorsqu'on fait varier m ; — 55 — 3* Ld8 couples de triangles (ABC, MNP), (A"B"C", MNP), (A'B'C, A''CB'08ont trihomologiques; le triangle 0«OeOi est trihomologiqae arec chacun des triangles A'B'C, A'^B'^C, MPN. 4* Les triangles 0«0*0«, MNP ont le même centre de grayité que le triangle ABC. VIL Après ayoir divisé les côtés BC, CA, AB d*un triangle ABC dans on même rapport m : n, aux points D, E, F, on mène les droites B0«, 00», A0« parallèles respectivement à CF, AD, BE jusqu'à leur rencontre avec AD, BE, CF; par le point 0., des parallèles aux côtés BC, CA, AB, rencontrant les deux autres côtés en Ba, Ca, en Ca, Aa, en A^'» Ba; par le point 0», des parallèles à ces côtés, rencontrant les deux autres en B»' et C^, en C'î et A^, en A»' et B^, et, par le point Oe des parallèles à ces côtés, rencontrant les deux autres en Bé', C^, en Ce , A^, en A^', Bé : 1^ Les triples de points : (Ai, Bâ, Cii), (A*, Bé, Ce), (Ac, Bi, Ci), (Ai', Bi', Cï), ...,•••; (Aâ, Ci, Bc)f (Bàf Aftt Ce), ..., (A^f C^', Bi'), ..., •..; ■ont en ligne droite, et Ton a : q:A;:AiBi = CiAi:AiB6 = ...=C;'A;':A;'B;' = ...=«:*, Aid : CiB'e = B;M : A»C;c=:CaBé : BiA;»«i : «, Ci'B;' : Wc'K = Ai'Ci' : Ci'B;' = B;a;' : Ai'C; = m : ». 2* Les six triangles A^Bic;, BiciAi, ciAiBi, Ai'Bi'Ci' , Bi'c/A;' , c:a»'b;' ■ont trihomologiques deux à deux, si l'on permute les lettres de deux sommets dans un des triangles de chaque couple. 3* Les quadrilatères BiAiAi'C* , CaB^Bc A^' > AiCiGa'Bi' $ A^BéCé A^' , BéCaA^'B^' , C'gAiB'dCg ■ont des parallélogrammes dont les centres M«, M», M«, N«, N», Nt, sont les sommets de deux triangles, qui valent chacun le quart du triangle ABC. 4* Chacun des triangles M«M«Mft, N«N«N» est trihomologique avec chacun des six triangles précédents; M«M»M« est trihomologique avec 5* Ces huit triangles ont le même centre de gravité que ABC. VIIL Après avoir divisé les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC dans un même rapport m : n, aux points a, b, c, on mène les droites B0«, 00», A0« parallèles respectivement à Ce, Aa, Bi, jusqu'à leur rencontre avec — 66 — A«» Bft, Ot*, par lee points 0«, 0», 0«, des parallèles à la médiano AD, renoontrant BC, CA, AS respeotiyement en A«, B«, C«, en Aè» B», G», en At| B(, C o puis des parallèles à la médiane BE, rencontrant CA, AB, BC en B«, g:, Ai', en B», G*, Ai', en B^ C^, A;'» enfin des parallèles à la médiane GF, renoontrant AB, BG* GA en G^, Aj, B., en G«, A», Bi\ en Cf, Ae» B!f* : 1* Les dix triangles 0.0|0c, A*B»a. B«G|Ae. GaA»Br AiBiG;, «iGiAi, C:AiB;. k"Ji**f>" 1>'»0"A*' r»»»A»*l>" A^ojVe, lS«OéAcy WA»!^, qui ont le mémo centre de gravité que ABG sont trihomologiqiieB deux à deux, si Ton permute les lettres de deux sommets dans un des triantes de chaque couple. 2* Les triples de points (A^» B«, G*), (Aè, B|, Ce) ••• (A^;, ^» Oi), ••• (Ai', h!, Cf) — qui sont en ligne droite, déterminent sur ces droites des segBSBts qui sont dais le rapport m : n. 9* Les triples de points (A^,,C*.a). (R,A..C.), (C.,R.,A*), (A;,GhB)9,..., qui sont en ligne droite^ déterminent des stcmeits q« «Mit dans Is rapport a — si : Ss -l* **« 4* Les quadrilalèNS A^cWRr» B^A^BeCv- C^BAAc* ArCrA*^» B),Ari^C«* CACiAs* AitVV^Rt- ^V«B»C«. CAiCtAé, ssad des paraifakvrtïïnnes v^a^ n«gC), (CA1B2, B.CiA), (AB|C>, CiAiB), coïncident en R et les six autres sont à l'inâni. 4** Soient L, M, N les points de rencontre B|Ci, Ci Ai, AiBi avec AsBz, BtCi, CtAi; L,, Mi, N. ceux de BiCt, dAt, AiB, avec AB, BC, CA; Li, Ml, Ns, ceux de BC, CA, AB avec A|Bi, BiCi, CiAi; les droites LMN, LiMiNi, LiMsNz, qui sont les axes d*homologie des couples de triangles (AiBiCi, CiAtBt), (AiBiCt, CAB), (ABC, C.AiBi), passent par un même point 0; les trois triangles LLiLs, MM1M2, NNiNs, homothétiques à AAi At« sont trihomoldgiques deux à deux, trois de leurs neuf centres d'homologie coïncident en 0 et les six autres sont en ligne droite. 5* Les trois triangles LM|N>, MNiLi, NLiMi, homothétiques à ABC, sont trihomologiques deux à deux ; trois de leurs neuf centres d*homolo- gie coïncident en 0 et les six autres sont en ligne droite. X. Sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC, on prend les points D, E, F, qui divisent ces côtés dans un même rapport, et Ton construit las triangles Isoscèles directement semblables BAïC, CBiA, ACiB : 1^ Pour que les parallèles à AD, BB, CF menées par les points Aiy Bi , Cl, passent par un même point M, il faut et il sufQt que ces points soient las sommets du premier triangle de Brocard; en même temps las parallèles à BE, CF, AD menées par ces points concourront en un - 68 - point Ny et les parallèles à CF» AD, BB partant de ces pointa passeront par un point P. On sait d'ailleurs que les points de concours des droites, menées des sommets Ai, Bi, Ci, du premier triangle de Brocard, paral- lèlement à BC, CA, AB, à OA, AB, BC, à AB, BC, CA, sont le point de Lemoine K et les conjugués isotomiques &>i, (ù\ des points de Brocard. 2* Si Ton construit les triangles isoscèles directement semblables BA'C, CB'A, AC'B, pour que les parallèles à A AS BB', CCS menées par les points D, E, F, concourent en un point MS il faut et il suffit que les hauteurs de ces triangles isoscèles soient le triple des distances du point de Lemoine à leurs bases ; en même temps, les parallèles à AA', BB% CU, menées par les points E, F, D et par les points F, D, E passeront par un point N' et par un point P'. Si Qa est le point de concours des droites AAS BBS ce et Q», Qo les points de concours des droites menées par B, C, A et par C, A» B parallèlement à AA', BBS CCS les points MS NS P' se meuvent respectivement sur les côtés Q»Q«» QoQ«» Q«Q» du triangle QaQàQo, quand on fait varier le rapport BD : DC. 3* Les triangles AiB.C, K(0|&);, MNP, Q«Q»Qe, M'N'P' sont triho- mologiques avec chacun des triangles ABC, DEF; ils sont également trihomologiques entre eux deux à deux, si Ton permute les lettres de deux sommets dans un des triangles de chaque couple. 4* Ces triangles ont le même centre de gravité que le triangle ABC. XI. Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on prend les points AS BS C tels que BA' CB' AC^ Bc'^Ca"" AB™*"' et, sur les droites AAS BBS CCS les points M, N, P, tels que AM BN CP AA' BB' ce = n: le triangle MPN est trihomologique avec chacun des triangles ABC, A'B'C . XII. Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on prend les points AS BS C tels que BA' CET AC'_ bc""ca""ab~*** les droites AAS BBS ^C' se coupent doux à deux aux points M, N| P, IMur lesquels on mène respectivement B,Oi, CiAi, AiBi parallèles & BG, CÂ, AB, puis C)At» AjB), BtCi parallèles à CA, AB, BG, enfin AsBs. BiGs, GfAs parallèles à AB, BG, GA. Les triangles MPN, AiG.Bi, AsG«Bsy AgGgBg sont trihomologiques avec chacun des triangles ABG, A'B'G' ; ils sont trihomologiques entre eux deux à deux, si dans Tun des triangles de chaque couple on permute les lettres de deux sommets* XIII. Sur les côtés d'un triangle ABG, comme baies, on construit les triangles isoscèles directement semblables BA'G, GB'A, AG'B, et, sur les côtés du triangle A'B'G', comme bases, les triangles G'A"B', A'B"G', Wh!'C' directement semblables aux précédents : le triangle k!'Q"W est trihomologique avec ABG. XIY. Etant donnés, dans le plan d'un triangle ABG, les points Al, Bi, Gi, dont les coordonnées barjcentriques sont (a, |3, y)^ (^, y, a), (y, a, p), on prend sur les droites AAi, AB|, AGi, BA|, BBi, GG|, GAi, GBi, GGi, les points Ma, N., P», M*, N*, F*, Me, Ne, Pc, qui divisent ces droites dans un même rapport. Les triangles MaNcP*, M^NaPc, McN^P. sont trihomologiques avec ABG; ils sont trihomologiques entre eux deux à deux, si dans Tun des triangles de chaque couple on permute les lettres de deux sonmiets. Anvers, 12 janvier 1896. ''NOTES MATHÉMATIQUES. 7. Sur les irianglet semiconjugués. Un triangle formé par une corde d'une conique et les tangentes en ses extrémités peut être dit semicon' jitfuéf parce que chaque sommet a pour polaire un côté du triangle. Diuw triangles ABG, A'B'G' semiecujugués à une mêms conique 2 sani inseriU à une seconde conique l' et circonscrits à une troisième conique 1". £n effet, soient AB, A'B' deux cordes de 2 et G, G' leurs pôles. Désignons par M, N, P les points d'intersection des couples de droites (GA, G'A')f (AB', A'B), (GB, G'B'). Dans le quadrilatère circonscrit GMG'P, les diagonales MP, QC et les cordes de contact des côtés oppo- sés, AB' et A'B, concourent en un même point N. Il résulte de là : l*' que GAB'G'A'BG est un hexagone de Pascal, ayant pour pascale MNP; 2* que AMA'BTB est un hexagone de Brianohon, dont les diagonales principales concourent en N. (J. N.) ^9. Sur Vextraetion de la racine carrée des nombres. Soit N un nombre — 60 — dont la racine carrée est lOi + %] i représente le nombre des disaines de la racine et «, le chiffre des unités. On peut écrire (lOd + uy < N <(10i + « + 1)' ou 100eP + 20rff^ + f^« 90 et le plus grand nombre de dizaines que puisse contenir ce reste est ainsi 2d(u-\'l) + 9. Or, pour obtenir le chifire u des unités de la racine, on divise le nombre des dizaines du reste par 2d; dans le cas le plus défavorable le quotient sera celui de 2rf(f^4-l)-h9 9 par 2^ ou %-{-! -f'Â>®^ ^^^^ ^® nombre maximum dressais pour Tob- tention de u est donné par le plus grand entier contenu dans ( ^ + ^ ) * On étend facilement la théorie précédente à Textraction de la racine ^iim» ^^ nombres et Ton trouve que le plus grand nombre d*essais à effectuer pour Tobtention de u est donné par le plus grand entier contenu dans Texpression .10(11-1) 10(11- l)(ii^2) 10(ii^l)(n^2)(ii-3) ^ '^ dX2\ ^ i"X3I "^ rf»X4! ~ ~d^*X2\~a^*~nd^'' 9 Pour « = 2, on retrouve £t= 1 -i"55* , • 10 , » Pour ii=b3, on obtient Bi«™ 1+-7-+q^* — 61 — Il est évident qae les essais ci-dessus mentionnés sont aussi compris dans les quotients supérieurs à 9, quotients qui en pratique se trouvent tout de suite éliminés. (B. BARBBTTBy Liège.) ^9. Sur les triangles sphMques. Théorèmb. Soient a, b, e, A, B, G les côtés $t les angles d'un triangle sphérique. Suivant que sin' { a est ^al, supérieur au inférieur à sin* f i -|- "^^* ? ^» V angle A est ^al, supérieur ou inférieur â B + G. (Bosi, Periodico di Maiematica). A la démonstration un peu longue qui vient de paraître dans le Journal italien, on peut substituer la suivante qui se rapproche de celle d*une proposition analogue de géométrie plane. Soit A' le milieu de Tare BG. Si la médiane AA' = A'B » A'G, on a A = B -}- G; si A A' ^ A'B, on a respectivement B^A'AB, G^A'AG, d'où B + C^A. De A' comme pôle décrivons un petit cercle ^ passant par B et G. Dans rhjpothèse de A'A ==: A'B, ^ passe A, et Tangle rectiligne BAG inscrit dans un demi-cercle est droit; comme les cordes BG, BA, G A sont égales à 2 sin ^ a, 2 sin | i, 2 sin ^ €, on a sin* {a = sin* { > + sin* J c. Soit A'A > A'B. Appelons M le milieu de la corde BG et Ai le point où Tare de grand cercle A'A coupe ^ ; l'arc A'A étant moindre qu*un quadrant» la droite MA est plus grande que la droite MAi ; donc, si Ton fait tourner le plan ABG autour BG, pour amener A dans le plan de A, A se placera à Textérieur de A. On conclut de là que l'angle rectiligne BAG est aigu, et que BC* + sin«-c. ^ éC éC L'hypothèse A'A < A'B se traite d'une manière analogue. Si l'on transforme la proposition au mojen du triangle polaire, on trouve le théorème suivant, également signalé par M. Bosi (ibid) : Si cos* v-est égal, supérieur ou inférieur à la somme 2"^ 2' K-\-a sera respectivement égal, inférieur ou snpérieur à la somme i + e. (J. N.) - «8 - !•• Mwi de Wiier$ira$$. Le doyen des géomètres do rAllemagne et, sans doute, du monde entier, Weierstrass, est mort à Berlin, le 19 février dernier. Il était né à Ostenfelde, en Westphalie, le 31 octobre 1815. On lui doit de profondes recherches sur la théorie générale des fonctions analytiques et sur celle des fonctions «béliennes et il a transformé complètement la théorie des fonotiops elliptiques (Voir Mathesii. 1895, (2), V, 273). DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE DES WRONSKIENS, par M. A. Dbmoulin, répétiteur à TUniveniité de Gand. Soient ^1, ..., y« n fonctions d*une variable â?; représentons par W (^1, ... , y») le wronskien de ces n fonctions, o*est*à-dire le déterminant formé avec ces fonctions et leurs dérivées des {n — 1) premiers ordres. Dans une note antérieure (Maikesiif 1889, IX, 136), nous avons montré que Tune des propriétés des wronskiens se traduit par l'équation W(y.,...,y.)-y?w(l,?î,. ..,?:), (1) en sorte que le signe W possède la même propriété que le signe des fonctions homogènes. Appliquons cette formule aux fonctions tyi, ..., ^y«, t désignant une fonction arbitraire de â?; il viendra W(/y.,...,/y„) = /'y7w(l,Ç,. mÇ), \ y< y*/ d*où, par comparaison avec la formule précédente, W(/y,,...,' les coefficients at, ..., a» étant des constantes qui ne sont pas toutes nulles. Intégrant et désignant par ai une nouvelle constante, on trouve If* t y y^ ûtj y. ... -4- ct.% — == — a, yi yi d*où oLiyi 4" ••• + °^*y* = ^• SUR UNE C0NIQU8 INSCRITE OU CIRCONSCRITE A UN TRIANGLE; par M* Stutvabrt, anelên élève de l*Écolê normale des Sciences, professeur à l'Athénée royal de Oand. Nous nous proposons, dans ce travail, d'étudier, par les procédés de la Géométrie projective, quelques-unes des figures qui naissent de la combinaison d*une conique avec un triangle inscrit ou circonscrit, et une involution de points ou de rajons conjugués par rapport à la conique. - 64 - I. t. Oq a, en Géométrie élémentaire, les théorèmes suivants : Les hauteurs d'un triangle se coupent en un mim$ point. Le lieu des points tels que leurs projections sur les trois eôtA d'un triangU sont en ligne droite est la circonférence dreonscrite à ee triangle (Théorème de Simson). La droite de Simson relative à un point de la drcot^érenee partage en deux parties égales la distance de ce point à V orthocentre du triangle. En généralisant par projection centrale et en faisant la théorie corré- lative, on obtient les six propositions suivantes : (I) Fiant donnés un triangle ABC et une involution de points sur une droite n, les droites joignant kf B, C respectivement aux points As, Bi, Gt de la droite n, conjugués de ceux où cette droite rencontre les côtés opposés du triangle, se coupent en un même point H. (II) Le lieu des points M tels qu'en les joignant aux points At, Bs, Ct, les droites obtenues rencon- trent les côtés correspondants du triangle en trois points As, B». d en ligne droite est une conique pas- sant par les sommets du triangle et par les points doubles {réels ou imaginaires) de Vinvolution donnée. (III) Les points M e/ H sont con- jugués relativement à Vangle des droites net kihiOi, (I') Etant donnés un triangle ABC et une involution de rayons autour d*un centre N, les points d'intersection des côtés du triangle avec les rayons atisCt» conjugués de ceux qui passent par les sommets opposés du triangle, sont situés sur une mime droite h. (IIO L'enveloppe des droites m telles qu'en les coupant par les râpons atf bit Ci, on obtienne trois points alignés^ arec les sommets correspon- dants du triangle 9 sur un même point S, est une conique tangente aux trois côtés du triangle et aux râpons doubles {réels ou imaginaires) de Vinvolution donnée. (Iir) Les points lietS sont con- jugués relativement à l'angle des droites m et h. La figure ci-dessouâ se rapporte seulement aux théorèmes (I, II, III). Le théorème I est bien connu, mais généralement énoncé sous une autre forme ; nous y reviendrons au § II. La méthode par projection ne démontre le théorème (II) que dans le cas où la droite n ne coupe pas la conique, mais cette proposition est vraie dans tous les cas, en vertu du principe de continuité énoncé par Poncelet. •. Parmi les Dombreux cas particuUara d«B propontiona ei-deanit, ItODS tes deux suivants ; Si par Ut toiitmels d'un triangle on ménedes droitet antiparaîUîet aux Uét oppotét par rapport à •■ direction rtctançK- tirtt, cfs droilti u coupent I un point K dt la dr- tn/értuci circomcrile au ianfte. Le lieu det jioinlt M teU t lit droite» antiparal- :i menées de chacun d'eux X CâUs d'un triangte.par apport à deua direcliont Kfançulairit, rencontrent I C'/tét en trois points A -, , tt. Ci, III ligne droite, est ttkyptrhole équilatère cir- mtcrite au triangle, et dont les asymptotes sont parallèles aux deux irselions données. La droite As B. d pa4se par le milieu de MK. Si l'on rapproche ces énoncéa du lhéoi*énie de SimsoD et si l'on se r&p- lelle que toute hyperbole équilatcre circonscrite à un triangle passe par 'orthoceutre do ce Iriaagle, on obtient un ensemble da propriétés de iture k faire bien ressortir l'analogie du cercle et de l'hyperbole équi- Ktère. S. Revenons au Ihéorëme (II) du n* I. Quand le point M décrit la onique, od reoonnait sans peine que les ternes de points Ai, Bi, Ci sont mmuiis à deux homographies du troisième ordre et du second rang ; T suite, la droite AiBjCi enveluppe une courbe de troisième classe. !eile-ci possède une tangente double et a certaines relations avec la ionique lieu du point M. Pareillement le lieu do point S considéré dans le théorème (II') est M cubique :tyaut un point double. Nous ne nous étendrons pas daran- igo sur ce sujet, parce que l'on retrouve ainii un cas particulier du loda de génération des cubiques dû ù Grmssmano. CoDt«DlonB-nous do résumer ci-après le résultat de cette rechertibe: — 66 - Toute cubique acnodale peut éire obtenue en projeiemt le lieu dee palet des droites de Simson relatives aux points d'un eerde eireenseril à un triangle. Toute cubique crunodale peut être obtenue en projetant le lieu des pâles des droites Âi, Bs, G» (définies au n* Jl) relatices aux points d'une hyperbole éiuilaiire circonserile à un triangle. IL 4. Le théorème (I}da n* 1 8*énonce généralement ainsi : Les côtés d'un triangle et les rayons qui projettent^ d'un même point H, les sommets opposés^ coupent une droite n en six points en involution. A parler plus exactement, les deux énoncés sont réciproques, mais puisque deux couples de pdnts déterminent l'involution, Tun des théorèmes entraine évidemment Tautre. Les sommets du triangle et les points doubles de Tinyolution détermi- nent une conique (2). Pour comprendre le cas où ces points doubles sont imaginaires, il suffit de dire qu*il existe une conique passant par A, B, C et par rapport à laquelle les points correspondants de rinvolution sont des points conjugués (*). A. Si la conique (2) est donnée, à toute droite n du plan oorreapend un point H que Ton obtient en joignant A, B, G, respectivement aux points conjugués de ceux où les côtés opposés, a, i, c, coupent n. Cea trois droites concourent en H. En pratique, on opérera comme il suit : soient a(iy le triangle formé par les tangentes en A, B, G, et N le pôle do la droite n. Les droites Na, N3, Ny coupent n en As, B,, d et les droites AAt, BB], GCt con- courent au point H. Nous avons omis ces nouveaux éléments dans la figure du n® 1 pour ne point trop la charger. Si n est une tangente à la conique, H est au point de contact; si n coïncide avec un des côtés du triangle ABC, M est indéterminé et situé sur ce côté; enfin si n passe par un sommet du triangle, H coïncide avec ce sommet. (*) En géométrie projective, on définit on effet deux points imaginaires coi^ngués par une involution elliptique. Cette idée est de von Staudt; on la trouvera déve- loppée dans un mémoire de M. Cl. Servais : Sur les Inuiginairtê tu GéemétrU (Extrait du tome XLIX des Mémoim amnmnéi et autres Mémoires publiée par l'Académie royale de Belgique, 1894). - 67 - •• Réciproquement, ai Ton donne la conique, le triangle ÂBC et le pointHnon situéenundes sommets du triangle, la droite» est déterminée. En effet, on a^ dans la figure, (rois droites fixes HA, HB, HC. £n joignant un point de HA au point de HB conjugué du premier par rapport à la conique, on obtient une droite passant par deux points correspondants de deux ponctuelles projeetives ; cette droite enveloppe une conique. De même la droite menée par un point de HA et le point conjugué situé sur HC enveloppe une deuxième conique ayant, avec la première, trois tangentes communes réelles, qui sont les droites a|3, (By, yoL considérées daon le n* précédent. Donc ces coniques ont une quatrième tangente commune réelle, qui est la droite n. Le raisonnement est en défaut quand H est en un sommet du triangle ABC, mais on vient de voir que toute droite % passant par un sommet A a pour correspondant ce même point A. 7. Corrélativement, si l'on joint un point H aux sommets a, (3, y d*un triangle, et aux points où une droite % coupe les côtés opposés, on a une involution de rajons; les rayons doubles et les côtés du triangle a|3y sont tangents à une certaine conique 2i* On a, pour déterminer la droite «, un procédé pratique analogue à celui du n® 5. §. L'analyse conduit aussi aux résultats précédents. Ainsi dans la demîire question (n* 7), prenons pour triangle de référence le triangle ABC ayant ses sommets aux points de contact dç Pj^, ya, a|3. Soit lyt'^mix-\' %xy = 0 réquation de la conique, et soient â?i, ^i, Zi les coordonnées du point H ; aprèai quelques calculs, que le lecteur pourra s'exercer à refaire, on trouve, pour Téquation de la droite «, m [ififM?! (mf , + %%%) i^yxtx + mtxXx + iwPiyi)] + % \^yy («^< + fol) ('yi«i + 2m«ia?, + iia?iyi)] + 1 [/msi (Zyi + i««i)(/yi^i + mtxXx +2«jfiyi)] = 0. La conique (Zi) ici considérée est la conique polaire d'un certain point Pn par rapport au système du 3» ordre formé par les droites AB, BC,CA. Les coordonnées de P sont proportionnelles à /, m, «. L'équation précé- dente montre que si H coïncide avec P, la droite u coïncide avec U polaire de P par rapport à la conique (2,). {A continuer.) (^11 est question de ce poiatdans rarticle de II. Krihé (p. S8-80). — 68 - SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉBS(*). Question •••• (Voir Mêikêiii, (2) IV, p. S80). D'un point P on abaiae la normales PA, PB, PC, PD à um oUipsi (E); soioni k\ B', C^ D' leurs seconds points i* intersection avec cette ellipse. Si les points A% B% G', D' appartiennent à une mime dreonfirence^ on demande le lieu du centre et V enveloppe de rhpperbole d'Apollonius relative au point P. (J. Gillbt). Solution par M. A. Droz-Karnt. Soient PA une des normales, a et P les coordonnées de P, x' et p' celles de A et â?, y celles de A'. On doit avoir W + la .^y + >P et comme le point A appartient à Tellipse, on a la condition Or A appartient aussi à Thyperbole d*Apollonius da point P ; donc c Vy' + b'p^x' — a««y' = 0. (a) En portant dans cette relation les valeurs de x\ y' et >, on trouve réquation d'une conique qui passe évidemment par les quatre points A% B% C et D'. Si ces points se trouvent sur une circonférence , cette conique a ses axes parallèles à ceux de (G); il suffit pour cela que le coefficient de xy disparaisse, d*où la condition qui fournit en même temps le lieu du point P, («»+j')[^-f-!]=c*. (1) Les coordonnées du centre de Thyperbole (a) sont données par c«y -f- 8«p = 0, e*x — fl«a = 0. (*) Nous aTons oublié de mentionner, p. 48, une solution de la question 1006, par II. COLART* — 69 - On en déduit En portant ces yaleara dans l'équation (1) on aura l'équation du lieu du centre de l'hyperbole d'Apollonius : ce lieo est une hyperbole concentrique et coaxale à (E). 2. L*hjperbole d'Apollonius du point P a pour équation : c'xy + >«(3a? — a»ay = 0, (2) avec la condition a» V û» + i«* ^ ^ Prenons les dérivées de (2) et (3) par rapport à a en considérant |3 comme fonction de a; on aura : J*a?a = «*|f/3. (4) On aura Téquation de Tenveloppe en éliminant a, |3 entre les équations (2), (3) et (4). On trouve aisément Tenveloppe est donc une quartique. Solstion analogue par M. J. Jonbsoo, qui emprunte la condition (!) à un article de la Reïïuê ai Ifiewençîowihif p. 314. "^Question t«l«. (Voir Matheii», (9) V, p. 104). kk\ BB% ce les hauteurs éTun triangle ABC; le$ côtés eorrss- fouiants isi triangles ABC, A'B'C se coupent aux points A'% B'', C'\ Démontrer que les droites AAi, BB|, CC| respectivement perpendieu' laires aux droites AA'\ BB", CC" concourent en un mime point. (V^« Prime). Solution par MM. Collette, Gob et Klompbrs. Soient A'", B'", C" 1^8 SQmmets 4u triangle formé par les droites AA", BB", CC". L^ — 70 - triangles ABC, k'B'C étant homologiquef , les points A'% B*\ C" font en ligne droite; il en résulte que k'" appartient à la droite ÀA% polaire de A'' par rapport à Tangle A; de même, les points B'^', C" appartien- nent aux hauteurs BBS CC. Les triangles K'"B"V"t ABC sont donc tels que les perpendiculaires abaissées des sommets du premier sur les côtés du second se coupent en un même point; par conséquent, d'après un théorème connu, les perpendiculaires menées des sommets A, B, € du second triangle sur les côtés B'"C'", C'A'", A'"B'" du premier sont aussi concourantes. Solution par M. J. Jonbsco. Soient M, N, P les milieux des côtés du triangle ABC et M'N'P' le triangle obtenu en menant par les points A, B, C des parallèles aux côtés BC, GA, AB. La cireonfSrence de diamètre BC contient les points B', C; donc la droite A A'' est U polaire de Torthocentre H par rapport à ce cercle. Par conséquent la droite MH est perpendiculaire à la droite A A'% et parallèle à la drmtaAAi. La figure MPMH est semblable à la figure OBAAi. Donc AA| paas^ par Torthocentre H' du triangle M'N'P'. On peut démontrer de la même manière que les droites BB|, CCi, passent aussi par H'. Donc las droites AA|, BB|, CCi, concourent en H% orthooentre du triangle M'N'P'. SoltMon analjfiipu par MM. Manda&t et DéPRBx* Si ABC est le triangle de référence, l'équation de la droite AA" est |rcosB4-£» C — CM A] — » \\» Bc5 C cas B — c«ks A] ^= 0. Oa oi3i»^lQt qae W dn>ite^ Aà., BB,, CV.. %x>BcoQr^Bt aa poûit ajast A — cwBcoiC, ciMB — coaCcosA, cimC — c«aJL - 71 - Ce point est le symétrique de H par rapport à O • IL Bayssena a donné deux solutions de la même question, II. Déprei traite encore la question sui?ante : Urne droUe A ewpe la eôiét du triangle ABC aux poinis A", B", C". Lapêr^ endêemlëém AAi, BBi, CC, ^Uvéèi m A, fi, C iur AK", BB", CC" cêncmnmi M wm point M, longue A enveloppe une certaine courbe* Quel ai le lieu iécriipar II i fUêlU eti Penmloppe de A? Soit Uf + fif + vs^O réquation de A. Les droites AA» BB., CCt ont pour quations I/A (y cos A + a;) = V (f cos A + y), V (scosB + â;} = A(â;oosB+s)» > (« C08 C + y) =/A (jr cos C + œ). En multipliant ces égalités membre à membre on trouve l'équation du lieu le II, savoir : Zfl? (y* — f ■) (ces A — C08 B cos C) = 0. ^e lieu est une cubique passant par A, B, C, O, H, I, I41, U, le. En éliminant âr» y, z entre les équations on trouve Téquation de Tenveloppe le A: 2i (/«■ — v«) (cos A — cos B cos C) =0. Voir (Matheeis, (3), V. p. 104). Si M ai un point quelconque de la ligne d'Buier HO d'un triangle ABC, ona : ÂÏÂ* + >.a» = MB* + AJ« = MC' + X c«, où deux taleurt de À égales et de signes contraires se rapportent à deux points symétriques par rapport à 0. (E. Lemoinb.) Solution par MM. Francq, Colette, Déprez, Seligmann et un ano- njffne. Soient Ma, M», Mo et H», H», He, les projections des points M et H sur les côtés BC, CA, AB et soient A', B', C les milieux de ces côtés. MÛ* — MB* = MJÔ' - MrB'=r (M.C4-M.B)(M.C — M.B) = 2tf.M.A'. J« - c« = iHc* — hS' — 2a. H.A'. D'où MC' — MB* _ MJ^ _ MO ■"ji^T^i hTÂ/ "" HO * — Ta- on trouverait de même MB' — MA* MA*~MC*^MO Posons M0_ Il viendra mX' + Aa« = MB* + /J« = MC* +ic». Si M' est le symétrique de M par rapport à 0, M'O =» — MO. D'où M^O^ MO^ HO "" HO ' A aura donc deux valeurs égales et de signes contraires pour deux points symétriques par rapport à 0. Solution par MM. Hackbn et Delahayb (Roje). En appliquant le théorème de Stewart au triangle HAO, le point M se troavant «itre H et O, on a : — , ÂH*.OM R*. HM ^,, „, l\\ MA - = OM. HM. On sait que iH' = 4R' — a ; si Ton pose OM R»t40M + HM) ^,, „^^ ^ — = /, — ^ — OM . HM = X. OH ' OH v^-.iii» A, on obtient MÂ' + >4i' = X. De la même manière, en appliquant le théorème de Siewmri anx triangles HBO, HCO : MB' + X*' = X, MC* + u^ = X. Si M prend une position symétrique par rapport à G de Mt position actuelle, il suffît de changer dans (1), OM en — OM; A chug«rm donc aoasi de signe. Aatiw solatioos par MM. Coulet, Dsox-Faext et J. Jokssco. — 73 — Bq ëlimîiiant l entre les équations de M. Lemoinr, on trouve Téquation de la droite d*Ealer en coordonnées tripolaires, savoir (** - c*) Ml' + (c* - «') MB* + («* - b*) MC« = ^• L'équation analo^e de la géométrie sphérique est COS0 (cos b » oos c) cos AM -f- cos 6 (cos c — cos 0) cos BM -{- cos c (costf — cos b) cos CM = 0. (DÊPBB7). ^Qaedtion tOtiO. (Voir Matkms, (2) V, p. 128). L orthocenire H d^un triangle ABC e$t d'égale puissance par rapport aux quatre cercles qui ont respectivement les mêmes centres que Us cercles tritangents et dont les rayons sont égaux aux rayons de ces cercles mul- tipliés par 1/2 . (A. C.) Solution par M. Déprez. Soit P la puissance de H par rapport au oerole de centre I et de rajon égal à r \/2, On a P = HÏ' — 2r*== ÂH'+AI' — 2AH AI co8HAI — 2r', r 1 1 AH«2Rco8A, AI=.-T-7— = 4R8in-B8in-C, sin J A 2 ^ B — C l 1 1 angle HAI = — - — > r = 4R sin 5 A sin 5 B sin - C. 2 i £ ^ n en résulte P = — 4R» cos A cos B cos C. Semblablement Hlfl — 2râ = — 4R'cos A cos B cos C. NoTK. Ont résolu la même question MM. Droz Farny, J. Jonbsco, y. Cristesco, Couturier, B. Jonesco, A. Gob, Mandart. Dans les Théorèmes et Problèmes par Catalan (6« édition, p. 152), on trouve les relations — T4 — d'où l'on déduit Hi' _2r' = Hi: _ gr; = 4R'+*' + *'+^. S M. Cristbsco invoque les formule* connues HÎ* = 4R' (8 sin* ^ «io' | «in* S — oos A cos B cos C), ABC HI* = 4R»(8 sin* — cos* - cos' - — cos A cos B co« C), d*où il déduit HÏ' --2r«==HÎi — 2rî = --4R'cog Ac08Bco«C=.i(HÔ* — R»). lie carré du rayon du cercle conjugué étant égal i — 4R9 ooi A cm B C08 C, ce cercle coupe orthogonalement lea cerclea considéréa dani la question 1020. Qaedtiop letii. (Voir Math^^, (8), V, p. 128). Par le sommet Ode la eubigue a/ on mine une sécante OAB et la sécante OA'B' symétrique de OAB par rapport à Vaxe de la courbe, V Vaire comprise entre la cubique et lOi asymptote est Jtnie et égale à kna^. 2^ Les tangentes en k eiBêê rencon- trent sur la cubique. 3" Le lieu du point de rencontre des tangentes en A. et B est une cubique. Cette dernière cubique^ quelle que soit la valeur de k, passe par deua points Jtxes. (E. N. Barisibn.) Solution par M. Rbtali (Milan). L*aire comprise entre la cubique et son aftjroptote » — ^a = 0 est V. en posant la = r* et !/>« — « = «, on trouve S / r Trr' = 4 2, fat droites DE, MN, PQ et les tangentes enBetC au cercle cir- eonserU à ABC concourent en un mime point. (Sanmna). Solution par M. E. Colart (Huj). Soient S le milieu de DE, I le milieu de BG, et F le point diamétralement opposé à B sur le cercle ABC. Par hypothèse, CF = { BG. Les deux triangles BCF et BIS sont donc égaux. Par suite., angle SBI « BFG et BS est tangente en B. On a aussi BS =: BF, angle PBS = ABF. Les deux triangles BAF et BPS sont donc égaux ; par suite, PS est le prolongement de QP. On démontrerait de même que MN passe par E. Ont résolu la même question MM. A. Francq. Tibtr, Cristbsco, B. Jombsco, Droz Farnt, J. Jonesco, Mandart, Mbrlin» SELioii\MN, Couturier. ^QaedlUn tOSt. (Voir MathisU, (2) Y, p. 215). Si l'angle A d'un triangle ABC est égal à W ou 120% la ligne d'JBuler HO forme un triangle isoscile avec les côtés AB, AC, et le centre du cer- de des neuf points est situé sur la bissectrice de V angle BAC ou sur celle de r angle supplémentaire adjacent . ( J. Nbubbrq. ) Solution par A. Droz Farny. Supposons Tangle A = 60®, et soit A' le milleo de BG. On sait que AH = 20A'; mais dans le triangle rectangle BOA', comme Tangle BOA' «= dO", on a aussi : BO = 20A'. Par conséquent BO = OA = AH. — 78 — Le triangle OAH est donc ifosoèle; OA et AH étant deux iaogo&aki dans Tangle A, la bisieotrioe de A est aussi bissectrice de OAH M elle passe par le milieu de OH, centre du cercle dea neuf poiatt) OH étant perpendiculaire sur la bissectrice de Tangle A, la première partie de la question est démontrée. Démonstration identique pour A = 120*. Ont résolu la même questiott lllf • CftiSTBeoo, IIâkdart» MaBUN» J. JoKicsoo, Jrrabbk. Tiktb, E. Colàbt, A. Franoq» Dbpbbs. M. DéPRBZ signale encore d'autres propriétés du triangle ABC dans lequel A s eo* ; nous en retenons les sniTanteSi d*Qn oaraetAre éléaentaira x 1* On a ^»(R + f)^/8 = r.|/8, r.srr + R, ^ + ^-aR• S = rr.^/3 = p^=r(R^-r)|/8. 9* Prenons sur AB la longueur AC = d, et sur AC la longnenr AB't^c i les hait pointa B, C» B', C'« I, !«, O, H appartiennent à une mèoM eirconlirsnce* D'après une communication de M. Delahaye (Roye), la question 1081 est résolue en partie dans le Journal de Vuibert, 8* année p. 118» et 18* année p. 188. Nous l'aTons rencontrée comme cons^uenoe d*une question plus générale qae nous aTons proposée dans les Wukundi^i OpfêVfn, (J. K.)- 'QUESTIONS D*EXAUBN. 98S. Résoudre un triangle isosoèle, connaissant le périmètr» 2p et la hauteur k issue d*une extrémité de la base. (Bbllaochi). Soient S«, f, p les côtés du triangle et s la hauteur reladve à la baae 2m, On a d*où l'on déduit TéquatiOB en s : ••+^A*«-^f+Ç==e, OU en (kisant t = s, ~ gA : 108 Le problème n*ladaiet i^s de aolution par la rigle et le oompaa. 984. TrouTor Téquation de la normale au point {x\f') d*Qiie Iqrper- bole équilatÀre; chercher la longueur de la corde intereeptéa. !•«. On considère les circonférences de même axe radical csK. Le lieu géométrique des pinuts de cimtaci des tangentes perpendieolairea à MJB^ est une hjrperU^e èquilaMre, (B. N. BARiaïui). Cetiléorime est uno interprétation de Téqaation f/* = a^ûia*f\È, lififoe daa oéti* tm dee droonférenoes étant priae pour axe des y. Si a, f sont les coordonnées d'an point du li«a, f* -* #* est la puissance de Porigine des coordonnées par rap- port à la droonférence correspondante» f •#. Discuter le signe de la quantité P = (a + *)(* + (?) (c + a) — 8«>c. Ona Soient «i, Oi les racines de Téquation P = 0; elles sont réelles et inégales, égales on imaginaires suivant que la quantité A = (*» + c* — 6*c)« -4*c(* + c)« = (*«-14*c + c«)(*— c)* est poeitiyey nulle on négative. Ona «n posant m=:t7 + V/48, #1 = 7 — 1/48- Si le rapport - est compris entre m et fi, sans être égal à Tunité, A ^t néga- tify et P a le signe de ^ + c. à Si ' sa SI, « ou l, on a A = 0, et P a encore le signe ûeb + e. 8i-]>sioui/liS. '-p>V^iF, ^^>V^. La discussion précédente montre que les conditions 0>O,^>O,c>O sont suf* tamteSi mais non nécessaires* (Bn partie d'après le J. M. B. 1897, p. 14). 987. On considère une série d*eliipses d'aire constante ajrant même oantre et même directions d*axes, et un point fixe P dans leur plan. L'enyeloppe dw polaires du point P par rapport à chacune des ellipses de la 9ànê est une hyperbole équilatère. (E. N. Barisun). 7M. 7>*+> — 48» — 7 est dlTisible par 288. {Journal d$ Yuibbrt). L*«ipression proposée peut s'écrire 7(7» — l)-.48ii«:7(7»— l)(7*^« + 7— ^H hD-iS*. — 80 — Supprimons le fiicteur 48 ; le quotient est (l) ip*-' + :«— + ... 4- !• + 1) - n. La parenthèse se compose de n termes qoi sont des multiples de 6 -{- ^ • On en conclut que Texpression (1) est divisible par 6, etc. 989. On donne deux droites parallèles et deux points. Mener par ces deux points deux droites parallèles formant un losange arec les deux premières. QUESTIONS PROPOSÉES. ^ii08 {ReeUflcation). Si Qn,p désigne la somme des produits y àp des fractions t »-.»;; > " > - 1 on a la formule 12 3 n T2pQ.,p = i(fi« + 3«). p=i ^ (H. Mandart). iiii. Dans un triangle isoscèle ABC, le côté AB est fixe et la base BC tourne autour de B. Démontrer que deux côtés du triangle orthique de ABC enveloppent une même hjpocjcloïde de Steiner, et que le troisième côté enveloppe une hjpocjcloïde à quatre rebroussementa. (Droi Farnt). iiiti. On mène une corde AB d*un cercle donné, et AC égale et perpendiculaire à AB. La droite BC rencontre le diamètre AA' au point Dy qu*on projette en Ë sur AB. Cela posé, trouver les lieux des points C et E : 1* lorsque A est fixe; 2? lorsque B est fixe. (J. JOMSSOO). ^iiiS. Résoudre le sjstème c = 0? + yf «. (Lbmoinb). '^it 14. Construire un parallélogramme ABCD semblable à un paral- lélogramme abcd et tel que les sommets A el C se trouvent sur une ciroonférenoe donnée 0 et les deux autres sommets B et D aur nue seconde circonférence donnée 0'. Cas particulier où ABCD est un carré. ^oons). ReelIlealloB. Page 80, question 718» lire : S7ain*«ooa^ e» km de — «1 — SUB ONB CONIQUE INSCRITE OU CIRCONSCRITE A UN TRIANGLE! par M. Stuyvabrt (suUe^ voir pp. 63-67). III. H. RefureDonSy comme au début du § II, le triangle ABC, le point H ei la droite •• La nature de rinrolution déterminée sur n, par les eouples de droitèf (HA, BC), (H6, AB), (HC, AB) dépend de la position du pointH et de la droite «• Pour décider si Tinrolution est elliptique ou hyperbolique, il suffit de voir si les segments interceptés, sur n, par deux des couples de droiteiKi empiètent ou non l*un sur Tautre. Supposons d*abord que la droite une coupe aucun des côtés du triangle ABC; elle^pairtÀge alors le plan en deux régions, dont Tune contient le triangle. Dans cette région, si le point H est dans le triangle ou dans un des angles opposés par le somn\éyt à ceux du triangle, Tinyolution est elliptique, sinon hyperbolique; Tinverse a lieu dans Tautre région du plarf. Oeli se-YériSe directement sur la figure, et Ton résout sans pluà de difficulté le cas où la droite n coupe le triangle. - * ^ 'Pour comprendre toutes les circonstances dans un même éntfiicé, convenons de dire, avec von StaudtC^), que deux points sur uiie drdtè indéfinie limitent deux segments, Tun fini, Tautre passant par le point de rinfiui de la droite. ' A, B, Csont donc les sommets de quatre triangles, que nous pouvons *Kppelei« TtfTii Ts, T4; la droite n est extérieure à Tun d'eiiix, Ti par exemple, et partage chacun des autres en un triangle et un quadrilatère '(/t 6t ^a, il et j^s, t% et ^«). LMnvolution est elliptique si H est comp^ 'dàilÉ Ti, ^s, tt ou t% ; hyperbolique si H est dans ^1, (fi ou ;«• Le cas'bù la droite n est parallèle à l'un des côtés est compris dans ce qui précédé. ' 't#: Sûpposotls la droite n rejetée àTinfini ; les points doubles dé Tin* volution ayant pour support cette droite, et les sommets du tiiaângle ABC iléterteinent une conique (Z). En d'autres termes les droites joignait un ~ point H aux sommets du triangle, et les parallèles, menées par H, aux C dL ftai I ■ I ,'■■ , , , ^ I ■ . ■.,,■, I I ■ I i ; ■ » ■ '■ 1^ ■ ^1 I ■ ■ ^> iT t (^) G49metrk der Lace, Nurnberg 1847. .1 >. i .Il — 82 — côtés opposés formeai un faisceau inyolutif, dont les rayons doubles dont parallèles aux asymptotes d'une conique (Z) circonscrite an triangle. La nature de TinTolution détermine aussi la nature de la conique (Z), et, d*après le b? précédent, celle-ci est une ellipse quand le point H est dans le triangle ou dans un des angles opposés par le sommet aox angles intérieurs, une hyperbole quand le point H est dans un des angles exté- rieurs, une parabole quand le point H est à Tinfini. La conique (2) est un cercle quand H coïncide avec Torthooentre du triangle, une hyperbole équilatère quand H est sur la circonférence cir- conscrite au triangle; en efifet, dans ce dernier cas les rayons HA, HB, HC du faisceau in volutif font entre eux des angles égaux à ceux de leurs conjugués, les parallèles menées par H à BG, GA, AB; par saite les rayons doubles du faisceau sont rectangulaires. Enfin la conique (1) dégénère si H est sur un des côtés du triangle ABG. IV. tt. fin ayant égard à ce qui est exposé au n* 10, on peut dire qa*an triangle ABC, un point H et la droite de l'infini déterminait une conique (2). On peut se proposer de trouver le lieu des points H tels que les coni- ques (Z) soient des courbes semblables (*). Deè coniques semblables ont Tangle des asymptotes constant, on, ce qui revient au même, les rayons qui projettent, d*un même centre, leart points deTinfini se correspondent dans deux faisceaux directement égaux. Pour comprendre, dans le même énoncé, le cas des imaginairas, on dira que les involutions de points conjugués relativement aux coniques (2) ayant pour support la droite de l'infini sont projetées, d'un même centre, •uivant des involutions de rayons qui se correspondent dam deux ûûsoeaux directement égaux. Choisissons pour centre commun des faisceaux le sommet A du trian- gle, et menons le cercle circonscrit. Chacune des involutions de rayons marque, sur la oirconfêrancii une (^) L'omet de ottto étude nous a été suggéré par li. Cl. ServiOs, à qui MUS devcM plusieurs iadioatioos utiles . I m ie point* détermiDée par deux couples ; AC et AC| pmtll&lM i HB, AB et AB, parallèles à HC. On peut détorrainer le pôle T de cette inTolution de pointa Bur la cir- leonférence : c'est le poiat de rencontre de BBi et CCi. Il est visible que deux invo- loUona pareilles se correspon- dent dans deux faisceaux direc- tement égaux, si l'on peut 1 trouver, de la seconde, deux couples de points correapoo- danta p, (3, et y, y, , tels que les «rca B^t Bi|3„ Cy. C,y,. soient l égaux et de même sens; mais ■Jorstoute la figure aura tourné d'un certain angle autour du Mntre du cercle circoascriti et le point T se sera déplacé sur une circon- férence concentrique. Ainsi les points H et T se correspondent dans une certaine transfor- mation, et le lieu des points U tels que les coniques (2) soient sembla- bles est une courbe (H) transformée d'une circonférence concentrique au eerale ABC. On devinera la forme de la courbe (H) en appliquant le principe de eorrespondance de Chasles. Tout rayon BT rencontre la circonférence (T) en deux poinis; donc U lui correspond deux rayons tels que CT et réei)' roque ment. Mais les droites BT, AB, et CH décrivent des faisceaux projectifs, et de même les droites CT, ACi et BH. Par suite la correspondance des faisceaux CHet BH peut être représentée, suivant la notation du CbaBleH,par (2,3); U même corraspondance existe pour deux ponctuelles, sections de ces dflUi tkisœaux par une droite ne passant ni par B ni par C; dans ces ponctuelles, le nombre des coïncidences est donc 4, c'est-à-dire que le lieu du point H est du 4* ordre, puisque toute droite du plan le rencontre AD 4 pointa. Seulement une droite passant par B, étant elle-même un rsyoB du faisceau, ne rencontre le lieu qu'en deux points autres qae B ; celui-ci est donc un point double de la courbe, ainsi que C et A. Chacune des quartiques trinodales, que l'on vient de trouver est ~ 84 — 'déterminée par un seul point H; ces oourbe» forment donc hn fiiitoefti; Leurs trois points doubles comptent pour douse interseotioni « ellek oui encore quatre autres points fixes communs. Comme on va le Toir, ces points coïncident deux à deux avec les points cjcliques du plan. Cherchons en effet les intersections de la droite de Tinfini avec une des courbes (H). Pour que deux droites BH, CH soient parallèles, il faut et il suffit que les rajons ABi, ACi (réels ou imaginaires) coïncident; alore Ci et Bi ne forment qu*un point qui est à la fois sur le cercle ABC et sur le cercle (T) ; or ces deux cercles ont un double contact aux pointa ojdiquesy donc la droite de Tinfini est une tangente double à toutes les quartiques (H). Quant aux points de contact, ce sont certainement las points circulaires à Tinfini, car à une droite isotrope du faisceau CT cor- respond une droite isotrope du faisceau BH. On peut énoncer, de la manière suivante, le résultat obtenu. Si par un'poiiU H du plan d*un triangle, on mine des drailet ûmw sammeiSy et des parallèles aux côtés opposés^ ces trois eouples dé rofons marquent, sur la droite de Vinflni, une involution de points eanjuçnis pat rapport à une conique (1) circonscrite au triangle. Les courbes lieux des points H tels que les coniques (Z) sàiéni semblables sont des quartiques trinodales, ayant leurs nœuds aus Sommets du trian- gle, et un double contact avec la droite de IHnfini aux points éfeliqueê*. 19. L*application du principe de correspondance exige* des précau- tions, et ce théorème est surtout un instrument de recherdfae. Il convient donc de vérifier les résultats par quelque autre méthode, et Tanalj^ peut être employée avec succès, bien que les calculs préiiantant des longueurs. Nous nous contenterons d'esquisser la marche à iftiivre. Soit .'. lyz -{- msx + nxff = Of .'^ . fl) * l'équation d une conique (2) circonscrite au triangle de référence ABC. Cherchons l'équation des droites menées par A et pâSéknt pair les points à rinfini de la conique (ou parallèles à ses asjmpotflfsy; 'iloilis trouvons jf'n sin B -|- y» ( — i sin A + m sin B + n sin C) -|- «••• sin C = 0. (2) Appelant 9 Tangle des asymptotes, on obtient : < _^ sin A t/(I— < sin A + «> sin B -j- ji sin Cy -^imUén B gjà 0 *'*™iisinB4-«isinC — (-/8inA4-msinB + «sînC>«bf-A '^*^ — 85 — : Si »t^ ftf ih sont les coordonnées da point H correspondant à la conique (2)» il faut exprimer que la parallèle menée par A à HB et la droite AC sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites repré- sentées par réquation (2), ce qui conduit à Téquation : f 1 sin C (/ sin A -|- ^ sin B — n sin C) = iPi sin A (— / sin A 4" wi sin B 4" ** «n C), On trouvera, par permutation tournante, deux autres conditions analogues pour exprimer que AB et ABi se correspondent dans Tinro* lutioD* ainsi que HA et la parallèle par A à BC. De ces trois relations, dont une est une conséquence des autres, on peut tirer un seul système / m d# Tildura de - et — en fonction de â?i , ^i et f i. Portant ces yaleors daw n « Inéquation (3), considérant tgcp comme un paramètre arbitraire, et ^1» yi»^i comme coordonnées courantes, on a Téquation du faisceau de courbes lieux des points H. Après quelques calculs, cette équation se. met sods là forme A [/(sr,y,«)]» — â?y«(«8inA-f-y8inB-|-«sinC)=aO où l*on a : > /(«, y, «) = «y sin C -|- y sin A + «a? sin B. Cette équation représente un faisceau de quartiques trinodales ; Tune 3e ces courbes, correspondant à>l = 0, se réduit aux trois cAtésdu triangle de référence accompagnés de la droite de Tinfini ; une autre, borrespondant à Jl «= oo , se réduit au cercle ABC dont tous les points seraient des points doubles. Les points cjcliques étant communs an cercle et à la droite de l*inflni kont éridémment sur chacune de ces courbes, et si l'on cherche la tan* gente en Tun d*eux, on trouve la droite de Tinâni. Qand, le 2S^ Janvier 1897. ^NOTBS MATHÉMATIQUES. ^tt. Sur lêi eofkbinaisons . On sait que Réciproqo«; Tégalité (1) reTient à œlle-éi : m{m — 1) •• (w — r+ l)^m(»i — 1) •••(!»—*+ 1) en diyiBant le premier numérateur par le second, et le premier dénomi- nateur par le second, on obtient (m-#)(i»— *-l) ...(m — r+1) = (*+!)(* + 2)-- r. On a ainsi deux produits de {s — r) nombres consécutifs égaux» ce qui exige régalité des plus grands facteurs, ou m — # >= r. La même proposition résulte aussi de ce que les coefficients de (^+^)* ▼ont en augmentant jusqu'au milieu du déyeloppement, puis décrois- sent en repassant par les mêmes valeurs. (Barbbtts, Liégê)* *%%. Sur le théorème relatif au carré de Vhypoténuee et le cinquième postulat d'Buclide. Soit ABC un triangle isoscèle rectangle en A, ayant pour hauteur AD. On aura AB <= AC, BD = DC = { BC. Si Ton admet le théorème relatif au carré de rhjpoténuseï on a BC* ou 4BD' = ÂB' + ÂC' = BD* + ÂD* + ÏD* + DC* oa, puisque BD «= DC, 2BD' «= 2Td\ BD « ad Le triangle ABD est donc isoscèle et Tangle en B est égal à | droit; il en est de même de Tangle en C. La somme des angles du triangle ABC est donc égale à deux droits; par suite, d'après des théorèmes dus à Legendre, la somme des angles de tout triangle vaut deux droits, ce qui entraîne la yérité do cinquième postulat d'Ëuclide (V. Reybs, Bulletin de nuUhématiquei fiémmatairUf !•» février 1897, pp. 132-133). ^tS. La multiplication égyptienne et rueee. Soit à multiplier 42 par 37. On a 37 = 2»+2«-fl. Or 42X1= 42 42 X 2» = 84 X 2 168 42 X 2» = 168 X 2» = 336 X 2» = 672 X 2 ==1344 42 X 37 = 1564 On peut évidemment ramener toute multipUcation» comme U préeé- 84 168 168 — 87 — dente i one suite de duplications et à une addition, et c'est ainsi que procédaient les anciens Egyptiens (Gantor, G. i. Maik., tome I» 2* édition, pp. 46^7). D'après M. Plakhovo (JME, IS96, p. 22-23), les paysans russes emploient le même procédé sous une forme très originale. On a . 37 fois 42 égale à l fois ... . 42 plus 18 fois 84, ou 9 fois 168, qui est égale à 1 fois 168 plus 4 fois 336, ou 2 fois 672, ou 1 fois 1344 Donc le produit total est 1554 On dispose Topération comme il suit : 37 ... . 42 42 18 . . 9 . . 4 .... 386 2 .... 672 1 . . . . 1344 1844 1554 Pour former ce tableau, on divise le multiplicande par 2, en ne prenant que le quotient entier, et on multiplie le multiplicateur par 2; on procède de même sur le quotient et le produit obtenu, et Ton continue ces opérations jusqu*à ce qu*on arrive dans la première colonne au quotient 1. On ajoute ensuite les nombres de la seconde colonne qui correspondent à des nombres impairs de la première. 14. Sur une fropriéié des coniques, par M. A. Droz-Farnt, Profes- seur à Porrentruj. — M. Mannheim vient de proposer dans le J. M. E., 1896, p. 96, Tintéressante question suivante : Une tangente quelconque i menée au cercle inscrit à un triangle ABC nueomtre les bissectrices AI, BI, CI aua points Ai, Bi, d. Les secondes tangentes menées de ces points au cercle rencontrent respeetivemeni les côtés BC, GA, AB en Ai, B,, Gi. Démontrer que les points Ai, Bs, Cs sont situés sur une mime droite V passant par I. Gomme le fait remarquer très justement M. J. Nbtjbbro dans le numéro de janvier 1897 de Matkesis^ cette proposition est susceptible de généralisation. Le cercle peut être remplacé par une conique - 88 - qnét^onqne insorite au triaDgle ABC et le point I par un point quelcon- que du plan du triangle. Voici une démonstration très simple de ce théorème généralisé qui pourra intéresser quelques lecteurs àe Mathêsis. Considérons l'hexagone Ai AiBABsBi circonscrit à la conique. En yertu du théorème de Brianchon, les trois diagonales A Ai, BB|, AsBs se croisent en un même point. Or AA,ct BB^se coupent en I ;dono As,Bi,I sont trois points en ligne droite; on démontrerait de même que Ai, Ci I sont en ligne droite, d*où le théorème. On démontrerait tout aussi simplement la proposition oorrélatiTO. RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS CONCERNANT LES TRIANGLES D*AIRB MAIIMDM INSCRITS DANS L*£LLIPSE, par M. E. N.' Barisibn. (Voir MatheOt, (2), Y» pp. 42 et 81). •f (*)• Le centre de gravité du triangle formé par les centres de cour- bure des trois points B, C, D coïncide avec le centre du cercle circon- scrit au triangle BCD. ••. On a les relations cos 9 = cos 3^1 = cos 39s 'e= cos 3(pf , — sin 9 = sin 3(pi = sin 3(ps = sin 3^1, c*eit-à-dire que les angles d'anomalie excentrique aux aosuoets B» C» D du triangle T sont les racines des équations en 4> cge 3$ = cos 9, sin 3$ -s — sin 9. Par suite • 27r 27r 4Tr 9,-9,=—, 9, — (p,=:_, ç, — ç, sa«.; Q 9 47r 9 2ir 9 ••. Lai flommets du triangle T' formé par les tangentes aux aonuBots B, C, D du triangle T sont situés sur Tellipse L*eUipee donnée est l'ellipse d'aire maximum inscrite à T'. f) Les BêtetiOM soat les mémsa gue oeUsa de MtÊUmt» (9), Y, p. 4M. — 89 - Sif . Li iojipne das carris def di^tao^s du œntre de TeUipif douée aax sommets da triangle T est constapte et é^le à |(a' + i*). St.Lapaissanoe du centre de Tellipse pan apport aa cercle dea neuf pointa da triangle T est constante et égale à ^ — • 1%. L*axe radical du cercle circonscrit an triangle T et de son corde des neuf points enTsloppe reiiipse SS. Le centre de T hyperbole équilatère ABGD a poar lieu l*ellipse 54. La droite qui unit le centre du cercle ABCD au centre de l'hyper- bole équilatère ABGD est normale à l'ellipse a "^ M "" (a* + a'b* + ô*)' ' •ft L'hyperbole équilatère ABCD enreloppe la quartique 55. Le point de rencontre des axes des deux paraboles passant par les joints A, B, C, D décrit l'ellipse Si . Lm droites AB, AC, AD (cordes eommunts à relUpse et an mTc\e «seidalmir m B, G ou D), eufeloppent la coarbe (*) L*aire de cette courbe est f nab. ••. Le lieu des pôles, par rapport à Tellipse^des droites A'B» k'C, kl) est la kreuzcurye a* . J« ar«^yt A' est le symétrique de A par rapport au centre O de reiiipse. T « Voir 19. A. Jf« }«9,n.n^^. 8 u = — 90 - . Le liea des milieux des cordes Â.'B, k'Gf A'D est la sextiqae dont l'aire est j nab, 411. La projection du centre 0 de l'ellipse sur chacune des cordes A'B, A'C. A'D, décrit la sextique dont l'aire est (« + *)•"" ""U + i/ * Cette aire est deux fois l'aire du cercle concentrique à l'ellipse et tel qu'il existe une infinité de triangles inscrits dans l'ellipse et circonscrits au cercle. 4t. Les droites A'B, A'C, A'D sont normales à l'ellipse a*x^ + J'y* = — ^ • 4%. Le lieu du point de rencontre des droites A'B et CD est la sex- tique 4S. Le lieu du point de rencontre des tangentes en B| C, D à l'ellipse avec la tangente en A est la quartique. 44. Le triangle d'aire maximum inscrit dans l'ellipse et dont un des sommets est A a ses deux autres sommets en |3 et y. La droite fiy rencontre le côté BC en un point tel que la droite qui joint ce point an point O a la même inclinaison sur les axes que la droite OD. 4ft. Le point de rencontre de la droite ^/ avec un côté da triangle BCD décrit la quartique Le lieu des points de rencontre des côtés opposés et des diagoi les du quadrilatère A BCD est la courbe [(»«•• + «V — «•*•)" — ^•«"(«" + 341») - «*y «(r* + 3»«)J« - 91 - Cette courbe se réduit aa 6« degré : son équation s*écrit + 32a^J«a?V' + 10û'J«(ô»a?> -j- a V) — a*J* = 0. 49. Le lien des pieds des hauteurs du triangle BCD a pour aire 8 ~ 2 ^ ' 8a^ 48. Le lieu du centre de gravité du triangle ÂCD a pour aire^^ irot. 36 49. Le lieu de Torthocentre du triangle ACD a pour aire 37rc* 27raJ + 4ab ftO. Le lieu du centre du cercle des neuf points du triangle ACD a pour aire llTTflJ 37rc* 16 '»"64âj* •t. Le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle A'CD a pour aire r-^— r* Cette aire est la même que celle de l'ellipse de la propriété 27. xoao ••• Le lieu du centre de gravite du triangle A'CD a pour aire * Cette aire est la même que celle de la courbe de la propriété 48. •S. La courbe lieu de Torthocentre du triangle A'CD a pour aire llTta^ , 57rc* •4. La courbe lieu du centre du cercle des neuf points du triangle A'CD a pour aire 29jraJ , Ottc^ 16 * ôiÔJ' SU. Le milieu de la distance des centres des cercles circonscrits aux trianglei ACD et A'CD décrit TeUipse C*eit Tellipse des propriétés 12 et 27. - te - ••. Le milieo de la distance des oentree de grâtHé des trfftnjflee JACD et A'CD parcourt Tellipse •9. Le miliea do la distance des orthocentres des triangle ACD et A'GD décrit Tellipse ft8. Le milieu de la distance des centres des eereles det neuf points des triangles ACD et A'GD décrit l'ellipse ••. Le milieu de la droite qui joint le point A à rortlM>ceiilre du triangle BCD décrit Tellipse ••. LliTperbole équilatère A'fiCD enveloppe la kreuieorr^ Son centre décrit l'ellipse «^ , y^ 1 •t. Les paraboles passant par les points A',B,C,D ont chacune leur axe parallèle à une des diagonales du rectangle des axes de l'ellipie donnée. Biles enreloppent les deux quartiques [(bx + ayy - a>J«]» = a» J« ( J"«" + a V), [(to — ayy — a«>^» — a»»" (>»«» + «"»') J leurs axes se coupent sur l'ellipee ••• Soient G i et H le centre du cercle circonscrit et Torthooentre do triangle BGD. Les droites AC|, A'Cn AH, A'H sont normales, chaoïme, à une ellipse fixe. - 93 - \. Soit Gs le centre du cercle des neuf pointe du triangle BCD. Les droites ACt et k'd sont normales chacune à une ellipse fixe. •4. Les deux paraboles circonscrites au quadrilatère ABCD enve- loppent les deux quartiques •é. Le quatrième point de rencontre des deux hyperboles équilatères ABCD et A'BCD est l'orthocentre du triangle BCD. •S. Le lieu des sommets des paraboles ABCD se compose des deux quartiques X = — — — » y ^^ • •9. On considère le quadrilatère formé par les axes des deux para- boles ABCD et les axes des deux paraboles A'BCD. Le lieu des sommets de œ quadrilatte^ et des points de rencontre des côtés opposés se eom* pOÊB des six ellipses l6aY + 4 [(a« + b*} bx db (a' -h 36») ay]« = a«ô", 16J«a?» + 4 [(q} + J«) fly =h (J' + 3a») te]* = J«a>. M. Le lieu du 4* point de rencontre du cercle ABCD avec l'hyper- bole éqoilatère A'BCD est l'ellipse 4 ••• Les lieux soivants sont des ellipses : Lieu du 4« point de rencontre du cercle ABCD arec Tune dea para- boles A'BCD; Lieu du 4* point de rencontre de Thyperbole équilatère ABCD arec Taxe des paraboles A 'BCD; Lieu du 4* point de rencontre de l'hyperbole équilatère A'BCD avec roue des paraboles ABCD ; Lien du 4* point de rencontre d'une parabole ABCD arec fine para- bole A'BCD. "^■•" — 94 - SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. Qocsllon •••. (Voir Mathetis, (1), III, 148, et ($) I p. 28). I. Siq,r,ê9Sont des entiers plus grands que 2 et p un entier quelconque^ démontrer que les nombres de Bernoulli déterminés far la relation symbo- lique (B + l)« - B« = 0 vérifient la relation B" (B + I)«(B -\- 2)-(B + 3)* = B* (B - 1)'(B — 2)«(B — 3)'. II. Démontrer^ sans se servir des séries^ la relation symbolique (2B + I)" + 2''Bp — 2Bp == 0. (Ed. Lucas). Solution par M. Stutvabrt (Gand). Les notions de calcul symbolique, la définition et les propriétés fondamentales des nombres de Bernoulli ont été exposées plusieurs fois ici-méme, notamment par M. Gesàro(^) et par le regretté Ed. Lucas (**) qui a étudié aussi ces questions dans les G. R. t. LXXXIII, et dans un mémoire présenté au Congrès de Rouen en 1883(***). C*est sur une formule établie dans ce dernier trarail que nous fonderons la démonstration exposée dans ce qui suit ; d'abord nous rappellerons, en quelques mots, les préliminaires indispensables pour Tin- telligence du texte. Notons en passant qu*il a déjà paru une solution (autre que celle qui va suivre) de la 2* partie de la question ; cette solu- tion due à M. Hermite a été publiée en supplément à Mathesis en 1895. Aujourd'hui l'on définit d'habitude les nombres de Bernoulli Bt, Bi, Bs ... par la relation symbolique (B -f-l)9 — B« = 0, laquelle signifie que l'on doit effectuer les opérations indiquées, puis remplacer les exposants de B par des indices ; la relation précédente {*) Ifatkesiit 1883, p. 10; le mdme auteur a publié également, dans les N. A«lf., des applications de cette théorie. (*•) ifathes1ê,\B8Zti 1886. (^^) Les lecteurs de if 0/Afiû trouveront un résumé de ce mémoire dans la Notice kiiteriquc de M. Laisant publiée en supplément au présent Journal» année 1888. — 95 — n^est Traie que poar ; > 0 ; on conHent en outre de la valeur initiale B« = l. On démontre ensuite, sans grande difficulté, que, pour x entier et positify on a symboliquement (a? + B -f 1 )9 — (a? 4- B)« = qx"'* . Par suite, (,1 ^ B)« — B« = y [b-« + 29-« + 3«- -\ h (» — l)'"'l» ou -[» + B)9 — B«]= S a?«-S ou enûn x9-^dx= s 4?«-«. />fl- Jb Si l'on a maintenant une fonction entière la formule précédente s'applique à chacun des termes, et Ton obtient par addition (p(x)dx=^ S 3, nous aoroni j^V wi.-;s>.)(ji-3+^-i^+^-^+f) . Or, si q, r, #,valent chacun au moins 2, la fonction sous le signe som- matoire S s'annule pour chacune des valeurs 0, 1, 2 de â?; donc le second membre est nul. Par conséquent, fS+B r -iS-hB F'(x)dx ou \F{x)\ c=0. - 96 - AÎBM U pr6inière partie de renoncé eat démontrée^ et Vfm wtAi qm 1$ proposition doit être légèrement rectifiée : p est un entier quelconque, et Çf r, s doivent être supérieurs ou égaux à 2. On pourra d'ailleurs véri- fier directement la formule pour q = r=^ s=2eip=s0;lea calculs ne sont pas fort longs. La démonstration donnée ci-dessus fait voir immédiatement comment on pourrait généraliser le théorème pour plus de quatre facteurs. II. Soit à présent la fonction (20+1)' ; la formule (1) doniM 2(p + l) (ar + l)p+l)[l'' + 3' + 5''-{ 1- (2» - 1)") (2) D'autre part, on a : (B + n)'»+« — B'+*=(p+ !)[!' + 2f+ J-(»-1)f]. Multipliant par 2^'*'*, nous trouvons (2B + 2ji)i'+' - (2By^' = 2 (jp4- 1) [2p + 4p 4 [-(2« — i^J (8). Les égalités (2) et (3) donnent, par addition, (2B + 2» + 1)"+* + (2B + Sii)''^* - [(2B -f l)f+* + (2B)»+«] «. 2 (i> + 1) [1' + 2* + 3p + 4P + \- {2n — 1)»]. Mais le second membre de cette dernière est encore égal à 2[(B + 2«)'»+*- BH-»]. Donc l'égalité précédente se ramène à (2B + 2n + l)p^* + (2B + 2»)'+' — I(2B + 1)»^« + (2B)H-i] _ 21(8 + 2»)"+' — B'+'J ou (2B + 2ii + 1)^' + (2B + 2«)H-« — 2 (B + ftl)r^« — (2B + !)'+• + (2B)'+* - B'+*. C«iU relation est vérifiée pour toute valeor de n\ le prenrfer mambre a donc la même valeur quel que soit » ; si on le développe, leeooeÉhieate des diverses puissances de h sont nuli ; en partioolier la nnaUinieal île la première puissance de n étant égal à zéro, on trouve (2B + 1)^+ (28)1» — 2B' = 0. — 97 — C*e8i régaliié à démontrer, et le raif onneiâent ci-destut prouve que Ton a en outre, quel que soit n, (2B + 2h+ ly + (2B 4- 2n)p — 2 (B + 2ny = 0. (Voir Matheiù, (2) V, p. 216). On conridire une cubique gauche équilatère. Il exùU une injiniii.de plans rencontrant la cubique en trois points vus d'un point Jiœe M delà ecmrbs sous un angle trièire trirectangle. Démontrer que tous ces plans sont parallèles au plan normal à la cubique au point M. Application. Un plan quelconque parallèle au plan diamétral du diamètre passant par un point P de Vespace^ dans une quadrique, rencontre la cubique des pieds des normales menées pt^r le point P en trois points qui sont vus de P sous un angle triidre trirectangle. (A. Cazamian). Solution par M. E. Duporcq. Remarquona d'afoord que le point de Frégier relatif à un point M d*un hjperboloVde équilatère est le point à Tinfini de la normale au point M à cette quadrique. car les tirièdres trirectangles de sommet M dont les arêtes sont parallèles à des génératrices de Th jperboloïde montrent que ce point de Frégier est dans le plan de Tinfini. — Considérons donc un des trièdres trirectangles dont est capable le cône de sommet M qui admet pour directrice là cubique considérée : ses arêtes coupent cette courbe en trois points, qui appar- tiennent à tous les hjperboloïdes équilatères passant par la cubique : leur plan passe donc par les points de Frégier relatifs au point M dans tous ces hyperboloides, c*est-à-dire par les points à Tinfini des normales en M à ces quadriques : autrement dit, ce plan est perpendiculaire à la tangente à la cubique au point M. Quant à l'application indiquée dans Ténoncé, elle résulte de ce que la tangente en P à la cubique considérée, est perpendieulaire au plan polaire de P par rapport à la quadrique : c'est une conséquence immé- diate de la propriété bien connue de la cubique des pieds des normales d*étre le lien des points où les diamètres de la quadrique rencontrent les perpendiculaires abaissées de P sur leurs plans diamétraux conjuguéti dane le cas où ces droites se coupent. - 98 - ^Questl^K tOftS. (Voir Matkem, (2) VI, p. S2). Étant donné un triançle équUatéral ABC, on prend sur Ut eôtéi AB, BC, CA respectivement les segmente AM »= â?, BN = 2â?, CP «» dâ?. Oti demande pour quelles valeurs de as le triangle MNP est rectangle ou iioscéle. Peut-il se réduire à un segment de droite? Peut-il être semblable à un triangle quelconque ? (H . Brocard). Solution par M. H. Mandart. En représentant par a la longueur do côté du triangle ABC, on a, quelle que soit la position des points M,N,P : MP* = «» H- (a - ar)« — a? (a — 3fl?) = l&p» — 7a« + a», HN' = 4«» + (a — «)« — 2fl?(a — ») = Ix^ — 4a« + a«, NP* = 9«« + (a - ar)» - (a — ar)3a; = Ito» — 7a« + a«. Le triangle sera rectangle pour les râleurs réelles de » satisfaisant aux équations «» — 4fl« + a» = 0, x = a{2±, ^/§) 2&S* — lOax + fl» = 0, a; = I a ISo;' — 4aâ; -f- a* = 0| x est imaginaire. MNP est donc rectangle pour 3 valeurs de d?; il est isosoèle pour les valeurs de x satisfaisant aux équations : 6«» — 3 — /«)» = 0. H. Bmim trouve pour Taire MNP Texpression ?^(llfl?«-6aâ? + a«), 4 1/3 . 3 et en conclut que cette aire passe par un minimum ^— a' pour â?= t-r a. MM. VbrhblsTi Dboubldrb et Bribh cherchent les limites entre les- quellea varient les rapports de deux côtés du triangle MNP : i(t/î-l)<^, * — MU — 79B, Une droite AB de longueur et de direction inTariables s'appuie par ses deux extrémités sur deux sph&rés aies 0» 0^ Déterminer U courbe décrite par chaque extrémité sur la sphère correspondante. (/. ib yuiBBRT). La courbe décrite par B ait IMntersection de la sphère 0' avec la sphère 0 i laquelle on Imprime une translation ayant pour mesure AB. PUBLICATIONS RÉGENTES. 9. Essai sur la représentation analptigue de la ditection^ par Caspab Wasaii* Traduction du Mémoire intitulé : Om Direetionêm analftiaka BHt^ntmg^ publia avec les trois planches de l'original et préfaces de MM. H. VaLiNTiNaa et T. N. Thible, par TÂcadémie royale des Scienoes et des Lettres de Danemark à l'occasion du centenaire de sa présentation à TAcadémie le 10 mars 1197. Copen- hague, Hôst et Son, 1897 (XIV>60, p. in-4*, avec 3 planches). C. Wkssel. né à Jonsrud en Norvège le 8 Juin 1745, mort en 1818, arpentaur (ou plutôt géodète) de TÂcadémie royale de Copenhague, a écrit en danois ce mémoire remarquable qui vient d'être traduit en français sous la direettoa de ZauTHBN On y trouve, non seulement une théorie du calcni deaaagmentajdéter/ mioéi en grandeur et en direction, dans un plan, mais de plus, des spéculatioas sor la représentation analytique des directions dans Tespace, qui, poussées logique- ment à bout, eussent conduit Weissel à la découverte des quatemions La Traie ' interprétation géométrique des imaginaires se trouve dans ce mémoire, qui à été pubtié en 1798, un an avant lo premier écrit de Gauss, huit ana avant le oélèbre opuscule d*Argand sur la théorie des imaginaires. (P. M.) iO. Recherches sur la théorie des parallèles, par M. FaoLOV. 1^ Supplément Deuxième édition entièrement refondue (9 p. in-^*"; ^ Deuxième et dernier sup- plément (10 p. in-8*). Paris, J. Michelet, librairie centrale des aciances, t5| Qjuû des Grands Augustins, 1897. Prix : Fr. 0,S0 + 0,50. Additions aux essais de démonstratioa du postulatum d'Buclida at de réflatation - de la géométrie non euclidienne, signalés, p. 82, n* 1. (Le supplément indiquée cette nage une publication préliminaire qui n'est pas dans le commerce). • • • . îj' il. ArUhm^tiqui à l'usage des candidats aux baccalauréats de renaeigneinent secondaire, par L. Gkrabd. Paris, Société d'éditions scientifiques (88 p. in-lCK Prix : 1 fr. 50. ^ . 7. • Bxoellent résumé, écrit avec clarté, simplicité et précision. : < •• t9. De FtUckersche Qrootheden de Deriatiekromme^ door W. Bgitwhan. Qjo- ningen, 1896, Gebroeders Hoitsema (G8 p. 8*). Thèse intéressante présentée à TUniversité de Groningue po^r l'obteaftiiNi .<|b grade de docteur en sciences mathématiques. Ce travail, qui ûdt honneur à Tauteur et à son savant professeur, M. Scdoute', a pare ansal an ttadastioe. éUf- mande daos les Mathemaiische ÀmnaUn. — 105 — SUR LA FORMULE DES TROIS NIVEAUX(*); par M. GouLARD, professeur aa lyoëe de Marseille, I. En 1848, Finck, qui fut professeur à Strasbourg, a publié dans les N. A. M. un mémoire qui se termine ainsi : c Tout cela est renfermé dans un théorème de Sarrus dont voici renoncé : Si dans un corps, tonte section parallèle à un plan donné a son aire exprimée par A -|- Bf J^ c«> où z est la distance de la section du plan ; A, B, C sont des constantes; un segment quelconque, renfermé entre deux plans paral- lèles au même plan, se mesure par | (i + ^ i' + ^")* Un peu d*intégral snfSt pour la démonstration (^, i" sont les sections extrêmes, b' est la section équidistante des premières). > Dans £$ Petit Temps, supplément du journal Le Temps du 15 novembre 1895, M. Th. Schneider, ancien professeur de phjsiquê au collège et à T Ecole des sciences appliquées de Mulhouse, donne la règle suivante pour le jaugeage des tonneaux : Elevez les deux diamètres au carré; ajoutez au carré du grand la moitié du carré du petit; multipliez la somme obtenue par la longueur du tonneau et enfin le nouveau pro- duit par 0,5236. M. Schneider ajoute : c La formule empirique ci-dessus constitue une application directe d*un théorème général qui donne le volume de la plupart des corps considérés en géométrie élémentaire. Voici ce théorème, qui est dû au célèbre mathématicien Sarrus : Tout volume compris entre deux bases parallèles et dont les sections paral- lèles à ces bases sont des fonctions rationnelles et au plus du troisième degré de leur distance à Tune de ces bases, a pour mesure le sixième de la hauteur multiplié par la somme des deux bases et du quadruple de la section équidistante des bases... Le savant Sarrus qui enseignait, il j a quarante ans, le calcul différentiel et intégral à la Faculté des Sciences de Strasbourg, se trouvait un jour dans la brasserie où il allait parfois se désaltérer. Là, il fut sollicité par un tonnelier de vouloir bien lui indiquer une formule de jaugeage des tonneaux à la fois simple et exacte. Sarrus j consentit avec sa bienveillance accoutumée ; mais, craignant peut-être que le procédé qu*il indiquait à son interlocuteur ne parût à (*) La note de M. Goulard est une réponse à la question 684 de V Intermédiaire des mâihémûiiciitiSp de MM. Laisant et Lemoine. Voir sur le môme ÈuieiMatkésis^ (l^V,! et 15,(2), II, p. 14. 9 — 106 — celui-ci un peu trop compliqué, il promit pour le lendemain la formule la plus simple qu'il fût possible d*établir. Il tint parole, en effet, et,aprëi avoir découvert le théorème générai ci-dessus indiqué, il s'empressa de le traduire au tonnelier par la règle énoncée plus haut. > Ces témoignages, et en particulier le dernier, qui est des plus explicites, mettent hors de doute la découverte de Sarrus. Il n'en est pas moins certain, comme on Ta déjà vu (Intermédiaire des Mathématiciens ^ m, p. 136-137) et comme on le verra plus loin, que la formule dont il s'agit était connue longtemps avant lui. II. Voici l'historique de cette formule d'après Baltzbr (Stéréométrie ^ p. 346). Newton a montré (Afethodus diferentialis, prop. ô), comment on peut calculer approximativement un segment solide au mojen de plusieurs sections parallèles, et en particulier qu'on trouve approximati- vement ce segment en ajoutant les bases et le quadruple de la section moyenne et en multipliant la somme par le sixième de la distance des bases. Maclaurin (1742, Fluxions, n^ 848) a ajouté aux formules de Newton des termes complémentaires, qui font reconnaître immé- diatement que la règle particulière que l'on vient d'énoncer donne exactement le segment cherché, lorsque l'aire de la section située à une distance x de l'une des bases du segment est une fonction entière de la longueurs; ne dépassant pas le troisième degré. Torricelli, Th. Simpson, et principalement Steiner, ont indiqué des segments qu'on obtient par cette règle. Et dans une note au bas de la page, Baltzer ajoute : La règle parti- culière avait été donnée par Torricelli, comme le rapporte Pereili dans l'appendice aux Institutioni délie setioni conicks de Ouido Grandi^ Flo- rence, 1744. Baltzer termine en disant qu'il n*est pas juste de désigner la règle de Newton du nom de Th. Simpson. m. Dans le Bulletin de mathématiques spéciales (décembre 1896), M. Niewenglowski se piopose de chercher quels sont les solides dont le volume peut être exprimé par la formule dite des trois niveaux. La méthode de l'auteur étant fort ingénieuse, je demande la permission de la reproduire ici, en la simplifiant un peu. M. Niewenglowski a eu l'heureuse idée de compter les distances à partir du plan équidistant des bases. Soit alors /(x) l'aire de la secUon faite dans le solide par un plan parallèle aux bases et situé à une distance x du plan origine. Supposons que/(j?)soit une fonction cootinne; — 107 — (h le Tolome do solide, en désignant pnr 2h sa hauteur, est I f{!C)dx^ (h ou F(*) — P{— *), en posant \ f{x)âx «= F(A). Pour que la formule • 0 des trois niveaux soit applicable, on doit donc avoir F(*) - F(- A) = \mh) +/(- *) + 4/(0)]. Remplaçons maintenant k par la variable x, et remarquons alors que J(x) =3 P'(«); nous voyons que la fonction ¥(x) doit vérifier l'équation F(a;) - F(~ a?) = | [F'(^) + F'(-^) + 4A], en désignant par A la con8tante/(0). Posons ¥(x) — F(— a?) = y; l'équation précédente devient y=|(y'-(-4A), d*où youF(a?)-F(-a?) = 2Aa? + ?Rr«, B désignant une constante. En différentiant, il vient /(^) +/(— a?) = 2A + 2Bx\ ce qui nous conduit à poser f{x) = A + B«« + \{x\ d'où /1[— a?) = A + B«« + 1( - a?). Substituant dans l'équation précédente, elle se réduit à l{x)'\-l{—x)=Oi c'est i*équation caractéristique des fonctions impaires. Donc enfin, pour que la formule des trois niveaux soit applicable, il faut et il suffit que l'aire désignée plus haut par f{x) soit égale à A -{- Bâ?* + l(x), A et B étant des constantes, et \{x) étant une fonction impaire absolument quelconque (mais continue). C'est donc à M. Nie^englowski que revient l'honneur d'avoir découvert toute l'étendue de la formule dite des trois niveaux. Aussi je propose qu'on la rajeunisse en l'appelant la formule de Niewenglowski. IV. Chose curieuse, Sarrus a découvert son théorème général pour servir au jaugeage des tonneaux, tandis que, d'après M.C.Rej (J.M.E., 188Ô, p. 126), c'est à tort que l'on cite les tonneaux parmi les corpi auxquels peut s'appliquer ce qu'il appelle pourtant l'omniformuJe. La méthode de M. Niewenglowski permet de trancher la difficulté. En effet, si le solide est symétrique par rapport au plan de la section moyenne, f(x) se réduit à A -|- Ba;'; donc, si le solide est de révolution, on doit - 108 - aToifi en désignant par z Tordonnée de la méridienne correspondant à Tabscisse a, c*est-à-diro que la méridienne doit être une conique dont le centre coïn- cide avec le centre du solide. ^NOTES MATHÉMATIQUES. ^tA. Sur les /racUom continues. Soit une fraction continue 1 «1 + Û1 + «1 + et appelons B, C.' El B. • • les rédaites snccesives. On sait que B< C, BliAi •fB.. .1 C(_,ai + c<. .a Or, d'après le théorème connu, en ajoutant deux fractions terme à terme, on obtient une troisième fraction comprise entre les deux pre- T> B B mières. Donc — - est compris entre — ^ et — — ; par conséquent, la 3* réduite est comprise entre les deux premières, la 4" entre la 2* et la 3*, etc. On déduit de là que les réduites de rang impair vont en augmen- tant, mais sont moindres que les réduites de rang pair qui, elles, vont en diminuant. La différence entre deux réduites consécutives est une fraction ajant pour numérateur l'unité, pour dénominateur le produit des dénomina- teurs de ces réduites. Donc si la fraction continue est illimitée, comme les dénominateurs des réduites peuvent croître tant qu*on veut, la diffé- rence de deux réduites consécutives peut devenir aussi petite que l'on veut. On en conclut aisément que les réduites, tant de rang impair que de rang pair, convergent vers une limite commune. Cette limite est appelée la valeur de la fraction continue. (D'après nne note deM"« Prime dans le J. M. S., 1895, p. 121). — 109 - Mm. Sur la question 909. (Voir Mathesis, (2) VII, p. 68). Si Ion éli- minOy comme il a été dit, x*^ y' et X entre les équations ^,_g+/a y + Xp on trouve (dans le numérateur de la valeur de A, p. 68, l'exposant de la parenthèse doit être remplacé par un coefficient 2) : 2«(3 («« - y») + [c* - (a* + *') ( ~ ^)] «y + - = 0- Cette équation est celle d'une hyperbole équilatère passant par les points A', B', C, D'. L'équation générale des coniques passant par ces points est fx [J'«» + a«y' — a'J»] + 2a^ («' — y') + [e» - (a» + J') (^-|)] »y^ 0- Pour qu'elle représente une circonférence, le coefficient de xy doit être nul, ce qui donne Téquation (1) de 1 i page 63; et les coefficients de â?' et de y' doivent être égaux, ce qui détermine la valeur de fx. On voit que Thjperbole équilatère A'B'C'D' a ses axes parallèles à ceux de Tellipse proposée lorsque les points A\ B', C, D' sont sur une même circonférence. Ce complément de SDlution répond à une objection qu'un honorable correspondant nous a adressée au sujet de la solution publiée par Matkeris. La question 999 suggère d'autres problèmes : trouver les enveloppes d<8 circonférences et des hjperl oies équilatères A'B'C'D', les lieux de leurs centres, etc. if. Sur une formule de Newton^^BT M. le professeur Lampe (Berlin). La formule étudiée par M. Mansiou (Messenger of Mathematics, vol. XXV, p. 48; Mathesis, 1896, p. 84) a été le sujet d'un exercice que j'ai proposé à mes élèves. Je les ai engagés à développer en série la fraction 14 + cos X 94-6cos« On trouve : s=s X —' X^ ûr — «••••• :?100 18000 3960000 — 110 - Posons x^=»\nj les termes de cette série ont les valeurs suivantes : x = 4b\ —— = 18'M07,— - — =1",303, «0",069. • 2100 ' '18000 ' '3960000 La différence â; — y ne m^nte donc qu'à 19'',479 et non à 20"|. Le calcul direct de Texpression y pour a? = j tt donne ^^^^ = 23(41/2 - 25) = 0.78330371. Cette valeur équivaut à 45** — 19", 6 comme celle que nous avons calculée par la série. Note. Il faut donc corriger en conséquence les articles cités plus haut et dire que la formule de Newton comporte une erreur inférieure à un iien de minute (P. M.). •S. Sur la recherche de certains lieux giomitriquee. Lorsque par la nature de la question, on sait que les coordonnées des points d*un lieu 83nt des fonctions symétriques des coordonnées de deux points assujettis à certaines conditions, il est souvent avantageux de rechercher d*abord les coordonnées des points du lieu en fonction des coordonnées des deux points, puis de calculer les valeurs des fonctions symétriques en fonction d'un paramètre variable qu*il faudra ensuite éliminer entre les expressions des coordonnées dea points du lieu cherché. P Supposons, par exemple, qu*il s^agisse de déterminer le lieu des points de rencontre des normales menées à une ellipse par les extrémités des cordes passant par un des foyers. En représentant par x\ y' et x'\ y" les coordonnées des extrémités de la corde, on obtiendra Téquation du lieu en éliminant ces quantités entre les équations suivantes : a'y" y - y" = j7|;5 («'-«"). (2) y V - x'y" = c (y' - y"), (3) a'y'« + iV» = a»J», (4) a*y"» + b*»"* = «»*'. (6) — 111 - Si noas résolvons les d^ux premières équations par rapport à â? et y, nous trouvons en vertu de la troisième a? = ca?V a t f Pour obtenir les valeurs des fonctions de x'^x^'^ y' y'* (i\xï entrent dans ces deux égalités, représentons par y = m(x — e) Tune des cordes ; la combinaison de cette équation avec celle de la courbe nous donnera XX = — I— ; — 7T— I (z' - e){iB" — e) = -r-. — J* o}m^ 4- J' f yy =1:^ Par suite. a»w» + V et, en éliminant tn*, on aura, pour Téquation du lieu, J»y« + (û'a? - C») (a? + (?) = 0. 2* S*il s'agissait du lieu des orthocentres des triangles formés par la corde et les deux normales, on devrait remplacer les deux premières équations par celles-ci : a*y" b^x' L*abscisse du point d'intersection est b*e — 112 - et Tordonoéei y = —X L'équation da lieu des orthocentres sera ex (*•«« + aY) = ^'^' («' — >') — «'F*- 3* Supposons qu'il s'agisse de l'orthocentre du triangle formé par la corde et les doux tangentes menées à ses extrémités. Les deux premières équations seront : ay et Ton trouve ou a: {a'm* + J«) = cin> (a* + *•) + J«c, y (a'w* + J*) + b'cm = 0. Bn éliminant m entre oes deux équations, on obtient pour l'équation du liou by + c{x--c) (ex - a« — S«) = 0. (A. C.) "^SOR UNB MÉTHODB h'LéMENTAlRB D'EXPOSITION DBS PRINCIPES DE LA GKOMÉTRIB NON EUCLIDIKNNK. t. Ohjit d$ la présenti note, c Depuis un siècle, les mathémaiicîaiis ont soumis les principes fondamentaux de la science de Teapace à un examen critique qui leur a permis de créera côté de la géométrie ordi* naire* ou gt^ométrie euclidienne, deux autres sjatèmes de géométrie, toat aussi admissibles, tant au point de Tue de la rigueur logique qu^à oelni de leur application po^ible à Tétude du monde phvsique. Le premier de ces sjstèmes est la géométrie lolMLlclieCskieiiAe, ain nommée parce que c'est Lobatohe£$kj (1793-1856) qui en a troai^ las basiMi Yer$ 18:^ et en a donne an exposé complet ëana de éerits puMiés de 18:29 à 1856« Le second est la géoméuîe riemaeniemne, dont Tidée - 113 - presque sans aacun développement, a été indiquée par Rieman'n (1826- 1866) en 1854 et publiée seulement en 1867 (*). » Dans la présente note, nous nous proposons de montrer comment, dès 1826, Taurinus (1794-1874) et Lobatcbefskj ont pu arriver (ou, au moins, auraient pu arriver), par une induciion légitimé ^ aux principes fondamentaux des deux géoroétries non euclidiennes, en pai*tant de for- mules établies en géométrie euclidienne. •. Le postulat des deux droites et le postulat des trois droites comme caractéristiques des trois géométries. On peut caractériser les trois géo- métries, euclidienne, lobatchefskienne et riemannienne, par la manière dont elles particularisent, au moyen de certains postulats, la notion générale de la droite. Dans les trois géométries, la droite est une ligne indéfinie^ homogène^ entièrement déterminée par deux quelconques de ses points suffisamment rapprochés. En pratique, un âl tendu très un réalise, autant que possible, co concept y^^ra/ de la droite, lequel suffit d*ailieurs pour établir avec rigueur une partie assez notable des Eléments de Géométrie. Mais quand on veut aller plus loin, on est forcé de particulariser la déânition générale de la droite, au moyen de Tun, ou de Tautre, ou enfin de Tun et de Tautre des deux postulats suivants : Postulat des deux droites (6« postulat d'Euclide). Deux droites ne peuvent enclore un espace. Postulat des trois droites (5« postulat d'Euclide). Deux droites d'un plan qui font d'un même côtè^ avec une troisième^ des angles dont la somme est inférieure à deux angles droits se rencontrent de ce côté. En géométrie euclidienne, on admet ces deux postulats ; en géométrie lobatchefskienne, on n* admet que le premier; en géométrie rieman- nienne, on n*admet que le second. On appelle droite euclidienne celle qui jouit des deux propriétés expri- mées par ces postulats; draite lobatchefskienne ^ celle qui ne jouit que do la première, droite riemannienne celle qui ne jouit que de la seconde (^^. (*> Nous empruntons ces quelques mots d*introductioD à nos Principes de hletagéométrie ( i/o/ A^m, octobre 1S90, supplément;. (**) Nous D*abordons pas ici, explicitement au moiai, la question de la compatibi- lité logique des postulats avec les détinitions, soit en géométrie euclidienne, soit en géométrie non euclidienne. De fait, cette compatibilité logique, poar la géométrie ouclidienne, n^a été, ni contestée, ni démontrée pendant deux mille ans. Hais elle 10 - 114 - En géométrie euclidienne, on n'étudie que des droites euclidiennes et des figures dont la définition dépend, en dernière analyse, de celle de ces droites; de même, la géométrie lobatchefskienne et la géométrie rieman- nienne étudient respectivement les droites de même nom ou des figures qui en dépendent. Les trois géométries ont cependant des propositions communes; ce sont, comme nous l'avons dit plus haut, celles qui conviennent au genre DROITS tout entier (par exemple, ce théorème : un triangle est déterminé par ses trois côtés), ou aux deux sortes de droites non euclidiennes (ex. : on triangle non euclidien est déterminé par ses trois angles), ou encore aux deux sortes de droites non lobatchefskiennes (ex.: le postulat des trois droites), ou enfin aux deux sortes de droites non riemanniennes (ex. : le postulat des deux droites). S. La trigonométrie ephérique, Dk^ l'antiquité, on a étudié, pour les besoins de Tastronomie, les propriétés des grands cercles de la sphère et des triangles sphériques et Ton en a déduit, sous forme géométrique, la trigonométrie sphérique. Dans les temps modernes, on a résumé cette science en un petit nombre de formules analytiques, dont les principales sont les suivantes avec celles que l'on en déduit par permutation circulaire (a, i, c sont les côtés d'un triangle ABC, A, B, G les angles opposés \2p = a + h-\- c) i cos a = cos b C08 c -l- sin i sin 6 cos A ; (1) sin a sin J sin c sin A sin B sin C ' cot a sin i «= cos i cos c -|- sin c cot A ; (3) cos A = — cos B cos C -|- sin B sin C cos a ; (4) ^^i(/^-j,B + ^)-~^'^'^°(^-^>''°^^^^)'^°^y^^)- (5) 2 cos \ a cos ^ S cos ^ c Si l'angle A est droit, les formules se simplifient et l'on a, en parti- culier, ^ taog e ^ tang J cosB = ^ — ^— , cosC = — 5-.. (0) tanga tanga cos a =3 cos h cos c. (7) est établie à posteriori^ pour aiasi dire, pour les trois géométries, depuis que M. De Tilly a prouvé que chacune d'elles est contenue toute entière dans une seule relation analytique entre les dix distances mutuelles de cinq points. — 115 - Au lieu de déduire les formules (6) et (7) de celles qui se rapportent aux triangles quelconques, on peut aussi démontrer directement les for- mules (6) et (7); alors on en déduit la formule (1) de la manière suivante. Considérons un triangle quelconque ABC, où Ton a mené les deux hauteurs BD, CE(*). Posons , comme d*ordinaire, BC =a, C A = i, AB <= c. On a successivement, dans les triangles rectangles BCD, ABD, T^^ ^.T. ^Tx cosAB ,.^ ,^. cos BC = C03 BD cos CD = rr. cos (AC — AD), cos AD ^ «^ »^ » y^ . .^ . »^taneAD cos BC = cos AB cos AC + sin AB sm AC — ^—rr. » tang AB c'est-à-dire, puisque tang AD = tang AB cos A, cos a = coab cos c -[- sin S sin c cos A. (1) On arrive au même résultat, en partant des triangles rectangles BCE, ACB. On a, en effet, cos BC = cos CE cos BE = ^^^ cos (AE — AB), COSÂË tang AE cos BC = cos AC COS AB + sin AC sin AB — s , tang AC ou, puisque tang AE = tang AC cos A, cos a = cos S cos e + sinb sin e cos A. (1) Il n*est pas inutile d'observer que si Ton ne connaissait pas la formule (7), la démonstration précédente prouverait que Ton a tang AD tang AE tang AB tang AC c'est-à-dire que le rapport de la tangente iVun segment i*are de grand cercle à la tangente de sa projection sur un autre arc de grand cercle ayant une extrémité commune avec le premier^ ne dépend que de V angle du segment et de sa projection. De la formule(l)et de celles que Ton en déduit par permutation tour- nante, on tire, comme on le sait, les relations (2), (3), (4), (5). 4. Autre manière d'exposer la trigonométrie sphérique. Abandonnons la définition habituelle du grand cercle de la sphère et remplaçons-la par la suivante : Un grand cercle d'une sphère est une ligne (tracée sur cette (^) Le lecteur est prié de faire la figure. - 116 - surface) iniéfiniej homogène, entiirement déterminée par deuœ quelconques de ses points su fflsamment rapproches et telle qu'il existe pour un triangle ABC, rectangle en A et formé par des arcs de grand cercle, les relations _ tang c ^ tang b coa B = — — » cos C = — ~- (6) . tanga tangtf ' cos a = C08 b cos c, (7) entre les angles et les côtés de ce triangle. Au moyen de cette définition, on établit les formules (1), (2), (3), (4), (5), par une voie surtout analytique; on déduit ensuite de ces dernières formules les propriétés des grands cercles et des triangles sphériques. Pour ceux-ci, on peut supposer les côtés et les angles inférieurs à ir, comme on le déduit de ces formules mêmes (*). Ainsi, par exemple, au moyen de la formule (1) et de celles qui 8*en déduisent par permutation tournante, on démontre qu*un triangle sphé- rique est déterminé par ses trois côtés, a, b^ c, pourvu que chacun d'eux soit inférieur à la somme des deux autres ; au moyen de la formule (5), on prouve ensuite que la somme des trois angles est comprise entre tt et 3k, On prouve de même qu*un triangle sphérique est déterminé par deux côtés et Tangle compris ; par un côté et deux angles adjacents ; enfin, par trois angles (moyennant certaines conditions). De ce qu un triangle est déterminé par un côté et deux angles adjacents, il résulte que deux arcs de grands cercles réunis par un troisième de longueur a et faisant avec lui des angles B et C, se coupent en un point A, en faisant un angle donné par la formule (^ Cos A = — cos B cos C -{- sin B sin C cos a. La formule (1) et celles qui s'en déduisent par permutation tournante peuvent s* écrire Cos a = cos (tt — b) cos (tt — c) 4- sin (tt — b) sin (tt — e) cos A, Cos (tt — b)-= cos (tt — c) cos a + sin (tt — c) sin *a cos (tt — B), Cos (tt — c) = cos a cos (tt — J) -J- sin a sin (tt — b) cos (tt — C), (*) Nous laissons au lecteur familiarisé avec les calculs de la trigonométrie sphérique le coin de démontrer les divers théorèmes dont nous parlons ici et plus bas. (**) Il est facile de voir que cos A est compris eotre - cos(B + C) et — cos (B — C) et, par suite, entre — 1 et + 1 . — 117 — Gef équations prou veut que les deux arcs de grand cerclOi qui se coupent une première fois en A, se coupent une seconde fois, sous le mémd angle en un point A' et Von a arc ABA.' = arc ACA' = tt. Par suite, comme on le voit assez aisément, tous les arcs de grand cercle qui passent par le point A, passent aussi par le point A' et ne se rencontrent nulle part ailleurs. Deux points tels que A et A' peuvent être appelés» par conventioni^otn/i opposés, sans que cela implique la considération de la droite euclidienne AA' qui les réunit. D*après ce qui précède^ les arcs de grand cercle définis comme nous venons de le faire présentent de grandes analogies avec la droite rieman- nienne. Ainsi, par exemple, deux ares de grand cercle^ suffisamment prolonge, renferment toujours un espace. Par suite, ils jouissent d'une propriété analogue au postulat des trois droites. En effet, il est clair que deux grands cercles qui font i'unmimê côtéj avec un troisième, des angles dont la somme est inférieure à deux droits^ se rencontrent de ce côté, puisque deux pareils arcs se rencontrent toujours. Il y a plus, ils se rencontrent aussi de Tautre c6té, comme nousTavons vu tantôt. Ils se rencontrent d'ailleurs aussi des deux côtés, même si la somme des angles d*un côté et de Tautre du troisième grand cercle, est égale à deux droits. P. M (A continuer). SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. Qucsllon 78S. (Voir Mathesis, X, p. 216). De combien de manières un pion du jeu de dames, placé en un coin du damier, peut-il se rendre sur le bord opposé en progressant par cases consécutives parallèlement à l'une ou l'autre diagonale? (Ed. Lucas). Solution par M.. R. H. Van Dorstbn. Supposons que le pion soit placé en haut dans le coin gauche d*un damier de 2n cases de côté. C*est Ëd. Lucas lui-même — le géomètre distingué, dont la mort a été une perte immense pour la science mathématique — qui, dans sa TMôrie des Nombres (p. 90), a indiqué, dans les termes suivants, la méthode par laquelle la question proposée peut être résolue : € Si Ton fait tourner le damier d*un demi-^uart de tour dans le sen^ - 118 - c opposé aux aiguilles d'une montrei les déplacements du pion devien- c nent parallèles aux directions f et»-*, c'est-à-dire parallèles à ceux € d'une tour, tandis que les bords verticaux deviennent parallèles à la € diagonale ^^. On est ainsi ramené à la considération de l'hexagone c arithmétique. > En effet, il y a deux transversales formées de zéros. Dans Tune de ces transversales le premier zéro se trouve à la 1" ligne et à la 2ft-|- l''*^ colonne, dans Tautre à la 2^^*^ ligne et à la l*"* colonne; de sorte que a=\etb = 2n. Si l'on désigne le terme qui est placé dans la case, dont les coordonnées sont â; et y (c'est-à-dire dans la (â?-|~^y^^ ligne et la (y-l"!)***^ colonne) par Z,.y le nombre cherché devient L'expression générale de Zx,y est : Comme on a a? NU' XU' AU' p PZ Y'Z CZ p' on conclut de là que NP est parallèle à AC. On prouverait d'une manière analogue que LM est parallèle à BD. Des relations (p + y) NP = p. X'Y + q. U'Z, X'Y BY p U^Z_DZ_ q ~Xc'^BC~'p + q* AC "" CD ~" yTIjr^ ' on déduit NP _ y» + q^ AC ""(? + ?)«' La même question a été résolue par MM. Dboz Farnt, DiIpbbz, Fairom (Seralng) et J. JoNBSco au moyen des équipollencss). M. Fairon observe que la proposition s'applique à un quadrilatère gauche. - 120 - QoeAllott 0519. {Voir Matkesit, (2) IV. p. Ï58). On donne une ellipse de centre 0 ; soient F et F' ses foyers ^ a et h ses demi-axes. Soit M un point de la circonférence de rayon a-^h et de centre 0 ; démontrer que la droite symétrique de OM par rapport à la bissectrice de l'angle FMF' est normale à V ellipse. La même propriété a lieu si M est un point de la circonférence de rayon a ^b et de centre 0. (Lemoinb). Solution par M. P. Bastin. Si Ton prend pour coordonnées de M {a -|- b) cos 9, {a + h) sin 9, on trouve, pour équations des droites MF et MF' : y [(a + i) cos cp — c] — a? (a -|- ^) sin 9 -|" ^ (^ + ^) sin 9 = 0, y [(a 4* J) cos 9 -f c] — â? (ci + ^) sin 9 — c (a -}" *) ^in 9 = 0. Soit P (a fi) le point où la droite symétrique de OM rencontre Taxe des X. En exprimant que le rectangle des distances des points 0 et P à la droite MF est égal au rectangle des distances des mêmes points à la droite MF', on trouve, après un calcul facile c* cos 9 a = . a On obtient alors, pour équation de la droite MP, y.b cos 9 — œ.a sin 94-0* sin 9 cos 9 = 0. Cette droite est normale à Tellipse au point (a cos 9 , } sin 9). Si le point M appartenait à la circonférence de centre 0 et de rajoii a — i, la droite MP aurait pour équation — y,b cos 9 — œ.a sin 9 4"^' sin 9 cos 9 = 0, et serait normale à Tellipse au point {a cos 9 , — i sin 9). Autres solutions analytiques par MM. J. Jonbsco, D^priz. Barisien et Bovt; elles s'appuient sur la construction, diaprés Chasles, des axes d*ane ellipse dont on donne deux diamètres conjuf^uës. Solution par M. Cl. Servais. La tangente et la normale en un point P de Tellipse, déterminent sur Taxe AA^ deux points K' et K conjugués harmoniques par rapport aux fojers. Il en résulte que les couples OK, FF', K' 00, appartiennent à une involution, dont les points doubles sont les points LL' conjugues par rapport aux iojerê, et ayant pour milieu le — 121 — point K'. La circonférence (K') décrite sur LL' comme diamètre ren- contre la normale PK en deux points M et M'; les droites ML et ML' sont rectangulaires et divisent harmoniquement les couples de rajons MF et MF% MO et MK, donc ML est la bissectrice des angles FMF' et OMK. De même, les angles FMT' et OM'K ont pour bissectrice M'L; par consé- quent les droites OM et OVi' sont également inclinées sur l'axe a. On en conclut que ces droites rencontrent la circonférence (K') aux points M| et M^, qui sont les symétriques des points M' et M par rapport à Taxe a. Le milieu Q de la corde MM| est donc situé sur Tordonnée du point P. Le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre rencontre cette ordonnée en un point X, tel que la tangente au cercle en ce point passe par K' ;les deux points X et Q sont donc identiques et on a OQ =: a. Mais OM.OM' = OL.OL = ÔP'; par conséquent, OM = a + J, OM' = a — J; la question proposée est donc résolue. Dans le triangle MOM' on a ÔM' + ÔM'* = 2ÔP' + 2PM' ou a»4-ô» = ÔP'-f PM*. PM est donc égal au demi-diamètre conjugué de OP. On a ainsi le théorème suivant dû à Chasles(*) et qui sert à construire les axes d'une ellipse connaissant deux diamètres conjugués en grandeur et position : Soient 0 le centre de Vellipse^ OP et OP, deux demi-diamêtres conjugués; par le point P on mène une droite perpendiculaire à OP, et on prend sur elle deux segments PMeiPM' égaux à OP t. Les axes principaux de V ellipse sont les bissectrices des angles formés par les droites OM et OM'. Le grand axe sera égal à la somme de ces droites et le petit axe égal à leur différence. Solution par les équipollences, par un Abonné. Le point M ajant pour coordonnées {a -{■ b) cos cp et (a -[- b) sin cp, on a TéquipoUence OM = (a -|- J; £ ^. Les droites FM, F'M s'expriment par {a -\- b) t'f ± c, et la symétrique de OM par rapport à la bissectrice de l'angle FMF' a pour direction celle de la droite (^) Aperçu kUtoriçuet 1837, p. 45. — 122 ~ Un point quelconque E de cette droite est donc donné par la relation OE = OM + » MN = (fl + J) £?* + f* [(a + J) £? - (fl — b) e-r|, u étant un paramètre algébrique variable. Faisant u= ^ {, il vient OE = — ^ — e^ H — t^=^acoa(f'\'tosm(p. Le point E est donc sur l'ellipse ; il a pour coordonnés a cos 9, } sin 9 ; et on vériâe immédiatement que EN = 2(J cos 9 + ia sin 9) -\- 2i{a sin 9 — ib cos 9) est normale à la courbe en E. Un calcul analogue s'appliquerait au cas du cercle de rajon a — b. Le point d'incidence de la normale a alors pour coordonnées a cos 9 et — b sin 9. Qnesllou tOOO. (Voir Mathesii, (2) IV, p. 280). Soient A un point d'une conique 2 de centre 0, M e/ N le centre de cour» hure et V extrémité de la corde 7iormale au point A; C et D les projections sur les axes du point Ai diamétralement opposé à A sur (2). Les droites OMfAiNet CD sont concourantes. Si Ai est le symétrique de A par rapport à Vaxe a, les droites AsN et CD se coupent sur la perpendiculaire abaissée du point M sur Vaxe a. La parallèle menée à Vaxe a par un point dHnter- section E de CD avec S coupe la normale en A au point H. La perpendicu* laire à la normale en ce point rencontre EA au point K. Démontrer que KM est perpendiculaire à Vaxe a. (C. Sbrvais.) Solution géométrique par M. E. Buissbret. Soit M le centre de cour- bure au point A. Par ce point, on peut mener deux normales à la conique autres que MA. Les pieds E et F de ces normales s*obtiennent enjoignant les projections C et D sur les axes, du sjrmétrique A| du point A par rap- port au centre 0. Les points A, 0, M, E, F sont situés sur une hyperbole équilatère tangente à la conique au point A, et dont les asymptotes sont parallèles aux axes de cette conique. Les deux courbes sont donc homolo- giques. Le centre d'homologie est le point A» et l'axe d'homologie la droite £F. Dans cette homologie les points Ai et 0 sont correspondants, ainsi que — 123 — M et la point normal N. Les droites OM et AiN concourent donc sur EF. Si As est le symétrique de A par rapport à Taxe a, il a pour correspon- dant, sur Thjperbole, le pointa Tinâni dans la direction de Taxe b. Les droites AsN, CD et la perpendiculaire abaissée de M sur Taxe a, sont donc concourantes. Soient X et Y les points à Tinâni dans la direction des axes a et b. La droite KH est la pascale de l'hexagone (AAEXYM). La droite MY per- pendiculaire à Taxe a, passe donc par le point K. Rbmarqub. Soient G le point d'intersection de la normale avec a, L le point d*interse<^tion du diamètre OA, avec la perpendiculaire abaissée du polntMsur Taxea. La droite LG est la pascale de rhexagone(AAOXYM). Dune elle est parallèle à la tangente au point A. De là, la construction bien connue du centre de courbure en un point d*une conique. On pour- rait en déduire d*autres, il suffirait de combiner de diverses manières, les points AA, 0, E, F, X, Y et de chercher au mojen de Thexagone de Pascal, rintersection de Thyperbole équiiatère avec la normale en A. Remarquons aussi que le théorème proposé nous donne trois construc- tioos simples du centre de courbure dans le cas où la conique est donnée. NoTB. MM. DÉPREz et Ybrdeybn ont donné une solution analytique de la même question. M, Barisien nous transmet les remarques suivantes : Le lieu du point de rencontre commun des trois droites OM, A|N et CD est la courbe ajant pour équation aY _ jV) [(awY 4- {byYJ = {aby. 2^ Le lieu du point de rencontre des deux droites AsN et CD est une oourbe fermée ajant pour aire _, 3nbc' (3a» — J») 8a» 3* Si H' est le point analogue au point H et correspondant au second point d*intersection E' de CD avec (2), le lieu du milieu de HH' est une courbe fermée unioursale ajant pour aire 5 J* Ttab — 12i - QiieAllou t040. (Voir Mathesis, (Ç) V, p. 240). D'un point quelconque M d'une normale fixe à une parabole on abaisse les deus autres normales, l*" La droite A qui joint les pieds de ces deux normales est parallèle à une direction fixe, 2^ Le lieu de la projection du point M sur ^ est une ligne droite. (!£. N. Barisibn.) Solution géométrique par M. A. Gob. Soient A le sommet de la parabole, N le point d'incidence de la normale fixe, P et Q les points d'incidence des deux autres normales. Les points N, A, P, Q sont sur une même circonférence (cercle de Joachimsthal); donc la droite PQ a une direction tue^ symétrique de celle de AN par rapport à Taxe de la parabole. Désignons par S l'extrémité du diamètre correspondant à la direction PQ, par R et T le milieu et le pôle de PQ, par a et P les projections des points T et M sur PQ. Le triangle TaR étant rectangle et S étant le milieu de TR, le triangle SaR sera isoscèle et Tangle SaR sera égal à Tangle aRS. Donc la droite Sa passe par le fojrer F. Le lieu de a est donc SF. Or, le quadrilatère MPTQ est inscriptible dans un cercle de diamètre l'M; donc les points a et (3 sont symétriques par rapport à R. Le lieu de |3 est donc la droite SX conjuguée harmonique de SF par rapport à SR et à la tangente en S. De la définition même du lieu, il résulte que le point X où la droite SX rencontre une seconde fois la courbe, est le point où la normale parallèle à PQ rencontre la parabole. Solution analytique par M. Colart (Huj). Soient A (â?i,yi), B {x^ yt)y C (â?f » yi) 1^8 pieds des normales issues du point M (a, |3). Les ordonnées 1^1) y>) ys 80^^ 1^8 racines de Téquation de sorte que y ■ + y» + y» = ^> y^y^y^ = 2p*P- («) Par suite, yt — y% 2p 2p ifi ou — — X7 — Xf yt+y* y\ ^ 1 - 125 - Si A est fixe, la droite BC est donc parallèle à la sjmétriquei par rapport à Taxe de la parabole, de la droite AO joignant le point A au sommet 0. 2* L*équation de la droite BC peut 8*écrire y — yt= - — (a? — a?i), ou a?yi+y^, =^,y2 + a?iy, ; en transformant le second membre au moyen des relations on trouve la projetante de M sur BC a pour équation et l'on a la condition y\ y,^r^=^^yi(X,-a), (3) p Si| entre les équations (1), (2) et (3), on élimine a et 3» on obtient (2/? + 3^:,) y -|- 2y,a? + yi (;^ + Xi) = 0. Autres solutions analytiques ou mixtes par MM. Droz-Farnt» D^prbz, Mandart, Francq, Vanoburbn, Sbligmann. M. Dbprbz fait remarquer que le centre de gravité» Torthocentre, le centre du cercle circonscrit et celui du cercle des neuf points du triangle formé par M avec la corde A décrivent des droites. Autre solution géométrique par M. Butsbns; nous regrettons que le défaut d'espace nous empêche de la reproduire. QUESTIONS PROPOSEES. t i 19. On donne une ellipse Ë, de centre 0 et de fojers F et F'. D'un point quelconque M du plan on mène à E les tangentes. Par les points de contact P, Q et par M on fait passer une circonfé- rence qui rencontre Tellipse en deux nouveaux points P', Q'. Soit M le pôle de la corde P'Q' par rapport à E. — 126 - 1^ M, M', Fy F' sont quatre points concjcliques. 2^ MM' est une symédiane du triangle FMF\ 3^ Si M se meut sur une circonférence de centre 0, M' se meut sur une seconde circonférence de centre 0 et la droite MM' enveloppe une développée de conique. 4^ Si M décrit une lemniscate de Bernoulli de centre 0 et de mêmes axes que E, M' décrira une hyperbole équilatère. 5* Si M décrit une strophoïde droite ayant 0 pour point double et OF pour axe. M' décrira une hyperbole équilatère. ô° Si M décrit une cissoïde ayant pour axe OF et 0 poar point de rebroussement, M' décrira une parabole. 7* Si M décrit un limaçon de Pascal (cardioïde) dont l'axe est dirigé suivant OF et dont le pôle est en 0, M' décrira une conique (parabole). 8* Si M décrit la podaire de 0 par rapport à une hypocyclolde à quatre rebroussements ayant pour axes ceux de Tellipse, M' décrira une kreuzcurve. 9* Si M décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suivant ceux de E| M' décrira une podaire d*ellipse. (Déprbz.) ^i tl90. Quelle relation entre les angles a, |3, y, d peut-on déduire de régalité sin a sin |3 sin/ sind cosa cos/: cosy cosd sin P sin a sind sin y cosP cosa cos5 cosy = 0? (J. Nbubbrg.) i il9l . Siît'est un cercle réel de centre 0, et kl son cercle conjugué^*) (complémentaire) : 1" les coniques passant par 0 et bitangentes à V sont des ellipses ; 2^ les coniques passant par 0 et bitangentes au cercle ima- ginaire kl sont des ellipse!*, hyperboles ou paraboles suivant que la corde de contact coupe le cercle réel k* en deux points imaginaires, coïnci- dents ou distincts. (V. Rbtali.) (♦) Si «• + y" = f • est réquaUon de k\ celle de * J est a^ -f y" «=» - ^' On désire poar cette question et la suivante des solntions par la géométrie pure. — 127 « ttt9. Etant donnés dans un plan un pôle ftze o et un point-cercle a, faisons correspondre à un point variable p son conjugué p' par rapport au point-cercle, aligné avec o: si p décrit une droite A, le lieu de p' est une hjperbdlci parabole ou ellipse suivant que h coupe le cercle décrit sur le diamètre oa en deux points réels et distincts, coïncidantsi ou imaginaires conjugués. (V. Rbtau.) PUBLICATIONS RÉCENTES. tS. Leçons d*Arii1imétiqu€ à Tusagedes cours scientifiques et des écoles normales par J. Thirion, S. J. , professeur au Collège de la Compagnie de Jésus à Louvain* Namur, Ad. Wesmael-Charlier, 1897 (VIIM46 p. in*8«). ^ Réiumé des Leçons it Arithmétique à Tusage des cours moyens et des classes d'humanités, par le même. Ib. (2T7 p. in-8<*). QUESTIONS D'EXAMEN. 99ii. On considère une parabole P et la corde focale perpendiculaire à Taxe. Soient M un point quelconque de cette corde et AB la corde polaire de M par rapport à P. Le centre du cercle circonscrit au trian- gle MAB est situé sur Taxe de la parabole. (B. N. Barisibn.) Soient f* = 2pâ7 l'équation de la parabole et («, ^) les coordonnées de M. On trouve pour les coordonnées du centre du cercle circonscrit an triangle MAB : '2p ' 2p Y9S. Déterminer Taxe et Tangle du cône de révolution qui touche les plans de projection et un plan P donné par ses traces. On cherche Tintersection du plan bissecteur du dièdre PH avec celui du dièdre HV. 994. Trouver Taxe du cjrlindre de révolution tangent aux plans de projection et à un plan donné qui est parallèle à la ligne de terre. !•*. On donne deux cercles 0, 0' et un point P. Mener deux rayons parallèles dans ces cercles de façon que leurs extrémités soient équi- distantes du point donné P. (/. àe Vuilert.) !• Soient OA, O'A' les rayons cherchés. S le centre de similitude, M le milieu de AA', I le milieu de la distance des centres. M est à Tintersection du cercle de centre 1 et de rayon — ^^^ — » avec le cercle décrit sur PS comme diamètre. — 128 - 29 Menons A'P' parallèle à AP et rencontrant -SP en P'. On pont déterminer le SP R point P' au moyen de la proportion -— = — ; le point A' appartient au lieu des oP R ,. - . ... , ,. A'P ou AP R point. 8.t,.fa.Bant à la relation ^^.^^ = - • 708. Une droite AB de longueur et de direction invariables s*appuie par ses deux extrémités sur deux sphères fixes 0, 0\ Déterminer la courbe décrite par chaque extrémité sur la sphère correspondante. (/. de Vuibert.) La courbe décrite par B est Tintersection de la sphère O' avec la sphère O à laquelle on imprime une translation ayant pour mesure AB. 7 99. Soit un polygone régulier P de « côtés inscrit dans un cei^cle de rajon R. On joint les milieux des côtés consécutifs et on forme ainsi un second polygone Pi sur lequel on opère comme sur le premier, et ainsi de suite. Démontrer que la somme des surfaces de ces polygones tend vers une limite égale à Taire d*un poljgone régulier de n côtés dont le côté égale 2 R. (/. de Vuïberi.) Soient Ri Ri, R*,... les rayons des cercles circonscrits à ces polygones. On a P P. P. , RÎ = RÏ = Rî'^*^- R Ri Ri . Ri R« Rs 999. On connaît la surface totale d*un cône droit et la surface d'une section par Taxe. Trouver le rayon de la base et la hauteur, 909. Résoudre et discuter Téquation sin'° X + cos*° x = a, (E. N. Barisien.) On a, successivement, (1) sin* X 4- cos* x = 1 (2) sin* X -f- cos* a? = 1 — 2 sin* x cos* a?, (8) sin* X + cos* a? = 1 — 3 sin* w cos* x (4) sin*" x + cos*® a? = 1 — 6 sin* fl? cos* x -f- 5 sin* x cos* J*, 4 5 fl = 1 — r fiiû* 2 a: -h Tg sin* 2 a?, On élève (1 ) au carré, on multiplie ensuite (1) par (2), puis (2) par (^), - 129 — SUR QUELQUES FORMULES qui rapréMiitant par approximation l*arc dont on connaît la alnns et le cosinns. Par M. le Professeur E. Lampb (Berlin). Il j a quelques années on s*est occupé de la formule trigonométrique approximatiye : où e désigne le côté opposé* a le côté adjacent de l'angle a d'un triangle rectangle dont rhjpoténuse est A. Cette formule, qui semble avoir été trouvée par Nieolaui CusanuSf est équivalente à la relation approxima- tive : 3sinâ? a? = 2 + cos a? où X, supposé inférieur à } ir, est l'arc appartenant à sin a ou cos x. Une antre formule du même genre, qui remonte à Newton, 14 + cos a? . X = - — SIU iT. 9 4- 6 cos « a été récemment tirée de ToublK*) et étudiée, au point de vue de Tusage qu'on peut en faire par M. P. Mansion dans une jolie note insérée an Messenger of Maikemaiics, t. XXV, p. 48 et dans Matkesis, 1896, p. 84. Dans les que«tioni de Mathématiques que je doune à mes élèves de l'Ecole technique supérieure, j'ai fait étudier ces formules, en leur faisant chercher des expressions dont les développements en série coïn- cidant le plus possible avec une fonction donnée. Des exemples de ce genre sont bien propres à faire connaître la portée de la méthode des coefficients indéterminés, et l'on en trouve plusieurs dans quelques recueils répandus de problèmes dont il suffit de nommer : 0. Schlômiloh, Uèbungslmeh f »m Siudium der hdkeren Ânaljfsis. Prenons, par exemple, la série lA-x 1 1 {*) Bn réalité, c*e8t M. Aubry qui a fait observer que cette formule appartenait à Newton (J. M. S. 189S, p. ItH et p. I9i; 1894, p. 202); M. Massau Tavait retrou- vée depuis longtemps, par le procédé même de Newton {IniégrûHûn graphique^ n« 884). (P. HO. 10 - 130 — et supposons que cette série s'exprime par le quotient : a -{- a»â?' -|- dêX* 1 + biX^ -\- bsx* On a donc quatre coefficients à déterminer, et Ton trouve, à Taide du procédé connu, les valeurs 7 M ^ 10 ^ 5 La différence entre la série et le quotient, développé en série, ne com- mence qu'avec le terme â?" ; on aura donc la formule approximative : l+x ^ 2a?(945 — 735i?« + 64x*) \^x^ 15(63 — 70^» + 15iP*)~ ' ou bien pour â?=-: n + 1 2(945»* - 735ft' + 64) n — 1 "" 15ii(63ji' — lOn* + 15) ' formule qui donne pour n = 3 : fô= 0,693 147 15..., tandis qu*on a effectivement : /2=i 0,693 147 18... Considérées sous ce point de vue, les deux formules de trigonométrie que nous venons de citer, appartiennent donc à un ensemble de formules dont on peut demanler la continuation. J'en ai établi quelques-unes que je crois assez intéressantes et assez utiles pour les communiquer loi; elles peuvent servir de questions pour les étudiants qui veulent 8*initierà la théorie des suites infinies (*). I. DéUrminit n nombres ai, ai, ai, ..., a» teU qu'on ait aisinâ?-f-a3sin2â? + as sin Sa; + ••• +ai»8inii^ saâ?, avec une erreur qui ne porte que sur la plus haute puissance possiNs de x. En développant les sinus suivant les puissances ascendantes deâ?, on (*) Iab séries employées par M. Lampe, savoir : t^ I* t* t* 8in/ = ^---}---etc.. cos^ = l---f--etc., sont établies avec rigueur, d^une manière élémentairoi dans la Trii^namétrk de SsaRST. On pose 1.2.8. ..ii = iil ^ 131 - j^Tientii former pour les ii inconnues ai, Of» af,...î a. le système des à équations linéaires : ai+2»a, +3»fl5 -] [-«'«» =^> ai + 2»a, +3»ai -j l-n'o» =0, ai + 2«— «ai-f 3»»-'a$+ •• +«*»-'ai, = 0. Soit D le déterminant de ce système d*équations et posons D = « 1 P, où Ton a posé : P = 1 1 1 2* 1 2* 1 3» 3* n' 1 2'»»-' 3*"-* ... a**-* = («» — !•) (n» 2') (a« - 3») ... (n« — âTH') X (iT^' — 1«) (iT^n* — 2») ... (i^Tï' — ïTI^*) X (*• — 1») (*« — 2») (*» — 3») ... (*« — T^Ti') X (3« - P) (3» - 2») X (2* - V). La coefficient a* se déduit de la relation D.«i 1 2 3 .. il--l 1 1 + 1 «• « 1 2» 3» .. (1-1)» 0 (* + !)• ... «» 1 2' 3» ... (*_1)» 0 (*+!)' •• «• 1 2'"-« 31.-1 ... (l_l)t—« 0 (il + l)'-' ... n»«-« 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 2» 3» ... (1-1)» (1+1)» ... «» î')' 1 2» 3« ... (1 — 1)« (» + l)* .... «* 0 1 2'«-« 8»-« — (4— 1)»-» (»+!)»—• — » - 132 - [— !)»-• fjY. («»- 1«) («» -2»). .(««_*-(- 1*) (•»— * — l*)...(ii»— «_ X • • • X(* + l' X(*-l* • • • • • - 2') .. — 2«).- • • • • • .(* + !• .(l-l*. • • • • —F- -F" • • • • -2*) • X (3« — 1«) (3« — 2*) (2» — 1«). Toate rédaction faite, on a donc : où l'on a posé : P, = («* - k*) (n^V — V) (JT^^T - 1') ..• (Â+T - *'), p, == (*» _ V) (*« - 2») (*« - 3») .. . (*» - jn:n*). Or on voit imtnédiatemeat que l'on a : P,.p, = (« -I- 4) {« -f A - 1) (« + * _ 2; .... (2* 4- 1) X(«-*)(«-* — 1)(« — *-2)- ..1 X(4 + l)(* + 2)(* + 3)...(2*-l) X(*-l)(A-2)(il-3).... 1 (« + *)! (« — 1)1 Donc 2k k «. = (-1) ii^ = (-!)' *(« + «)! (« — A)l 2i»(« — 1) (« — 2) — («_*+!) *(«+l)(« + 2).. (« + !) Faisant k<=l,2, 3, ..., on a enfin : 2n T t fll = — «+1 2ii(«-. l) 2(ii-fl)(n + 2) _ 2»(n — 3)(n — 2) ^•-3(« + l)(ii + 2)(« + 3)' — 133 - et U formule cherchée se présente sons cette forme : 2» I . « — 1 Bin2» , (n—l){n — 2)é\nS^ « + 11 « + 2 2 ' (n + 2)(«-|-3) 3 («-l)(ii-2)(ii — 3)8in4j? -j 1 = a? 4- «?•■+« -}- (ii+2)(ii + 3)(ii + 4) 4 En particularisant encore cette formule pour n = 2, 3, 4, f.., nous obtiendrons ces cas spéciaux : gsina? — -sin2a> = a? — ^a>*.,., — sin s? — — sin 2^? -I sin 34? «= 4? -I s?^ . •• • 2 10 *^30 '140 ' -sinâ; — -sin 2a? 4- ---sin3iP — TT7w8in4a?=sfl? — — - a?' ..., 5 5 * 105 140 «30 5. 10.. ,5.. 5..,1.^ ,1 21 ' 42 252 ' 630 » 2772 • • • Pour que ces formules se prêtent au calcul d'approximation quand on se donne sin x et cos x, observons que sin 2x^=2tàn X cos x, sin 3a? = sin â; (— 1 -l- 4cos'a;)9 sin 4a?=sina;(8cos'a? - 4 cos a?), sin 5a;=8ina?(16co8'a? — 12cos'a?+l), et ainsi on arriiera à établir les relations : (1) -sin a? (4 — cosa?) = a? — ^«^ •••> (2) -- sin ar (22 — 9 cos a? + 2 cos 'a?) «= a? + rr?.^^ •••» 15 ^ ' 140 (3) T^sin X (160 — 81 cos a? -f- 32 cos «a? — 6 cos »a?) = ^—^^^ •••» (4) .-T= «in X (488 — 275 cos x + 144 cos «a? — 50 cos »« -f 8 cos *a?) «51u ^2772 • • • ÀTsnt de passer à d*autres formules, il est utile de signaler qnelqui propriétés de la formule générale à n termes. — 134 — Pour n inflni, elle se transforme en «==» 2 {An a — ^Bïn2w -{- ^èinSa — -8in4«+ •••), 0 » ~ ^ Sh ô Sh (? Sh > Sh tf , GhJChc — Gha Gha — Gh (J — c)^ ^ l-coaA=-l ^^^^^^ ____>0. On a donc 1 ^ coa A > — 1, oe qui prouve que A eai réel. - 13t ^ II. La même formule (V) prouve qii*un triangle est déterminé par un angle A et les deux côtés qui le comprennent. En effet, supposons b égal ou supérieur à e. On a Ch « = Ch } Ch (?— Sh bShc cosA^Ch (} — c) + Sh iSh c(l — cosA), Ch a = Ch ( J + c) — Sb * Sh (? (1 + ces A). La première de ces deux relations prouve que Ch a est supérieur à Tunité, et, par suite, que a est réel et d*ailieurs plus grand que b — e; la seconde, que a est plus petit que b + c. On & donc a -}- ^ > ^ d'après rhjf pothèse i > conb = e; par démonstration, a4-c> b, b-\-ey> a. III. D* après (4') un triangle est déterminé par ses trois angles A, B, C, pourvu que A-j-B-l-C soit inférieur à tt. En effet, dans ce cas, on a A < TT — (B + C), cos A > cos (tt — B — C) ou cos A > — cos (B + C) c'est-à 0, Or, on tire de (4') cos A + cos i B + C) cha=i+ — ^ ; / ^> 1. sin B sin C Il en résulte que a est réel; on prouve de même que d, c sont réels, puis, par le théorème précédent, que Ton h a <ô-|-(?, b . IV. Pour qu'un triangle soit déterminé par un côté a et deux angles adjacent^ B et C, il Uni et il suffit que a soit suffisamment petit et que B -|- C) soit inférieur à deux droits. Cette dernière condition est évidem- ment nécessaire : la somme des trois angles d*un triangle étant inférieure à deux droits, il en est de même, à fortiori^ de la somme de deux de ces angles. La relation (4') peut ensuite s'écrire cos A = cos (tt — B — C) -f- (Ch a — 1) sin B sin C. Si le côté a va en croissant, le second membre de cette formule devian* dra aussi grand qu*on le voudra; s*il est égal ou supérieur à Tunité, on trouve pour A une valeur nulle ou imaginaire et, par suite, il est impos- sible de former un triangle ayant le côté a et les angles B, C. Donc, pour que le triangle soit possible, il faut que a soit assez petit pour que Ton ait cos(7r— B — C) + (Chtf — l)sinBsinC <1, et, de plus, comme on Ta vu plus haut, B -f- C < tt. Mais si ces conditions sont vérifiées, on aura 1 > cos A > cos (Tt — B — C) et, par suite, on trouvera pour A une valeur supérieure à 0 et inférieure il — 138 — à 7r — B — C, et le triangle sera déterminé. On observera d*aillears que si Ton dispose de la grandeur de a, on pourra toujours faire en sorte que (Cha — 1) soit asseï petit pour que l'on ait (Cha — 1) sin B sin C < I — cos (tt — B — G), et que le triangle soit possible, pourvu que B -]- C soit inférieur à tt. y. Il résulte de cette proposition IV, que les droites considérées dam ce n*6 sont des droites lobatchefskiennes. l*" Leposlulat des trois droites fCest pas vrai dans le système de géométrie considéré ici. En effet, on a ▼u que si a est assez grand pour que Ton ait cos (tt — B — C) + (Cba — 1) sin B sin C ^ 1, les côtés non communs des angles B et C ne se rencontrent pas, bien que B-|-C soit inférieur à deux droits. 2* Ls postulat des deum droites est toujours vrai dans ce même système de géométrie. En effet, si deux droites BA, CA se rencontrent en A, prolongées au delà de BC, du côté ou ne se trouve pas A, elles ne peuvent se rencontrer en un second point A'. En effet, la somme des angles des deux triangles A'BC, ABC serait A' + A'BC + A'CB + ABC + ACB + A = A' + 47r + A ce qui est absurde, puisque dans chaque triangle, la somme des angles est inférieure à deux droits. YI. On établit ensuite, comme au n* 5, les propriétés fondamentales des droites et des plans perpendiculaires dans l'espace et le reste de la géométrie lobatchefskienne. 9. Conclusion. Nous résumerons ce qui précède comme il suit : On peut fonder la géométrie lobatchefskienne sur la définition générale de la droite et sur le postulat des deux droites; on en déduit les relations métriques (6') et (7'), puis, de celles-ci, tout le reste. Mais on peut aussi prendre pour point de départ la définition générale de la droite avec les relations (6') et {T), et en tirer tout le reste j compris le postulat dea deux droites. On peut fonder la géométrie riemannienne sur la définition générale de la droite et sur le postulat des trois droites ; on en déduit les relations métriques (6) et (7), puis, de ces dernières relations, tout le reste. Mais on peut aussi prendre pour point de départ la définition générale de la — 139 — droite ayeo les relations (6) et (7) et, en tirer tout le reste, y compris le poetolat des trois droites!*). On peut résumer plus brièyement encore les considérations précé- dentes de la manière suÎTante : Le postulat des deui droites est équivalent aux relations {6% (T). Le postulat des trois droites est équivalent aux relations (6), (7) (**). Lobatchefskj a vu clairement la légitimité do mode d'exposition que nous avons fait connaître dans cet article pour la géométrie qui porte son nom. '^NOTE DE GÉOMÉTRIE; par II. B. Mathot. t. Théorème. Soil ÂBCDEF tin hexagone (convexe ou non) imcrit à un cerdef et tel que les diagonales AD, BE, CF ^«rî joignent lu sommets opposés concourent en un même point 0. Le produit de trois côtés non adjacents est égal ou produit des trois autres. En effet, les triangles semblables AOB et EOD, BOC et FOE, COD et AOF donnent AB_AO EF_EO CD_CO ËD"~ÊÔ' BC"~CÔ' FÂ^ÂÔ' d'où 9 par multiplication, AB.CD.EK = BC.DE.FA. (1) (*) De même, on a fondé la géométrie euclidiense sur la dëflaitioB générale de la droite et sur les postulats des d«ux et des trois droites, et l'on en a déduit les relations a* = 6* -f c*, 6 = a ces C, c = a cot B, entre les côtés et les angles d*an triangle rectangle; mais on peut auati prendre pour point de départ la définition générale de la droite, a^ec ces dernières relations et es déduire tout le reste y compris les deux poatulats. (**) Dans les relations (6i, (7), (6'), {l'U a, b, c désignent le rapport des côtés à une uoité de longueur arbitraire ; si on change d*anité, Tunité primitive de longueur apparaît dans lea formait s; si on la (ait croitre indéfiniment, les formules (6), (7) aussi bien qaec6'), (Y)^ tendent indéfiniment vers celles qui carac- térisent la géométrie eaciidienne : a' =: &* -f c*« £ s « coa C, c = « coa B. Par suite, celles-ci sont équivalentes à la fois sux postulats des deux et des trois droites. — 140 - 9. Réciproque. Si un heœaçone inscrit ABCDEF est tel qu$ h produit de trois côtés non adjacents est égal au produit des trois autres^ les diofo- nales AD, BE, GF concourent en un même point. Car, si la droite qui joint C au point d'intersection 0 des droites AD, BE rencontre la circonférence la seconde fois en F', on a, par le théo- rème précédent AB.CD.EF' = BC.DE.P'A. (2) En comparant cette égalité à l'hypothèse (l), on trouve EF_ FA les triangles AFE, AF'E sont donc semblables, et l'angle EAF = EAF'. Par suite F et F' se confondent. S. Applications. — a) Dans un triangle ABC, les trois iissectrices concourent en wii même point. En effet, les bissectrices rencontrent la circonférence circonscrite au triangle en trois points A', B\ C, tels que BA' = CA', CB' = AB', AC = BC ; on a donc AC'.BA'.CB' = C'B.A'C.B'A, (3) et les diagonales AA', BB', CC de l'hexagone inscrit AC'BA'CB' con- courent en un même point. h) Les hauteurs d'un triangle se coupent en un mime point. Car elles rencontrent la circonférence circonscrite au triangle en trois points A', B', C, tels que AB' = AC, BC = BA', CA' = CB' (les angles ABB' et ACC, ... sont égaux). L'égalité (3) a encore lieu, etc. c) Si trois droites menées par les sommets d'un triangle ABC concourent en un même point 0, leurs symétriques par rapport aux bissectrices du triangle concourent également en un mime point. En effet, soient ASB', C, k!\B'\G' les points où ces six droites rencontrent la circonférence circonscrite au triangle ABC. Les droites AAS BB', ce étant concourantes, on a BA'.CB'.AC -- A'C.B'A.CB. (4) Hais BA'»CA'', CA'»BA'', etc.; par suite, TégaUté (4) peut se transformer en CA".AB".BC' =. BA".CB".AC'. — 141 - On en conclut que les droites AA'', BB'% CC passent par nn mime point. 4. Théorème d$ Céva, — Soient A%B', C les points où les droites joignant les sommets d*un triangle ABC à un même point 0 rencontrent les côtés opposés, et soient A'', B'', C les points où ces droites coupent la circonférence circonscrite. Les triangles semblables ABA' et Ck"k', ACA' et BA"A' donnent BA^_Bk^ Ck' CA A' A" "" CA" • A'A" "" A"B ' d*où, par division» BA' BA A^ CA' ^ CA ' A"C ' En multipliant membre à membre cette égalité et les deux autres analogues et en appliquant le premier théorème à Thexagone inscrit AC"BA"CB", on trouve BA'.CB'.AC' = A'C.B'A.C'B. A. Thborbmb. Dans un quadrilatère eircauMcrit à un cercle, leeUagO'^ nales et le$ cardes de contact des couples de côtés opposés passent par un point. Soit le quadrilatère circonscrit ABCD; désignons par M, N, P, Q les points de contact des côtés AB, BC, CD, DA, et par E, F les points où la diagonale AC rencontre la circonférence inscrite au quadrilatère. Les triangles semblables AEM et AMP, AQB et AFQ donnent EM_AM J^_AQ mp^af' qp~"ap' d*où, par division, EMMP EQ""QF Par analogie. PN__EN FP^ÊP' Multiplions les deux dernières égalités membre à membre ; il Tient EM.PN MP.EN MP.BN — EM,PN EQ.PP *" QP.EP "^ QPTBP — EQ.FP ' — 142 — Le dernier rapport est égal à ' ; par suitO) EM.FN MN — -— = :xTr , ou EM.FN.QP = EQ.FP.MN. EQ.FP QP Donc les diagonales de l'bexagone inscrit EMNFPQ concourent en un même point. NOTE MATHÉMATIQUE. 94. Sur les triangles semiconjugués (Voir Mathesis, p. 59). I. Soient BC, B'C deox cordes d'une conique K*, et A, A' leurs pôles. Pour démontrer que les triangles semiconjugués ABC» A'B'C sont inscrits à une seconde conique et circonscrits à une troisième, il sufSt de faire voir qu'ils sont autopolaires par rapport à une même conique. Soit 0 l'intersection des cordes BC, B'C. Construisons la conique K\ qui est sa propre polaire réciproque par rapport à R' et au pôle 0, ou la conjuguée de K' par rapport à 0 ; cette courbe est bitangente à K', la corde de contact étant dirigée suivant la polaire de 0, c'est-à-dire suivant la droite AA\ Les points A, A' étant situés sur cette corde, ont les mêmes polaires BC, BV par rapport aux deux courbes. Les polaires des points B, C alignés sur le pôle 0 sont respectivement BA, CA. On voit que les triangles ABC, A'B'C sont autopolaires par rapport à E*. (Rbtali, Milan.) IL Soient M, N, P, Q, quatre points quelconques d'uce conique. En menant les tangentes m, n, p, q en ces points, nous formons trois couples de triangles semiconjugués ajant respectivement pour bases les cordes MN et PQ, MP et NQ, MQ et NP. A chaque couple correspondent un hexagone de Brianchon et un hexagone de Pascal, une conique inscrite et une conique circonscrite. Les propriétés de ces hexagones ne diffèrent pas essentiellement des théorèmes, bien connus, se rapportant aux deux quadrilatères MNPQ et mnpj. (Lorbnt, Ypres). SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. Qaesllon ••t. (Voir Malkeêii, (S), IV^ 31). On donne deux droites Oâ^, Of et deua points A, D. Une sécante çu^eon^ ftM menée par D rencontre Oâ?, Oy auw points B, C. Étudier lyfUMî- pument les enveloppes des kauteurs BB', CC du triangle ABC, et les — 143 - iêt pieds B\ C\ de Vorihocentre H $t du centre 0' du cercle dr- conscrit. (J. Nbubbrq.) Solution par M. Droz Farnt. 1. Désignons par / la droite de l*infini. Les côtés de Tangle droit BB'A marquent sur { deux ponctuelles en infolution; la ponctuelle décrite par B est projective avec le faisceAU engendré par AC et, par suite, avec la ponctuelle déterminée par B'B sur /. B'B joignant les éléments homologues de deux ponctuelles projec- tives enveloppe une parabole n qui touche Ox. Il importe de remarquer les positions où le triangle ABC est rectangle. La circonférence décrite sur AD comme diamètre rencontre Ox en deux points B|, Bi et OY en deux points Ci, Ci. Menons les sécantes DB|, DBt qui coupent Oy en Cf , Cs ; traçons aussi les droites DCi, DC« qui coupent Ox en Bs» B4. Nous aurons ainsi les triangles ABiCi, ABiCt qui sont rectangles en Bi, Bi, et les triangles ABsCg , AB«C4 rectangles en Ct, C«. On voit immédiatement que B|C|, BéCt sont deux positions de BB'; donc ce sont les tangentes menées de D à tt. Soit |3Ay un triangle rectangle en A et ayant ses sommets ^, y sur Ox^ Oy. L*hjpoténuse enveloppe une parabole ayant pour foyer F et touchant OXi Oy. Désignons par BiCi , BeCe les tangentes menées de D à cette courbe. Bi A, BeA sont deux positions de BB' ; ce sont donc les tangentes menées de A à la parabole tt. 2. Le point B' décrit la podaire de A par rapport à la parabole tt. On sait que cette podaire est une cubique circulaire ayant en A un point double ; les tangentes en A étant perpendiculaires aux tangentes ABi , ABe de tt, se confondent avec ACi , ACe. 3. Tonte droite ku renferme Torthocentre du triangle ABC dont le côté BC est ia perpendiculaire abaissée de D sur Ku. Le point A lui- même est l'orthocentre des deux triangles ABsCi , ABed . On conclut de là que le lieu de H est une cubique ayant en A un point double, les tan- gentes en A étant les perpendiculaires abaissées de A sur BfCi et BeCe. Les asymptotes de cette cubique sont perpendiculaires aux droites AD, Oâ?, Oy ; car H est à l'infini dans les directions de ces perpendicu- laires, lorsque BC se confond avec AD ou est parallèle aux droites Ox^ Oy. Les orthocentres qui tombent sur Ox sont Bi, Bi et Torthocentre du triangle ABC dont le côté AC est perpendiculaire sur Ox. 4. Généralisons le problème : Étant donnés une conique K et deox ~ Î44 -^ points A. et D, une sécante quelconque menée par D rencontre It en B et C ; on demande le heu du centre 0' de la circonférence circonscrite au triangle ÂBC. Pour déterminer le degré du lieu, nous cherchons combien de points 0' tombant sur une droite donnée v. Une circonfé- rence décrite d*un point M de i? comme centre et passant par A rencontre K en quatre points Mi, Ms, Ms, M|. Lorsque M décrit v, les six cordes M,Mf MiMs, ••• MsM« enveloppent une même courbe de troisième classe; car, par un point donné Mi de K il passe trois de ces cordes (MiMf, MiMs, M1M4). Une tangente menée de D à cette courbe rencontre K en deux points B,C tels que le centre du cercle ÂBC appar- tient à V. Comme il y a trois tangootes issues de D, le lieu (0^) a trois points sur 0; il est donc du troisième ordre. Rbmarqub. Le cercle ABC rencontre K en deux points autres que B et C; la courbe qui joint ces points enyeloppe une parabole ajant A pour foyer. Note. M. Barisien nous a adresé une solution atuilfiique de la même question; il prend pour axes coordonnés AD et la perpendiculaire éleyée on A sur AD. Nous regrettons que le défaut d'espace nous empêche de reproduire les élégants calculs de notre zélé collaborateur. Pour trouver le lieu de 0^ appelons i, c les milieux des côtés AB, AC. Le point b parcourt une parallèle à Oâ;; par suite la droite O'b enyeloppe une parabole tti qui a pour foyer A. De même, la droite O'e enveloppe une parabole tts de foyer A. Les tangentes communes aux paraboles TTi, TTi sont la droite de Tinfini, les droites isotropes issues de A et la perpendiculaire élevée au milieu de la droite OA (i«s points B et G se réunissent en 0 lorsque la sécante menée par D est DO). Les droites O'b et O'c se correspondent bomographiquement sur les deux courbes tti et 7:2. On en déduit que qustre points 0' tombent sur une droite quelconque v. En effet, appelons b% et Ct les points où deux tangentes homologues des deux paraboles rencontrent v ; il existe entre ces points une correspondance (2,2), car si Ton donne b», bbi est l'une des deux tangentes menées de ii à tti et chacune de ces tangentes déter- mine une tangente correspondante CiC de tti. Les quatre coïncidences de la correspondance (61, Ci) appartiennent au lieu (0'). Cependant la perpendiculaire élevée au milieu de la droite AO représente une partie du lieu ; donc le lieu proprement dit est du troisième ordre. — 145 - fhiesiUa •4a. (Voir MatktsU, (2) IV, p. )51). La iançenUen un point M d'une courbe A coupe les axes reeiangulaireê Od?» Oy auw points A, B. Soit N ie quatrième sommet iu rectangle construit sur OK9 OB. On demande : !• P enveloppe de la droite MN lorsque A est une ellipse dont les axes sont dirigés suivant Oâr, Oy; J2* quelle doit être la courbe A lorsque la droite MN passe par un point Hxe P. (Pbtit-Bois.) Solution J9ar MM. Cristssco, Prtrbsco, Bastin et J. Jonbsco. 1® Si (a C08 9, b sin 9) sont les coordonnées du point M, celles de N seront ( > -: — )> et Téquation de la droite MN sera \c0s9 srncp/ bx cos* 9 — «y sin* 9 = aJ (cos*

*y« -4- 64fl«J*) + 24S0a'b'afY + 1024fl*J* = 0. 29 Soient {2a, 2^) les coordonnées du point P, et {x, p) celles de M. La tangente en M à la courbe A ayant pour équation Y-y4j(X-.). les coordonnées de N sont rfy ^ dx et Ton a, pour Téquation de MN, En exprimant qu'elle est yérifiée par le point P, on trouve Téquation différentielle [/x^ — 2ax \/y^ — 2^y ou, en transportant Torigine des coordonnées au milieu 0'(a, |3) delà distance OP : dx . dy i/x^ — a} l/y> - ^' On en tire, successivement, = 0. (6) / (» + 1/«' — a») = / (y q: j/y* - ^») + /C, x-\-\/it*-a* = C (y q: j/y» - *'). 4C» («V + /3 V) - 4C«y («• + C'|3«) + («» — C»P')« = 0, («»y - C|5««) (Cy - ») + ^ ^^ = 0. Les courbes cherchées sont donc des hyperboles ayant pour centre commun le milieu 0' de OP, et touchant les axes primitifs Od;, Ojf; les asymptotes sont deux diamètres conjugués quelconques de Thyperbole représentée par y* «' , - 147 — Si le point P coïncide avec 0, Téquation (6) donne immédiatenient h deux solutions a?ïf = C, y = C«. (Voir Matkesit, (2) IV. p. 175). Btani donné un triangle rectangle ÂBC, on décrit denw eireon/érences passant par le sommet A de Vangle droit et ayant leurs centres Vune en B, Vautre en C. On demande de mener une tangente MT à la première et une tangente NT à la seconde de telle façon que ces droites soient rectangulaires et que la somme des segments TM et TN compris entre U point de concours T et les points de contact M, N soii égale à une longueur donnée L — Discussion. Cette question a été résolue partiellement par MM. J. Jonbsco, Bari* siBN, SooNS, Strtmbersch, Dbprsz et Gritesco; la discussion aurait pu être plus complète. Les droites MB, NC se coupent en un point I de la circonférence décrite sur BC comme diamètre. On connsit la somme ou la différence des droites IB, IC, ce qui permet de construire le triangle rectangle IBG. En effet, si le point I appartient à Tai^c CA de la demi-circonfé^enoe BAC, soient M, M' les extrémités du diamètre IB de la circonférence B, et N, N' celles du diamètre IC de la circonférence C; M et M' sont situés du même côté de I et nous supposons MI > M'I ; I est situé entre N et N' et nous supposons IN > NI. Soient T, T', T", T'" les poinU de con- cours des tangentes menées respectivement en M et N, M' et N\ M et N\ M' et N. On voit qu*à un même point I correspondent quatre valeurs de {, à savoir TM + TN, T'M' + T'N', T"M+T"N', r"M' + T"'N; ces valeurs sont égales aux sommes IM + IN, IM' + 1N\ IM + IN', IM' + IN. Posons BC = a, AB = c, AC = J, IB^»-/, IC = |3; alors IM«y + c, IM' — y — «, IN — J + P, IN' = J — P, — 148 — •t nont aurons saivant que l'on eonndère 1« point T, T', T" ou T'" : P + 7 + > + « = ^ (1) y-(3 + J — c=/, (2) y — fi + e — b = l, (3) 7 + (3- « + > = /. (4) De même, si I appartient à l'arc BA, on trouve respectiTement, (5 + y + > + c = ?, (5) ^-y^c-b = l, (6) ^-y-hb-e^l, (7) ^ + y-i + e = l. (8) Le problème proposé revient donc à la résolution des systèmes d'équations s eXi ajEDt des valeurs connues. Pour la discussion, il convient d*étudier la variation de l lorsque I parcourt la demi- circonférence CBA. La somme /3-f-y croit d*abord de a à a|/2, puis décroit de a{/2 à a. Par suite, dans les équations (1) et (6) / peut varier entre un minimum a 4" ^ + c et ai/2 -Y-b-^e. Pour toute valeur de / comprime entre ces limites le problème admet deux solutions ; les points correspondants I sont sur une droite parallèle à BGy et il faut prendre pour M et N les extrémités des diamètres IB, IG les plut éloipiées de L Soit K le milieu de la demi-circonférence GÂB. Dans Téquaticm (4), 1 varie, sur l'arc CK, entre « — c + J et a\/2 ^ e-^-b^ei sur Tare KA entre a^2 -- c-^-b ei2b (nous supposons b > e). Donc si / est compris entre al/^2 — e + b ei2bf nous avons pour I deux positions situées sur une droite parallèle à BG et passant entre K et A, mais si / est compris entre 2b et a -{- b -^ Cf on sl une seule position de I sur Tare CK et CI < BA. G*est le point désigné par T'" qu'il faut prendre. D*après réquation (8), le point T"' qui correspond à une certaine position de I sur Tare BA résout le problème si l est compris entre 2c et a -|- c — - ). Lorsque I parcourt la demi-circonférence GAB, la différence |3 — y varie de a à 0, puis de 0 à — a. Donc /, dans Téquation (2) peut varier entre a -|- i — c et b — c, et dans l'équation (7) entre « -|- ) — e et 2 (i -^ c). D'ailleurs ces équations sont les méines sauf ]e changement de - I4d - ^eny eide y en ^. Par conséquent, si / est compris entre 2{b^e) et a 4* ^ — c, on troaye pour I deux positions sitaées sur une parallèle à BC ; la première est ^ur Tare GK et il faut prendre le point T^ la seconde est sur Tare BA et il faut prendre le point T". Lorsque / est compris entre b — e et2{b ^ c), on a deux positions de I sur une corde parai • lèle à BC et comprises entre K et A ; pour les deux on choisit le point T\ Enfin, les équations (3) et (6) donnent lieu à des conclusions sem- blables . Note. M. Cristesco suppose les circonférences B et C quelconques, et Tangle MTN égal à un angle donné a. L'intersection I des rajons BM, es se trouve encore sur une circonférence déterminée, et on peut obtenir la somme ou la différence des droites IB =^yf IC =3 j3. Car, si Ton mène Im parallèle à NT et rencontrant MT en m, et de même In parallèle à MT et terminée à NT en », on trouve aisément MT == Mm + In = (7 + b) cot a + (j? -|- ^) co3«c «> NT = Nu + Iw = C3 4- c) oot a -f- (7 + *) coséc a, MT + NT = (jS + 7 4- * + c) (cot a + cosé î a). Pour tenir compte de toutes les dispositions possibles de la figure, il faut attribuer à certains termes de cette égalité le double signe db. (MatktsU (2), tome VI, p. 56). Dèn^rer que les nombres çui^ divisés par a, b, c . . laissent rapeC' lioemenl les restes a\b\c\ ... sont de la forme mt'\-n^ t désiçnnnt un nombre entier quelconque. Signi/tcation des nombres m et n. (H. Brocard.) Solution par M. E. Colart. On devra avoir, #. y, f ... étant des nombres entiers, N = éM7 4"*' = ^ + J' = ^'4-«'«= ••• L'équation ux + a' =:bp'\-b' n'est possible, en nombres entiers, qae si le p. g. c. d. de a et 6 divise aussi b* — a\ En divisant tous les termes par ce p. g. c. d., Téquation se réduit à a^x — *,jf =a p, , dont toutes les solutions entières sont données par les formules « = A + Mi , Jf = B + a,/i, A et B étant une solation et it étant an entier quelconque. - ÏBO - Par suite, pour les diTiseurs a et 1*/ on a la formule N =» aA -|- a' + a^i^ = «i + fiiU t daiia la^o^l^ ^< ^ 1® moindre multiple de a et b. Pour passer au diviseur suivant c, on résoudra Téquation «I 4- mi^ = C2: -f- c' ou fiii^ — w = c' — «I. En raisonnant oomme précédemment, on trouvera que, si le problème est possible, les nombres qui, divisés par a, (, c, laissent pour restas a'f V et e' sont donnés par la formule N = « + «n^ dans laquelle % est Tun de ces nombres et m le moindre multiple de a, }, e. Et ainsi de suite. Rbharqubs. Si a, hy c, ...sont premiers entre eux deux à deux, le problème est toujours possible, et m est égal au produit de ces diviseurs. Si a, bt e, ... ne sont pas premiers entre eux, on peut faire m égal à leur produit; mais alors la formule N =n'\'fntue donnera plus touUi les solutions (Voir Colart, Complémenii d'algèbn, p. 40). M. SruYVABRT fait remarquer que la question est résolue dans Dirichlet, Yorltiung n Uber ZahUntluorii hefautgegtbtn von R. Dkdkxind, Braonschweig, 18TO-l«81, § 25. QUESTIONS PROPOSÉES. ^t%%%. Résoudre ou construire un triangle sphérique, connaissant a) les trois hauteurs; b) les trois médianes; e) les rayons de trois cercles tritangents. On demande une solution ou au moins Texamen de ces problèmes. '^iiffl. Effectuer le produit (l+2)v3 + 4 + 5)(6+7 + 8 + 9).... composé de n facteurs. (de Rocquiont.) '^ilM. Si xyz s=3 oie =^ 1, le déterminant xy (g — c) z -l-c 1 y% (p — a) — f — z z(D{y — b) = 0. Ml nul. (A. C.) - 151 - i tM. Oq donna deux axes rectangalaires. Un cercle de rajon donné coupe OX en A et A', OY en B et B\ Ce cercle se déplace de manière que la corde AB conserve la même longueur. On demande : 1* Le lieu du point de rencontre des droites AB et A'B\ 2^ Le lieu du point de rencontre des droites AB' et A'B. 3* Le lieu du centre de ce cercle. (B. Romibux.) PUBLICATIONS RÉGENTES. ilM. Géométrie dirigée. Let angles dans un plan orienté avec des drsU*s UrU §é€S OU non dirigées, à Tasaite des élèves de maihëmatiqaes élémentaires, par G. FoNTSNé. Agrégé de TUnivereité, Professeur an coliêge RoUin. PariSf Nony et O; 1897 (82 p. in-8«i. Prix : 2 francs. « On ne saurait croire cooi bien les questions de signes deviennent délicates dans la géométrie livrée à elle môme (G. Koetigs) • L'opuscule de M Fontené sera un excellent guide pour ceux qui veulent approfondir les conventions relatives aux signes des segments, des anKles, des aires, des volumes, etc! Des exemples, bien choisis, aocompsgnent la théorie, et des figures nombreuses servent à éclairer les notions fondamentales. QUESTIONS D^EXÂHBNS. S0#. Soient AA% BB' deux diamètres rectangulaires d*une circon- férence de centre 0. Mener par A une corde AD qui rencontre BB' en un point C tel que l'on ait : 1« CO == CD ; 2- DC =» DA' (/. de Vuibbrt). 1* Lesanirles DOâ', ODâ' sont égaux comme compléments d'angles égaux; donc OA' == AD = CD 2* Langle DCA' = DCA' = 45». Si la corde AD doit satisfaire à l'une des égalités CO=si.CD, DC = «l.DA% on peut prendre pour inconnue Pangle DAA' =â;; on obtient les équations sin d? = M oos 2â;, 2cosd? =2MsinâP COSd? ou sinâ;=«i(l — 28in*d?). cos 2a? = m sin 2». 90 1. Si un cercle concentrique avec le cercle inscrit (oirconscrit) à un triangle ABC coupe les côtés BC, CAt AB aux points D et D\ B et B', F et F, les triangles DEP, D'E'P' sont égaux (équivalents). Cette proposition qui n'est pas nouvelle, nous a été communiquée par M. DB GOBLDRB (LiégS). - \hi - École polytechnique de Parie. Compoeition de Mathtaatiquet (10 juin 1897). On donne dana on système d*MLt8 rectangulaires Oap» i la droite AB qui a pour équation d^ == o, y ^ :s ; le point C« qui a pour coordonnées a = 0, jf s: 0, f = #• On considère l*byperbololde (H) engendré par la rotation de AB autour de 0#, puis la sphère (S) qui a pour centre C et qui est tangente à AB« I. Trouver les équations des surfaces (H) et (S). IL Déterminer leur courbe commune et calculer (*) le rapport de la plus grande à la plus petite des surfaces que cette courbe découpe sur la sphère (Il suffira de donner le résultat avec deux décimales). m. Autour d*un point P de Oz dont la cote est z=sh, pivote une décante qui perce Thyperboloide (H) en un point H et la sphère (S) en un point 8. On demande: d^étudier le lieu de Tintersection M des diamètres OH et CS; de discuter les coefficients angulaires de ses directions asymptotiques, quand le point P Taxe décrit Oz, Concoure général dee Lycéee de France (1807). QioiiiTaiB. Soit oabc un tétraèdre T trirectangle de sommet o^ dont les arêtes ca, ob^ oc ont la même longueur /. Soit d le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. On suppose que T se déplace par rapport à un trièdre trirectangle ûxe oxps de manière que 0, b, c, d décrivent respectivement les plans Y-hZ = 0, Z + X=0, X + Y = 0, X + Y+Z + i/ = 0. 1«» Les points symétriques de 0/6, e, d par rapport aux arêtes on, ob, oc du tétraèdre T décrivent également des plans; 2® Trouver l'équation de la surface S décrite par le sommet 0 de T. Cett« sarikce est du 4* ordre; elle a un point triple et trots droites doubles; 9* Par chaque point « d*une droite double passent deux droites iei i' qui rencontrent la surlace S en quatre points confondus. Chercher pour quelles positions du point s sur cette droite double les droites i et i' coïncident; i? Montrer que tout pian tangent à la surface S coupe cette surface suivant deux coniques et que ces deux coniques se confondent pour quatre positions particulières du plan tangent. Analyse. Soit fX) une fonction de la variable réelle w, continue pour toute faleur de cette variable. Ou suppose que la valeur absolue de f'{m) est, pour tonte valeur de «, moindre qu*un nombre k inférieur à 1. 1* Montrer que Téq nation x^f{a)=z0 9L une et une seule racine réelle «• 2* On forme la suite œ^ étant une quantité réelle arbitrairement choisie^ montrer qued^» tend Tsrt 0 lorsque • devient infini. (^i Les calculs seront ûiits sur la feuille. (2) - 153 — SUR QUELQUES FORMULES qui repréfantent par approximation l*are dont on connaît la ainnt at la eosinns. Par M. le Professeur S. Lampb (Berlin). (SuUi; Toir Mathezis^ 1S9-184). Déterminer n — 1 nomlres ai, at, .., a„_i et deux nambrei b^, h tels qu'on ait ai ain x + a2 ain 2â? + as sin 3â? -|- " * -j" ^»-* sin (n — l)a'{'Binnœ = a{bo + bt coa x), avec une erreur gui ne porte que sur la plus haute puissance possible de x. Développons tons les sinus et les cosinus en séries et égalons les coeffi- cients des puissances de x qui ont les mêmes exposants ; ce procédé four- nira les II 4- 1 équations linéaires pour les « 4~ ^ coefficients inconnus : ai -f- 2ai -j- 3ai H f-(*— l)am_i + n = Jo4- Jit ^ ^ ^a,-i-2*a,4-3»afH h(« - l)»a.-. + «»-=5J„ «1 -f" 2»af 4- 3'a, H 1- (« — !)'«—• + «' = 7>i, • ••••••• •••••••••••• «, + 2»«+«a, + 3«"+'a, H j- (« — l)»-+'«i_i + «'-+' = (8«+ 1)>.. Bn retranchant chacune de ces équations, à l'exception de la premiàre, de celle qui la suit, on en tire cet antre système : 3.2»«. 3.2'«, -f 8.3»«, H \- (T-V - 1) (« — l)»«._i 4- («• — 1)«» ■=> 2»„ 3.2'«. + 8.3'a, H h («^^' - 1) (» — !)*«.-. + (•* — 1)«* = 2*„ k 3.2'— a, + 8.3»"-'«, ^ 1- (« — 1* — 1) (« - l)»"-'fl_i -f («*- 1) «'-«c»»!. Le même procédé de soustraction, appliqué au sjstime (2) fournit enfin : 3»2»a, + 8'3»«, -\ \- {fi^-i* — \y (« — 1 )» a.u.1 + («» — 1) «• = 0, 3'2'«t + 8»3'a, -1 1- (IT^l* - 1) (« — 1)' a-i + («* — 1) «' = 0, (3) ( 3»2'«, + 8'3*a, -{ 1- («^^* — 1) (« — 1)' «*-• + («* — !)«'■= 0, 3»2«-»««+8«3»"-»ai H H(«— ï* — 1)(« — !)••"* «-• +(«*— 1)«»-»— 0. - 154 — Ed se servant de la même méthode de résolution que dans la question I, on voit aisément que, pour il > 1, l'on a -««»(«• — 1)« P (Ik =3 • > A» (»♦ — 1) F" relation où l'on a'posé : — , t. ?'=-(«»— n— !)(»«— n -2)... (»»-*4-l')(«'-i—r; ...(«»— 3«)(«»— 2» On a donc aussi : P' = (2«— 1)(2« — 2)...(«4-*-f l)(n + » - 1)... (ii + 3)(ii + 2) XI • 2 ...(«_*_ 1) («_ A -j-l) ...(«_ 3) (« — 2) (2» — 1) I '"(«-*)(«-l)«(« + !)(« + *)' et semblablement : P" = (* + «- 1 )(» + « — 2) ... (2* + 1 ) (2* — 1) ...(» + 8) (* + 2) X(*-« + l)(* — «H-2).-.(-l) . 1. (*-3)(*-2) = , n.-»-. («-*-l)l(« + *-l)l . ^ ' (* — 1) * (* + 1) . 2* Substituons ces Taleurs de P' et P" dans l'expression pour Ot, il en résultera : 2ii»(«« — 1)(2« — 1)1 »-k «f« ly-. n(it»-l)(2n)! ^ ^ k(k^ — l)(n + k)\{n~k)\ = /-.n.-* *(^'-^) fJl.\ ^ ' !(** — 1) V« — */ Après avoir ainsi trouvé tft» flii ***» an.i» on tire fti d*une équation quelconque du système (2), a% d*une des n dernières équations de (1), enfin h% de la première de ces équations. Je ne m'arrêterai pas à simpli- fier les expressions générales qu'on obtient pour ai, io> ii» et je me hâte de donner les résultats pour n = 1 , 2, 3, 4, 5 : 3 sin â; 1 , 2 + C08» 180 28 sin « + sin 2x 1 ~6(3 + 2côr«y"° ~2iÔÔ '"' — 165 — 375 8in# + ^ 8in 2â? — tin ^w = x — ^m 9 ..., Il 60(4 + 3co8a?) 17 640 32768ia# + 2808inap-208in3g + ein4g_ 420 (5 + 4 C08 a?) ~^ iâTTiÔ*"***' 23 620 8ina?+24008in 2x - 225tin 3a? + 20 8in 4g — 8in bx 2520(6 + 5co8ir) 672672 En iransformaiit de nonveau les sinus des maltiples de x en produits de sin x et de puissances de cosâ;, on parvient aux formules B. /i\ 3sinâ? 1 ^ ^^ 2-fco8i» 180 • sina?(14-|-cosa?) 1 _ (2) ^ Bss X x^ •••* ^' 3(3 + 2cosa?) 2100 ' sin a? (94 + 12 cos a? — cos *x) 1 ^ ^ 15(4 + 3cosg) "" ^""17640 ***"' ... sin a? (824 + 139 cos « — 20 cos '«+2 cos *x) 1 ,. ^^ 105(5 + 4cos«) 124740 sind?(2968-f690cos#— Illco8»g4-20cos»d? — 2cos*g) ^ ^ 316;6 + 5cosfl?) 672 672 150 480 sin # + 17 325 sin 2x — 1925 sin 3a?4-231 sin 4g- 21 tin &g + «in ftc ^^^ 13 860(7 + 6cosa?) sin X (38 0964-8433 cos â; — 1862 cos *â; + 454 cos >â; — 84 cos 'â? + 8 cos >#) X ^d?" • • • • 3465 (7 + 6 cos d^) 1^ 4 144 140 En faisant sin x = 0,6 et cos d? <=» 0,8, on obtiendra ^ = 0,64 3604 110852, erreur : 0,000 000 000 27 ou 0^,000 066 6. Pour sin x' «=» 0,8 et cos d? = 0,6, il viendra X' » 0,927 295 166, erreur : 0,000 000 063 ou O'SOIS. - 166 — Batêiuian de la mime mééhode aueaêd$ x^. En posant : ht (1 — C08 fl?) + Jf (1 — coB 2a?) 4- • •• + S» (1 — cos n») «= «*, on trouvera par un calcul analogue à celui du numéro I : h =( \Y'^ ^ ji(n-l)(m-2).-»(n~^ + l) * ^ ^ A» (« + l)(» + 2j...(» + >l) ' ou bien An [1 — cosâ? « — 1 1 — co32a? , (« — lj(«— 2) 1 — cos3â? i T n + l/ 1=» «+2 2» » (ii-|-2)(n-h3) ;i^ = a?* + (?.«■"+•. Et, ai « tend vers Tinfini, 1 — ces a? 1 — cos 0? , 1 — cos 3a? «' • • • 1» 2* ' 3* Pour â? = - cette série se change eu oelle-ci : 1» 2* *'3* 4* '5* 6* *"7« 8» * '""lô' Faisons on aura par conséquent, F + 3i + 5i + ®' 1^ K» w* -8 = S = 2 )6 8 Mm^^piv). SUR LE CENTRE DES TRANSVERSALES ANGULAIRES ÉGALES; ptr M. DÉPRRz, professeur à l'Athënée de CharltroL M. Georges Brocard a signalé (Malhesis^ 1896, p. 217) une propriété remarquable des fojers F, F' de Tellipse e circonscrite à un triangle ABC et ajant son centre au centre de gravité 0 : £ei droites AF, BF, CF reneonirent BC, CA, AB en trois points A', B', G', Uls que les droites A A', BB^ ce ont une mime longueur l, racine de F équation l' — 28 cotg û) . /« -f 3S« = 0, et les droites AF', BF', CF jouissent d'une proprUti analogue. — 157 — Voici quelques remarques sur la même figure : 1. Portons sur les hauteurs AH, BH, CH les longueurs Al A = AA2 =■ — tt: > BiB = BBt«= — -- > CiC = CCi = — --; V/3 1/3 [/S* les points Ai, Bi, Ci sont sur une circonférence de centre 0, et les points As, Bs Cs sur une seconde circonférence de centre 0. Car QA, =GB, ==QC, = a + P, QA, = QB, = GCf = « — P, a et /3 étant les demi-axes de Tellipse e. %. Soient As et A«, Bs et B4, Ci et C« les points où les bisteotrioes de Tangle AiGAt rencontrent les hauteurs AH, BH, CH; on a AAi BB, _ CCi cot w — j/cot» « — 3 "ô"**"»" T"" 3 ' AA« BB4 CC^ _ cot tù-^-l/coVrù — Z a ^"S"™ e 3 * S. Les axes de Tellipse z sont dirigés suivant les droites GAs, GAt; les foyers sont situés sur GAg, et l'on a GP = GP' = i/GA,.GA,. 4. Lorsque le triangle ABC se déplace dans Tellipse, de manière que G en reste le centre de gravité, les extrémités A', B', C, A", B". C^ des transversales angulaires égales décrivent une conchoîde de e. ft. Soit X le côté du triangle équilatéral, projection ou oontrepro- jection du triangle ABC. On a ^* =* -Q (cot ^ =F |/cot»tt> — 3), l=^w. 9. On» AP-fBP + CP=3a, ÂP* + BP*+CP*=|(3a» — (5»), AP.BP + BP.CP + CP.AP = ^(8««4-P«), i^ = _j_,. — 158 — ''NOTES DE GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE. t. Sur une application du théorème de Sirnson-Stewart. !• JStn géométrie euclidienne. Considérons un triangle ABC, où Ton a mené du sommet A. une droite AD rencontrant le côté AB en D, D étant situé entre B et C. On a, d'après le théorème de Simson-Stewart, ÂB*. DC + ÂCV BD = Kb\ BC + DC. BD. BC. (1) Soit maintenant PA une perpendiculaire cornmuneaux droites AB, AC; je dis qu'elle sera aussi perpendiculaire à AD. En effet, joignons PB, PC^ PD. D'après le théorème de Simson-Stewart, on a PB*. DC + PC*. BD = PD*. BC -f DC. DB. BC. (2) Retranchons la relation (1) de (2); il tiendra P» (DC + BD) = (PD* - AD*) BC, on, en divisant par BC = DC + BD, PÂ' = PD* — ÂD', ce qui prouve le théorème. 2* Géométrie non euclidienne. Cette démonstration compliquée peut 8*étendre aisément à la géométrie non euclidienne de Rieiuann et de Lobatohefskj. Pour fixer les idées, ne considérons que la première qui est caractérisée par la relation cos m a cos ft cos ;» + sin n sin p oos (n^p) (3) antre les côtés m^n^p d'un triangle et Tangle («,]i) compris entre daax d*entre eux. De la formule (3), on déduit d*ahord le théorème •uiTant(^) pour un triangle ABC, où Ton a mené du sommet A, une droite AD, D étant situé sur BC entre B et C : ces AD sin BC => cos AB sin DC + cos AC sin BD. (4) En effet, on a dans les triangles ABD, ADC, cos AB =3 cos AD cos BD -|- sin AD sin BD cos ADB cos AC = cos AD cos DC — sin AD sin DC cos ADB. En éliminant cos ADB, entre ces égalités, on trouve la relation (4). (^) C*eet le théorème analogue à celui de Simson-Stewart en géométrie eudidienne plane. - 169 — Soit maintenant PA. une perpendiculaire commone anx droites AB, AC; je dis qu'elle sera aussi perpendiculaire à AD, c'est-à-dire à tonte droite passant par son pied dans le plan BAC. En effet, joignons PB. PC, PD. Le triangle PBC donnera une relation analogue à (4), saToir : cos PD sin BC = cos PB sin DC -{- cos PC sin DB. Retranchons de cette relation, la relation (4) multipliée par cos AP, en nous rappelant que dans les triangles rectangles PAB, PAC, on a cos PB s= cos AP cos AB, cos PC = cos AP cos AC ; il viendra, après division par sin BC, cos PD = cos AP cos AD ; donc PA est perpendiculaire à AD. •. Propriété de la somme de deux angles en géomélrie non euclidienne(^). Considérons un triangle riemannien ABC, divisé en deux parties parla droite AD, D étant situé entre B et C. Posons, pour abréger les écritures, co8BC = a, sinBC = a', cos AD = m, smAD=s«l^ cosCA=si, sinCA==J', cosBD = ii, sinBD = ii', cosAB^sc, sinAB = c', cosCD=j>, sinCD=»p'. On a donc a» + a'« = J» + J'«==c» + (?'» = m» + fii'««ii* + ii'» = p*-4-i>'» = l tf = «p — «y, a' = np' + n'p. D*après le théorème de Simson*Stewart, a'm = fci' 4- ep' et d'après les définitions analytiques des angles des triangles, ou platAt d'après les formules fondamentales de la trigonométrie riemanniennequi en sont une conséquence, a — hc n — cm p — 6m cos A = — — -— f cos BAD = — 7—- 1 cos DAC ■= ,, , 9 J'c' (/m' Vm' n' p' sin BAD => sin D. - » sin DAC = sin D. 7-, » c' 0 W V n' p' (f ^ 8inBAD»*sinB*— ;ssinA* -7—:» sinDAC«=ssinC«=-- «asinA»-- — • m' a' m' m' a m' {*) Nous démontroDS cette propriété pour répondre à une objection que Ton peut faire à la définition analytique des angles d*ua triangle. Au fond, la démonstration est io utile, parce que la trigonométrie riemannienne plane eat identique à la tri- gonométrie sphérique euclidienne. — 160 — De même, T»T\ L ^ ***** A T\r% ^ ***P cog BDA « — 7-7- = — cos ADC = ". m'n' mp' Gela poté, calculons les deax quantités suivantes : X = C08 BAD 008 DAC ~ sin BAD sin DAC, Y = sin BAD cos DAC + sin DAC cos BAD. On trouve successivement : _ np +bem* — m{bn-\'ep) n'p' / c — «in b — mp \ np 4- bcm* — m (tu -}- cp) — m'* n'p' — 6(? — m*np + *** (>*i + qg) __np{l —m») — to(l — m») •-- w^«»y np - ny — >c a — Je _. . . JVj? — bm , . , cV « — Cl» =" ^^ t"'P +/«-«« (*»' + cp')] = ^7ZT, («' - "••'**') = "•» A- On peut faire une démonstration analogue en géométrie lobatchefis- tienne. Les angles définis analjtiquement jouissent donc de la même propriété que les angles définis géométriquement. a. Sur la sotntn$ des angles dans un triangle non euclidisn. Dans le tome XII de The Collected Afatkemaiical Papers of Catlkt (Cam- bridge, 1897) se trouve pp. 220 238, sous le n^" 827, un travail intitulé : On ihe non-Buelidian Geomeiry (extrait des Proc. Royal Soe., 1884, t. XXXVII, pp. 82-102), dans la première partie duquel le grand géomètre refait, sous une autre forme, le Mémoire de Lobatchefiskj sur la Oéomitrie imaginaire {Crelle, 1837, XVII, 297-320), dans sa partie essentielle. Dans les n* 6 et 7 de cet écrit de Caylej on trouve, relativement i la somme des angles d'un triangle noa euolidiani une démonstration — 161 - beaucoup plos simple que celle de Lobatche&kj laquelle a^^puirsur des formules assez compliquées (les formules (5) et (5') de notre article sur la géométrie noa euclidienDe). Voici^ eu substance, la démonstration de Cajlej. Dans un triangle riemsnnien ABC, rectangle en A, on a, entre Thjpo- ténuse a et les angles adjacents, la relation tang B tang C = • ^ ® cosa Si Tun des angles B ou C a une tangente négatiye, cet angle surpasse un droit et A-|-B4"G surpasse deux droits. Dans le cas contraire, on a évidemment tang B tang C > 1, tang B > col C = tang(^ tt - C); par suite, B surpasse ^ ir — G ; B 4- C surpasse un droil, et A -|- B + G surpasse deux droits. Dans un triangle rectangle lobatchefskien, où Ch a est toujours positif et > 1 , on a 0, ou m=(;» — 2)» + 2. - 165 — on oerlain mode de décomposition de M, grâce aux consentions qui Tont sniyre. Soit S«S»Se «-Sf une de ces combinaisons; quelqoes-uns des indices pensent être égaux (on même tous)» et ceux qui sont inégaux sont rangé par ordre croissant. Parmi les intervalles entre sommets diffé- rents, comme de & à S», de S» à Se, etc., il y en a au moins un qui ren- ferme p ^ 2 sommets de M, ou plu8| car sinon le nombre total des sommets de M ne pourrait dépasser fi-.l + (ii-l)(p — 3)ou(a-l)(p — 2), et il le dépasse. Soit donc S* àS« un interyalle pareil; prenons S* pour point de départ d*une ligne brisée de p — 1 côtés et menons la diagonale qui la sous-tend ; s*il existe g intervalles semblables, chacun donne lieu à la même opération .'Eflkçons ensuite, 1« daos la combinaison donnée, les points de départ, 2* dans le polygone M, les lignes brisées corres- pondantes; grâce à l'étendue des intervalles, on ne supprime par cette seconde opération aucun des sommets contenus dans la combinaison. Il reste alors une combinaison de n - ; ^ 1 lettres qui sont sommets d'un polygone à diviser en nq polygones partiels. On recommence Topé- ration qui a été faite sur M et sur la combinaison primitive, et l'on finit par épuiser toutes les lettres de celle-ci et par ne laisser de M qu*un seul polygone partiel P<. Il est plus aisé de oonoevoir ce procédé que de l'exposer brièvement; en l'appliquant à quelques exemples, on en saisira promptement le mécanisme. Or il est bien certain que cette série d'opérations ne peut s'effectuer que d'une manière; la combinaison représente donc, sans ambiguïté, un certain mode de décomposition de M, et détermine com- plèlement le polygone partiel final P<. Il esta peine nécessaire de faire remarquer que dans une combinai- son il faut aussi considérer l'intervalle de la dernière lettre à la première, pour fermer le cycle; et que si l'on a, par exemple, dans un décagone, la combinaison S«SJ9«, deux intervalles sont nuls, mais le troisième comprend neuf sommets; une seule diagonale peut donc^tre menée. Suivons à.prêient une marche inverse : un mode de décomposition peut être représenté par plusieurs combinaisons des sommets, comme on le verra sans peine sur des exemples simples. Ainsi la dêcompositioii, en — 166 - triangles, du quadrilatère SiStSsSé par la diagonale SiSi est représentée indifféremment, suivant nos conventions, par Ss ou par Si. L'ambiguïté disparait si l'on fixe d'avanoe le polygone partiel P< (latéral ou hon) qui doit rester le dernier; alors on commence par effacer, du polygone M, toutes les lignes brisées des polygones latéraux (sauf P< s'il est latéral, •t l'on sait qu'alors il y en a au moins un autre); on tient note des points de départ ; on recommence avec le polygone dégradé, en évitant toujours d'effaoer P<, et l'on obtient à la fin une combinaison de « — 1 sommets^t une figure réduite au polygone P<. Et si l'on avait assigné le dernier rang à un autre polygone partiel, on n'aurait pu trouver la même combinaison, puisque chaque combinaison détermina complètement le polygone final. A présent, chacun des n polygones partiels P d'une décomposition pouvant être réservé pour le dernier, chaque mode de décomposition est représenté par n combinaisons différentes, tandis qu'une combinaison ne peut représenter qu'un mode de décomposition. Si donc D», «.lOstle nombre des combinaisons à répétition de m lettres n — làw — 1, le nombre des modes de décomposition du polygone M est, conformément à l'énoncé, 1 - Dm, h - I n Rbmarqub. Le nombre cherché étant désigné par X», on est tenté de résoudre la question au moyen d*une formule de réduction desX; on parvient, en effet, de plus d'une manière, à des formules pareilles; nous n'en avons pas rencontré d'où l'on pouvait tirer facilement X». Seule- ment, la Question 333 étant résolue par une autre méthode, par exemple, par celle qui vient d*étre exposée, on peut, dans les formules do réduction, remplacer les X par leur valeur, et obtenir ainsi des identités nouvelles entre nombres combinatoires. Ces identités seraient peut-être fort difficiles à établir directement. NoTB. La question 333 a été empruntée à un article de MM. H. M. Taylor et R. C. Rowe, publié dans les Proeeêdinçs rf th$ Lêidêm MaikemoHeal Soeiêif, vol. XIII, n* 186. Elle repose sur l'intégratioD, par la théorie des fonctions génératrices de Laplace, de l'équation X, — SXaXiXc •••, où d -}-^-|-c-|- •• =»« -7 1, le nombre des quantités s,>,c, ••• étant j» — 1, et xéro étant une valeur — 167 - admissible pour chacune d'elles; alors X = 1. M. Tabbé Gelin ramène la question à rintégration d*une autre équation aux différences finies de la manière suivante : Désignons par PJ^ le nombre de manières de décomposer un polygone convexe de « côtés en m polygones convexes (le p côtés par les diagona- les. On aura la condition n = m{p — 2)-|-2, etl^ = l. Soit AiAtAi...A» un polygone convexe de n côtés. Une diagonale quelconque AiA* partage ce polygone en deux autres, dont i*un A|A}Af...A*, de k côtés, est susceptible de Pj[ décompositions, et Tautre, AiAèAà^.! ... A«, de w — *-{- 2 côtés, est susceptible de Pj_jk^, décompositions. Oa suppose, bien entendu, i as / (p — 2) -f- 2. Or, cha- cune des décompositions du polygone AiAtAi ... A* peut être associée à chacune des décompositions du polygone AiA* A*^, ... A». Donc, la diagonale Ai A* peut entrer dans P^ ^«.ft-s décompositions différentes. Faisant / = lf2»d, ... m — 1, on trouve que les diagonales A|Ay, AiAty,.!, A|Agy.«, ••• AiAfli.i, menées d'un même sommet Ai, entrent respectivement dans pj» p' pp pr . P' P>^ P' P' décompositions. Comme il y a il sommets, mais que chaque diagonale aboutit à deux sommets, et que, d'ailleurs, chaque décomposition renferme m — 1 dia- gonales, on voit que l'on a, pour le nombre total de décompositions dont est susceptible le polygone AiAïAg ... A., A = [p; P!:_p„ + p^,_. p:_„,. + p!:^. pl.,,. + - + pu,, pp- Cette formule permet de calculer, de proche en proche, Ppf ^>p-l» Pjp-»» ^p-»» 's^s» ®^* On trouve, par exemple, successivement, p; «1, p;^=6. P;,=51, Pî,=»506, PJ, =5481, PJ, -d2832, etc. 168 — Queallou VS«. (Voir Atathtiit (2) IV, )). 1U4|. La IttngtnU MA. en un poiut quelconque M d'uHt eourbi donilfy r cunire une droite fixe eu A. Un parle «Kr celle droite fixt um longut eomlante AN. DeUrminer U point où la droite MN touche ion enrflt (L. MstRia iSolulion par M. Stuxvabrt (Gaiid). L'urUre de aucctiasioa des Uttr qui désignent un mcDtdedruilciiidiqi la dircL'(tot) de ce i ment, et deux d'une même droite l ront, ou noD, de ■ signe, suivant qu'ils! ou non, do Riéinc i Les angles auront AUM un Bena, et par nile % signe, dét^nniiié par I sev» et l'ordre de i c'osaion dea dcnii-droîtl qui les rorment. Cùnaidérotis deux [ vilioiia infiniment V n«sMA,M'A'deUU geute, et lea fotitii correspondantes MN, M'N' de la droite dont on cherche l'eDTeio Soit P le point de rencontre de MN et U'N'. Si P, eet le point où 1 touche son enveloppe, on a MP, ,. MP PW^='""PN' Le tljéurèmo de MéoelaUi apptiqDé ftu triauf^la AMN dai MP„«N' MP PN'^M'A'^M'M AN' UH' — 169 — Mais on a les relations gMralêê (quels que soient les signes) : AN' = AN + NN' ; AM' = AM + MM' , NN' = A A'. Donc régalité précédente peut s'écrire MP AN+AA' MM' MM' AN.MM' PN AA' '^AM + MM' AM + MM' AA'(AM-fMM') Appelons a Tangle (AM, AA'). Alors (A'M', AA') » a -|- efa, et par suite (A'M% AM) = ioL. On a, d*autre part, la relation générale AM' sin fAM', A'M') » AA' sin (AA', A'M') ou AM' sin (da) » AA' sin (a + do). MP MM' AN.^dM' sin (« + ia) PN *" "" AM + MM' (AM + MM')« sin (ia) MP MM' AN.MM'cos(&e)sina AN.MM' eos« P N "" AM + MM' (AM + MM')« sin (rfa) "" (AM + MMO» * En passant à la limite, le 1** et le 3« terme du 2* membre s'annulent» cos lia) tend vers 1, et . ,^ , tend yers-r- sin a, qui est la projection sin (da) da du rayon de courbure CM sur la direction AA'. Donc MP, MP AN.MC. sin a p.n'^^^pn"" ÂM* Lorsque MC sin a est de même signe que AN, ce rapport est positif et le point Pi partage intérieurement MN ; sinon P, partage extérieurement MN dans le rapport précédent, qu'il est aisé de construire. Comme on le voit, la discussion relative aux signes exige quelques précautions, de même que l'application de la méthode des limites : en supprimant plus tôt les infiniment petits d'ordre supérieur, on simplifie un peu les calculs, mais c*est au détriment de la rigueur. Autre méihoie. Voici une solution fondée sur d'autres principes et n'exigeant aucune discussion relative aux signes. Imaginons que les points A et N se déplacent dans le sens xw' ayec des vitesses évidemment égales, et qu'ils entraînent les droites AM et MN dont la première est assujettie à glisser en même temps sur la courbe, et la seconde à passer constamment par le point de contact. — 170 - En ne considérant d*abord qae la droite AM, on trouve immédiattinent le centre instantané de rotation au point de rencontre B dea normales en M à la courbe et en A à xw\ Les vitesses des points A et M i$la droite AM peuvent donc être représentées par les droites AB et MB normales à leur direction (la vitesse angulaire de la rotation est alors supposée égale à Tunité). Quant à la vitesse du contact M (*), elle peut être représentée par le rayon de courbure MC. Cherchons les vitesses de deux points M, N do la droite MN. Celle de N est dirigée suivant xx^. Le point HL de la droite MN a une vitesse composée de la trans- lation de N égale à celle de A et d'une rotation autour de N; la première est représentée par la droite MD égale et parallèle à AB, la seconde par une droite dirigée suivant MN ; donc Textrémité de la droite représentant la vitesse résultante est sur une parallèle DE menée par D à MN. D*un antre côté, la vitesse du point M de MN est composée de la vitesse du contact, laquelle est représentée par MC, et d'une vitesse de glisse- ment le long de MN, laquelle sera représentée par une perpendiculaire à MN. L'extrémité de la droite représentant la vite8se du point M est donc sur une perpendiculaire menée par C à MN. Cette perpendiculaire rencontre DE en E. Donc ME représenta la vitesse du point M et est normale à la trajectoire de ce point; MB pro- longée rencontre en 0 la perpendiculaire NO sur »CB^. O est le centre instantané de rotation de la droite MN. On sait que Ton obtient le point où une droite touche son enveloppe en abaissant du centre instantané la perpendiculaire sur la droite; on trouve ainsi le point Pi. Remarque. Les deux méthodes doivent fournir le même résaltai, ce que Ton vérifie comme il suit: appelons |3 Tangle ANM, et F le point où CR coupe MN, MF = MC cos CMF = MC sin AMN. Or on a aussi sin AMN : sin (3 = AN : AM. ^) Noos appelons tUitee dm eontactf U vitesse d*an point de la courbe qui coïncide à chaque instant avec le point de contact. - 171 — Donc AN.MC.sin^ MF AM AM FB est la projection de MD ou de -: — > et TaoRle de FB avec MD Bina ^ est |3; par conséquent ™. AM . FE«=^ — cosÊ. Bina On en conclut successiTement PE ÂM'cosp ^ ^MP""AN.MC.sin38ina' tgFMO tgFMO tgFMO AM* cotg|3 ^ fil ^q\ %MN0 AN.MC.sina Mais on a évidemment tgPMO P,N tgMNO^MP, * Donc enûui P.N AM» MPi AN.MC.sina ce qui est conforme au premier résultat obtenu. D'ailleurs, on voit bien que si MG sin a est de même sens que AN, F sera entre M et N; donc aussi Pi. (Voir MatheUi, (2) Y. p. 1*76). Construire un iriangU ABC, connaiêsani AB, AC et saekant fue Vên/le C = 2B (w C = 3B. 1* a) La perpendiculaire au milieu de AB rencontrant BG au point D, les triangles DAB, ACD sont isoscèles, d*où AC => AD «. DB. Qn con- struira d'abord le triangle DAB ayec les côtés c, i, i, etc. (COLART, DrOZ PaRNT.) h) La bissectrice de l'angle ACB coupe AB en un point B tel que les triangles ACE, ABC sont équiangles; on en déduit ÂC' = AB. AB. — 172 — De là la construction: La circonférence décrite sur AB comme diamètre rencontre la circonférence ajant pour centre A et pour rayon t, en un point qui se projette sur AB en E; la seconde de ces circonférences est rencontrée par la circonférence de centre E et de rajon EB au point G. (Mandart, Tibtb, Sbligmann, Mbrlin). e) Menons par A une droite AK parallèle à la bissectrice CE de Tangle ACB et terminée en Kà BC; on a BA = AE, CK = AC. On construira donc le triangle CAR avec les côtés d, d, c, etc. (Cristbsoo.) c i) De la relation sin B : sin C =» d : c on tire cos B =3 ^ i ce qui con- duit à la construction a). (DéPRBz, Dboubldrb,B- J0NB8C0, DrozFarny, Sbligmann, J. Jonbsco, Coutoribr.) e) Si Ton mène la bissectrice CE de l'angle ACB, on a — , AC AE AC =AE.AB, Bc = g3» d'où l'on déduit a — ——. (Déprbz, François, Mbrlin.) 2* a) Construisons l'angle BCF » ABC; nous aurons FB =3 FC, AF ^=» AC. On peut donc construire le triangle ACF avec les côtés >, >, c — J, etc. (Mandart, Mbrlin, Cristbsco, Sbuomanm, Droz Farny, François, Tibtb.) b) La relation sin B : sin C == & : c donne -W' ^ . , Sb — c ^^ b-'C cos B = r \ / — = — > cos 2B = b 2b (Couturier, SELiGMANN,B.JoNB8Co,J.JoNB8COy Dbprez, Droz Farny.) Rbii AR9UBS. L Dans l'hypothèse C == SB, on a ^« = . (Dbprb.) 0 II. Pour que le problème soit possible, on doit avoir, dans le pre- mier cas, i < e < 2i, et dans le second cas i < e < S(. (Mandart). ^ 173 - (Voir MtUketU^ (2), t. V, p. 216). 0% eaniidire Umt les trapèzes aidant l'une des bases flme mi çranieur et en position, dont les diagonales sont rectangulaires , et la kauteur cou- étante. Le lieu du point de rencontre des côtés non paralliles est une conique dont lefoper est au milieu de la base fixe. (E. N. Barisibm.) Solution par MM. Rbtali et Butsbns. Soient BC = 2i la base fixe, 0 son milieu, g une droite parallèle à BC à la distance k égale à la hau- teur constante : le lieu de l'intersection a des diagonales est le cercle 0*, décrit sur la base BG comme diamètre, et le point A, intersection des côtés non parallèles, tombe sur la droite aO et est séparé harmonique- ment de a par 0 eig. Le lieu du point A est donc la courbe correspon- dante au cercle 0' dans Thomologie harmonique ayant 0 pour centre et g pour axe, c'est-à-dire une conique C* qui a en 0 un foyer, passe par les points B et G et par les deux points de rencontre de la droite g ayeo le cercle 0^ Gomme les deux droites de fuite tombent sur la droite s équi- distante de BG et^. G* est une ellipse, parabole ou hyperbole sniTant que d > A, d = A ou d < A. Solution par MM. Golart et Dâprbz. Soient AB la base donnée; M le point de rencontre des côtés BGet AD; 0, P, Q, R les milieux de AB, BG, CD et DA; E, P, G les projections de M sur DG, PR et AB; H la projection de Q sur AB. La figure donne mo mg mf mg oq°*hq' pr^ab' d*où, puisque OQ => PR à cause des triangles rectangles formés par les diagonales avec AB et GD, MO AB mf^hq""^"*'' Le poiot M décrit donc une conique dont 0 est un foyer et PR la direo* trice correspondante. Remarque. Le point M décrit encore une conique, si, au lieu de donner les diagonales rectangulaires, on donne OQ : PR »= constante. Solution par MM. Gristbsco, Droz Farny, J. Jombsoo, Kulhoff et GouTURiBR. Soient ABGD le trapèze considéré, 0 le milieu de la base — 174 — fixe AB et (a, o), (— a, a), (a, Â), (a\ Â) les coordonnéee des points A, B, C, D, les axes des coordonnées étant OA et la hauteur éleyée en 0 sur AB. Les équations des côtés non parallèles AC, BD, seront respeotÎTement (x — a), y=___(s>-f a). (1) La condition de perpendlcularité des diagonales AD, BC est (a + a)(a'-a) + *« = 0. (2) Si l'on remplace dans (2) a et a' par leurs valeurs tirées de (1), on trouve que le lieu chei*ché est la conique ajant pour équation On voit immédiatement que Torigine 0 est un foyer de la courbe, car la distance p = [/^w* -^f* d'un point quelconque {Wt y) de la courbe au point 0, s'exprime par une fonction rationnelle et linéaire des coordon- nées â^ et jf. La directrice a pour équation y = - i et la courbe est une ellipse, une hyperbole oo une parabole sniTant qae '§' «=2- y. Uamdart a résolu la même question en adoptant dse coordonnées polaires. y. y BRUN a donné deux solutions, l'une en coordonnées cartésiennes, Tantr» en ooordonnées polaires. (Voir Matketis, (2) V. p. 216). SêiiiU H Vorikocenirê d'un iriangU ABC HOU eeuir$ du ardê etr- OêMCrii; léi hauieurs AH. BH, CH nueantnut U dream/érenee ABC m Al, B, , Ci; {« droite HO, rencontre BC, CA, ÂB en A\ B\ C; e^/h At, Bt, Ct iétifuent lee i^métriques de A,B, Cpnr rapport à 0. 1* loi droites As A', BsB\ CtC concourent en un point MdoU etreo«- féroneê ABC; 2^ lupoinU M, H et lepoint de Tnrry sont en ligne droUo; S* kê iroitêi A.A', B,B', C|C' $e coupent nu point de Stêimr. (B. Lbmoinb). — 175 - Solution parfA. A.. Droz Farnt. Les symétriques par rapport aux côtes, d*une transversale A quelconque passant par H, se croisent en un point de la circonférence circonscrite, dont la droite de Simson est parallèle à A. Les droites A'Ai etc. coupent donc la circonférence oiroonscrite en un point R dont la droite de Simson est parallèle à OH; R est donc le point de Steiner de ABC. D*après la réciproque d'un théorème de M. DiipBB (MiUkiiiif (2) Y, p. 230) les droites Ai A' se croisent en un point M de la oiroonférence circonscrite. Tirons HM qui renoontre la circonférence en T; dans l'hexagone inscrit AAiRTMAs, AA, et MT se croisent en H, AiM et RAi se croisent en A'; HA' étant la pascale de cet hexagone, RT doit passer par le point d'intersection 0 de AAt et HA'; R et T étant diamétralement opposés, T est le point de Tarry du triangle. QUBSTIONS PROPOSEES. ^àt91l. Eliminer w entre les équations (J. Nbubbro.) 1 198. Trouver le lieu des points d'inflexion des courbes ayant pour équation jf = cos l/a^ — a?' lorsque a varie. (Soons.) t ItiO. Par un point P situé dans le plan d'un triangle ABC, on mène trois droites a, ^, y faisant des angles égaux et de même sens avec les côtés BCy CA, AB; a rencontre AC en Ba et AB en C^; ^ renoontre BC en Ap et AB enCf^; y rencontre BC en Ay et AG en B^. Soient a% ^% y' les points situés à l'infini sur les droitea a, ^, y. !• Les coniques ^'/AByC^, a^BCak^p a'^'CBaAp et le cercle ABC sont circonscrits à un même triangle A'B'C. 2* Lorsque P se déplace de manière que B'C ait une longueur con- stante, le lieu de P est une hypotrochoïdci qui se réduit à une hypocy- cloide de Steiner lorsque B'C est nul, et à un cercle lorsque B'ff est égal au diamètre du cercle ABC. (A. Qob*) '^i i89. Un angle de grandeur invariable pivote autour de son sommet A qui est fixe. D'un point fixe B, situé dans le même plan, on abaissa sur — 176 - les c6té8 de cet angle des perpendiculaires dont les pieds sont C et D. Ces perpendiculaires rencontrent les côtés de Tangle en deux autres points BetF: 1* Quel est le lieu géométrique des points C et D ? 2* Démontrer que la longueur de la droite CD est invariable et en déduire le lieu géométrique de son milieu I. 3* Quels sont les lieux géométriques des points £ et F ? 4* Trouver les lieux des centres des cercles circonscrits aux triangles AEF, BEF. 5^ Trouver le lieu du milieu de la droite EF. 6* Démontrer que la droite EF enveloppe une ellipse. Les trois premières parties de cette question ont fait l'objet d*un concoors en France; les autres ont déjà été traitées sous une forme un peu différente dans MathetU. QDESTIONS D'EXAMEN. X H%%. Calculer tg - » sachant que (1 -f- »» cos fl?) (1 — m cos a) = 1 — »•*. SOS. On pose 9m = (a? + yY — «■• — y*. Vérifier les égalités 9s =3a?y(flî + y), cp, =5«y(a?-f y)(flî* + «y + jf*), 9» =7flîy(«-f y)(a?» + aîy + yO'» 9„ = 11 iry (ip + y) («' + «y + y') [(«■ + «y + y*)' 4- ^V (« + y')]f 9., = 13 «y (ip + y) (a?» + ^+ yV [(^' + «y +y')*+ 2ip'y' («-fy)']. Démontrer que 9«n+f est divisible par {x^ -f- ^y 4" y*)** S#4. Soient MN, PQ deux cordes d*une ellipse qui ont des directions symétriques par rapport à un axe de cette courbe. Trouver le lieu du centre de la circonférence passant par les points M, N, P, Q : 1* Lorsque les cordes MN, PQ, tournent autour de leur point d*inier- section supposé fixe. 2® Lorsque ces droites tournent autour des points» supposés fixes, oà elles rencontrent le grand axe. 3* Lorsqu'elles tournent chacune autour d*uii de leurs points supposé fixe. (Soom.) — 177 — REMARQUES UTILES DANS LES CALCULS DE LIMITES; par If. B. Cksàro, professeur à rUniversité de Naples. Soit ai-\-a2-\-a$ + '•" une série divergente à termes positifs. On a, d'après un théorème connu (*), hm Un = lim ; ; j f (1) lorsque n augmente indéfiniment, pourvu que le premier membre existe. Si Un croit avec n, au-delà de toute limite, il en est de même de l'autre expression; mais leur différence peut ne plus tendre vers zéro. Gomme on peut toujours poser pour en tirer ai+a« + tfi+ "4-tt,,i^^^ Vn = {Un Vii.i I, il est clair que, si Vn tend vers une limite finie, les deux membres de (2) doivent tendre, en vertu de (1), vers la même limite. On a donc ,. / atUi + a2U2 + aiUi'\- ''4-anUn\ hmlUn ; : ; r-' ) \ «1 +a2 + a» + ••• + a« /. ,^. .. ai 4-at4-fls+ ••• 4-flii-i , . = lim • ï (Un—Un^t), On pourvu que le second membre existe. Cette proposition est souvent ntile dans les calculs de limites. Supposons, par exemple, que i^ soit asjmptotîque à log «, c'est-à-dire que, pour il infini, son rapport à log « tende vers l'unité. On a lim n {Un — Un^i) = lim , ; — = limr = 1. log II — log (n — 1) log n Donc, si les nombres positifs a» soni choisis de telle sorte que lim^'+^' + ^'+-+^^ = i, (4) ndn et que la série ai -{- as + tfi + ••• soii divergente^ on a ,. f atUi -^ astft + atUi + — -f- anUn\ . \ ai -f-at -f- ai -[-••• -f-a» / (5) (*) Cewo, Analisi Êi§ebHe4^ p. 96. 14 pour tout nomirê tf» asymploHgui à log n. Il y a d*ailleura un moyen général de aatiafaire à la condition (4); car il suffit de prendre 11 1 où an est un nombre quelconque, dont le logarithme naturel tend vers 1, pour trouver «a. ««,-(«-1) «(4_i)+i On est conduit aux applications les plus intéressantes de la formule (5) lorsqu'on prend ««= «" log ^», où a > — 1. La série tf i + û«-|- û^+ ' • est divergente, quel que soit j3, et la condition (4) est vérifiée, h ayant la valeur — —-• Ainsi, par exemple, en prenant An = 1, «, «', .., on Cf. -4— 1 voit que, pour tout nombre Un^ asymptotique à log n, on a lim ( Kn (Hi + tt2 4- «1 + •• • + **») ) = 1 1 i^) etc.; mais on peut prendre aussi 1 1 >i 1 » «' dn = log «, n log », n* log n, .... > logft logn logn ou bien, si Ton veut, an = Unf fln = — > etc. On trouve, en particu- lier, pour c«tte dernière forme de On, ^^("^-i — i — f r^ = ^' \ Wt ' Ml ' «1 ■ ' Un/ d'où l'on déduit la formula approchée «1 ' Wt «1 ' * Un Un 1 On peut faire des applications arithmétiques assez curieuses des formules (ô) et (7) en partant de la formule (*) empirique de Pervou- (^1 Voyez notre note sur cette formule dans les Compta rendus de l'Académie dei Bcienoes de Paris 1894, (t CXIX, p. 848). — 179 — china, qui donne U représentation asjmptotique du n^^^ nombre premier fn : ^ =» log « -}- log log ft — 1 + ••• (8) n Si l*on prend «. =^ y la formule (9) donne d*où Ton peut déduire, avec une certaine approximation. de même, la formule (7) devient lim {^ — y'+y»+f» + " 4- M ^ 1 Vu 1-J-2 + 3H h» / 8 (Ô) Celle-ci, également due â M, Pervoucbinei a été démontrée(*) par M. Lakhtine ; mais nous ne saurions pas dire si la démonstration de cet auteur coïncide aToc la nôtre. On obtient ane égalité plus générale en prenant an» On trouve ainsi les formules lim/"^"* P'+f*+P»H H^*V,- Vu» i+84-27-j ^-ll» / 4 I •. ., analogues à oelles de M. Peryouohine. Il serait utile, mais il n'est pas toujours permis de remplaoer le dénominateur ût -f- at -{- '*"|' ^* ^^°" ^^ formule (3)» par une expres- sion aijmptotique plus simple. Il est facile de voir que cela est possible dans la formule (7), parce que lim— ' ! — » *■ ai^lim-*>-iO : (*; Dans le recueil puèM (on russe) pêr /»jpM — ji«.i, eU. Nous nous bornons à faire remarquer la formule lim -- \/ PiptPz^'Pn = ^f — 181 - qu'on dédait aisément de l'égalité (6), et qa*on peut considérer comme un premier pas dans la détermination approchée du produit ptpi ••• j9«. La dernière égalité se présente d'abord sous la forme lim ( logpn logptpipi **'Pn ) =" 1> d'où l'on dédaity au moyen de (12), lim -(p«— logfij^sjps •••i>») =0, Cette égalité renferme le théorème (^) de Halphen : la somme des loga» rithmes de tous lês nombres premiers^ jusqu'à p, est asymptotique à p; mais elle nous dit, en outre, que Vewcis de -log (2.3.5.7.11.. .p) P sur sa limite tend vers zéro plus rapidement que logp Evidemment, pour d'autres formes asjmptotiques de Un, la formule (3) donne une infinité d*autre8 résultats. Lorsqu'on suppose Un asymptotique à loglog fi, on peut prendre 1 log» log'fi log'ii a% = - > f f > • • • • n n n » ' car, tant que P> — 1, la série ayant pour terme général an = n~* \ogP n, est divergente, et le second membre de (3) a la valeur nanlogn "~" |3 + 1 ' La série ai +af-|-^5 + ••* ^^^ encore divergente pour P = — 1; mais la formule (3) ne convient plus aux nombres «•, asymptotiques à loglogii : elle devient applicable au cas de Un asymptotique à logloglogn, le second membre ayant la valeur ,. «1 + «a + a» + ••• +fli»_i , hm r^— i = 1. nai logii.log log ft Dans ce dernier cas, on peut même prendre, plus généralement, (log log n)« a.= filogn (*) Voyez, pour une démonstration rigoureosa, an article de II. Hadantard dans le Bulletin de la Société matkémaUque de France (t. XXIV, p. SU). — 182 - Le talettr ie H est — r-^ } nuus là fomul» ceiM d'être «ppliotble poar a a=3 — 1. On est alors conduit à prendre (log log log «)« On ^= ■ f fiiogfi.ldglogii en supposant a> — 1, et à considérer les nombres Un asymptotiques à log log log log 91 ;' et ainsi de suite, à l'Infini. Signalons, pour finir, lël résulUits qu'on obtient dans le cas de an =^ - • Si Ton retnarque d*abord que l'on a «*. + 2«2 + 3«i4 h^u. ^ ^ lim =s -iim = 0, log' n 2 log fi on Toit que, pour tout nombre Un asymptotique à log log », - — -^. — -)-'■ '"' En particulier, noua {>ouyonâ prendre ttn == - — log %^ l0g?P» Pn ^ pn-i — lOg », —• Dans toutes ces applications il est utile de connaitre Tégalité snirante qu'on démontre sans peine en appliquaht un autre théorème connue) à retpressioii iogl4-glog2 + glog3 4 [-.logn — -log»ii, divisée par le nombre — ^ , qui tend vers zéro en décroiii&nt tôiijôili^. Cela étant, si Ton prend, par etéMple, Hh b»^ — logn, la formule (13) n devient log « + log log n (^) CesàrOi Imi eêt.i p. 99. - l'es- Il est bien entendo que ce réâultat, ainsi que les précédents» relatifs aux nombres p., sont subordonnés à la question de Telistenôe des diverses limites obtenues. SUR QUELQUES FORMULES qai représenisnt par approximation l'arc dont on connaît le sinns et le cosinus, par M. le Prjfesseur E L\mpe (Berlin). — (Sviie , y o\r MathaiSj 153-156). m. Étendre les problèmes de I et II à des cas plus tofnpliqnés. Nous ne continuerons pas à traiter les problèmes dans toute leut' généralité. Qu*il nous suffise de donner les résultats pour quelques cas qui semblent propres à mettre en lumière Tidée directrice, dans les rccberches de ce genre. 90 sin X 45 sin j? 1 ^ (2) 57'+"34 cos x^ cos 2a? ~" 29 + 17 cos ^ — cos ^ùf "" 1512 160 sin d? 4- 25 sin 2x 5 sin a? (16 -|- 5 cos x) 6 (18 + 16 cos X + cos 2x) '^ '3^1^+16 cos x -P2^cos ^x) 1 • * . 44100 ' 425sin4?4-l01sin2a?+sin3ir 1 ^ ^ 30 (10 + 10 cos X + cos 2x) 582 120 _ sin X (212 + 101 cos aï + ^ cos ^4:) "" ïsTïH^lO cos fl? + 2 cos •«) 756 sin ;r 23 468.8 + 300,6 cos x — 14,4 cos 2x + cos Zx 226 800 ^, 0.7 (375 sin a? + 132 ^in 2a? + 7 sin 3a?) a?" ^ ' 200 + 225 cos a? + 36 cos 2a? + cos 3a? 110 990 88 1 ,4 (92 -|- 66 cos a? + 7 cos ^x) sin a? " 82 + 1 il cos a? + 36 cos 'a? 4- 2 cos »a? * 6076 sin a? + 2626,4 sin 2a? + 226,4 sin 3a? + sin 4a? :^8 (175 -r 210 cos a? + 42 cos 2x + 2 cos 3^) 2sinar(731.2-t- 656,1 cos a? + 113,2 cos «a? + cos »a?) 771 33~4^204 cos a? + 84 cos »i^ 8 cos >x) _ 1 "~^~"l5i594 440*'*" (G) — 184 — 395 lae sin a? +208 544 sin 2x+2S 644 sin ap+761 sin 4x ^ ' 140 (2450 + 3136 cos a? + 784 cos a» + 64 cos 3a? -|- cos 4x sin d?(91 648 + 103 511 cos a? + 28 544 co8 «d?4- 1522 cos *g) '^ 35 (1667 + 2944 cos a? + 1560 co« »a? + 256 cos »a? + 8 cos *a? = » — c.a?"... Pour sin a; = ly cos a? <=» 0, on tire des deux dernières formules : (6) a? = 1,570 784 = ^ TT — 0,000 012 = 90» - 2",5 ; (7) a?=1.5707944 = ^7r - 0,000 002 9 = 90» - 0",6, Posons de plus, d*abord sin a: = 0,6 et cos a?» 0,8, puis sin a?' = 0,8 et cos x' = 0,6; les formules donueront : la? = 0,643 501 108 783 (erreur 1.10" «' = 0",000 002), ^^^ I a?' = 0,927 295 215 3. x + x' = 1,570796 324 1 = I TT — 22.10"" = 90» - 0".000 45. Kx = 0,643 501 108 793 05 (erreur 23. 10-«* = 0",000 000 047 4) ^ ^ /a?' = 0,927 295 217 868 a? 4- a?' = 1,570 796 326 661 = jTr— 134. 10 -«« = 900 — 0",000 027 5. La formule (7) donne encore pour sin a? = j, cos a? «= ^ y/S : 600 847 552 — 229 694 184 1/3 y- " HO.mSOOl —' /^= 1.7320508075688; donc X = 0,523 598 775 587, | t: = 0,523 598 775 698. Pour faire voir comment on a déduit ces formules, nous allons prou- ver (5). Posons ai sin a? -|- aj sin 2x -j- <ïi «n 3a?=a? (J« + Ji cos a?-}- Si cos 2a? 4~ <^09 3a?). En substituant les séries aux fonctions trigonométrlques et en égalant les coefficients des puissances de j à exposants égaux dans les deux membres de Téquation, on établit les équations qui suivent et dont le nombre est égal au nombre des coefficients inconnus : «1 4- 2tfi + 3ai ■= Jo + *i + *J + 1» a. + 8a, + 27a, = 3 (J, + 4J, + 9), a« + 32a, + 243ai = 5 (*. + 16St + 81)» a, + 128ai + 2187a, = 7 (i, + WJi + 729), a. 4- 512a, + 19 683a, = 9 (4, + 256i, + 6561), ai + 2048a, + 177 147aj = 11 (S, + 10244, + 59 049). — 185 — Poor résoudre ces équations linéaires, il suffit de retrancher chaque équation de celle qui la suit; il vient : 24a2 + 216a, = 2J, + Ô8«t + 378, 96a, + 1944a, = 2*, + 368>, + 4698, 384a, + 17 496a, = 26, -j- 1856J, + 63 946, 1536a, + 157 464a, = 2J, + 8960S, + 590 490. La même méthode de soustraction, appliquée à ce système de quatre équations, donne : 72a, + 1728ai = 300*, + 4320, 288a, + 15 552a, = 1488J, + 49 248, 1152a, 4- 139 968a, = 7104», + 536 544, ou bien, après une division convenable, 6a, + 144a, = 25J, + 360, 6a, + 324a, «= 31 J, + 1026, 6a, + 729a, == 37*, + 2794,5. Soustrayant encore, on obtient : 180a, = 6*2 + 666, 405a, = 6*, + 1768,5. Donc, enfin, 225a, = 1102,5, ài = 4,9. Les autres coefficients se calculent successivement à l*aide des équa- tions précédentes : bi = 3ô, a, = 92,4, *. =225, a, =262,5, *. = 200, et Ton est ainsi amené à établir la formule (5) de la suite C. Reste à déterminer le coefficient de la première puissance de â? qui ne s*évanouit pas. Pour nous mettre en carde contra une erreur de calcul dans la solution des équations, nous développons séparément le dénominateur et le numérateur de (5) C en série, et nous aurons : 0,7 (375 sin a + 132 sin 2fl? + 7 sin 3x) 147 . 181 . . 127 763 . 8 569 386 X'» — ^4 40 ^160 28800 ^ 131 200 -f 225 cos â? -)- 36 cos 2â? -f cos 3j; .^o ,o^ , I 147 . 181 , 127 . 763 .. , 679122 . = 462 — 189j:'-1 a?* x*A «' a?*'-^ «'* — ^4 40 ^160 28800 ^ 12! — 186 - La division de la pretnière somme par la seconde fournit enfin le quotient : ^""11099088"* IV. On peut encore ehereher des formules qui eontienneiii la fonèiion t^x au lieu de sin a, ce qui revient à faire ^o = 0 dans les dénominateurs des fractions que nous avons considérées. Cependant les formules qui s'ob- tiennent de cette manière ne soDt pas aussi propres à être employées dans des calculs numériques que les expressions comprises parmi les formules B et 0, parre que les coefficients des plus petites puissances de x qui ne s'évanouissent pas, ne deviennent pas assez petits. On a, par exemple : (1 ) {igx-\-lsïtkx = x + :^x\,., (2) rfsina? - isina?cosa:+ j^tg«==a?-f iV5^^ + 3tgaî . 29 , ^^^ 5-2cos^=^ + Ï8Ô^- w (l + 29cosj;)tg«_ 17 ^ V. Exemples numériques. Pour avoir une idée de la grandeur relative de Terreur qu'on commet en prenant le second membre des équations comme valeur de x, nous avons toujours calculé le premier terme de la série qu'il faudrait ajouter à x pour avoir une véritable équation. Mais il ne semblé pas dépourvu d'intérêt de vérifier cette approximation préalable par des exemples numériques. Pour éviter les irrationnelles, on peut choisir un triangle rectangle qui a ses côtés rationnels, par exemple la triangle pythagoricien avec les côtés 3, 4, 5. Faisons donc cos x = 0,8, sin x = 0,6, tg | jr = *. La série pour arc igjX fournit : a? = 2 arc tg { = 0,043 501 108 793 284 . — 187 - En 86 servant lucoe^sivement des formules (1) ... (5) du tableau B, on trouve ; a?, = 0,642 857, erreur 0,000 644, soit 133'% or, = 0,643 478, » 0,000 022 8, » 4,"7, a?, *=« 0,643 600, » 0,000001109. » 0,"23, X, = 0,643 501 045, * 0,000 000 064, » 0,"013 2, 5-5 = 0,643 501 J04 96, • 0,000 000 004 03, » 0,"000 8. La troisième formule de C donne : a-e = 0,643 501 094, erreur 0,000 000 015, soit 0"003 la cinquième de C : X, = 0.648 601 109 29, errôuf 0,000 000 000 5, ôoit 0"000l . En mettant siil o^ ==: coe 0 =« \ [/2f on trouve à Taide des mémea for- mules (3) et (5) C (|/2 =* 1,414 218 562 373) : ^=0,785 398 02 et^==^^^^: ~^^^= 0,785 398 157 5, 4 4 1864 tandis qu'on a effectivement 7 = 0,785398163 4. L*erreur que comporte la formule approximative (5) C ne monte donc qu'à 0,"0012. L'influence qu'exerce la grandeur da coefficient du terme complémen- taire dans le seeond membre des équations établies, peut-être montrée par la formule (4) du tableau A. En substituant sio x = 0,6, cos â; «a 0,8, on trou ve x% = 0,643 498 7 avec une erreur de 0,000 002 442 1 , soit de 0,"5, tandis que Xk et^e qUi oiit été calculés au moyen de formules où le reste commence aussi avec Ub terme cx^\ sont affectés d'erreurs beaucoup moindres que 0,"&. VI. Appendice. Les exemples que nous offrons au lecteur, ont été formés pour servir d'exercices dahs la théorie des sérieSi en particulier sur la méthode des coefficients indéterminés. NdUil demandons la permission d'ajouter à cea problèttaes doux autres qui se sont présentés dans des questions d*une nature différente. 1 . Développer 9% série, par un procédé formel, une racine de Féqua» — 188 — tio* y' = xff-\-l, à laquelle te réduit aisément réquation trinôme y* c=s ay -{- h. Solution. V-1 + - 2r\l)^ 3! \n) 4! W , (« — 6)(2ii — 6)(3« — 6)(4« — 6)/«\ + 5! (.i)-"' Soit ft = 3 : *=^+i-i{iy+i{iy-i{iy+i{d"' 2, Retrancher^ par une corde, la n*^"*' partie de Vaire d^un eerdê; déterminer V angle au centre 2x correepondani à la corde. L*angle w se détermine par Téquation transcendante : X — -8in2â? r = 0. 2 n Posant - = ç', faisons : n X = et

ont le même axe radical (ou les deux mêmes points dUntersection, réels ou imaginaires). Lorsque les cercles donnés 0, 0' sont orthogonaux et se coupent en A et A', leur cercle radical passe par les quatre points A, A', 0, 0'. •• Le cercle 0^ peut être appelé le cercle antiraiieal du cercle 0 par rapport au cercle oi. Soient U, U% u les premiers membres des équations des trois circonférences sous la forme â?' -{^ y' 4* ^^^ 4"" > nous avons f^ = j(U + UO, d'où U' = 2f^ — U. Le cercle antiradical est donc le lieu des points dont les puissances par rapport aux cercles donnés sont Tune double de Tautre. Le centre 0' est le symétrique de 0 par rapport à o), et R'=.l/2(p« + a») — R\ où d représente la distance Oa>. La circonférence 0' se réduit à un point lorsque p* = j R* -^ 3*. S. Etant donnés une circonférence (0, R) et un point extérieur o), pour trouver Tantiradical du cercle 0 par rapport à (ù^ menons de (ù les tangentes coT, (oTi, et élevons en oi sur wO les perpendiculaires (oU s=3 (oUi => gjT; la circonférence cherchée a pour centre le symétrique 0' de O par rapport à o) et elle passe par les points U et Ui. Inversement, si Ton donne un cercle 0' et un point intérieur €i>, on (*) L'auteur a en?oyé cette nota simnltanément au Journal de wuUhéwuUiquu élémênUim et à MatkesU. L*artiole ayant para im emttnêo dans le premier Recueil, nous nous oontentons de le résumer ici. (RioACTioN). (**) Cercle (0, R) signide s cercle de centre 0 et de rayon R. - m - mène la corde UUi perpendiculaire en on sur 0'&); Tantiradioala de la circonférenoe 0' par rapport au point (o coupe orthogonalement la circonférence (o), mU). Les rayons R, R' vérifient la relation 8(R« + R'«)=-ÔiL/', ou ûï?* = (R + R')'+(R'-R)'. On en déduit que la tangente commune extérieure MM' »= R -|--R'^ que la tangente commune intérieure NN' = R' — R. Supposons las points M, M', N situés d'un même côté de la ligne des centres OCV, et désignons par M,Mj, N|N', les deuic autres tangentes communes. Les tangentes MM' et NN' sont rectangulaires et se coupent sur TTi ; il en est de même de MiM'^ et NiN', . Les tangentes MM' et N|N'|, MiM'^ et NN' sont rectangulaires et se coupent sur UUi. Les points M, Ni| N% M\ sont sur une droite passant par le milieu P de la corde TT| et inclipée de 45* sur 00'; les points Mi, N, N|, M' sont sur une seconde droite passant par Pet faisant avec 00' Tangle de 45°. L'équation de la circonférence 0' est ^t 4- y! _ 4da 4- 2d' + R» = 0, les axes coordonnés étant 0&) et une perpendiculaire en 0 ; i désigne la distance Oo), Si l'on fait varier u sur la droite Oâ^t Tenveloppe de U cir- conférence 0' est l'bjperbole équilatère représentée par l'équatioo a?' • y« «, R». Si le cercle 0 lui-même se réduit à un point» l'enveloppe du cercle 0' se change en un système de deux droites. 4. Considérons de nouveau un cercle quelconque (O, R) et son cercle antiradical (0', R') par rapport à un point donné u. Soient H, K les points où le second cercle coupe la ligne des centres 00'. Tous les cercles pas- sant par H et R forment un faisceau 9, tel que les puissances de co par rapport à l'un de ces cercles et au cercle 0 sont égales et de signes con- traires ; donc les cercles radicaux du cercle 0 combiné avec l'un des cercles du faisceau cp ont leurs centres sur la droite UUi et passant par . A. Considérons deux cercles-points 0 et co. Soient 0^ le symétrique de 0 par rapport à o>), et c^U, uUi les perpendiculaires élevées en (ù sur (ùO et égales à caO. Le cercle antiradical du point 0 par rapport au point (ù a pour centre 0' et pour ri^on O'U = Ou \/2, 0 et &) sont les points*liroites d'un faisceau de cercles ayant pour axe - m — radical la perpendiculaire au milieu de la droite 06) ; le cercle 0' fait partie de ce faisceau. De là résulte le théorème suivant : Le polaire d'un point quelconque A par rapport au cercle 0' passe par le point iHntêrseeiion B des perpendiculaires élevées en 0 et cù sur les droites AO et Aoi» Si le point A appartient à la circonférence 0', B se trouve sur la tangente en A. Les points A et B satisfont à une transformation qui a été étudiée par MM. d^Ogaonb et Nbubrro {Société Royale des Sciences de Liège, 2» série, t. XVI). •• Supposons maintenant le cercle (0', R') donné. Les points O et &> ont pour lieux géométriques deux circonférences de même centre 0 et de R' rajons R'i/2et-— ; nous dirons que les points sont radicalement asso- yz dés au cercle 0'. De même, les cercles, lieux de ces points, sont dits radicalement associés au cercle 0'. La proposition énoncée ci-dessus (A) donne la propriété suivante : Si Von joint à un point fixe A deux pointe quelconques 0, g) radicale- ment auociés à un cercle 0', les perpendieulûires élevées enO sur kO et en(ùsur K(ù se coupent sur une droite fixe, qui est la polaire de A par rapport au cercle 0'. 9. La notion des cercles radicaux et antiradicaux, ainsi que nous Tavons déjà montré, trouve des applications intéressantes dans la géomé- trie du triangle. Nous allons développer un exemple. Soit ABC un triangle fondamental, et appelons Ci, Ai, B| les cercles radicaux des points A, B, C respectivement par rapport aux points B, C, A. On sait que Téquation d*un cercle, en coordonnées bar jcentri- ques a la forme (« + i3 + 7) («« + «^13 + fO'/) - («'Êy + * V* + <^'«|5) = ^' UyVyW désignant les puissances des sommets A, B, C par rapport à ce cercle. Comme CiB = BA et que le rajon du cercle Ci a pour valeur ^1/2, réquation du cercle Ci est (a -}- P + y) [2c*a — c'Ifi + (2a» — J*) y] - (a«Py -f h'ya + c»a/5) = 0; celles des cercles Ai, Bi s'en déduisent par une permutation tournante. Le centre radical da ces cercles a pour coordonnées a*p«i i'p», c*p«, où ;?« = (* -}-^ c* — a', ... ; il coïncide donc avec le centre 0 du cercle circonscrit au triangle ABC. — 192 — La puissance da point 0 par rapport au cercle Ai est égale à ÔÂÎ — 2a« = (R» + 2û») — 2û« = R» ; donc le cercle circonscrit au triangle ABC coupe orthogonalement les cercles Ai, Bi, d. Ce résultat pouTait être prévu : en effet, le cercle Ai fait partie d*un faisceau qui a pour points limites B et C ; donc il est coupé orthogonalement par tous les cercles qui passent par ces points. Les polaires du point 0 par rapport aux cercles Ai, Bi, Ci passent respectivement par les pôles A% B', C des côtés BC, CA, AB par rapport au cercle ABC ; elles partagent ces côtés en segments qui sont entre eux comme 2: 1. La polaire de A par rapport au centre Ai passe par la seconde extrémité du diamètre OA du cercle ABC. Les points B et C étant inverses par rapport au cercle Ai, les extré- mités de toute corde menée par C, et les points B et Ai appartiennent à une même circonférence. La circonférence Ai est le lieu des points M tels, que Ton ait MB' = 2MC*. Les cercles radicaux du cercle ABC par rapport aux cercles Ai, Bi, Ci ont pour diamètres les droites OAi, OBi, 0C|. Les puissances de Cpar rapport au cercle de Neuberg N« et au cercle Ai sont égales et de signes contraires. On en conclut que le cercle radical de ces cercles passe par C; il a pour équation 1 (« + P + y) [2J* — CyD, se touchent deux à deux, les droites qui joignent le point de contact de deux de ces cercles au point de contact des deux autres concourent en un mime point. Notre correspondant démontre cette proposition au moyen d'une inversion ajant pour pôle Tun des points de contact. Plus généralement, étant donnés quatre cercles quelconques AfifiJ), les droites qui joignent le centre de similitude interne de deux de ces cercles à celui des deux autres concourent en un même poini. Cette propriété résulte des diverses constructions qu'on peut donner du centre de gravité des quatre centres chargés de masses inversement proportionnelles aux rayons correspondants. (J. N.). •9. Equation focale des coniques. Voici un procédé bien simple, quoique peut-être inédit^ pour déduire la directrice des deux fojers. Soient (a, P), (a% |3') les coordonnées des deux fojers d'une ellipse de grand axe 2a. L'équation de l'ellipse est donc En faisant disparaître le second radical, on met cette équation sous la forme ce qui est bien l'équation focale (x — ay + (y - P)« —(•«? + «y + hy. (E. N. Barisikh). itf - 194 - ^•9. Construction du pentagone régulier^ diaprés Sghrobter. Soient âB, CD deux diamètres à angle droit dans une circonférence de centre 0 ; Ce =s 4A0 une parallèle à AB, Dd « BO une parallèle kBk\ ei une droite rencontrant la circonférence en Ë et F; CE|CF des droites coupant ABen^etA Par ceux-ci, menons les cordes 8^4, 2/5 perpendicu- laires à AB. La figure A2345 est un pentagone régulier (Catlbt, Math., Pap., 1897, t. XII, n« 809, ou Mess, of Math,, 1883, XII,177). ^%9, Tangentes communes à deux cercles R et R'. Appelons d la dis- tance des centres. Prenons une droite quelconque / du plan; menons d'abord, à la droite /, une circonférence tangente en un point quelcon- que et de rayon R; ensuite menons à l une circonférence tangente de rajon R% et telle que la distance des centres soit d. Cela se fait en men»nt, de part et d'autre de /, une parallèle, à la distante R', et en coupant ces droites par une circonférence concentrique à la première et de rajon d. Ce problème inverse étant résolu et donnant en général deux solutions, on peut prendre chacune des figures obtenues et la faire coïncider, de deux manières, avec la figure donnée. En pratique, il suffit de former, dans la figure donnée, un angle égal à celui qui est compris, dans Tautre figure, entre la ligne des centres et le rajon mené à un point de contact. On peut prendre une position spéciale de la droite /, de manière à simplifier les constructions; notamment si on choisit l tangente à la circonférence donnée R et parallèle ou perpendiculaire à la ligne des centres, on arrive à deux constructions assez élégantes, dont Tune au moins est oonnue. (M. Stutvabrt). '^ao. Sur Wolfgang et JeanBolyai. 1* On vient de trouver nneTImrU paralMorum envoyée en 1804 par W. Bolyai (1775-1856) à Oauss (1777-1855)« son condisciple et son ami. 2® Le célèbre opuscule de Jean Bolyai (1802-1860), fils du précédent, sur la géométrie non euclidienne, publié sous le titre : Appeniim sdentiam spatii àbsolute veram exMbens : a veritate aut falsitate axiomatis 21 Bu- didei {a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta, ad easum falsUalis^ quadratura circuit geometriea, à la suite du tome premier de l'ouvrage de son père(*) est une traduction d'un écrit hongrois (*) Tentamen juventutetn itudtcsam in elementa matkesios purae, elementaris ce sublimioris introduetndi. (Maroi-Vasarhely, t. I, 1882; t. II, 1888). L*Académie — l95 — datant de 1823, et oommoniqué en mannecrit, à J. W. von Eckwehr, en 1825. 3^" Oo va enfin faire paraître lea lettres de Gauss à W. Bolyai (D'après diverses communications de M. Halsted)1*). (P. M.) Si. Propriété focale des eonigues à centre. Si deux triangles direc- tement semblables ont un sommet homologue commany le second point d^iotersection de leurs cercles circonscrits est le point d'inter- section des droites qui joignent deux à deux les autres sommets homo- logues. Cette propriété résulte de la solution du problème : Trouver le point double de deux polygones directement semblables (Casbt, Géo- métrie récente^ voir Maihesis (1) IX, p. 13). Ou bien, c*est la réci- proque du théorème connu : Les sécantes menées par un des points de rencontre de deux circonférences sont Tues, du second point d'inter- section, sous un angle constant; cette réciproque se démontra par réduction à Tabsurde. Enfin, la propriété peut encore s'énoncer sous la forma suivante : Si les droites MF, MF' sont isogonales relativement à Tangla AMB, at si l'on a MA. MB = MF. MF\ les circonférences MAF, MBF' passent par le point de rencontre G de AF' et BF. Or ces conditions sont réalisées si F, F' senties fojers d'une conique, MA et MB deux tangentes à la courbe, A le point de contact de l'une, et B le point où l'autre rencontre la tangente parallèle à la première (Voir MatheêU (2) VI, p. 129; nous n'avions pas remarqué que la propriété démontrée à cet endroit est un cas particulier de la Q,uetti(m 1107 posée par M. B. P. Rouse, résolue (2) YI, p. 260). (M. Stutvabrt). hongroise en publie actuellement ane nouvelle édition. C'est un cours original de mathématiqueK comprenant l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse infinitésimale, la (géométrie, la trigonométrie, les sections coniques, la perspective, la gnomonique et la chronologie. (*) Postieripimm. Ces lettres et la Theoria pë alUlorum de W. Boijai viennent de paraître dans les ÀlatkewuUttche AnnaUn^ t. 40, pp. 149-106. — 196 — SOLUTION DES QUESTIONS PROPOSÉES. ^QocstUn tôt 9. (Voir Mathesis, (2) Y, p. 104). Démontrer que les nombres 16, 1156^111556 y etc. que Von obtient en intercalant le nombre 15 dans le terme précédent de la suite^ sont des carrés parfaits, (Montanari). On peut trouver d'autres théorèmes analogues. Par exemple, les nombres suivants sont carrés parfaits : 49, 4489, 444889, 44448889, etc. 729, 71289, 7112889, 711128889, etc. Solution par M. Van Dburbn. 1** Considérons un nombre composé de n chiffres 1, suivis de (n — 1) chiffres 5 et d'un chiffre 6. Si nous appelons A le nombre formé de n chiffres égaux à 1 , le nombre proposé est A.10» + 5A + l=A(9A + l) + 5A+l=9A«-f.6A + l=.(3A+l)». 2* (6A 4" 1)* i^ous conduit successivement à 36A> + 12A + 1 = 4 A (9A + 1 ) + 8A + 1 = 4A. 10- + 8A + 1 ce qui démontre que 4444.8889 est carré parfait. 3» 7111. .12888. ..89 peut se décomposer en 7.10»-+» + A. 10»+» + 2.10-+' 4- 80A + 9 = 700{9A+l)» + 100A(9A-fl) + 20{9A + l) + 80A + 9 = 57600A» + 12960A + 729 = (240A + 27)% carré parfait. Solution par MM. Droz Farnt, Colart, J. Jonbsco et Hackbn. •• ••-» 10" — 1 _ . ^10«_1 1* 11 ...155... 56= — - — .10» + 5 — \-l 10«- 4- 4 . 10" + 4 /10" + 2v» 9 \-^-)' 2* 44...4 88...89 — 4 -^^—-. 10*4-8— - + 1 9 •-- I - 9 4 . lO»' + 4 . 10' -|- 1 _ /2.10" + 1V 9 C-^7 — 197 — 711-1288 — 89 10" — 1 lO» — 1 = 7.10'»+»4 — 10«+»-f-2.1O'+' + 8 .10 + 9 64.10»»+» — 10-+» + 26.10»+' + 1 /8.10-+* + IV /8.10»+' + lY 9 Solution par M. Mandart. 1* Les nombres dea denx premières luiteB n n — I sont de la forme aa ...a bb-..be, ou 10- — 1 ,^ ,10» — 1 , a — ô 10" + 5 — ^ l-c-J «. 10»» + (à — a). 10- + (9c — 106) 9 lU sont carrés parfaits lorsque a et 9e — lOb sont carrés parfaits, et que Ton a (J — a)» = 4a (9(? - lOJ) ou J = — 19a + 6 |/a (10« + e) En prenant a =r 1 , 4, 9 et cherchant ensuite les valeurs de c pour lesquelles 10a + c= lO + c, 40-f- c ou 90-}-c est carré parfait, on voit que les seules solutions sont a = 1, c = 6, J = 5, et a = 4, c = 9, J == 8. 2^ Les nombres de la troisième suite sont de la forme ^ —^î_ ^* (63+a).10«"+«+(J— 10fl+18).10«+' + 81-l(» 7 aa . . . a 2 6ô . . . d 9 = On aura un carré parfait si les nombres 63 -\- a, 81 — lOb sont des carrés parfaits, ce qui exige a = 1, ^ =: 8, et ensuite (j _ 10a + isy = 4 (63 + a) (81 — lOJ), ce qui a lieu. M. Hâckbn indiqae encore la démonstration suivante. Supposcop, par exemple, qu*on ait vérifié Tégalité H— I H— I n— ! 7 11 ... 1 288 ... 8 9 = (266 ... 67/. On en déduit n — I n — I H — I N 7ll...l288...8900 = (2 66...670)« = (266...67 + 3)« n n n n = (2 60..67)« + 6.266...67 + 9 = (266Tr87)« + 1600...02 + 9. 711...1288...89Û0— 16SJ77Sll = (266...67)'; n n le premier membre de eette égalité ayant la forme 711... 1888 •••89» le théo- rème est démontrée - 198 - QOCSIIOB t««9. (Voir Maikiiit, (2) Y, p. 128). On donne une iurface quelconque S, un poini 0 et un eUipsMe e. M étant un point quelconque de S, on conetruU un elliptMe B homothé- tique à s» passant par 0 et ayant son centre au milieu de la droite OM. Démontrer que le point de contact N de Vellipsoide E avec son enveloppe est situé dans le plan tangent T mené en UL à & et que la droite ON est parallèle au diamètre conjugué avec le plan T dans VellipiMe E. (Obsaint.) Solution par M. Mandart. Prenons pour plani coordonnés des plans parallèles aux plans principaux de e et menés par 0. Soient F (x^ y,z) = 0 Téquation de la surface S, (a, |3, y) un point M de cette surface; a, i, eles demi-axes de l*ellipsoïde c. L'équation de Tellipsoïde E est (^-ly (y-iy (^-ly w.» ^« ^x ou ( (|r-l3)y (t-y).^ a' ^ b' ^ c* ' ^ ' ol, p, y satisfaisant à la relation P(«,(3,7) = 0. (2) DifTérentions les équationi (1) et (2) par rapport aux variables a, |3, y ; on obtient les suivantes : î«a+^,ifl+ijy-0. (3) f.. + |.p+'2^ = 0. (4, Le point de contact N de Tellipsoïde avec son enveloppe étant indé- pendant de doL, i/3, dy, les équations (3) et (4) doivent se réduire à une seule; donc ^ ÏL — rfF""rfP"'rfF^ di d^ ~dy — 199 — ces équations représentent la droite ON. Si nous les combinons avec celle de Tellipsoïde s, nous trou tous en remplaçant — y f-i — par des ù} 0^ c* quantités proportionnelles : dF ^ iF dF (,,_«)_+(y_(3)_+(,_y)_=.0 (5) équation d*un plan tangent en M à la surface S; on voit donc qu*il contient le point N. D*un autre côté, si nous cherchons l'équation du plan diamétral conjugué à la droite ON, nous avons plan évidemment parallèle au plan tangent en M à la surface M, repré- senté par réquation (5). Autre solation ptr M. TsrrzéiCA et par M. J. Jonbsco. (Voir Mathesù (2). V, p. 152). La tangente en un point M quelconque d'une cissoîde droite rencontre la courbe en un autre point P. Le lieu du milieu Q de MP est une courbe fermée dont Vaire est les | de Paire du cercle ayant pour diamètre la dis- tance du sommet de la cissoîde à son asymptote. (B. N. Barisibn.) Solution par M. Mandart. Si l'on combine les équations y» (a — a?) = a;», ss = ty, on trouve les équations paramétriques de la cissoîde a a t{l + t') l + t* Substituons les valeurs de â? et y dans «^ + «y 4' ^ "^ ^> équation d'une droite ; nous aurons aut + av + wt(l-\- 1') = 0. de sorte que les paramètres t, ttf ti de trois points de la cissoîde situés sur une même droite vérifient l'équation — 200 — Si cette droite est tangente au point M, nous aurons ^i a» ^, ^, sa — 21; donc le tangentul P de M a pour coordonnées — a a Zt (1 4- 4^*) 1 + 4^« et le milieu Q de MP, La courbe (Q) est symétrique par rapport à Taxe Ox\ elle passe par G et par' le point A où Tasymptote rencontre Ox. Appelons S Taire comprise entre la droite OA et la partie supérieure de la courbe (Q). Les points de cette partie sont définis par les dernières formules où l'on fait varier ^ de x à 0. On a y"* 4Vl + ^* 1 + 4<»/ V(l + <*)* (1 + 4<«)V par suite, «'~Jo(i+)+£«? + F = 0, D« -f Ey = 0, (2) équations qui contiennent trois inconnues x^ y, p. Si Ton élimine (^' 4- y' — y)» on obtient CDy — ARr=-F(A — C). (3) Le point d'intersection R des droites représentées par les équations (2) et (3) est donc de puissance constante par rapport aux cercles (AB). De là, les conséquences suivantes : 1* L*axe radical de deux quelconques des cercles (AB) passe par R; ce qui généralise la 1" partie de la question 1038. 2^ L*enveloppe du cercle (AB) est une anallagroatique. Le lieu du milieu de la corda AB» o*est-à»dire la courbe déférente étant une conique (e)| Tanallagroatique est du 4* degré. S"" Soient a et a' les milieux des cordes perpendiculaires AB et A'B'. Ces points appartiennent à la conique (c), de même que le point P. Dans cette conique, les cordes Pa, Pa' étant rectangulaires, la droite aeC passe par un point fixe 8 de la normale au point P. Le pied de Taxe radical des cercles (AB) et (A'B') décrit donc la circonférence ayant pour dia* mètre RS. 4* Le conjugué harmonique de P par rapport à AB décrit la polaire A de P par rapport à la conique donnée. Donc la polaire de P par rapport au cercle (AB) a pour enveloppe une parabole dont A est la tangente au sommet et P le fojer. On pourrait aussi déduire, des équations précédentes, les autres parties (**) On a le théorème frénéral suivant: SiVéquatùm d^un eerefeat une fonction du ieeand degré d'un parêmiire variabU^ ce cercle coupe orikeçonalement un cercle Mme. — 204 — de la qoestion 1026, mais la méthode géométrique suivante parait plus simple. Désignons par /3 le milieu de la corde CD et par 0 le centre de la conique. Soient 9 et 9' les angles que forment les diroctions conjuguées O2 et AB avec l'axe focal. Si Ton remarque que a/3 est perpendiculaire sur CD et que les droites Oa et 0/3 sont symétriques par rapport aux axes, on trouve facilement : 0|3« = 9' — 9 — 90% OaP == 270» — (9' + 9), donc : Oa sin Oya, cos (9' — 9) 1 + tang 9 tang 9' 03 sin Oay cos (9' -}" 9) ^ — ^°§ 9 ^^^g 9' ' En désignant par 2a et 2b les axes de la conique donnée, on aura donc suivant que cette conique est une ellipse ou une hyperbole : Oa fl» — J» Oa a« + J« — ^ ou — s^ ■ • i4 1 0/3 a« + J» 0/3 a« — J« ^^ On a donc le théorème suivant : Si deux cordes AB et CD d^une conique sont (elles que le cercle décrit sur AB comme diamètre passe par C et D, ces deux cordes se correspondent dans deux figures inversement semblables dont les droites doubles sont les axes de la conique; le rapport de simUi- c* tudeest - — -• fl»dr J» Il résulte de là que si AB passe par un point fixe P, CD passera par un point fixe Q. Les rayons OP et OQ sont symétriques par rapport aux axes de la courbe et leur rapport est égal à — — -• Les droites AB et a* dr 0 CD formant avec chacun des axes de la courbe des angles égaux et de sens contraires, leur point d'intersection T décrit une hyperbole équila- tère. Cette courbe est Thyperbole d'Apollonius relative au point P. En effet, lorsque T se trouve sur la conique donnée, un des points C, D coïncide avec un des points A, B et le cercle (AB) est tangentàla conique et par suite AB est normale à cette conique. Pour trouver le lieu du centre des moyennes distances y des points A, B, C, D, prenons pour axes coordonnés les axes de symétrie delà conique et désignons par x et y, x' et p' les coordonnées des points aet^; nous aurons en vertu de la relation (4): — 205 — Ed obserTant que y eit au milieu de a/3, on trouve pour les coordon- nées X, Y de ce point : 2 ^ c* ' 2 "^^ c' * Les coordonnées X et Y s*expriment donc homographiquement en fonction des coordonnées x, y du point a. Or, a décrit une conique, donc y décrit aussi une conique dont il serait aisé d'obtenir Téquation. Remarques. 1. Si la conique donnée était une parabole, une partie de la démonstration précédente devrait être modifiée. Ainsi, on aurait le théorème suivant, dont la démonstration est des plus simples : Si deux corde» A6 et CD d^une parabole sont telles quê le cerde décrié sur AB comme diamètre passe par C etD, ces deux cordes coupent F axe de la parabole en des points UetY tels que Von a UV => 2p, p étant le paramètre de la parabole. Donc les cordes AB et CD se correspondent dans deux figures symétri- quement égales. 2. Si, dans l'équation (1), on change a en 90® -{-a, on obtient pour l'équation du cercle (A'B') : («' + y*) (A cos »« + C sin •«) -j- (y cos a — X sin a) (D cos a — E sin a) -{- F = 0. (7) Ajoutons membre à membre les équations (1) et (7); il vient (A + C)(a?« + y«) + Dy + Ba? + 2P = 0. Donc le lieu géométrique des points d'intersection des cercles (AB) et (A'B') est une circonférence. 3. La solution précédente comporte de nombreuses conséquences. Nous citerons les suivantes : a) L 'enveloppe d'une corde AB d'une conique, telle que la circon- férence décrite sur cette corde comme diamètre touche la conique en un autre point C est une conique homothétique à la première. b) Dans rbyperbole équilatère, CD passe par le centre quel que soit AB (théorème connu) et le point R est au milieu de la corde de contact des tangentes issues de P. Les parties l<*et2*de la question 1026 se rencontrent dans les N. A. M., 1861, p. 66. D'autres solutions analytiques élégantes des deux questions 1026 et 1028 nous - ôod- ont M adreesésB par M M. Barisibn, J. Jonbsoo, B. Jonbsco, MandarTiDsoz Paany; des solatioDB synthétiques remarquables, qui contiennent également la propriété des cordes AB et CD de se correspondre dans deux figures inversement semblables, nous ont été remises par M. Buysbns (Oand). Nous regrettons que le défaut d'espace nous empêche de reproduire ces intéressants développements. Voici quelques nouvelles remarques sur la même figure. 1* dolent AB, A'B' deux cordes rectanf^ulaires menées par le point fixe P.On sait que leurs milieux M, M' appartiennent à une conique passant par P et homothétique à laconique donnée. Ils se correspondent dans une involution ; donc la droite MM' passe par un point fixe (point de Frégier) et son milieu décrit une conique. (BOTSBNS.) M. Bakisibn a démontré la même proposition parle calcul. 2« Lorsque le point fixe P est au foyer d*une conique à centre ou d*une parabole, le cercle (AU) enveloppe respectivement deux cercles fixes ou la directrice (Théorème connu, rappelé par M* Barisien). 3* Lorsque le point P parcourt la conique donnée, le point Q se ment sur une seconde conique, la droite PQ est normale à une conique fixe, et laconique lieu du centre des moyennes distances des points A. B, C, D reste tangente à une conique fixe. (Barisibn.) 4*' Le point P restant fixe. Taxe radical des deux cercles ayant pour diamètres les cordes AB et CD de la conique donnée, passe par un point fixe; Penveloppe de Taxe radical du premier cercle et du cercle prineipal de laconique donnée est une parabole. (Babisibn.) 5<» Si par un point fixe P dans le plan d'une conique 2, on mène deux cordes AB, CD qui se correspondent dans une involution, la ligne des centres des cercles (AB) et (CD) passe par un point fixe, et le pied de Taxe radical décrit une cir- conférence. Question !•••. (Voir MalhetU, (9) V, p. 215). S^Uni AS B', Q\ D' lu profeelions d'un point M sur Ut eôié a, », e, d d^un quadrilatère donné. i» Si la iomm m ÂTfi'' -f n.câJ'' ai eonstanU, U liiu de M est une circonférence ou une droite. ^ Si le produit A'B'. CD' est eonstêutf le lieu de M est un ovale de Cassini. 5* Si la somme m A'B' db n CD' est constante^ U point M décrit un ovale de Descartes qui peut dégénérer en une conique. (Dàpau.) Solution par MM. Gob, Colart, Droz-Fahnt. Soient B, C, D, A — 2W - les points d'intersection des droites a et i, b et «. « et i, i et a. Dans les quadrilatères insoriptibles MA'BB', MC'DD' on a : À'B' = MB sin B, CD' = MD sin D. Donc les égalités : wt.Â'B'' + «.C^'D'* = *, A'B'.C'D'=-*, w.A'B'db «.CD' = * entraînent les suivantes : M sin' B. MB' + n sin» D.MD* = *, MB. MD=^k m sin B . MB di II sin D . MD = il ce qui démontre la proposition. M. Mandabt a doonë une solution analytique de la même question. M. Colabt fait observer que le point M décrit encore une circonférence ou une droite lors- qu'on a (Voir Mathttii. (2) V, pag. 816). Calculer le edié d*un triangle éçuilatéralt connaiêsant les disiances d'un point de son plan à ses sommets. Ptoèlême analogue pour un tétraèdre régulier. (T. H. De Land.) Solutionpar M. Rbtali. Soient ABC le triangle équilatéral, x son côté, 0 un point de son plan, et posons OA = p, OB = j^, OC = r. La relation connue entre les distances de quatre points d*nn planl*) donne 0 1111 10 p« î« r» 1 ;>« 0 a?» a?» =0, 1 y* a?« 0 4?' 1 r« «» a?' 0 ou bien, en développant et divisant par x*, X* - x^ (p* f ?• + r«) + (p* + y* + r^ —pY - q^r^ — ^^V) = 0, 2a?« =;?» + y' + r« ± p/3 (2pV + 2j«r« + 2r«p«— p*— j* - r*). (1) {^) Voir BULBB, Ada Petropolitênê. 6, 1, p. 8 ou bien Salmon-Fiedlbr, Àlgehra der Linearen Tremsf.^ p. 3d (xweite Aofl.); Baltseb^Hoûbli Détermimtmte^ ete. — 208 — De même, en appelant p, q, r, s les distances d*un point de l'espace aux sommets d*an tétraèdre régulier ayant le côtéd?, nous ayons : 0 11111 0 p^ j« r» #» p^ 0 fl?« a?* a?» q* «« 0 a?* a?» r» a?* a?« 0 a;* «* #» a?' 0 = 0. (2) ou bien = 0; ?* + ?' j»+;?» — a?* r* + p» — a?» ,t^j5,t_^f ?' + ?» — «' ?• + ?• r*4-j« - «« #« + y» — «> p« + r»~a?* y»-fr» — a?« r*4-r» ^« + r«— «« ;?• + #' — x« ^» + *«~a?» r»-|-<« — a?' «' + <» et, en développant et ordonnant, 3«* — 2(lp*)'X' + (32;>* — 22py) = 0, Note. Solution analogue par M. J. Jonesoo. Si Ton dirise les quatre dernières lignes du déterminant (2) para?' et qu'on multiple ensuite les deux premières colonnes par x*, on trouve 0 X* 1 1 1 «» 0 P* ?' r» ft 1 P' 0 ) 1 1 q' 1 0 1 1 r* 1 1 0 1 s* 1 1 1 0 0, Le premier déterminant peut se transformer de la même manière. D*après Tégalité (1), la valeur de x* n*est réelle que lorsque ji, f, r sont les longueurs des côtés d*un triangle. Soient S la sur&ce de ce triangle et co Tangle de Brocard; on peut écrire a?» == 2S(cot w ± |/3) => 2S(cot « db cot 30»). Pour résoudre le problème proposé, on peut constraira on triangle - 209 — équilatéral qaelconque A'B'C et chercher dans ton plan un point 0' dont les distances aux sommets k\ B% C soient proportionnelles aux longueurs données p^p, r. On obtient deux points 0', 0" qui sont réci- proques par rapport au cercle A'B'C; il est facile d*en déduire la valeur de x. Ces points sont confondus en un seul appartenant à la cir- conférence VB'C'y lorsque Tune des longueurs J9, ^, r est égale à la somme des deux autres. ■Remarquons aussi que la construction de x revient à ce problème classique : Placer sur trois circonférences concentriques, de rayons p, g, r, les sommets d*un triangle équilatéral. Le tétraèdre r^ulier donne lieu à des observations analogues. M. DÉPRBZ nous signale la relation qui existe entre le côté d*un trian- gle sphérique et les distances de ses sommets à un point quelconque de la sphère (*). Six^Pfq.r représentent les cosinus de ces arcs de grand cercle, on a 2x' — {l+21pq — lq^)X"\'lp^^\ = 0. Dans la triangle trirectangle, ce qui est la formule bien connue en géométrie analytique: coi«a + cos«P + cos*y = l. (J. N.) (Voir Mëihesii, (2) Y, p. :M0). Construire unpêmdoearrékBCD, connaissant un côté élB eiles ançles adjacents DAB, DBA. (J. Nbubbro.) Construisons la ligne brisée XBAY renfermant le côté donné AB et les deux angles donnés YAB -= DAB, XBA = CBA. 1* Soit e un point quelconque de BX; prenons sur la perpendiculaire {*) C*6st la relation de Schering caractéristique pour la géométrie riamannienne plana: 006(11) C0S(12) 008(13) 008(14) eo8(21) cos(22) co6(S3) cos (24) eo8(81) ces (82) oos (88) cos (84) ooe(4)) 008(42) cos (43) oos (44) où (12) désigne la distance des points 1 et 2. 16 = 0 — 21Ô — abaissée de B sur A^ oDe longaear Bd^=ke. Nous aurons ainsi on pseudocarré ABed, dont le sommet i parcourt une droite déterminée lorsque e se déplace sur BX. Si l'on mine la droite Bi' perpendiculaire et égale à AB, le lieu de i est la perpendiculaire abaissée de d' sur BX; il rencontre AT au point cherché D. (Oroz-Farnt). 2* On sait que les carrés construits intérieurement sur les côtés opposés AD, BC ont le même centre 0; ce point 8*obtient immédiatement au mojen des angles YAO = XBO = 45*. L^s perpendiculaires éloTées en O sur OA et OB, ou mieux les cercles (O, OA), (0,0B) rencontrent A Y, BX aux points cherchés O, C. (E. Colart, Degubldrb.) a* On sait que les milieux M, N, P, Q des côtés AB, BC, CD, DA sont les sommets d*un carré. Prenons sur BX un point quelconque n et con- struîsons le carré Mnpg. Lorsque n parcourt BX, il est facile de Toir que les points p eiq décrlTent des droites. Le lieu de g est la perpendiculaire abaissée sur BX de l'extrémité de la perpendiculaire élevée en M sur AB et égale à MB; il rencontre AY au point Q, etc. (Goa). 4* Les carrés construits intérieurement sur les côtés opposés AB, CD ont le même centre L Ce point étant connu, si Ton construit une suite de triangles isoscèles cli, rectangles en I et ajant un sommet e but BX, le sommet i décrit une droite perpendiculaire à BX; cette droite passera par le sommet D du pseudocarré. (Van Dburbm). 5" On sait que le centre I des carrés construits intérieurement sor AB et DC est le milieu de la droite qui joint les r»entres u, ' qui font avec AY, BX des angles de 45*; par conséquent, la question revient à mener par I ane droite dont le segment compris entre les droites A», Btt' ait son milieu en I, etc. (Francq.) 6* Projetons B et C en B' et C sur AD. Il est facile de voir qao les triangles ACC, BDB' dont les côtés sont deux à deux perpendiculaires et qui ont AC = BD, sont égaux; par conséquent» AC«bBB\ Il est facile de déduire de là une solution du problème proposée. (J. JOHBSCO). 7* Construisons le carré ABEF dirigé vers CD. I^es triangles AAC, EDB qui ont deux couples de côtés égaux et perpendiculaires, sont égaux, et les troisièmes côtés £D, BC sont perpendiculaires. D*oû Ton déduit une solution de la question 1039. (Dipasi). - 211 — Les solutions 1* et 7* ne diffèrent pas essentiellement. M. Mandart donne une variante de la solution 3* en égalant les valeurs de MN et de MQ calculées dans les triangles NMB, QMA en fonction des angles NMB = 0, QMA=--e. Voici une solntion trigonométrique due à M. Tibtb - Si K est rintersection des droites AD et BC et que x désigne l'angle BAC, les triangles KAC, KDB donnent AC sin K BD _ sin K ÂK ~" sin I B + a?) ' BK "" cos ( A — «i ' d'où AK cos (A - â?) = BK sin (B + w), équation do laquelle l'on tire tg m. (Voir Matheiii, (2), tome VI» p. 215). Pour que le système (1) a?-|-y-}-^ = 0, a«' + Sy« + c«» = 0, (2) ax* + ôy* -}- «* =» 0, (3) admette une solution autre que sp=^y = i = 0,on doit avoir (a + ô)(ô + c)((? + a)[(a + 8)(ô + c)(c + a) — 8a*c] = 0. (J. Nbubbro.) Solution par M. Colart (Huj). !• Poar des yaleura de â?, y, f difTé- rentes de zéro, on peut moltiplier (3) par f*, pois retrancher (3). On aura ax* («« — «») + Jy« («« — y') = 0, ou, en éliminant z au moyen de (1), (a + b) xY + arf {ax* + h*) = 0. d'où (a + J) a?y = 2ei*. On obtiendrait de même {a -f- c) âjf = 2}yS (b 4- c) y« = 2ax*. En multipliant ces trois relations, on trouve {a + b)(b + c){c + a) — 8abc^0. 2» Si 2 = 0, les équations proposées deviennent y=-.a?, (a + ^)a?« = 0, {a'\-b)x* = 0, et admettent des valeurs de â? et y différentes de zéro pour a-^-b^O. De même, si a -f- ^ = 0 le système admet dee valeurs non nulles de - nz - X et f , jointes à y «=> 0, et, si S + ^ = 0, le sjstème admet des Taleurs non nulles de y et 2 avec x = 0. Solution par M. Déprbz. Remplaçons dans Téquation (2) x par — (y 4" ^)' ^^^^ réquation (3) x* par sa valeur tirée de la seconde; noas aurons (a + S) y « + 2ayz + (a + c) «• = 0 , (4 ) *{« + *) y* + 2bcyH' + (?(a + (?)«* = 0. (5) Elevons Téquation (4) au carré après avoir transposé le terme en f§ ; il vient (a + ô)'y* + 2[(a + c)(a + S) — 2a']yV + (a + (?)»«* = 0 (6) Pour que deux équations du second degré AA> -f BA + C = 0, A' A» -f B'A + C =. 0 soient compatibles, on doit avoir (AC — A'C)« — (AB' — A'B) (BC — B'C) = 0. En appliquant cette condition aux équations (5) et (6), on obtient régalité proposée. Solution par M. Delaha.tb. Multiplions Téquation (2) para?* -{-y* : ax^ -f- Sy* + (^ + *) ^*y* + c^* (^* + y*) = ^5 remplaçons ax* -j- bp* par — c«* et x^ -{- y* par «• — 2a;y : — ez* + {« + *) «'y* + c^' («• — 2a?y) =• 0, ou {a + h)xf = 2e§*. (Le reste comme dans la première solution). Le système a été ramené à la forme de sorte que 8*il est compatible, la solation est Ceci se rapporte au cas ou Ton a (a + ô) (ô -h c) (, (ù\ Démontrer que les projections de Tun de ces points sur les côtés et les diagonales sont situées sur une même circonférence. (A. C). On demande une démoDStration élémentaire de cette propriété. Les points M, m' sont appelés les poitUs cyclique» du quadrilatère complet dont les côtés aont AB, BC. CD, DA; la déaomioatioD de points de Monge aurait été préférable, ces points appartenant à tous les cerclef de Monge dds coniques inscrites an quadri- latère complet. (J.N.). i tS9. On donne une ellipse de centre 0; soient F Tun des fojers, D le pied de la directrice correspondante, M un point de la circonférence décrite sur OD comme diamètre, B et C les points de rencontre de Tellipse avec la perpendiculaire élevée en M sur FM. 1* On a la rriation 1.4-i- = 2 BF ^ CF à * — 2lfe — 2^ Le pôle de BC par rapport à Tellipse décrit une parabole passant par les extrémités du petit axe de Tellipse et ayant pour sommet le point F. (DÉPREZ.) ^itS9. Soient 0 le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et I le centre du cercle inscrit, qui touche BC, CA, ÂB en A\ B', C. La parallèle à la droite 01 menée par A' rencontrant la circonférence I en a, démontrer que la perpendiculaire abaissée de a sur la droite B'C rencontre la circonférence I au point de contact F de cette circonférence avec la circonférence des neuf points de ABC. (Droz-Farnt). QUESTIONS D'EXAMENS. 805. On sait que le lieu du centre a> d*une circonférence qui touche une droite donnée u et une circonférence donnée (0, R) est une parabole P. Trouver le lieu du sommet de P lorsque u passe par un point fixe A. Une circonférence de centre w et passant par G est tan^nte à une parallèle v menée à f«, à la distance R. Le lieu de w est donc la parabole qui a pour foyer 0 et pour directrice v. Faisons tourner u autour de A, et soient B, C les projections de G sur m, 9. Le lieu de B est la circonférence décrite sur AG comme diamètre ; comme BC = Ry le litu de C est un limaçon de Pascal. Le sommet D de P étant le milieu de GC décrit également un limaçon. La directrice v enveloppe la circonférence (A, R). (SOONS.) 9%^, Si a et i sont deux grandeurs algébriques, trouver la condi- tion nécessaire et suffisante pour que ■ ^ -• a — h a-hb Gn doit avoir «^ > 0. 809. Que devient l'expression (a + c)(J-j-rf) ab cd u e si Ton suppose -=»- ? 0 a Réponse : 0. 808. Deux sphères OetO\ do rajons constants, se meuvent de manière à otre constamment tangentes entre elles et à toucher la pre* — èl6 — mière deux plans fixes P et Q, la seconde deux plans fixes P' et Q\ Démontrer que le point de contact M des deux sphères décrit une ellipse. (Mathot). Le centre 0 décrit une droite d, le centre O' une droite d' ; la distance 00' est constante, et M est un point fixe de la droite 00', etc. 809. Un prisme droit de hauteur A a pour bases les triangles éqoila- téraux ABC et A'B'C dont le côté est a. Sur les arêtes AA' et BB' on prend les longueurs AI = { A, BK == | A, et l'on mène le plan IKC. L« Trouver le rapport suivant lequel ce plan coupe le prisme; 2® Démontrer que le triangle IKC est isoscèle et chercher sa surface; 3* déterminer A de manière que la surface de ce triangle soit les f de la surface ABC. 8tO. Résoudre un triangle ABC, connaissant la somme b-\'e = 2s,\a. hauteur AH = A et la médiane AM = m. 1« On a les équations Il désignant la longueur HM = K^* — ^*' La première et la troisième de ces équations donnent . an an * = ,+_. c = ,-^; ces valeurs étant substituées dans la seconde équation, on trouve 2* On peut calculer les angles B et C au moyen des équations -:— -4--^—— — . C0tgB-COtgC = -j-. Bin B ' sm C A ^ A que Ton peut transformer en sin B + sin C _ 2* sin (C — B) __ 2ii sin B sin C "" A * sin B lin C A On en déduit par division et en transformant la dernière : sini(C + B)=Sinj(C-B), 8ini(C-B)cosg(C-B) = J[(sin«i(C + B)-sin«g(C-B)]. En éliminant sin i (C -f B) on tronve , C — B A» ♦g— ^— = r— n" ReetUlealioD. Page 150, question 1125, avant dernière ligne, au lien de — §f lire — w. - 817 - ''QUESTIONS D'ARITHMOLOGIF, par 11. DB RCCQUIQNT. t . Mettre la différence des puissances cinquièmes de deux nombres entiers consécutifs de même parité sous la forme d'une somme de 3, 4, 5 ou 6 carrés. = (3 fl» + r%« + (a« - r«/ + (4tfr)« = (« -h *•)• + («- r,* + 4a« (« -f r)« + 4«« (tf - r)« = (2a« + 8 ary + (2«« - 3«ry« + (a* + r«)« + «• + r* = (2a« + 8tfr;« + (2«« - 3tfr • -h 'û« - rV + 4««r« + /i» + f «; on faitr = l. •. Tout nombre entier est la somme algébrique de deux carrés et de deux cubes. En effet, n = (Su + 1)" - n* + II» - (« + 1 ,». 8. On a n(n^:\) On±i\)On±^)^ (Su ± 1 •. Peut-on trouver la formule générale des triangulaires qu'il faut ajou- ter à un triangulaire donné pour obtenir un carré? 4. Posons tn = î n{n + 1); on a (/7.+I + ^.-i) {tib^i + fc-i) = /î.+ 1 + ^« .« (c = 5flJ + a + 8). 5. Si la différence des rangs de deux triangulaires est supérieure à 2, la différence de ces triangulaires est un nombre composé. •. Mettre la somme sous la forme d'une somme de quatre carrés. 9. On a l'identité (a« ± a} + *»)» = H«* + (« =fc ô)* + 6*]. Si l'on choisit a et 8 de manière que a' =b ad + (' soit un carré, on a une solution de l'équation indéterminée 17 — 218 - Par exemple, 3* -|. 8* + 5* = 2 . 7S ?• + 15* + 8* « 2 . 13* , . . . . 8. Vérifler : a* + {a + by = 2 (a» + ab)* + (2ab + b*y = 2 (a' + aS + iV — *♦. On voit que la somme de deux bicarrés peut indifféremment prendre la forme 2a?» + y' ou 2z^ — «'. •• La somme des inverses des n premiers triangulaires est égale à o n tO. Le carré de la somme ou de la différence de deux entiers est une somme de trois carrés : tt. Chacun des déterminants a» 2aJ J« 2aJ ô» a' a? ab b* i> a^ ab ab J« a« est la somme de trois carrés. Cette proposition est un corollaire de la précédente. 19. Le double du carré de la somme ou de la différence de deux puissances cinquièmes est une somme de quatre carrés : (!»» db n*)» = {m± ny ^-^ — — — ^ — -^ — - — - — • tS. On a : (a-*)(a — c) + (J — «)(* — (;) + (c--«)(c — J) (g -- h)* + {b — ey + (<;—•)* {a-b){a-b + l) (4 -e){b - e + 1) , (<;~a)(c-« + l) 2 ' 2 ' 2 Donc l'expression 2a* — 2ab est une somme de trois triangulaires. De même a» + »> + c» + «4 + ac— Je — A(a + J)(a + 8Tl) + i(a + c)(a + c±l)+i(J-«)(«-«±l). — 219 — 14. «' est la comme des n termes d'une progression arithmétique commençant par 2« — 1 et ayant pour raison 2n — 2. tu. Si â? db y =e f , on a : '«' + y* + «■ \' a?^ + y* + «* /jp» -^ y« 4, g« y ^ Si «• dr y' = ^«, on a : V :5 y 2 • L'équation flj«« -j- y>"« _|- s>*»\ » oj*» 4- y*» -J- f •* /fl?»» 4- y»- 4- s«i\ 2 n'est possible que pour n «= 1 ou n *» 2; car elle se ramène à : a?» dr y* ± «» = 0. §•. Les quatre premières puissances d*un nombre entier quelconque forment une somme de trois triangulaires : 2 «^ ^ 19. Les six premières puissances d'un nombre entier quelconque forment une somme de trois triangulaires : H«(n« — 1) (»» — »)(n» — n— 1) (H» + n* + ti)(«'+n' + «4-l) 2 + 2 ■*■ 2 18. La sixième puissance d'un nombre entier (1 excepté) est à la fois une somme de deux et de trois triangulaires : -= J(a» -«){«»- «4- 1)4- i (,»3_«)(n34.||— l)4-i .2«»(2ii«— 1). On peut dire encore que «* est la somme d'un carré et d'un triangu- laire. i». On a: *' + «* + »* + »• = 5 1 ô 1 ô • — 220 — • On a : |(a + } + (î)(a + S + cdbl) + î(a + ô — c)(a + J — c:ti1) + i(a — S-c)(a — J — cdbl) + i(a — S-|-c){a — S + (J=f1). itl. La somme (ou la différence) d^une fraction irréductible et de son inverse est une fraction irréductible. ••. La somme des produits deux à deux des 2n — 1 termes consécu- tifs d'une progression arithmétique quelconque a^{n — l)r, ••• , a, •••, a + (n — l)r est égale à (211-1) (2» ^2)^, (n-l)n{2n^l)^^ 2 6 •S. Neuf carrés entiers consécutifiB forment une somme de deux triangulaires : {n-4)*-^in'-Sy+' .-[-(,1+4)» __ (3tt + 5)(3n+6) (3n-5)(3n — 6) "" 2 ■»" 2 ' Il en est de même de neuf carrés pairs consécutifs et de quatre carrés impairs consécutifs : (2n -- 8)« + ••• + (2ny -{ 1- (2« + 8)« = (6n + 16) (On + 16) , (6» — 15) (6m — 16) 2 + 2 ' (2n — 3)«4-(2n-.|)> + (2n + l)» + (2ii4-3)»c= (4» + 4)(4»+5) (4« — 4) (4n — 5) 2 + 2 ' •4. Si N est premier avec 3, N* est la somme de trois triangulaires et N* + 1 la somme de trois carrés : (SnztlV »(»-^) I njn—l) (4n d= 1) (4it d= 2) (3« =b 1)» + 1 = (« zb 1)» + (2««) + (2« db 1)*. •5. La pile à base carrée de côté n est le quart de la pile triangu- laire de côté 2n ; elle est aussi égale à la somme des piles triangulaires de côtés «et M — 1. — 221 - ••. Les n premiers triangulaires sont renfermés dans une urne. On en tire deux y au hasard, et Ton demande la probabilité que leur somme soit divisible par 3. Suivant que « a la forme 3a, 3/i + 1 1 3^ + 2, la probabilité est 2(2a — 1) 2(2fl — 1) 2g(2a-|-l) 3 {3a 1)' 3{3a + l)' (3a + 1) (3a + 2)* •9. On a 1.3 + 3.6-f.6.10H l-4W»+,= ^ii(i» + l)(ii + 2)(ii+3)(2ii + 3); 1 3 + 6. 10 + 15.21 -I \- Attn^thn = ^ n(ii + 1) (2n - 1) (2« + 1 ) (2m- 3). •8. Au total formé par les n premiers carrés, on ajoute la somme des n — 1 premiers triangulaires et celle des n — 1 nombres entiers qui suivent le {n — ly triangulaire; démontrer que le résultat est un cube. •9. Soient Sa la somme des produits des termes superposés dans les deux suites 1'. 2', 3», ..., (n-2)\ {n-iy. n — \ f ii^2| Il — 3, •••, 2| 1 et S^ la somme analogue pour les suites 1, 3, 6, ..., \ 1 ^.w 1 ^f 2 • 2 «, «-1. n-2, ■•• » 2, 1 Démontrer que Sa 4* Sp ^^^ ^^ nombre triangulaire. SO. Si a, bf c, d sont quatre termes consécutifs d*une progressioD arithmétique, de raison r, on a - 222 — sur les cordes de courbure concourantes dans les coniques!*), par M. Cl. Servais, professeur à l'UniTerslté de Gand. i. Soit M un point quelconque d*une conique (1) de centre 0; par un point fixe P, on mène une droite parallèle au symétrique par rapport à un axe y du diamètre conjugué de OM. Oette parallèle rencontre le dia- mètre OM en un point M'. Si le point M se meut sur la conique, les droites OM et PM' engendrent deux faisceaux projectifs» et le point M' décrit une conique (tt) passant par les points 0, P, et par les projections de P sur les axes» et dont les asymptotes sont parallèles aux diamètres conju- gués égaux OG et OH de la conique (Z). Cette conique (tt) rencontre (I) en quatre points A, B, C, D; les cordes de courbure & la conique (2) en ces points passent par le point P. Donc t si une conique (ir) pM$e par le Centre d'un$ conique (2)> et a seê aepmpiotes paraUllu aua diamiirei eon- jugués égaux de (2), les cordes de courbure à celle-cif menées par les pointe où la conique (tt) la rencontre, concourent en un même point de (tt). •. Les coniques du faisceau ayant pour base les points A, B, C, D déterminent sur la droite de Tinfini une involution. Les points & Tinfini des coniques (2) et (n) sont séparéi harmoniquement par les points à rinfini des axes de (Z). Ces points sont donc les points doubles de Tinvo- lution, et les droites AB, CD sont également inclinées sur les axes. Donc : si les cordes de courbure aux points A, B, C, D sont concourantes, les quatrepoints A, B, C, D sont sur une même circonférence. Si le point P est sur la conique (Z), les points P et D ooïncident; les droites AP et BC sont également inclinées sur les axes; mais la droite APet la tangente au point A jouissent de la même propriété} la droite BC est donc parallèle à la tangente au point A. De même AC et AB sont respectivement parallèles aux tangentes aux points B et C. Donc : sur toute conique il existe trois points dont les cercles osculateurs passent par un point donné de la courbe; ces points appartiennent à un cercle qui paue (*) Nous avons traité la même question par le calcul ; voir jSnmtf <^ r/iwlmc- tion pubUqu€ en Belgique. 1866 et N. C. M., 1878, p. 399. Voir aussi N. ▲• M., 1878, p. 80, 1884, p. SIS. (J. N.) — 223 — par le paitit donné et forment un triangle dont les mMianee se coupent au centre de la conigue(*). (Stbinbr). S. Les coniques circonscrites au quadrilatère ABCD déterminent sur OG une involution dont le point 0 est le point central, car OG est paral- lèle à une asymptote de (tt). La conique (2) détermine le couple GG' ayant pour milieu 0; donc si E et Ei, sont les points où les droites AB et CD coupent OG, on aura OB . OEi «= — ÔG*. . Cette égalité montre que le symétrique Et de Ei par rapport à 0 est conjugué au point E par rapport à la conique (2); donc si K est le pôle de AB, KEt est la polaire de E et est parallèle à OH. De là résulte la construction suirante de la droite CD, connaissant les points A et B : On mine par le symétrique par rapport au centre 0, du pôle de la corde AB, des paralleUi à OG et OH, rencontrant respectivement OH et OG en deua points appartenant à la corde CD. CoNséQUBNCEs. L Si la corde AB tourne autour d*un point fixe, la corde CD enveloppe une parabole tangente aux diamètres conjugués égaux de la conique (2). II. Si les points A et B coïncident, P devient le point caractéristique de la corde de courbure au point A ; le symétrique par rapport au centre du pôle de AB est le point A' diamétralement opposé à A sur la conique. La construction de CD permet de déterminer aisément son enveloppe. Si A décrit la conique. Du point 0 comme centre, avec OG pour rayon, on décrit un cercle; la droite qui joint les projections d*un point du cercle sur deux diamètres perpendiculaires enveloppe une bypocyclolde à quatre points de rebroussements. L*enveloppe de CD se déduit de cette courbe, en taisant tourner les ordonnées de celle-ci, d'un angle constant autour de leurs pieds. III. Pour déterminer la position du point caractéristique P de la corde de courbure au point A, on observe que les coniques (n) et (2) étant tangentes au point A, sont homologiquei ; le point A et la oorde CD sont respectivement le centre et Taxe d*homologie. Si R est le point d*inters6ction des droites CD et AO le rapport d'ho- (*) Salmon. Sections coniques, p. 887. Journal de CreUe, t XXXII, p. 900. — 224 — mologie est (AROA'); sa valear est égale à — ^. Da parkllélisme des droites AP et CD on déduit donc Tégalité AP^ 1 AA. 2 ' Al étant l'extrémité de la corde de courbare ; par suite : Lt point caractéristique de la corde de courbure au point A, est lesymé» que par rapport à A. du milieu de cette corde (BB, 1889, (3), XIX p. 5)9). On peut aussi remarquer que le point caractéristique P est Tintersec- tion de la droite AP avec la conique (tt), déterminée par les points A,0 les points à Tinfini sur OG et OH et la tangente en A. En appliquant le théorème de Pascal on obtient diverses constructions parmi lesquelles la suivante : Par le point où la corde de courbure rencontre OG, on mène une parallèle à la tangente au point A, coupant le diamètre OA en un point U. Par ce point on mène une parallèle à OH; cette parallèle passe par le point caractéristique de la corde de courbure au point A. 4. Si, le point P décrit la corde de courbure au point A, le triangle BCD reste circonscrit à une parabole fixe. Cette parabole est Tenveloppe des droites qui joignent les projections sur OG et OH des différents points de la tangente au point A^ Les projetantes sont respectivement parallèles à OH et OG. Déterminons le fojer F de cette parabole. Nous désignons par Gi et Hi les points diamétralement opposés à O et H sur la conique 1, Les cordes de courbure aux points G, G|, A sont concou- rantes, ainsi que celles aux points H, Hi, A. Les cercles circonscrits aux triangles GGjA et HH|A se coupent donc au foyer de la parabole. Mais le point 0 appartient à Taxe radical AF de ces cercles, le point F cherché est donc situé sur OA et on a OA . OF = — OG == ^ — La puissance du centre de la conique (S), par rapport auw eereles rencontrant la conique en quatre points^ tels que les cordes de courbure soient concourantes, est constante et égale à ^— • Cette propriété se déduit immédiatement de l'équation du cercle cir- conscrit au quadrilatère ABCD : — 288 - XoVq étant les coordonnées du point P. Ecrite sons cette forme, Téqna- tion montre que L'axe radical du cercle pauani par les points A, B, C, D ei du cercle décrit iur OP comme diamètre^ est la polaire du point P par rapport à la conique iJ,). Qandy octobre 1894. ''UNE NOUVELLE DÉMONSTRATION DU POSTULATUM D*BUCLIDB(*). Nous proposons à nos lecteurs de trouver le postulat nouveau qui est la base de la démoustration suivante du postulatum d'Euclide. I. LfCgendre a prouvé, d'une manière simple (**), que la somme des angles d*un triangle est égale ou inférieure à deux droits, et, par suite, que la somme des angles d*un quadrilatère est égale ou inférieure à quatre droits. (Voir Mathesis, 1896, supplément sur la Métagéométrie^ p. 16). II. Considérons deux droites AX, BY, perpendiculaires à une même troisième AB. Prenons sur AX n longueurs égales AA|, A1A2, AtAs, •••, A».iAii, et élevons aux points Ai, As, Ai, ... A«, les perpendiculaires A|C|, AtCs, AfAs, .•«, AnC», toutes égales à AG, G étant un point quelconque pris sur AB, entre A et B (*^). Menons les droites CG|, CfCtv GaCii .«., Cn_iGii, de manière à former n quadrilatères égaux, savoir : AA|G|G, AiAsGsCi, ..., A».iA»G»Gi»_i. Des points Ci, G,, ,.., G» abaissons sur BY les perpendiculaires CiBi, G»Bf, «t., G»B«. (*) Nous en empruntons le principe à la note intitulée : DéfÊU^nstrûtUm du postu- latum d*BucUde^ par J. M. Joubin, inspecteur primaire honoraire (Mortain, imprimerie A. Leroy. Une page). {**) On lupposa, bien entendu, qu'une droite est toufpurs déterminée par deux points, pour éviter la géométrie remannienne. (^^*) On peut prouver aisément que les points Gi, Ct$ fi C. sont situés entre les droites AX, BT. 18 — 226 — Nous formeroDS ainsi n autres quadrilatères, savoir : BB1C1C9 BjBsCsCi, ..., Bji_iBiiCnCii_i. Soient U la somme des angles de Tud quelconque des n quadrilatères égaux à AAiCiC; Q la somme des angles de Tensemble des n autres quadrilatères. La somme de tous les angles des 2n quadrilatères sera égale à «U + Q. On peut estimer cette somme d*uDe autre manière : la somme des angles en A, C, B est égale à ... 4 droits, en Al, Cl, Bi » » 8 » , en As» Cf. B2 » » 8 » , en A»«,, C»_i, B«_i > > 8 » , en An, C«, B« » » 2 droits + V, en appelant V la somme des angles A»CnC».i, B»GiiC»_i en G.. La somme de tous les angles est donc (8 n — 2) droits + V. En égalant les deux valeors de cette somme, il vient nU+Q = (8fi — 2)droits+ V. Par suite, «U + 2 droits = Sn droits — Q + V. Mais diaprés le théorème de Legendre, Q est égal ou inférieur à 4n droits; donc si Ton remplace dans le second membre Q par An droits, quantité égale ou supérieure, il viendra «U -|- 2 droits > in droits + V > 4« droits, On déduit de là, en divisant par n 2 U + - droits > 4 droits. n 2 En prenant n assez grand, on peut rendre la fraction-» aussi petite que i*on veut; donc U, somme des angles du quadrilatère AA|G|G, ne peut subir la moindre augmentatiou sans dépasser 4 droits, ce qui exige que U = 4 droits. III. Legendre a prouvé que, de U = 4 droits, on déduit que la somme des angles de tout triangle est égale à deux droits, puis le postulatom d'Euolide {MathesU, 189(5, supplément sur U MOaçéomélrie, p. 21). (P. M.) 4. — 227 — NOTES MATHÉMATIQUES. S9. Cercle orthoptique mutuel de deux coniques kamofocales. On doit à Chasles ce théorème : Étant données deux coniques homofocales Z et l'y le lieu d'un point M par lequel passent une tangente MT à ^ et une tangente MT à 1', ces tangentes étant rectangulaires, est un cercle concentrique à ces coniques. La démonstration analytique est très facile. Soient a» + J« ^* a« + i^J« + A les équations des deux coniques. Les droites MT et MT' peuvent être représentées par : a? cos a -|- y sin a = |/a' cos* a-^-b* sin'a , a? sin a — y cos a = j/(a* -j- )) sin* a + (^' + ^) <^^' « • Le point M vérifle ces deux égalités pour une valeur convenable de a. Or, si l'on fait la somme des carrés, on trouve iP« + y« = a«4-J» + A. On en conclut que le lieu de M est une circonférence. Les points communs k 1 et 1' (qu'on suppose être une ellipse et une hyperbole) en font évidemment partie. Voici une démonstration géométrique du même théorème ; nous rem- pruntons à un article de M. Ballj (J. M. S., 1897, p. 97). Soient O le centre de 1 et 2', A et B les projections du fojer F sur MT et MT'. La figure FAMB étant un rectangle, on a ÔX* >|- OB* = ÔP' + Ôm' . Mais on sait que les distances OA et OB sont constantes (OA = a, OB = j/a* -|- A) ; il en résulte que OM également est constant. ^SS. Sur les combinaisons. Soit N ^=» a.d.c... un produit de n facteurs premiers différents. Le nombre N a pour diviseurs : L*unité ; Les nombres a, S, c, ... Les produits de a, 4, c, ... pris deux à deux de toutes les manières; ces produits sont en nombre Gn,3; Les C»,f produits de a, i, c, ... pris trois à trois ; — 888 — Ed général les C>,,< produits de aft,e,... pris t à î(t variant de Okn). Mais les diviseurs de N sont, d'après un théorème connu» en nombre (l + l)(l + l)(l + l) — =8«. Donc OD a établi, sans passer par la formule du binôme, la relation (M. Stutvabrt.) ^9é. Solution de la question d'arithmétique poêie au concourt général de 1897 en seconde scientifique^ par un abonné. THÉoaàMB. Si h est un funnbre premier ^ et si la fraction irréductible -r convertie en fraction dici- 0 maie donne lieu à une fraction périodique dont la période se compose de mn chtfres, démontrer que la somme de n restes pris de m en m^ est un multiple de b. Le dénominateur b étant un nombre premier, la fraction périodique sera simple. Désignons par ri, rt^ rs» les restes successifs, et par ^i, qt^ q%,,, .. les quotients correspondants. On aura la suite d'égalités 10a = bçt + ri, 10"+* a ^ bqn^t + rnf i, 10«*+* a =» bqm^t + ri,+i , Le reste rmn^t serait égal à ri ; par suite, le reste rmn est nécessaire- ment égal à a. Additionnons toutes ces égalités membre à membre et désignons par la notation Mb un multiple quelconque de h; nous aurons 10.a[l-|-10•»+10»»^ hlû*""'*"] = MJ+(r^+r,^.,+r,«+, + ...). on 10 -j^;;-— y-J = MJ + [r, + r«+, + r,«^, 4 l-r^^,,,^.,] Faisons disparaître le dénominateur et multiplions les deux membres par a; il viendra, en désignant par S la somme des restes considérés, 10 . a (lO*» .a — a)=»Ub (10" . a — a) + (10- .a — a) S (1) Or, le mn* reste étant nécessairement égal à a puisque la période n'a que mn 'Chiffres, on a lO-»» . a — bqmn + a — 229 — doDC, le facteur lO""" .a — a est divisible par i. De plus, le facteur 10^ , a — a ne peut pas être divisible par S, car 8*il eu était ainsi, le n* reste serait a et la période ne comprendrait que n chiffres au lieu de mn comme Texige rhjpothèse. Si nous reprenons Tégalité (1), nous voyons que le premier membre est divisible par b et qu'il en est de même du premier terme du second mem- bre; donc le second terme, (lO'^a — a) S, devra également être divisible par b. Mais b est premier avec (10'*a — a), donc b devra diviser la somme S des restes. SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. (Voir MatheHs (3), IV, p. 240). Etant donnA une courbe fermée plane C, on porte sur chaque tançente à cette courbe à partir du point de contact M une longueur constante MN = a. Le lieu du point N est une certaine courbe fermée Ci. Démon- trer que si Von fait varier a, le centre de gravité de Vaire limitée par la courbe Gi décrit une semi-droite. (R. Bricard.) Solution par M. Goe. Ce théorème résulte immédiatement du suivant : Le centre de gravité de Vaire comprise entre les courbes C et Ct ett un point fixe. Nous allons démontrer ce dernier théorème. Soit M'N' une tangente infiniment voisine de MN. Portons sur cette tangente une longueur M'N' = a, et soit T le point de rencontre des tangentes MN, M'N'. L'aire élémentaire TNN' a pour expression : A (a — TM) (a + TM') sin rfa , a désignant Tangle de la tangente MN avec Taxe des x. Cette aire est donc égale, abstraction faite des infiniment petits d'ordre supérieur, à ^- aHa. On en conclut que Taire U comprise entre les courbes C et Ci est égale à na*. Le centre de gravité de Taire élémentaire TNN' est à une distance infiniment petite du point K qui divise MN dans le rapport 2:1. Soient x,y les coordonnées du point M, â?i,yi celles de K et Xi^ft celles du centre de gravité G de Taire U, on aura : ita^Xi = 5 l x%a^da^ ita^fi = = l p^a^da. — 230 - Or 3 donc : 2a 2a Xi =a?-j--5-cosa, yi = y + — sina; TlXt ç27r i r*2n ^ ç2^ cos (xia, Try, = 5 yia +- l Les deux dernières intégrales de chaque second membre sont nulles, donc X2 eijfj ne dépendent pas de a. Le théorème est donc démontré. On remarquera que G est le centre de gravité du périmètre de la courbe G, la densité en chaque point étant proportionnelle à la courbure. (Voir MathetU (2), V, p. 216). Rétùudre un triangle^ connaissant le rayon du e&reïê eireonscrit^ sa surface et celle du triangle formé par les centres des trois cercles ex-inscrits. Le problème dépend d'une équation du 3* degré. Trouver Ut condition de réalité des racines. (E. N. Barisiem). Solution par M. Rbtali. Soient r le rayon du cercle circonscrit, s la surface du triangle, s' celle de Tautre triangle. Nous avons d*après des relations bien connues : (1) abc = 4rs, (2) (a + J + c)=i' = 2;?, r ^=^pi ^p*(a-\'b-{'C)-{-p(ab-{'bc + ca) — abCf dont la troisième donne, eu égard aux deux autres, (3) ab + bc + ca = ni___Z:_. Les côtés du triangle sont donc les racines de Téquation cubique 4r V. a?« — 4ri". a?* + (16/ ♦*» + 32r'w' -f. ^*) a? — 16r»w'« = 0. Appelant e.f^g^h les coefficients; la condition de réalité des trois racines est (tg ' "èehy — A{n- Seg) (A' - 3/*) > 0. Solution analof^e par MM. Mandart et Dboz Farnt. Une discussion plus complète de Téquation en a otlHrait quelque intérêt. — 2âi — (Voir MathêiU, (2) YI, p. 80). Le quotient de (2f»— 1)1 parm\ (m— 1)1 est toujours un nombre pair, excepté quand m est une puissance de 2. (Wolstbnholmb). Solution par MM. Bribn, Colart et Soons. Le quotient considéré représente Csm.i 9 m. Le produit des faoteurs pairs de (2f»-^ 1)1 étant égal à 1,2. 3. ... (m — 1). 2*~', on peut écrire 1.3.5. ...(2fii — 1). 2— ' ^'-" - = 1.2.3. ...m. (^> Si 8/^ est la plus haute puissance d'un nombre premier 6 qui divise la factorielle ml, on a ''-H")+^©+ Ai ' as' ' * ' ®^ ^° ^^ prenant que les parties entières des quotients, nous voyons que f»^(2»-l)4-(2''-l) + (2»"-l)+ ..+\ < 2 «+i ^+\ «+1 2 (J. Nbubbrg.) Solution par M. Hackbn. Retranchons, de la deuxième et de la troisième ligne, la première multipliée respectivement par ~ / (^.j.. j 1 / 1\ et par ô ( ^ "l"! ) » ^® déterminant ainsi obtenu s'abaisse au second ordre et son développement se présente sous la forme d'une diflérence de deux carrés. Les doubles des deux facteurs de cette différence sont : la première quantité se ramène à la seconde, à ^d'+h-'-ï)-' àbe (hc — a) {abc — 1) aie On en conclut H = 2(flc — l) {ah ^e)(b€ — a) {abc — 1) NoTB. Voici Vorigine de la question 1080. Pour qu'une équation homogène du second degré en â;, y, 2 représente un sjstème de deux droites, il faut et il suffit que son discriminant H soit nul. D'autre part, on peut chercher les couples de points Ai et As, Bi et Bst Ci et Ct où la conique rencontre les côtés du triangle de référence et exprimer que — 233 - trois de ces points sont en ligne droite, ce qui donne quatre conditions possibles; car on peut considérer les groupements AiBiCi, AsBid, A1B3C1, AiBid; les autres ternes A2B2C2, AiBtCsy A2B1C2, A2B2G1 correspondent alors à une seconde droite. Ces quatre conditions doivent rentrer dans régalité H = 0; donc H est un produit de quatre facteurs (rationnels ou irrationnels). En choisissant convenablement les paramètres de référence de nos coordonnées, nous pouvons mettre Téquation de la conique sous la forme Les couples de points Ai Atf B|B2, CiC2 seront donnés par les équations Pour que les droites représentées par rencontrent les côtés du triangle de référence en trois points collinéaires, on doit avoir abc — 1 = 0. Si Ton remplace Tune d'elles par son associée, la condition de collinéarité devient --1=0, -.-1 = 0, - — 1 = 0; a 0 € donc H admet les facteurs abc — 1, bc — a, ca — }, ab — c. On peut rapprocher de la question 1080 la suivante {MathesiSf 1893, p. 173) : Démontrer que x — 2 divise le déterminant. H' = m , n l m En effet, prenons pour a, i, c les fractioni — t - 1 -r i pour x le nombre 2 ; alors H' « H, aie — 1 » 0, d'où H' = 0. (J. N.) — 234 — $aestl«n tt04. (Voir Mathesis, (2) VII, pag. 81). On considère un cercle de diamètre fixe AB et un point C variabU sur la circonférence, 1"* Le lieu des centres des cercles tritangents au iriangU ABC se compose de deux cercles (théorème connu). 2<' Le lieu du centre des symédianes du triangle ABC est une ellipsê. (E. N. Barisirk.) Solution par M. Retali. 1<* Si ABC est un triangle inficrit dang un cercle, les sommets A et B étant fixes et C variable, le lieu des centres des cercles tritangents se compose évidemment des deux circonférences menées par A et B, et ayant pour centres les extrémités du diamètre perpendiculaire à AB. 2* ABC est inscrit dans une conique k* ; soient A\ B^ C les pôles de BC, CA, AB par rapport à A'. Si A et B sont fixes, et si C parcourt V, la tangente B'C marque sur les tangentes fixes A'B\ A'C deux ponc- tuelles projectives ; les rajons homologues CC\ BB' des faisceaux projec> tifs C (C...), B (B'...) se coupent en un point a qui décrit une conique bitangente à A* en B et C. Autrement. Soit H le point où AA' coupe BC ; les deux points A' et a (intersection des rajons AA', BB', CC) sont conjugués harmoniques par rapport à A, H et par suite .*,„. V A.'A A'a 1 les points A, a sont correspondants dans Thomologie ayant A' pour cen- tre, BC pour axe et | par coefficient d*homologie. Si BC est un diamètre de k*^ rhomologie devient une affinité (avec Taxe BC et le modale {). Si k* est un cercle, a devient le point de Lemoine; enfin si k^ est un cer- cle et AB un diamètre, nous avons le théorème de M. Bârisien. Note. Ont résolu la même question : MM. Mabs, Dâprbz, Droz Farny. La première partie'résulte immédiatement de ce que Tangle des deux bissectrices issues de A et B est une fonction de l'angle C; la seconde, de ce que le point de Lemoine d'un triangle rectangle est au milieu de la bauteor. - 236 - M. Déprei accomptgne M solution des remarques soirantes (AB est une corde fixe quelconque d*un cercle) : 1* Les pieds des sjmédianes issues de Â. et de B décritent des ellipses ; 2* Les pieds des blssectrioes de Tangle A décrivent une strophoîde ayant B pour sommet et A pour point double ; Tasymptote est la droite AD faisant aveo AB Tangle BAO = tt — BCA . 3** Les points de Brocard du triangle ABO décrivent des podaires de coniques ; 4** Le cercle de Brocard enveloppe une podaire de conique ; 5<* L'axe radical de ce cercle et du oercle donné enveloppe une ellipse. (Voir Matkêsis (2). VU» p. 92). On porte sur la bisseciriee de Vangle A d*un triangle ABC, une longueur AD moyenne proportionnelle entre AB et AC. Lorsque A se meut sur une circonférence passant par B «/ C, D décrit aussi une circon* férence passant par B^^ C. (L. Collbttb). Solution par MM. Droz Farny« Soons, Déprez, François et Db- QUBLDRB. Prolongeons DA au delàde A d'une longueur AD' = AD; les deux points D et D' décrivent le même lieu. Comme angle BAD = DAC = -5^ » AB: AD = AD: AC, les deux triangles ABD et ABC sont semblables. Donc angle D'AB = ABD + ADB = ADB + ADC = D, d'où D = 180 — 4- 2 D décrit donc une oirconférenct passant par B et C; elle passe aussi par D'y car, de la même manière , on trouve angle BD'C == - , donc D + D' = 180V Suivant que A se meut sur Tun ou l'autre des arcs BC, le lieu se com« — 236 — pose évidemmeDt de deux circonférences ayant respectiTement le roiliea d'an des arcs 6C comme centre. Autre lolutioQ par MM. V. Mabs et V. Cbistesco. Quel est le llea décrit par les points D, D% lorsque la longueur ^AB. AC eet portée sur la bissectrice extérieure de Tangle BAC? (B N. Barisixic.) '^QoestUn 1194. (Voir MatheiU, (2), t. VII, p. 160). JBffiCtuer le produit : (l H- 2) (3 + 4 + 5) (6 + 7 + 8 + 9). .. composé de n/aeteurs. (db Rocquiont.) Solution par MM. A. Boutin, C. Bbromans et Audibbrt. Le premier terme du n' facteur est ; la somme des « + 1 nombres entiers consécutifs qui constituent ce facteur est alors : H(«+l)(» + 2) 2 ' et le produit des facteurs analogues où n reçoit toutes les valeurs entières de 1 à n est : ft!(ii+l)l» + 2)! 2»+» qu'on peut encore écrire (l>2>3»>n)»( Vc' c'a' a'V V'c" (fa" a"V' (A. C.) ti40. Étant donnée la courbe dont Téquation en coordonnées polaires est r=»a(l+ilsin;e): déterminer il de façon que l'arc de cette courbe puisse s'intégrer par les fonctions élémentaires. Calculer dans ce cas l'aire et le périmètre de la courbe. (E. N. Barisibn). (^) MictiJUaiùm, P. 214, question 1186« ligne 8^ lire tur deux côtéi oppoêés au lieu de êur Us côtéi. — 838 — '^iiéi, Dans un triangle ABC l'anglo A est oonstant, et lea pieds B', C des hauteurs BB', CC sont fixes. Démontrer que : !• le côté BC est constant et pivote autour d'un point ûxe; 2* le cercle des neuf points du triangle ABC est fixe; 3* le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité décrivent des circonférences. (V. Cristsaco.) il 49. On donne deux droites rectangulaires OAX, OBY, et un point P, par lequel on mène une sécante PAB. Trouver le lieu des foyers de Tellipse tangente en A et B aux deux droites fixes et admettant ces mêmes points pour sommets. (H. Brocard. POBLICATIONS RÉCENTES W. M. Les femmes dans la science. Notes recueillies par A. Rbbièrb. Deuxième édition très augmentée et ornée de portraits et d^autographes. — Paris, Nony (IX-356 p. in 80). Prix : 5 fr. La première édition de cet ouvrage» qui comprenait 87 pages, reproduisait une conférenee donnée par Tauteur, en 1894, au cercle Saint-dimon ; elle traçait, à grands traits et sans détails techniques, des notices sur Hypatie, la marquise du ChAtelet, Maria Agnesi, Sophie Germain» Mary Somer ville. M"* Kovalewski. A^|ourd*hui, le groupe d*élite a été encadré dans un tableau asses complet des autres savantes : Tarmée est en marche avec son état-major. Nous reneontronf, dans la seconde édition, tontes les femmes qui, par des moyens divers, ont exercé une heureuse influence sur le progrès des sciences; les savantes profeestonneàies» les simples curieuses, les collaboratrices des savants, les professeurs, !•■ vulgari- satrices, les protectrices des sciences. Le livre est terminé par deux notes intéressantes, intitoléee i Si le femme est capable de science^ et Menus propos sur les femmes et Us sciences. L*ouvrage de M. Rebière est d*une lecture attrayante et instructive. Il est orné de quelques autographes et de deux donsainee de portraits, ce qui en augmente nntérét. LHmpression est fort soignée et Hût honneur à la librairie Nony* !•• Traité d* Algèbre élémentaire à l'usa^ des élèves de Mathématiques élémen- taires, des aspirants au baccalauréat de l'enseignement classique (2* série) ou moderne (2* et S* séries) et des candidats aux écoles du gouvernement par N. Coa et J. RniiANN, anciens élèfes de Técole normale, agrégés des sciences malhé- matiques, etc., Paris, Nony, 1898 (460 p. in-8*). Prix 1 6 fir. Table des wuMres: I. Nombres algébriques. Polynômes. -*» U. Principes géné- raux relatifii aux équationi considérées isolément ou aux équations simultanées. Déterminants. Résolution d^une système quelconque du premier degré.— UI. Éqaa- tion du second degré. Équations et systèmes réductibles an second degré. Prdblè- (*) BccH/lcaiUm. P. 151, PubUcation récente. Lire 14 au lieu de im* — 28Ô - mes. — IV. ProgressioDB. Déânitiong et théorèmoB concernant les limiteB et la continaité. Étude de quelques fonctions simples. — V. Fonction exponentielle. Fonction logarithmiqae. Nombre e. Fonctions circulaires. — VI. Des dérifées. Applications. Appendices. Les auteurs se sont inspirés des leçons du savant directeur de TÉcole normale, If. J. Tannery . Ils ont cherché à exposer les principes avec toute la rigueur possible tout en conservant aux démonstrations une certaine simplicité. Nous recomman- dons volontiers la lecture de cet ouvrage aux professeurs et aux élèves des établis- sements belges : renseignement de Talgèbre subit une évolution qu*il est bon de suivre dans les meilleurs livres qui se publient en France« et celui que nous annon- çons ici à nos lecteurs est certes l'un des plus remarquables de cette espèce* 19. Applications de V Algèbre élémentaire à la Oéêmètrie^ à l'usage des Elèves de la classe de Première-sciences de TEnseignement moderne par Laisamt, répétiteur à l'École Polytchnique et Pbrrin, professeur à l'École 8ay. (960 p. in-lfio oar- ionné). Paris, Delagrave, 1891. La première partie de cet ouvrage (S56 pages) peut être considérée conune un complément des Première pHneipu d^ Algèbre des mêmes auteurs; la seconde partie contient '770 énoncés de problèmes à résoudre. Nous recommandons volontiers à nos lecteurs ce livre qui est écrit avec une simplicité et une clarté remarquables. M. Teoria sucinta de las functiones hiperbolicas par P. Mamsign, version espa- iiola par D. Luis G. Qasco, catedràtico numerario de la Universitad de Valencia. Valencia, P. Aguilar, 1896 (Brochure de 44 p. ln-8*). Cette traduction contient de plus que l'original publié en 1884 dans Maihesie, puis en une brochure à part, un aperçu de la trigonométrie lobatchefékienne. 19. In Memoriam y, I, LobaUckevêhii. Collection des mémoires présentés à la Société Physico-mathématique de Easan pour la lôte de l'inauguration du monu- ment de Lobatchefsky (1/18 septembre 1896;, par MM. Hermite, Halsted, Gérard- ville, Laisant» Lemoine, Neuberg, d'Ocagne. Eazan» typolithographie de rUniver» site impériale, 1897 (1S6 p. in-8«). 1. Eermite* Sur quelques développements en série dans la théorie des fonctions elliptiques (1-21). 2. Haleted. Darwinism and non-euclidean Geometry (22-25). 3. Qerardville. Théorie du vol des oiseaux (26*59). 4. Laieani. Sur la courbure des courbes planes (60-63). 5. B. Lemoine, Sur deux nouvelles décompositions des nombres entiers (64-69). 6. J. Neuberg, Sur un problème de Jacobi (70-92). 7. d^Oeagne. Sur la représentation par des droites et par des cercles des équations du second degré à trois variables (93-96). 8. B. Lemoine. La géométrographie (97-133). 9. B. Lemoine. Transformation continue dans le triangle et le tétraèdre (133-156). MO» Court développé d'algèbre élémentaire, précédé d'un aperçu historique sur les origines des mathématiques élémentaires et suivi d'un recueil d'exercices et de problèmes par B. Lefèbvre» S. J. Tome I. Calcul algébrique. Namur, Wesmael, 1887.(XUX^320p.in-8»). — 240 — QUESTIONS D'BXAMBN. 8 i i . Résoudre le système sin* X — sin* (y — f) =. n, sin* y — siii* {z^x) = >, sin* z — sin* {x — y) = c. Chercher sin (« 4" y + *)• On trouve facilement w» (» — y + f ), «t» (x + p^w), tin (p + §^ x). 919. Trouver la somme a On observe que _1 _1/1 l\ 818. Un cercle de rajon constant pivote autour du sommet S d'une parabole et la rencontre en trois autres points A, B, C. Les normales en A, B, C à la parabole se rencontrent en un point P dont le lieu est une ellipse. (E. N. Barmibn.) On sait qae si d*un point P (a, /9), on abaisse trois normales PA, PB, PC à la parabole y* — 2px = 0, le cercle ABC a pour éqaation dont las coordonnées du centre sont 2 4 Le rayon du cercle étant constant, R, on a X« + Y" = RS Par suite, le lieu demandé est Tellipse («+Pr + f = 4R». On voit aussi que le cercle ABC a pour enveloppe le cercle tf« + y« = 4R«. 914. On considère une série de paraboles ayant même sommet et même axe. Par un point fixe I de Taxe on mène une corde qui rencontre l'une des paraboles en P et Q. Montrer que la moyenne harmonique des distances de P et Q à Taxe est constante pouc toutes les paraboles ren- contrées psr la même corde. (E.*N. Barisibn.) A démontrer par un calcul direct ou à déduire de ce que I a la même polaire par rapport à toutes les paraboles. — 241 — THÉORÈMES SUR LE TRIANGLE, par M. Francisco Ferbati (Chiesi). t. Soient A' et A'\ B' et B'', C et C' trois couples de points prit respeciiTement sar les côtés (indéfinis) BC, CA, AB d'un triangle fon- damentali tels qa*on ait mm' pp' y^' = -f 1 , (a) où BA' CB' AC ^=rc' f=Wl' ^=C^' , BA" , CB" , AC" A"C ^ B"A ^ C"B On sait (théorème de Carnet et son corrélatif) que les points A% A'', B', B'\ C, C appartiennent à une même conique, et que les six droites AA', AA", BBS BB", CC, CC (nous les désignerons par a\ a'% Vf b"f e\ c") sont tangentes à une même conique. Les six points donnent lieu à quatre hexagones simples dont aucun côté n*appartient au triangle fondamental ; nous les représenterons par Hi, Hs, Hf, H4 et leurs pascales par «1, «9, $i, Sé : H. = A'B"C'A"B'C", ... #1 ; H, = A'B'C'A"B"C" ...#,; H. = A"B'C'A'B"C", ...#,; H4 = A'B'C"A"B'X' ... I4 . De même, les six droites a, a\ •*• donnent lieu à quatre hexagones (sélatères) simples dont aucun sommet n*appartient au triangle fonda- mental; nous les représenterons par Ai, Ai, Ai, A4 et leurs points de Brianchon par Si, Si, Ss, 84 : A, = a'V'da''Ve' ... S« ; A. = o:Vc'a**V*e' ... Si ; A, = a"Vc'a'b"c" ... S, ; A, ^ a'Vc"a*'V'e • • • S, . Soient a, ^, y les coordonnées barjcentriques de Si, et 1/, 9, w las coordonnées tangentielles de #t; on trouve aisément, en tenant compte de la relation (a) : «:P:y««|i'(«'p^ + l):(n,,'j-fl):«i(l + «iyj) i ff : 9 : ip » (m'pq — 1) : m'p (mp'q — 1) : J? (1 — «»'j^'?). ( Pour passer aux coordonnées de Ss et «1, de Si et «1, de S« et #41 il suffit de permuter respectiTaniant jp atp', q et q\ m et m\ 10 - m — t. ^apposons les points A', A'%... variables sar les côtés da triangle de référence de manière à vérifier constamment les relations «t : p : f = A : fx : V, i Les points A', F, G\ engendreront trois ponctuelles projactives 91 » 9t> fi dans lesquelles BCA et CAB sont des ternes de points homo- logues; de même les points A", B", C" se correspondent dans trois ponctuelles projectives (p[^ 9',, 9', ayant pour ternes de points homo- logues (B, C, A), (C, A, B). On peut trouver trois points homologues Pa, P», Pc de 91, 929 9s, tels que les droites APa, BP», CPo concourent en un même point P; soient ^af P*f Pc Ids points homologues de 9',, 9',, 9'^ tels que les droites APi, BPi, CPi concourent en un même point P'. Si (w, y, «), {ûf, p\ tf) sont les coordonnées de P, P% un premier système de valeurs dam, n^p § m y %' af y^ est-» -» -»et un premier système de valeurs de «t'|ii\«' est —» — » £.• y z m i^ t' af On peut donc remplacer les formuJes (2) par les suivantes où nous avons tenu compte de la relation (a) : z X y fn=sj|-, «==j|-, ^=rj|^, (3) , Is' , \x' ^ \yr k étant un paramètre variable. On conclut de ces égalités : u' , xaf , yy' yy' ^^ %%' '* xaf donc les couples A' A", B'B'^ QfQl* appartiennent à trois involuiions Lf 1*9 1«> qu*on peut définir respectivement par les couples (BC, PaPâ)» (CA,P»Pi),(AB,PeP;). En substituant les valeurs (3) dans les formules (1), on trouve des résultats de la forme f* : « : ip — (Fit + O) : (F'it + GK) : (F"* + 0")- On en déduit que le point de Brianchon de Thexagone Ai décrit la droite passant par les points Q (/» T, f), Q'(^, g\lf')\ de même, la paioale - 243 — de rhexagone Hi tourne autour du point d'intersection des droites î(F, F. F"), ?'(G, G', G"). Remarquons aussi que le point Si décrit sur la droite QQ' une ponc- tuelle projective avec la ponctuelle 91, les points B, C étant les homo- logues de Q, Q'. Pour les coordonnées de S^ on troure : ce point décrit donc une cubique ; par analogie, Si et S4 parcourent des cubiques, et les droites 9%, Ss^ Sé enveloppent les courbes de la troisième classe. 8. Un cas particulier remarquable est celui où les points P et P' coïn- cident, de manière que A'% B'\ C" se correspondent également dans les homographies cpi, ff, (ps; les formules (3) sont alors 1* %^ %9 y z ^ X Le point Si est alors constamment en P ; les points Sk, Ss, S4 décrirent respectivement les droites BP, CP, AP. La pascale «1 de Hi coïncide avec la polaire trilinéaire de P, et les droites Sit Sz, s* tournent autour des points conjugués harmoniques de P«, P», Pc par rapport aux segments BC, CA, AB. 4. Les cas particuliers des propositions que nous venons d'établir sont fort nombreux; nous n*en examinerons ici que les plus intéressants. Les points P, P' déterminent complètement le groupe A'A''B'B"C'C lorsqu*on donne un point du groupe. Prenons pour P le centre de gravité G de ABC, pour P' un point quelconque; alors A', B% C divisent BC, CA, AB dans un même rapport h et Ton a 1 z' ^ * h y' Le point Si décrit la droite qui joint les brocardions du point P', et $% tourne autour du point d'intersection des droites (y', f ', af)^ (t^f m', y'), isobariques de la polaire trilinéaire de P' ; ce point a* pour coordon- nées yy — flj", «V — y'*, x'y' — f '•; la ponctuelle décrite par Si est semblable à celles que parcourent les pointa A', B', C — 244 ~ En particalier, si A', 6', C sont les milieux de BC, CA, AB, les points A", B"| C" coïncident avec Fâ^ P», Pô et St passe par le miliea de la droite joignant les brocardiens du point P'. On peut supposer P' au point de Lemoine K; alors les diagonales de Thexagone formé par les médianes et sjmédianes AG, BK« CG, AK, BG, CK passent au milieu de la distance des points de Brocard. P étant toujours en G, on peut prendre pour A% B', C les pointa à rinfini sur les côtés de ABC; a\ i\ c' sont alors les parallèles à BC, CA, AB par A, B, C, et a'S V\ c" sont les conjuguées harmoniques des droites AP\ BP, CP' par rapport aux angles BAC, CBA, ACB; les diagonales de Thexagone hi seront parallèles à la droite qui joint les brocardiens de P' ou ce qui revient au même, à la droite k''WC'\ polaire trilinéaire de P\ ft. Les deux points P, P' peuvent coïncider avec G; alors A', B', C sont trois points qui divisent BC, CA, AB dans un certain rapport 4, et A", B", C" divisent ces côtés dans le rapport inverse —• LepointSiCoîh- cide alors toujours avec G; les points Si, Si, S* se meuvent sur les média- nes BG, CG, AG; la droite #i est à Tinûni, et les droites ii» ^i, s h sont constamment parallèles aux côtés BC, CA, AB du triangle fondamental. Les diagonales de Thexagone h\ sont divisées en G dans le même rapport 2il + 1 , ■ • DansThexagone Af ,deux diagonales sont parallèles à AB et BC, h -|- 2 la troisième est dirigée suivant BG ; Si divise les deux premières dans le rapport 1, et la troisième dans le rapport ' — • Les points Si» Ss» S« forment un groupe isobarique, de même que les droites I29 is» i«. Les triangles SsSiS«, itS%$k sont homothétiques au triangle ABC par rapport au point Si, les rapports de similitude ayant pour Taleurs (m — 1)' wt' — m + 1 «i» + m+l* (mH-l)« '• le trilatère a'V& a une aire moyenne proportionnelle entre les aires ABC, 828184; Taire A'B'C est moyenne proportionnelle entre les aires ABC, isisi*. - 245 - J. J. SYLVESTER (1814-1897)(*). Le grand mathématicien anglais, James Joseph Sjl Tester, né à Lon- dres, le 3 septembre 1814, est mort en cette ville, le 15 mars 1807. Il fit ses études universitaires au collège St-John à 1* Université de Cambridge et en sortit, en 1837, comme second fcrangler, le premier rang lui ayant été ravi par un étudiant du même collège,Wm. N. Griffiny qui fut, dans la suite, un modeste clergjman(**). Comme Sjlvester était juif, les règlements de Cambridge ne lui per- mirent pas d'aspirer aux honneurs académiques; mais, dès 1830, il fut nommé membre de la Société royale de Londres. Enl838, il succéda àWm.Ritchie dans la chaire de physique de l'Uni- versity Collège, à Londres et Toccupa jusqu'en 1841. En 1841, il accepta une place de professeur aux États-Unis, à l'Univer- sité de Virginie, mais il ne fut guère apprécié dans ce milieu peu scienti- fique. Il revint bientôt en Europe (1849), entra comme actuaire dans une Société d'assurances, étudia la jurisprudence et devint avocat en 1850. De 1855 à 1870, Sylvester fut professeur à l'Académie royale militaire de Woolwich ; de 1875 à 1883, il occupa la chaire de mathé- matiques de l'Université John Hopkins à Baltimore et il y fonda V American Journal ofMathematies; en 1883, il fut élu Savïlian Profei^ sor à Oxford, comme successeur de H.-J.-S. Smith, Téminent arithmé- ticien. En 1802, il donna sa démission, à cause de son grand âge. On peut dire de Sylvester qu'il est, avec Cayley, le créateur de l'invariantologie. C'est lui qui a introduit, dans cette partie de l'algèbre, la considération simultanée des variables dualistiques que l'on peut 2L^^e\w ponctuelles et tangentielles; on lui doit la théorie des contreva- riants et des divariants, une partie de celle des formes canoniques et une foule de résultats particuliers dans la théorie des formes. La (*) Diaprés Halstsd, Splvesier (dans la Revue Science de New-York, n* du 16 avril 1897, pp. 597-604) ; E. Lampb, Arthur Caylif und James Joseph Sylvester (dans la ReTue NaturwissenschafUiche Rundschau, IdSTi, t. XII, n9 S8) ; B. Picard, James Joseph Sylvester {Revus générale des sciencss pures et appliquées^ 15 septem- bre 1891, t VIII, pp. 68M90). (^) " Quand on songe, dit Halsted, que Sylvester, Wm. Thornson, Mazwelli Clifford, J. J. Thomson ont tous été second leranyler, on se demande involontai- rement si aucnn senior wranyler, Cayley excepté, peut être mis en parallèle avec eux » Cayley a été premier (senior wrançler) au eoncoors mathématique de 1842. - 246 - terminologie de cette nouvelle partie de la science, loi appartient pres- que toute entière. Sjlvester a aussi écrit de nombreux mémoires sur la théorie des nombres, rélimination et les équations algébriques, la théorie des substi- tutions, etc. On lui doit, en particulier, la découverte des relations qui existent entre les racines d*une équation et les fonctions de Sturm et la démonstration d'un théorème de Newton, sur le nombre des racines imaginaires, théorème qui est une généralisation de celui de Descartes et dont on ne connaissait que renoncé, depuis plus d'un siècle et demi. Il a trouvé, pour le nombre des nombres premiers compris entre deux nombres donnés, des limites plus resserrées que celles de Tchebychef. Parmi les objets dont Sjlvester s'est occupé en dehors de Parith- métique et de l'algèbre, il faut citer la théorie des mécanismes. Il a fait, sur ce sujet, en anglais et en français, des conférences humoris- tiques qui n'ont pas peu contribué à faire connaître au monde savant les curieuses découvertes de Peaucellier, de Lipkine et de leurs conti- nuateurs. Sjlvester qui était poète à ses heures, en anglais et en latin, a écrit un livre, aujourd'hui introuvable, dont le titre est à peu près : Algiirê^ poérie et musique f trilogie. Sjlvester avait une nature enthousiaste. Quand il s'éprenait d'un sujet, il publiait mémoires sur mémoires avec une fécondité inépuisable, complétant, corrigeant, généralisant ses premiers résultats sans jamais prendre le temps de donner une forme achevée aux productions de son esprit inventif, et aussi sans trop s'inquiéter des travaux des antres géomètre8(*). C'est sans doute à cause de cette dernière ciroonstanee que ses recherches sur la théorie des nombres, la théorie des cubiques et d'autres sujets encore ne l'ont pas conduit à des découvertes aussi remarquables que celles qui lui sont dues en algèbre. (*) « Je me rappelle que, dans un de ses Toya^es à Paris, il y a enriron dix ans, il Tint me demander si, en six Bemaines, il pourrait apprendre la théorie des fonotlons elliptiques. Sur ma réponse affirmative, il me pria de lui désigner «m Jeune géomètre qui voulut bien, plusieurs fois par semaine, lui donner des leçons. Celles-ci commencèrent, mais dès la seconde, les réciproquants et les SMlriess vinrent Airs concurrence aux fonctions elliptiques ; quelques leçons continnèrsat, où le Jeune professeur fbt initié aux dernières recherches de SylTestsr» et qb sa resta là ■ (Picard, Notice citée, p. 690). — 247 — ''NOTES MATHÉMATIQUBS. S4. Sur un lieu giùmiiriquê connu. On sait que si an triangle de grandeur constante ABC se déplace de façon que les sommets B et G parcourent respectivement deux droites OX, OY, le troisième sommet A décrit une conique. Pour simplifier, supposons les droites OX et OT rectangulaires. ËcriYons de la manière suivante T équation du liou du point A en pre- nant OX et OY pour axes de coordonnées, et donnant aux côtés et aux angles du triangle ABC les notations habituelles : Nous avons OB = a? + J/'âB* — y« -= « + l/c» — yS OC = y + k^ÂC* - a?> = y + k^J« — fl?« . Or ÔB* + OC* = a\ L'équation du lieu est donc immédiatement (1) (fl? + l/ï^^^)« + (f + l/^^^^)««a«. En faisant disparaître les radicaux, on trouve une équation du 4« degré. Cela tient à ce que, par suite du double signe des radicaux, l'équation (1) représente à la fois le lieu du point A et celui du point A' symétrique de A par rapport à BC. — D'ailleurs, en posant l'angle ABO = f , on trouve pour les coordonnées du point A en fonction de 9, a; = a cos (f -f* ^) — c cofi ç> y = c cos 9, et l'élimination de 9 entre ces deux équations donne la conique (ellipse) ^ ' (aoosB — c)» ^^ On trouverait de même pour le lieu de A' (3) (^-gysinB)» ^ ^ (acosB— c)> ^^ Il en résulte que l'équation (1) rendue rationnelle doit pouvoir se décomposer en les deux équations (2) et (S). Nous recommandons à nof jeunes lecteurs cette décomposition comme exercice de calcul. (E. N. Barisuot.) — 248 — ^Sft. Démonstration nouvelle relative à la perpendieulaire à un plan (d*aprè8 M. Dubonis; J.M.E., juillet 1807, p. 161). Si one droite DO est perpendiculaire à deux droites OA, OB tracées par son pied O, dans un plan P, elle est perpendiculaire à toute droite OC passant par son pied dans le plan. — Coupons OA, OB, OC par la transversale ABC. Si DO n*est pas perpendiculaire à OC supposé entre OA et OB, prenons sur DO le point S situé à une distance OS de C égale à OC. Les triangles SCA, OCA sont tels que SC = OC, CA=iCA, SA > OA; donc angle SCA > OCA. On prouve de même que ançle SCB > OCB. Par suite, on aurait SCA + SCB (ou deux droits) > OCB -{-OCA (on deux droits)i ce qui est absurde. Donc, etc. ^Sa. Sur les calculs approchés (d'après M. L. Gérard, Bulletin d$ mathématiques élémentaires, 15 janvier 1897, p. 113-116). Soient A, B, C des valeurs approchées des quantités a, i, c, telles que les différences A — a, B — b,C — c soient inférieures en valenr absolue à a^^^y. On a, A, B, C, a, J, c, a, (3, y étant positives, (A + B)-(a + J) = (A-.a)4-(B-J)4-r»+i r«+i.lO" = M.J + ru+i r(m.i,«+i . 10» = M . J + ri Additionnons membre à membre : il vient immédiatement [ri+r»4i4-...rj«_i,«+i](10"— 1) = M.J. Mais b ne divise pas 10"— 1, sans quoi la période aurait n chiffires, donc b est premier avec 10" — 1 et divise la quantité entre crochets, c. q. A d. La démon!>tration ne suppose pas que ri soit le premier reste. (M. Stutvakkt). BIBLIOGRAPHIE. Théorie des Équations algébriques, par Jnuus Pstibsbhi professeur à Mloivereité de Copenhague, traduction par H. Laubbmt. Paris, Gauthier* Villars et Fils, 1897. (XV-SSO p. in S»). Prix : 10 francs. L^edition danoise et Téditon allemande de cet ouvrage ont été aecneilliee Jadis avec faveur; aussi faut-il savoir gré à M. Laurent de nous en avoir donné une traduction française; dans la Sevue des Questions scientifpues du 20 avril dernier, M. d*Ocagoe a fkit d^à un compte rendu très détaillé de cette traduction. Le Livre de M. Petersen se subdivise en deux sections profondément distinetes : i^ an excellent traité sur la théorie des Équations; 2* un mémoire sur les Co variants des formes binaires (pp. 811 à 345), mémoire intéressant à la vérité, mais qui contient des recherches personnelles, et ne constitue pas, comme le reste, une œuvre de haute vulgarisation. Dans cette dernière partie, pour conserver l'analo- gie et la proportion avec les pages précédentes, l'auteur aurait dû exposer les méthodes d'Aronhold et Clebsch, à qui il emprunte quelques notations, même (^) Bile nous a été signalée également par MM. A. Cet J. Goux (Louvain). — M. Meurice nous fkit remarquer que i*énoneé de la question ne suppose pas non plus que la somme des restes considérés commenoe par le premier. - 250 — cella de Cftyley, pais la sienne propre^ et les comparer entre elles, ce qoi Panmît eondoît à écrire deax cents pages de plus; ce chapitre des Co?ariants sort donc complètement dn cadre de Poufrage {^) et nous ne nous en occuperons pas. La théorie des âq nations algébriques (^} est divisée en quatre parties. il Prôj^Héiés §énéràU$ dn éjuaHons. La première difficulté qui se présente id est le théorème de d*Alembert ; Tauteur donne, en peu de mots, la démonstration d*Argand et celle de Cauchy basée sur des considérations géométriques; ces raison- nements ont le degré de rigueur compatible avec leur extrême concision, ce qui ne signifie peut-être pas la rigueur absolue; mais celle-ci a-t-elle Jamais été réalisée dans cette question? Après avoir donné ressentie! sur les fonctions symétriques* l'auteur expose plutieurs méthodes d'élimination, les compare et les discute; d'ailleurs, il agit de la même ikçon en plusieurs autres endroits du livre : comparaison entre les manières de procéder de divers auteurs, exposé complet pour les premières, résuné succinct pour les autres. Quant à l'élimination, ce sujet n'est pas épuisé dans l'ouvrage de M. Petersen ; au surplus d'importants travaux sur la matière sont postérieurs à son édition allemande. A noter le remplacement des méthodes classiques de Bezout, Cauchy, Cayley, par une antre, due à M. Laurent, plus générale, mais moins accessible aux débutants. La première partie se termine par les développements habituels sur les trans- formations des équations. II. RésoMUm algébrique* Diverses méthodes pour résoudre les équations du 9* et du 4* degré sont suivies de la solution trigonométrique de l'équation binôme. On arrive alors au point culminant de tout le volume, ^impossibilité de résoudre l'équation du 5* degré (^**), et la théorie des Équations abéliennes; puis naturellement la résolution algébrique des Équations binômes. Ici il faut louer presque sans réserve : M. Petersen est parvenu, mfeux qu'aucun autre, à rendre accessibles ces difficiles questions. Bnfln, pour couronner cette seconde partie, vient un chapitre entièrement original sur la possibilité de résoudre les équations au moyen de racines carrées. III. Réiolution numérique. Cette partie se rapproche ânes bien des passa^^s correspondants de l'Algèbre supérieure de 8erret. Dans un premier chapitre, on trouve, outre les limites des racines et la règle de Descartes (laquelle manque de rigueur et de clarté), les théorèmes pour la séparation des rsdnes de Budan, Sturm, Pourier, Newton-Sylvester, suivis de recherches personnelles sur ce (*) Ce chapitre n'est pas dans l'édition originale. (^ La matière traitée ne coïncide donc pas avec ce que nous appelons ordinai- ment « Algèbre supérieure * : la théorie complète des déterminants, la recherche des dérivées des fonctions entières, la décomposition des fractions rationnelles, «te. sont supposées connues du lecteur (•^) M. Darboux a signalé (Bullet. des Se. matk. 1878) une lacune dn raisonne- ment de M. Petersen; un passage obscur (p. 115) que nous citons plos bM rsnd inintelligible toute la fin de la démonstration. - 251 - •qJeL Dans le seeond diapîtrf , aprèi quelques notions du Calcul dea différences, l'auteur eipoee les méthodes d'approximation de Newton, Lagrange, Homor, etc. IV. Suèttiiuti&ni, L*anteur donne, sous une forme aussi simple que la diffi- culté des questions le permet, ce qu'il faut connaître des substitutions pour com- prendre la théorie des groupes de Galois. Quant à la marche des idéea, au but poursuivi, cette théorie a des liens de parenté av*ec quelques chapitres de la seconde partie, et Ton peut regretter de ne pas Toir ce fSût mis en lumiteo» Mais aussi pourquoi ces deux sujets sont-ils séparés par tonte la résolution numérique ? C'ett à cause de cela sans doute qu'on critique (*) a pu trouTor la théorie des substitutions reliée trop lâchement an reste de l'csuvra; en intenrar* tissant l'ordre de la S* et de la 8* parties, on supprimerait on outro un inooDTé* nient de détail qui se fait sentir à la page 117. On Toit, d'après cette analyse, qu*en maint endroit, M. Petersen ai^outéaux découTortes de ses doTanciers. Quant au reproche qu'on lui a ftdt(^ d'avoir produit une œuvre unilatériale {eifUêiHf) et de n'être pas au niveau des derniers perfectionnements de la science, ce reproche semble viser l'absence ds llnv»- riantologie (^^) et nous ne pouvons l'admettre, à moins qu'on n'entends exprimer par là combien serait désirable une théorie complète des Formes binaires due à la plume du même auteur. Car il fkut reconnaître que esCis théorie, au début simple chapitre d'Algèbre, s'est élevée au rang de science indépeDdante. Quand on examine le livre de M. Petersen, au point de vue du style, on est frappé dès l'abord de la simplicité et de l'extrême concision du langage, et cette concision n'est pas seulement dans la forme, mais encore dans le fond : on sent que Tauteur, dominant de haut son scjet, a, pour chaque raisonnement, examiné les diverses variantes et choisi la plus directe. Par là le livre acquiert une espèce de charme; le lecteur découvre promptement le vrai sens des questions traifées et leur solution parait facile. Cependant il ikut bien reconnaître que ça et là la brièveté de l'exposition n'a pas été sans nuire à la rigueur et à la clarté; peut-être aussi, convient-il de se demander si une certaine part de responsabilité n'incombe pas au traducteur. Nous lisons par exemple : p- 80, • Nous avons seulement évincé las Acteurs « communs à im s et à un s de même indice, car on n'a à combiner que dans es « cas s et 9 avec une même équation. — p. 93, Lagrange chercha à détsnniner « uns fonction des racines qui, une fois connue, permette d'en utiliser les racines. « — p. 115, Or, une permutation circulaire de troia quantités peut s'obtenir en « exécutant deux permutations de cinq d'entre elles. — Il est dit ausai (p. 17Q • qn*un théorème de Fourier a été publié ëWëni par Budan, et H. Laurent, dans (•) Voir JêMrbuekfÊr iie FêrtêchrUtê dit Më^kmêhk^ 1877. (^) Voir Is note précédente. {^) Les Invariants manquent dans l'édition allemande; dans le texte frsnçsis, ainsi que nous l'avons dit, le chapitre des Covariants ne peut avoir la prétanllon de combler otite iaonne, si laçons il y a. — 252 — fe sa prétece, annonce une théorie nouvelle de la théorie des formes binaires. Bte. • Ces légères négligences^ qui semblent indiquer une traduction faite un peu à la hâte» s'expliquent aisément quand on songe au nombre et à la Taleor des publications de Thonorable traducteor, et on ne peut que le remercier d*aToir bien voulu consacrer une partie de son temps à mettre le liTre de M. Petersen à la portée de tons les lecteurs en en donnant une version française. Au reste, si le SQOcès de l'ouvrage répond à son mérite, Toccasion se présentera bientôt de rendre la forma correcte dans une nouvelle édition. Terminons par one remarque pratique : chex nous, il se manifesta, dans l'enseignament, une heureuse tendance à remplacer les cours manuscrits par onmannel imprimé. A cause de ses grandes qualités, et même de ses petits défbuta, la livre de M. Petersen convient très bien pour servir de base à renseignement oraL (M. Stutvabbt.) NOTB. Voici sur la théorie des oo variants des formes binaires de M. Petersen, laissée de côté par II. Stuyvaert dans Tanalyse précédente, Tapprédation de M. d*Oeagne : « Nous n'avons pas moins d^éloges à donner à la théorie des ibnnes binaires qui forme la cinquième partie de Vouvrsge et qui n*en est pas la mains originale. Grdoe à remploi systématique de certaine notation symbolique, Tantenr a pu donner à cet exposé une remarquable homogénéité et nous pensons qne les personnes mêmes les plus familiarisées avec cette théorie auront grand plaisir à se rendre compte des voies si directes à la fois et si faciles à suivre que Tantenr a onvartes pour son exploration. Rien d'aussi vraiment élémentaire n*a sans doute Jamais été écrit sur ce sii^et en langue française et une première étade ûdtê sur cet axposé facilitera grandement dans l'avenir la lecture dea tra- ▼anx d'ordre plus élevé existant sur la matière et dont l'abord direct est, en générali fort loin d'être aisé, n {Sevu€ du QuaHont êdefUifqueêy avril 1897, pp. 610411). SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES. Qa€0ti«a 41 1. (Voir MathiHi, (1) Y, p. 23 et (2) I, p. 29). Soient 0A| OB, OC trois demi^iamiires eonfugués guelconquei tun MfiMê, et soient OA', 0B\ OC les demi-diamètres perpendiculaires amm plans BOC, COA, AOB. Trouver entre Ok', OB', OC des relations analogues aux théorimes d^ Apollonius. (J. Nbubbrg). Solution par M. Stutyabrt (Gand). Appelons a, i, e les loogoeara des demi-diamètres OA, OB, OC, et a', i', e' les longaeurs OA', OB', OC. Toni oe qui soit s'appliquera généralement à toutes les qaadriqaes à oentre, si l'on admet que les longueurs ci-dessus peuvent aToir des Taleare imaginaires^ c'est-à-dire si a* représente la poiasance podiiTe — 253 — on n^tiTe de rinyolation de points conjugués sur le diamètre OA. Soient de même a, (3, y les longueurs des demi-axes de symétrie. Désignons encore par (»c),(ca),(aJ); (J'O, (cV), (a'J'), les angles dièdres et les angles plans des trièdres supplémentaires OABC et OA'B'C. On sait que : (a) = TT — (ft'(j'),etc., (a') = tt — (be), etc. Si, dans le plan AOB, on mène le diamètre OD perpendiculaire à OA, et si Ton désigne sa longueur par 2i, on a, en Tertu d'une propriété connue des coniques, d' [b* ~ a* \^ sin» {ab) ^ ' Mais dans toute quadrique, la somme des carrés des inverses de trois diamètres rectangulaires est constante; les axes de symétrie et les diamètres OA, OD, OC sont deux systèmes pareils, dono on peut écrire : Eliminons i des équations (1) et (2), et déduisons de l'égalité obtenae, deux relations analogues, par permutation tournante; nous aurons : \a» ~ b*) ^ sin» {ab) ^ e'» ' (3) 1_ , J__ , ein*{eayb'*~* ' On tire de ces égalités : J = (** - h) ""* ^*'^ + (*' ~ ?ï ) ''°* ^"^^ ~ ('' ~ ^) '"' ^^^' ) — 254 - Remplaçons gin (a^) par sin (S'), etc., puis opérons une permutation tournante; nous trouverons : Or les théorèmes analogues à ceux d* Apollonius , pour les quadriques, peuvent se traduire par les égalités û»5«(j» sin* (ai) sin» (ae) sin« (a) = C** = «'iSy , \ aVsin»(a5) + 5Vsin*(»c)+c»a»8in«(ca)==(?*==a*/s«+Py+y»a«, [ (5) a« + J«-f (;« = C**«a« + ^« + y«. ) Il n'y a plus qu'à substituer, dans ces dernières, les valeurs de a, }, e tirées des précédentes. Pour la facilité, il convient d'écrire les égalités (5) sous la forme suivante : 8 8 sin« (&) sin« (jQ sin' (Ve') a'b*e* "" a*^y 2 2 2 c« sin« ( J') sin' (5 V) "^ a« sin» {&) sin» (c'a') "^ 5«sin» (a') sin« (a'*') J^ ^ _4_ 4 («« H- P' + y*) «P* (g') 0 «n'ÇiV) }V"^aV'»'a»5«"" a»|3y Dans la première de ces égalités les angles peuvent, sans altération du résultat, subir une permutation tournante; les deux autres ont été obtenues en divisant les deux dernières relations (5) respectivement par a'jS'y' et â'i*c' et en ajant égard à la première; les coefSciants nnmé* riques ne sont mis que pour la commodité des substitutions. La seconda des formulas (6) donne alors, an tenant compte des relations de la forme sin (V) sin (» V) = sin a' sin (a'^, ^ V «' V Lwn" («'y)^ «»• («'•+**•+ V«»«»—^- — 259 — Les derDières relalions peiiTent s'écrire sous la forme : P' — P (P + ^) 4- Ap co8« ^ w = 0 , jp' — p (p + fx) -j- pp sin* i « = 0 . D'où pcos'Jci) — jp pBin'^o) — p remplaçant X, /ui par leurs valeurs dans Téquation (1), il Tient p* [p — 2 sin'w] +;??(« — 3p) +;?* (2p — a) =. 0. Le point M décrit une quartique. ' La quartique passe par les points ayant pour coordonnées Q9, 0), (p, n). Si p .=3 a, réquation de la courbe prend la forme : p' (4 — sin* (ù) — 8ap + 4a» = 0, ou [p (2 — sin w) — 2a] [p (2 + sin w) — 2a] « 0. La quartique se décompose en deux coniques de foyer commun 0 et ayant pour équations : 2a 2a 2 — sin a> ^ 2 + un a> Rbmarqub. Soit M un point du plan tel que la somme des carrés des côtés des triangles MOB, MOC, ait une Taieur constante K% le lieu de M est une ellipse ayant 0 pour centre si a < K ^2. En effeti on a les relations : K* K* p* -[- ^* — Ap cos w = — f p* + fX* + f^P ^^ ® =* "ô" * 2 ^ On tire des dernières : A — u«:pcosOy d'où À = {(a-f-pcosa>), Substituant dans la deuxième relation, on trouve p> (4 — cos' w) 4- o' — 2K« = 0. Le lieu est une ellipse de centre 0, si a < K \/2. -- 260 - ^Qoeslloa lits. (Voir Math€Sis, (2), VU, p. 80). Héioudre le syitime û = y + ^ (1 + *)'» J = y (1 + ^)* + a^«*» c = a? + y^*. (E. Lbmoinb.) Solution par M. V. Cristbsco (Cernavoda, Roumanie). Si l*on résout les deux dernières équations par rapport à â? et y , on trouve 0 = — f y = : . (1) (1 4- «)»-«* ^ (i4-^)«-«» ^^ Portons ces valeurs dans la première des équations proposées ; il vient [l + ^ + -g«][a(l + e — 15«) --8(1 — « — «») — c(l + 3« + ^«] = 0. Par suite, f est donné par les équations ^» + ^ + 1 = 0, (2) (tf_j-j-e)«« — (a + J- 3c)« + (— a + J + c) = 0. (3) Connaissant f , les équations (1) et (2) donneront a et y. L*équation (2) a ses racines imaginaires. L'équation (3) a ses racines réelles si 5(a« + }« + 0 — 6(«» + 8(J + M)^0. (4) Rbmabqub. Si a, hf e sont les côtés d*un triangle, Tinégalité (4) exprime que Ton a I étant le centre du cercle inscrit, r son rayon, et G le centre de gravité du triangle. Les équations proposées auront donc, dans ce cas, des racines réelles, données par (1) et (3), quand le centre de gravité du triangle sera extérieur à la circonférence inscrite, ou sur cette circonférence même. Ont résolu la même question MM. Soobs et Dbgxtbldrb. (Voir Maihetiê, (2), Yll, p. 120). Q^elU relation entre les angles a, ^, y, i peut-on déduire de T^aliU Au a sin|3 siny sind coia cos|3 eosy coad sin|3 sina sind siny cos|3 cosa cosd oosy (J. NiOTiRe.) 0? — 261 — Sùlutùm par MM. A. Droz Farnt et Audibbrt. Retranchons la seconde colonne de la première, et la quatrième de la troisième; pois dans le déterminant transformé, additionnons la première ligne à la troisième et la seconde à la quatrième, nous aurons : sin a — sin |3 sin y — sin j sin (3 sin d cos a -* cos ^ cos 7 — cos i cos |3 cos d 0 0 Bina-^-siik^ sin y -|- sin d 0 0 cos a + cos (3 cos j' -f cos i = 0. ou sin a — sin ^ sin y — sin i cos a — cos (3 cos y — cos d sin a -{- sin (3 sin y-{-B\ni cos a H- cos P cos y + cos i 0. d*où Ton déduit aisément en transformant encore les sommes ou diffé- rences en produits : sin (a — 13) sin (y - d) sin» "^ "^ ^ T ^ "" —0. On en conclut a _ P =. hTTf y — (î = i7r, oua + |3— y — i = 2kn. Autre solution par M. DipRsz. QUESTIONS PROPOSÉES. t i4S. On considère tous les limaçons de Pascal, ayant pour équation polaire p =s a cos 6 -{- i. 1* Si a est fixe et b yariable, et si Ton mène par le point double O une sécante qui rencontre la courbe en P et Q, montrer que, pour tous les limaçons de la série, les tangentes en P et Q se rencontrent sur une droite fixe. 2* Si a et i sont constants, et si la droite OPQ est mobile, les tangentes en P et Q se rencontrent sur une cubique dont on demande de trouver l'aire comprise entre la oourbe et son asymptote. (E. N. Barisibn.) 1144. Si cinq droites sont tangentes à une même hypocjdofde à trois rebroussements : 1* Les foyers des cinq paraboles inscrites aux quadrilatères obtenus en prenant ces droites quatre à quatre sont en ligne droite ; 2* Les perpendiculaires menées par le centre du cercle des neuf points sur la droite d*Euler de chacun des dix triangles obtenus en — 262 - prenant les droites trois à trois concourent au point central de rhjpo- cjcloïde. (A. €k>B). ^^1145. Soit ABCD un quadrilatère gauche dans lequel les angles A et B sont égaux, de même que les angles C et D. Démontrer : 1* que AD == BC, AC <=» BD ; 2* que la droite joignant les milieux des côtés AB et CD est perpendiculaire à ces côtés; 3* que la plus courte distance des côtés AD et BC est équidistante des sommets A et B. La figure ABCD peut être appelée un trapèze Uoicile gauche. (MuiRHfiAD.) '^ 11411. Dans un triangle ABC, avec les notations ordinaireSi on pose 5 = 4R + r, ia = 4R — Ta,»»»- Démontrer que ai + *'*« + ^''» = M + CTa + «^c =■ c3 + an + êr. = 2p (2R + '')—" *^« + *^» + ^^^ = *^« ^^^ — «*'» = ^^« --an^br = 2 (p — a) (2R — r.). On a deux autres groupes analogues contenant d* et d«. (E. Lbmoinb). PUBLICATIONS RÉCENTES. M. Cours élémentaire (V Algèbre théorique tt pratique ^ à Tosage des écoles moyennes, des écoles normales primaires et des écoles industrielles, par M. HaOCOUR, régent à rÉcole moyenne de TÉtat, à Péruwelz. Deuxième édition, modifiée et considérablement augmentée. Namor, Wesmael fl897; cartonné, 248 p., in 12). Prix : 2 frcs. 99. Eigkir Arithmetie^ by W. W. Bbmak, Professor of Mathematics in the University of Michigan and D. B. Smith, Professor of Mathematics in the Michi- gan State Normal Collège. Boston, U. S. A. and London, Qinn and Co. 1887 (XVn — 193 pp. in8«, cartonné). Prix : 80 cents = environ 4 fr. 20. Manuel pratique, avec quelques aperçus théoriques, cà et là, contenant après chaque chapitre d*innombrable8 problèmes empruntés à la ?ie usuelle ou aox applications dçs sciences. Introduction : Définitions et étymologies (dix pages). Ch. 1—4. Calcul et divisibilité (40 pages). 5. Résolution des problèmes. 6—8 Nom- bres complexes; système métrique; metore dee températures; géométrie pratique; longitude et temps. 9-11. Proportions, progressions, logarithmes. 12. Arithméti* que graphique. 18-21. Intérêts, escompte, emprunts, assuranoeSi etc. 23. Exer- cices divers. •— Notes. Tons les professeurs d'arithmétique trouveront à glaner dans ce livre écrit à un point de vue américain, très différent de celui où l'on se place d'ordinaire «i Europe. — 2Ô3 - n. TorUtun§9n Uàer die Théorie der automorphen Funetianen yod R. FrIck, in Braanichweig,andF.KLKiN, inQôttiogen.ErsterBand: Die gruppentheoretischen Gnindlagen. Mit 192 in den Text gedruckten Fîguren. Leipiig, Drack und Var- lag Yon B. G. Teabner. 1896 (XIV-6d4 pp. gr. in 8»), Prix : 22 marks. M. Cours de Mécanique analytique ^bx E. Pasquibr, professenr à l'Université de LoQTâin. Tome premier. Vecteurs. Cinématique. Statique et dynamique du point. Loundui Uytspruyst, 1897 (Antographie de VlII-886 p. in 4«). Sft. Court de Probtémes de Géométrie analytique^ à Tosage des candidats à l'École nsTale, à TÉcoIe centrale et à TËcole Polytechnique, par G. dk Lo^a- OHAMPP« ancien professeur de Mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis, etc. Tome premier. Paris, Ch. Delagrave, 1898 (VIII-S95 pp.). Prix : 5 francs. Deux Tolumes seront consacrés à la géométrie plane, un troisième à la géomé- trie solide dans ce cours de Problèmes. Le premier volume contient cinq chapitres traitant des généralités, trois des coniques (axes, tangentes, pôles, polaires, centres, diamètres, asymptotes). L*auteur, bien connu des lecteurs de Mathesis, Tient d'être nommé Censeur des études an lycée de Charlemagne ; il abandonne en mâme temps la direction du Journal de Ma'kématiques élémen^ai'^s et spéciales, qui, grâce à ses efforts intelligents et persévérants, avait acquis une Juste réputation dans le monde universitaire. En quittant renseignement, il s'est proposé de résumer et de classer les coniells si complexes que Ton peut donner aux élèves qui abordent les problèmes de la (Géométrie analytique. Le Cours de problèmes^ dernier effort de sa vie de professeur, se distingue des autres recueils d'exercices de géométrie analytique; c*est un ouvrage original, qui est appelé à rendre de grands services aux élèves et aux professeurs. '^QUESTIONS' D'EXAMEN. 815. Les médianes d'un triangle fonnent une progression arithmé- tique; examiner quand le triangle est rectangle, acutangle ou obtus- angle. (Bosi.) Soient a = s, j8 = d^ -f- jf, y s= « -f ^^ ^^ trois médianes ; il fout et il suffit que i*on puisse construire un triangle dont les côtés soient proportionnels à ces médianes, donc d^ > y. Au plus grand côté correspond la plus petite médiane ; on a donc à examiner la quantité Le triangle est rectangle si ss^yiy + V^)^ acutangle si dy>y(l + i^|)» obtusangle8iâ^<|f(l+|/î) et>y. — 264 - SIS. Le trinôme a"+* — (n + 1) û5" + n8"+' est dWisible par (a * i)*, et le quotient de la division est «•-» + 2a""*6 -f 3 «■-'*• + ••• + ***•"* . Conclure de là que : 2*« + 15«-l = M.9, 2*-— 15«— 1 = M.25. (Bbllachi.) • 19. Les trois côtés d*un triangle rectillgne sont en progression arithmétique ; trouver la condition pour que le triangle soit rectangle, acutangle ou obtusangle. Soient CD^a-\'^,œ + fi^ les trois côtés ; on doit d*abord avoir « + 2y < • + l^ + f ) ott* > y* Bnsaite , on examinera les relations ^ + (fl? + y' — (fl? + 8|f)« = 0, ou >0yOU < 0. Les racines du triitôme 0* — 2œp — 8y* étant â? = Sy, « s= *- y, le triangle est rectangle si « = 9f^, acutangle si â? > ^« obtusangle si â? > jf et < ^. • 18. Posons S, = l-j-2-l J-n, S, = l* + 2'-| J-n». gt Trouver la limite du rapport ^ lorsque n croit indéflnement. (Réponse : |). Reellical tenir. Page K2, q. 1117, lire: 2» les côtés II", II'' enveloppent vn cercle. Page 220, question 28, au lieu de : Neuf carrés ifUiers oonsécutifs...» lire : Neuf carrés impairs consécutifli... Puis ijouter : On a d'ailleurS| que n soit pair on impairi l'expression générale : («•-8/+... + (fi-2)« + ii« + (ii + 2)«+... + (ii + 8)« = (8ii — l»)(8it>--16) . (8jt + 15)(aii + 16) 8 + 2 * On a également^ quel que soit m, (G* DB R. A.) — 2Ô5 — 'PRÉSUMÉ DE LA THÉORIE DE L'ÉQUIVALENCE d*aprè8 M. L. Gbrard(*). t. Deds un triangle ABC dont les hauteurs sont AH, BK, CL, on a I AB X CL = 1 BC X AH = ^ CA X BK, comme le prouve la simili- tude des triangles (ABH, CBL) et (BCK, ACH). •. Ce demi-produit s'appelle la puissance du triangle. S. On appelle puissance d'un trapèze le demi-produit de la somme de S6f bases par sa hauteur, 4. Si Ton divise un triangle en deux parties par une parallèle à une base, la puissance de ce triangle est égale à la somme des puissances de ses parties; il en est de même si on divise le triangle en deux parties par une droite partant de l'un des sommets; ou si on le divise en triangles et en trapètes par des parallèles à une direction quelconque. 5. La puissance d'un trapèze est égale à la somme des puissances des trapèzes et des triangles de même hauteur obtenus en joignant un point de la base supérieure à un point de la base inférieure. •. Si l'on décompose un triangle T en triangles t d'une manière quel- conque, la puissance du triangle total est la somme des puissances de ses parties. Car, en menant par tous les sommets des triangles t des paral- lèles à un côté de T, T est décomposé en trapèzes U ; la puissance de T est égale à la somme des puissances des U ; celle-ci est égale à la somme des puissances de tous les triangles formés dans la figure; cette somme elle-même est égale à la somme des puissances des triangles t, 9. Si Ton décompose un polygone de deux manières en agrégats de triangles, la somme des puissances des deux agrégats de triangles est la même, car elle est égale à la somme des puissances des triangles obtenus en menant à la fois les lignes qui donnent les deux premières décompo- sitions et celles qui sont nécessaires après cela pour que le poljgone soit décomposé en triangles. 8. Un polygone ne peut être équivalent à une de ses parties. En effet, (*) Voir Bulletin de wtathématiques élémentaires, 15 Juin 1897, pp. 273-2*76. Noos enfi^ageoDS nos lecteurs à refaire les démonstrations qui sont ici esquissées, sans recourir aux notions ordinaires d'aire^ de volume et d'équivalence ^ puisqu*il s'agit ici de las préciser, de les définir scientifiquement (P. II.). 21 — 266 - soit P an polygone formé par la juxtaposition de plusieurs poljgonM Q, R, S. Si les polygones P et Q pouvaient être équivalents (c'est-à- dire décomposables en triangles superposables chacun à chacun), la puissance de P serait égale à celle de Q, ce qui est impossible puisqu'elle est la somme de celles de Q, R, S. •. Si deux polygones superposables ont une partie commune, les par- ties non communes sont équivalentes, c'est-à-dire décomposables en triangles superposables. tO. Ce qui précède s'étend aux polyèdres : on appelle puisiance d^un tétraèdre le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; puissance i*un prismaMde (polyèdre limité par deux bases parallèles et par des triangles ou des trapèzes latéraux), le sixième du produit de sa hauteur par la somme des bases et de quatre fois la section moyenne. it. La puissance d'un polygone peut être prise pour mesure de son aire; celle d'un polyèdre, pour mesure de son volume. '^UNE NOUVELLE DÉMONSTRATION DU POSTULATDM D'EUCLIDB Réponse (Voir Mathesis^ pp. 225-226.) € Consi Soient 4 droits — 2a, la somme des angles des quadrilatères égaux AAiCiC, AiAjCaCi, etc.; 4droits — (3i, 4 droits— /3j, ... , 4 droits — j3», les sommes des angles des autres quadrilatères. — 267 — On trouve aisément, les angles ACCi, AiCiC étant égaux, qne angle BCCi s» 1 droit + a angle B|C|C = 1 droit — a — j3i angle B,CiC, == 1 droit -|- 3a -f /3| angle B,C,Ci = 1 droit — 3a — p, — (3, angle B^CCs = 1 droit + 5a + /3, + (3, , angle BiCgC, = 1 droit — 5a — /3, — 13, — Pi , et ainsi de suite, tant que les perpendiculaires CiBi, CiBi, CsBi, ... tombent toujours de plus en plus loin de AB. Mais les calculs précédents prouvent qu'il n*en sera pas toujours ainsi; en effet, chacun des angles BCCi , BidCi, BsCtCs» ••• est plus grand que le précédent de plus que 2a ; donc en allant assez loin, on trouvera un angle BpCpCp+, = 1 droit4-(2;?+l)a + Pi+ ••• +Pp, supérieur à 2 droits. La perpendiculaire C,^^Bp^^ tombera entre CB et CpBp ; car, si elle tombait au delà de CpBp, la somme de trois des angles du quadrilatère BpCpCp^iBp^i savoir : angle Bp -{- angle Bp^i 4* angle BpCpCp^t serait supérieure à quatre droits, ce qui est absurde* La perpendiculaire Cp+iB^^fi tombe donc entre AB et CpBp, con- trairement à ce qui est supposé dans la démonstration que nous criti- quons ici (D*après MM. Barbarin et Sollbrtinsky). NoTB. La démonstration dont nous venons d'indiquer le défaut est, au fond, identique à celle de M. Joubin. Mais il n*est peut-être pas inutile de faire connaître celle-ci, dans sa partie essentielle, sous la forme que lui a donnée son auteur (*). Considérons deux droites MX, NY perpendiculaires à une même troisième MN et suffisamment espacées; juxtaposons sur chacune d*elles, à Tintérieur du biangle XMNY, à partir des points Ai, Bi équidistants des points M et N, deux séries d'un même nombre n de triangles tous égaux, savoir : A1C1A2, AiGiAs, •••, AmChK, B1D1B2, BsDjDg, ••., BiiD«L. (*) On passe d*one démonstration à l'autre en élevant au milieu de MN, une perpendiculaire à cette droite, puis abaissant des perpendiculaires, des peints Cn Ca, •••, C«, sur cette ligne et sur IIX. - 268 - Menons les droites GiDi, CiDs, ..., GnD«. Nous déterminons ainsi « hexagones : MAiCDiB.N, A,CiD,B,D,C„ ..., A.C,D«.,B«D.C- Soient T la somme des angles de l'un des triangles. H, la somma des angles de tous les hexagones; H sera égal ou inférieur à 8s droits. La somme des angles de tous les triangles et de tous les hexagones est 2»T + H. Cette somme est aussi égale à 12{% — 1) droits somme des angles en Ai|Gi|Di,Bi; A2,G2,D2yB2; ..«; A«^iy G*.!, D».iy B«.i; plus 6 droits, somme des angles en M, N, A», B»; plus enfin la sonune V ineonnue, des angles en K» L, Cn, Du- On a donc 2» T + H = 12(« — 1) droits + 6 droits + V ; et, par suite, en supprimant V dans le second membre, 2» T > (12» — 6) droits — H et aussi, puisque H est égal ou inférieur à 8» droits, 2» T > (4« — 6) droits. On déduit de là, en divisant par % et transposant un terme, T 4- ? droit > 2 droits. n 3 Or, on peut rendre la firaction - aussi petite qu'on le Tent en prenant n Basez grand; donc T, ou la somme des angles du triangle AiGiAt» ne peut subir la moindre augmentation sans dépasser 2 droits, œ qui exige que T =i 2 droits. On déduit aisément de là le postulatom. '^NOTE MATHÉMATIQUE. K Note éTArithmiUque. Voici quelques remarques suggérées par la question d'arithmétique posée au dernier concours général en seconde scientifique. — 269 — d 1* Si la fraction - donne une période de 2a chiffref , la somme de deux 0 restes distants de a rangs est égale à h. En effet, on sait que rk + rk^m = M.b; mais r» et r»^» étant plus petits que b^ cette égalité exige n 4~ ^*+» = ^* 2* On a aXlO' = M.J + n, a X 10* =» M.8 + n, d'où a»X10*+* = M.J + rin. On en conclut que les produits divisés par A, donnent le même reste. (L. Mboricb.) SUR UNB QUESTION D'ARITHMOLOGIB par M. A. Boutim. Dans le numéro d'octobre 1897, de MathetU^ à Toccasion de la question d'arithmologie n* 3^ M. de Rocquignj demande la résolution générale de l'équation xeXy étant des fonctions de %, Dans une note accompagnant la résolution de la question 1009 de MathesiSt et dans l'Exercice 413, du J. E. (Exercices divers), on trou- vera quelques indications utiles que nous allons compléter. Si on suppose que x eip sont des polynômes entiers en «, l'identifi- cation résultant de (1) amène à écrire que tous les coefficients des termes de degré supérieurs à l'unité sont nuls. La seule hypothèse pos- sible est donc : x = an — b y = an — (3. L'identification donne : (2) a«4-l = 2a«, (3) J« 4- * = 23*, (4) 4a« + l = a(2J+l). Les équations (2) et (3) sont résolues par les valeurs : aissl, atB=s5, Al = 29, a* =» 169, ••• ap = 6ap_i — «p-i; ai«=l, at=»7, As» 41, a4»239. ••• a, = 6a,.i — a^i; p,=0, p,= l. Ps = 6, /3* = 35, ..• P;, = 6.3p. , — /3,., ; bt=0, J, — 1, Ji = 8, ^=49, •• *, = 6Jp-i— J,^2+2. — 270 — On a une solution de (1) en prenant pour x et jf, les nombres a^h^a^ ]3, affectés du même indice. Il suffit de montrer que, dans ce cas, la rela- tion (4) est satisfaite. Les nombres a, h, x, ^, ne sont paa indépendants, ils sont lléa à la suite de Pell : 7t=0, y. =1, yi = 2, 75 = 5, 74=12, yi = 29, y« = 70, (l+t/2)>— (l-|/^2)> ... 7, = 27^.+7,., = -_ . ^,j On a Oh-» = y^p^tf «^1 = y^+t +ytp, A I jL ytp + yi^i — 1 L*égalité (4) à vérifier devient, par ces valeurs : ^ "I" Vi, = y>p- « ytp+ 1 en introduisant la valeur (5) de y,, la vérification est immédiate. Donc, pour les mêmes indices, les solutions de (2) et (3) vérifient (4) et le pro- blème proposé est complètement résolu par les formules : On peut obtenir a,, bp, a,, |3p en fonction de p seulement (Voir E. Lucas, Théorie des nombres), — On a par exemple : (2p-5)(2p-6).2p-7) 1.2.3 "^ La loi est manifeste; la formule s*arréte au terme pour lequel Texpo- sant de 2 est négatif. ^ On aurait aisément des développements analo- gues pour «„ bp, ^,. L*équation indéterminée *{*+i) «(«+1) ,, 2 2 ""' • qui admet égalemeat une inflaité do solutions, qu«l qae aoit •, donne- nit lieu à on calcul analogue an précédent. — 271 — ''SUR QUBLQURS QUESTIONS DE CONCOURS EN 1897, EN 2* ET f SCIENTIFIQUE, par M. DÉPRKZ, professear à Charleroi. t. Trouver le maximum de wy -{-yz-^-tx, sachant que x-\-y-\-t=^2 p. Oq a ridentité 6 (a?y 4- y« + «a?) = 2 (a?4- y + 2j)«— {x — p)* — (y — a?)* — (a? — a?)» ; le maximum de xy •{• yz -{- zx & donc lieu lorsque les trois derniers car- rés s'annulent ou que x = y = t» Ce résultat peut s'interpréter ainsi : On donne un triangle équilatéral ABC. Le triangle podaire d'un point intérieur est maximum si ce point coïncide avec le centre du triangle donné. %, Étant donné un triangle ABC, si D et D' sont les points oit Us bis- sectrices de l'angle Â, et de son supplément rencontrent la droite BC, démontrer que les droites qui joignent les projections de D et de D' sur les côtés de l* angle A se coupent en un point de BC. Cette proposition peut être étendue au triangle sphérique. La démonstration se fait facilement par la théorie des transversales. S. Dans un triangle ABC, si du pied D de la hauteur AD on abaisse des perpendiculaires DE, DF sur les côtés AB, AC, la distance EF est égale à la moitié du périmètre du triangle formé en joignant les pieds des hauteurs du triangle ABC. AD étant le diamètre du cercle circonscrit au triangle DEF, on a EF = AD sin A = 2R sin A sin B sin C. Soient a\b', e' les côtés du triangle formé par les pieds des hauteurs; les angles de ce triangle sont égaux a ISO*»— 2A, ISO*»— 2B, 180>— 2C, et le rayon du cercle circonscrit est égal à ^ R, donc a' = Rsin2A, J' = Rsin2B, c'=»Rsin2C. On en conclut a'-^b'-^-c' — R (sin 2A -{- sin 2B -f sin 2C) = 4R sin A sin B sin C. Voici une démonstration géométrique du même théorème. Appelons H l'orthocentre de ABC, et B', C les pieds des hauteurs BH, CH. Les droites DE, DF rencontrent B'C aux points P, Q; comme AC, AB sont les bissectrices des angles DB'Q, DCT et sont perpendiculaires à DQ, DP, on a DE=3EP, DF = FQ, DC' = C'P, DB' = B'Q. — 272 -^ Donc PQ représenta le périmètre da triante DB'C, et KF eo est la nKHtié. 4. dercka U Uem iei pwUt tds fB*M eWtffI in perpemdiemlmrm sur Us cUét /*«« triangle rtcUmgU. U eturé iê Ul ftrpemiiemlmt ëbëissée iur Vkfpotémmu $9U éqmiitaUat am rtetëmgU ia âms mUn», DiscMUt VéquMtùm ei ramtetus-lM emsmiU à sm farwu U jim» simple. Nous fopposereme on triangle quelconque ABC, et noua désignerona pnr Xy f, % les perpendiculaires abaiaaéea d^nn point M anr BC, CA , AB. Le lien demandé a alora pour équation f« — «y = 0. C*eat nne conique touchant CA, CB en A et B, et piawaiit par le centre I da cercle inacrit et par le centre h do cercle exinacrit, sitoé dana Tan^e BCA. On a nne ellipae, une hjperbole on une parabole aÛTant qne c*<4ii*,c*>4«* on t^ = AÊk. Soient C le milieu de AB, 0 le centre de la conique (ellipae on hjper- bole); on a la relation OC _AÊi à^oik Ton déduit une construction de 0. Les points A, B, I, L apparte- nant à la fois à la conique et à une circonférence, les axes aont parai- lèlea aux biaaectrices des angles des droites AB et CIL. Connaissant le centre 0, les axes en direction, un point A et la lan* gente AC, il est facile de trou Ter les longueurs des axes. SOLDTIONS DB QUESTIONS PROPOSÉBS (*). rVoir M€thnis. (^ VI. p. »>>. On eonsidire uns psrmhoU P a U éraiiê D, sfwèéÊrifms éê U Umgmdê m S9mwui It P fsr rapport à U iirtetnet. SmetÊi Si mi fsimi f«aIoan* fue éê D et ABU corde poUire de M pcr rapport à P. MsmMnr qws : 1* Tous Us triamgUs MAB ont Umr ortà^cmUre ûm semmsi de P ; {*) Noua avoDs oublie de mentionner, poor ia qoer ion l hH« les aolntioBa 4m lili. Dacan.Daa et d^AviLucz; poor lesqoeitiona 1103 «t U:iO, Inaolatieade IL Coulkt; pour la qaeatiaa II06, la aolatioa de 11. LnaaT (Bnuelli^). — 273 - 2* Ze centre de cranté f le centre du cercle cireonecrit et le centre du cercle des ne^f pointe dn triangle MAB décrivent ckaenn une parabole. (E. N. Bari8ien){^). Solution par M. Barisibn. La parabole donnée ayant pour équation y'~2px = 0, (1) soient (a, /3) les coordonnées d*un point M du plan. GherchonSy dans le oas général, les coordonnées du centre de gravité G» du centre dn oercle circonscrit 0, de l'orthooentre H et du centre du cercle des neuf points I. Centre de gravité G. La droite AB a pour équation ^y=?{^+«). (2) En éliminant x entre (1) et (2), on a y« _ 2/3y 4- 2pa =» 0. Cette équation donne les ordonnées yi et yt des points A et B; donc Jfi + y> = 2(3, y,|fs = 2pa, et les abscisses Xi et x% des points A et B sont liées par les relations Par suite, les coordonnées de G sont 2Û« — 2f?a , 2^* — pa ^ • • P P Centre 0 du cercle circonscrit. L'équation générale d'un oercle passant par A et B est de la forme ^{p'-2px) + i^^x^pa) i^^+px+iu) - 0, (8) ayec la condition A = -(p«4^«). (4) En exprimant que le cercle (3) passe par le point M» on a, après aYoir divisé par le facteur (|3'— 2pa), ^+P*+?a+f^ = 0» d'où^ = p«-|?a. (5) En remplaçant dans Téquation (3) A et fx par leurs valeurs (4) et (5), il Tient p(«« + y*)-(2i3«+p«)«-(3(p-2a)y+i?a(y-a)-0. (^) Le nom de Faoteor de la question arait été oublié. 22 — 274 — Par contéqaent, les coordonnées de 0 sont _2^*±£ P(p - 2a) «. — 2r"' ^* — ^ — Orthocentre H. On sait que les points 0, G et H sont en ligne droite et que G est situé entre 0 et U avec la condition GH = 20G. Il en résulte que les coordonnés de H s'expriment en fonction de celles de G et 0 par les relations fl?B = 3a?c — 2a?o, ya = 3yc — 2jfo. On a donc immédiatement a?i = — («+?), yf^= \ ' P Centre I du cercle iee neuf pointe* Le point I étant situé au milieu de OH, on a et, par suite, 2P'— 2ya-p' P(2a + 6p) ^'= 4i ^' Tp Démontrons maintenant les propriétés énoncées. 1« Si a = — Pi le point M est situé sur la droite D et alors a?i = 0, yi = 0. L'orthocentre est donc bien au sommet de P. 2* En faisant a=» — p et éliminant (3 entre Xq et y^, on a pour l'équation du lieu du point G Ce lieu est une parabole. On trouve de même que le lieu du point 0 est la parabole Sy* = lSpa — 9p^, et que le lieu de I est la parabole 32y« = 36p« — 9p«. Rbmarqub. On trouverait aussi que : 1* Le lieu du point de rencontre de la droite d'EuUr (ou droite OGH) du triangle MAB avec la droite AB eet urne hyperbole iquilatère. — 275 — 2* Le cercle circonscrit a% triangle MAB enveloppe une cubique, 3* Le lieu du point G' conjugué harmonique de G par rapport àOetU eet une parabole. AntreB solutions analytiques par MM. Andribn, DépRBz. Solution géométrique par M. Droz Farnt. I. Désignons par F, S, A le fojer, le sommet et la directrice de la parabole P, par A', B', M' les milieux des côtés MB, MA, AB du triangle MAB; par H et H' les ortho- centres des deux triangles MAB, MA'B'. On sait que la droite A'B' est tangente à la parabole; donc l'ortho- centre H' du triangle circonscrit MA'B' appartient à la directrice A. Soit m la projection de M sur A ; la polaire de M est parallèle à celle dem^ laquelle est perpendiculaire sur mF; donc MH est parallèle à mF, On en déduit la construction suivante de Torthocentre H d'un triangle MAB formé par deux tangentes quelconques et leur corde des contacts : Projetez M en m sur la directrice ; menez par M une parallèle MH' à mF qui rencontre la directrice en H'; enfin, prolongez MH' de H'H = MH. Si M se trouve sur D, on a Mm = SF'= ^^; donc MS est parallèle à mP et divisée par D en deux parties égales. On en conclut que S est l'orthocentre du triangle MAB. Les deux propositions suivantes s'aperçoivent encore facilement : l"" Lorsque M parcourt un diamètre mM' de la parabole, H parcourt la droite mS ; 2<' lorsque M décrit une droite d parallèle à la directrice A, H décrit la symétrique de d par rapport à A. IL Faisons mouvoir M sur une droite donnée quelconque S ; AB tour- nera autour d'un point fixe Q, pôle de S. Les deux droites MM', AB engendreront deux faisceaux projectifs, et leur intersection M décrira une parabole P' passant par Q et dont Taxe est parallèle à celui de P. Si la droite d est parallèle à A, Q est sur Taxe de P, et les paraboles P et P' ont le même axe. Le centre de gravité G du triangle MAB divi- sant la droite MM' dans un rapport constant décrit une parabole P". Prenons pour d la droite D définie ci-dessus. Alors Torthoeentre de MAB est constamment en S ; le centre 0 du cercle MAB et le centre I du cercle des neuf points du triangle MAB divisent la droite SG dans des rapports fixes, et, par suite, parcourent des courbes homothétiques à la parabole P", par rapport à S. — 276 — ^(nesllon II OS. (Voir MtUheiis, (2), VIT, p. 80). Si Q»,p dérigne la somme des produits p àf des fractions î * ô * ô * " '" ' on a la formule : (H. Mandart). Solution par M. Audibbrt. Déyeloppant la formule dont nous dési- gnerons le premier membre par &, on a Sn = 2Q,,, + 2»Q.,, ^ \- 2*Qn,«; mus en vertu de la relation évidente on peut écrire • • • +2.(q...+S!±J^+2.+. ^ =.S,+ j^ [l+S.-2«Q^.]+2-+' -^ D'où résulte S"-'-Sn=^[l+i(n«+3ii)] = n+2 = i[(fi + l)« + 3(«+l)]-^(n' + 3fi). Donc, si la formule est vraie pour la limite n, elle le sera aussi pour la limite n + 1 ; or, on vérifie aisément qu'elle s'applique au cas de n =3 2, 3 etc. QnMtlMi fit». (Voir Maikesis, (8), VH, p. 108). On consOire les paraboles dont Taxe passe par un point ionnéV et qui touchent uns droite donnée AB au mime point A. Lejoyer décrit un» hyper* bole équilatire; la tangente au sommet enveloppe une parabole. (J. N.) - 277 - Solution géométrique par M. A. Droz Farnt. Soit F une position du fojer d*une des paraboles ; l*axe PF coape ]a tangente fixe en B. D'après une propriété connue, l'angle formé par le rayon yecteur FA avec la parallèle menée par A à l'axe PF, admet la droite fixe AB comme bis- sectrice. Il en résulte que les faisceaux (PF) et (AF) sont inyersement égaux. Le lieu de F est donc une hyperbole équilatèi*e passant par A et P et ayant son centre Q au milieu de AP ; les asymptotes sont l'une parallèle et l'autre perpendiculaire à AB. La tangente au sommet S d'une des paraboles divise BA en parties égales au point D. DQ étant parallèle à PB, l'aogle SDQ est droit; l'enveloppe de la tangente au sommet est donc une parabole 2 admet- tant Q comme foyer et BA comme tangente au sommet. Le lieu géométrique des sommets est la podaire de la parabole 1 par rapport à P; c'est une cubique bien connue. Solutions analogues par MM. Retali, Botsbbns, Brocard, Polain (athénée de Liège) et Schiappa MontbIro, professeur à Técole polytechnique de Lis- bonne. Si Taxe PF rencontre la tangente AB en B et la normale AN en N, on a, d*aprè8 an théorème connu : BF = FN ; le lieu de F est donc celai des milieux des sécantes menées par P et limitées aax côtés de Tangle droit BAN (MoNTSiao» SoONS, Andribn). Solution analytique par M. Libbrt (Bruxelles). Je prends AB comme axe des y ; et la normale AN comme axe Iles a. Soient (p, ;) les coor- données de P. 1* Partons de l'équation focale : (1 — ««) y» — 2miM?y + (1 - m") a?» 2(/3 + n/) y — 2 (a-j-m^) a? + a« + ^» — ^« = 0. La courbe étant une parabole, on a : «•• + «• = !; (4) elle passe par l'origine et y est tangente à Taxe des y» ce qui donne : a«-|-/3t — - rème correspondant pour le triangle sphérique ? (Droz-Farvt.) Cette question se présente en trigonométrie sphérique sois une forme on pea différente : O étant le pôle du cercle circonscrit an triangle ABC, les angles «, /i, y que font les rayons OA, OB, OC avec les côtés adjacents résultent des égalités : /8-|-y=A. •/-f-« = B, a+/8 = C. St%. On considère les ellipses ayant un fojer donné F, tangentes à une droite donnée d et dont Tun des axes a une longueur donnée 21. TrouTer le lieu du second foyer F'. (E. N. Barisibn.) Si le petit axe a une longueur constante, le lien est une parallèle à if;car le produit des distances de F et F à if = ^*. Si le grand axe = 2/, le lieu est la circonférence ayant pour centre le symétrique de F par rapport kdei pour rayon 2/. Le lieu du centre de Tellipse variable se déduit fkcilement de ce qui précède, Recliiealloii Dans la question 1118, p. S0O, la solution s * + s + 1 = 0 ne peut exister; car en additionnant les équations proposées on trouve 2 (d? + f) X(f« + «-f-l)=a-4-* + c. (CoLABT, Emg.) Page 248, ligne 2, lire Dmàouis au lieu de Dêkmis. TABLE DES MATIÉRESC*). ARITHMÉTIQUE; ANALYSE INDÉTERMINÉE. ^DëTeloppement de |/â7 en fraction eontinae; par M. Boatin 8 ^urladëÛDitiondelamaltiplication;par M. AListray H théorème d'arithmétique; par M. L. Collette 40 ^Sur l'extraction de la racine carrée des nombres; par M. B. Barbette et M. Stu^vaert 69, 161 ^La multiplication égyptienne et russe • . . . . 86 ^Sur les fractions continues 108 Une démonstration du théorème de Wilson; par A. Cayley 168 Questions d*arithmologie ; par M. de Rocqnignay SH Question de concours; par un abonné et par M. Stuyraert 298, 249 ^Sur les calculs approchés; d*aprèe M. L. Gérard 248 ^Note d'arithmétique • 269 Sur une question d*arithmologie; par M. Boutin 269 Question DXC VIII ; solution par M. Fanqnembergne 21 Question CLXXXII; solution par M. Fauquembergue 51 ^Question 1094; solution par M. A. Dros Farny 101 Question lOfiS; solution par M B. Colart 149 Question 1047; solution par MM. Van Denren, Ck>lart, etc 196 ^CQuestion 1062; solution par MM. Brien, Colart, etc 231 Question 1124; solution par MM. A. Boutin^ Bergmans, etc 286 ^Question 1108; solution par M. Audibert 276 ALGÈBRE ET TRIGONOMÉTRIE. ^Denx questions de concours; par un abonné 16 ^Snrlaque8tion949;parM. G. deRocqnigny. 18 ^Snr les combinaisons; par M. Barbette et M. Stuytaert 86,227 Question de concours; par M. Déprez 271 ^Question 783; solution par M. R. H. Van Dorsten 117 Question 1083; solutions par MM. Colart, Déprez, eto 211 Question 1086; solution par M. Retali 230 (•) Rectifications, pp. 51, 68, 80, 102, 214, 216, 238,264, 272, 280. Les articles marqués d*une croix n*ezif(ent, pour être compris, que la connaissance des mathé- matiques élémentaires. — 282 - PaffM. >^ue8tion 1080; solution par M. Hacken 232 ^Question 1113; solution par M. Cristesco 260,280 ^Question 1120; solution par MM. DrozFarny et Audibert 260 >^Ë0M£TRIE élémentaire, MÉTA6É0MÉTR1E, Notre supplément 37 Sur les triangles sphériques (J- N.) 61 Théorème sur le carré de Thypoténuse et 5* postulat d*Euclide ; par M.V.Reyes ....... 86 Sur la formule des trois niveaux; par M. A. Qoulard 105 Principes de la f^éométrie non euclidienne (P. M.) 112,134,158 Note de géométrie; par M. E. Math ot 139 Sur les cercles radicaux et antiradicaux ; par M. Dnran Lorig%. . . . 189 Sur^quatre cercles tangrents deux à deux ; par M. Mathot 193 Construction du pentaprone régulier; d'après Schroter 194 Tangente commune à deux cercles ; par M. Sîuyvaprt 194 Une nouvelle démonstration du postuiatum d*lîuclide; d'après M Joubin. Réponse d'après MM P. Barbarin et Sollertinsky . 225, 266 Perpendiculaire à un plan; d'après M. Dubouis .... ... 248 Cercle tangent à trois autres; d'après M. L. Gérard ....... 248 Théorie de l'équivalence ; d'après M L. Gérard 265 Questions de concours; par U. Déprez ... 971 Sur la géométrie non euclidienne, par MM Lechalas et Mansion, supplé- ment 1, pp. 1-16, III, p. 1-8. Question 1015; solution par MM. Colart, Lemoine, etc. : 26 Question 803; solution par M. Cristesco 43 Question 1095; solution par M. Jonesco 48 Question 1010; solutions par MM. Jonesco, Collette^ etc 69 Question 1018; solutions par MM. Francq, Hacken, etc 71 Question lOvO; solution par M. Déprez 73 Question 1023 ; solution par M. E. Colart 77 Question 1031 ; solution par M. Droz Farny 77 Question 1053; solution par M. M an dart 98 Question 1059; solution par M. R. Buysens 100 Question 948; solution par M. Bastin ... 119 Question 950; soiut- on par MM. J. Jonesco, Barisien 147 Question 333; solutions par MM. Stuyvaert et Gelin 164 Question 1027 ; solutions par MM. Colart, Droz Farny, etc 171 Question 1038; solution M. Droz, Farny .174 Question 1034; solution par M. Retali ...... .... 207 Question 1039; solution par MM. Colart, J. Jonesco, etc 209 Question 1106; solution par MM. Soons, Déprei 235 — 283 — COURBES ET SURFACES OU SECOND DEGRÉ ; GÉOMÉTRIE PROJECTIVE. PagM. Une propriété des coniques; par M. J. Wasteels 13 Sur nne propriété des coniques (J.N.) par M. DrozFaray 16,87 Sur les coniques circonscrites à un triangle ; par M. A. Krahé 33 Notes de géométrie analytique ; par M. H. Mandart 38 Sur les triangles trihomologiques; par M. H. Van Aubel 53 Sur les triangles semi-coi^ugttés (J. N.)Retali, Lorent 59,142 Sur une conique inscrite ou circonscrite à un triangle; par M. Stuyyaert. 63, 81 Propriétés des triangles d*aire maximum inscrits dans Tellipse ; par M. B.-N. Barisien 88 Sur la recherche de certains lieux géométriques (A. C.) 110 Sur le centre des transversales angulaires égaies ; par M. Déprez .... 156 Équation focale des coniques; par M. E. N. Barisien 193 Propriété focale des coniques à centre; par M. Stuyvaert 195 Sur les cordes de courbure concourantes dans les coniques ; par M. Cl. Servais 222 Cercle orthoptique mutuel de deux coniques homofocales (J. N.) .... 227 Théorèmes sur le triangle; par M. Ferrati 241 Sur un lieu géométrique connu; par M. £. N. Barisien 247 Questions de concours; par M. Déprez . ...... ... 271 Question 985; solution par M. Cristesco .... 19 Question 994 ; solution par M. Bastin 21 Question 1003; solution par M. R. B 23 Question 1005; solution par M. B. Colart 25 Question 999; solution par M Droz Farny 08,109 Question 952; solutions par MM. Bastin. Servais, etc 120 Question 1000; solution par M. E. Buisseret 122 Question 1046; solutions par MM. A. Gob et Colart 124 Question 1"37; solutions par MM. Retali, Colarty etc 173 Questions 1026; 10^5; solution par M. Gob ... 202 Question 1110; solution par M. Retali 219 Question 1114; solution par M. Retali 234 Question 414; solution par M. Stuyvaert 252 Question 1061; solution par MM. R. Buysens et Droi Farny ... 255 Question 1100; solutions par MM. B. N. Barisien et Droz Farny .... 274 QuestioD 1115; solutions par MM. Libert et Droz Farny 276 COURBES ET SURFACES D'ORDRE SUPÉRIEUR. La eonchoïde de B. de Sluse ; par M. Q. Loria 5 Question 1021; solution par M. Retali 74 Question 1035; solution par M. Duporcq . .97 Question 901; solution par M. Droz Farny 148 — 284 — Qae8tion946; solution par MM» Cri8te8CO,Petreico 148 Question 1026; solution par M. Gob SQ8 Question 10S2 ; solution par MM. Qob, Colart» ete . . 206 Question 11^8; solution par M. S. N. Barisian ......... S3f7 Question 1081; solution par M. Gob 8S6 Question 1093; solution par M. Cristesco SS7 Question 1108; solution par M. Deprez S86 CALCUL DIFFÉRENTIEL; CALCUL INTÉGRAL; THÉORIE DBS SÉRIES. Propriété fondamentale des Wronskiens ; par M. A. Demoulin (fi2 Sur une formule de Newton; par M. Lampe 109 Sur diverses formules trigonométriques; par M. Lampe. . . • 189, 158, 188 Remarques utiles dans les calculs de limites ; par M. B. Cesàro .... 177 Question 267; solution par M. Stuyraert 42 Question 918; solution par M. Stuyraert 45 Question 252; solution par M. Stayraert 288 Question 982 ; solution par M. Stuyvaert ....*.. . • 168 Question 102;;; solution par M. Mandart . . 198 Question 1025; solution par M. Mandart 190 Question 919; solution par M. Gob 829 RIRLIOGRAPHIE ET RI06RAPHIB, PURUCATIONS RÉGENTES. Notre supplément 87 Congrès scientifique international des mathématiciens 40 X. Antomari. Cours de Géométrie descriptive (J. Van Rysselbergha) . 40 Mort de Weierstrass 62 Sur WolfgaogetJean Bolyai 194 J.-J. Sylvester P. M.) 245 J. Pbtsrsbn et H. LaUrbnt. Théorie des équations algébriques (M. Stuy- ▼aert) 52,249 K. Weierstrass, par M. d'Ocagne, 2« supplément ........ pp. 1-24 M. Froloy. Théorie des parallèles 82, 104 £. Gbun. Traité d'arithmétique 32 Z. G. DB Galdbano. Modernaa Generalisationei 82 L. Lobbntz, Œuvres identiâques 88 8. Krûgbb. Ellipsoïdale evenwichtsrormen eener wentelende homogène ▼loeistofmassa. . . ' 52 Ch. MBBA.T. Analyse infinitésimale (t. Il) 52 C. Wbsbbl. Repésentation analytique de la direction 104 L. GERARD. Arithmétique 104 W. BonwMAN. De Plûckersche Grootheden der Deviatiekromme . . . 104 J. Thirion. Leçons d'arithmétique. — Résumé des leçons d*arithméti()iie. . 127 - 286 — Q. FoNTBNi. Qéométrie dirigée Rkhàrb. Les femmes dans la science J. RuDiCAMN. Algèbre élémentaire A. Laisant et Pbrrin. Applications de l*A]gèbre à la Géométrie . P. Mansion et L. Gasco. Fanctiones hyperbolicas Ch. Hermitb etc. In memoriam Lobatchevskii B. Lbpbbvrb. Algèbre élémentaire .... M. Hacooub. Algèbre W. Bbman and B. Smith. Higher arithmetic R. Fbick und F. Klbin. Aatomorphen Fuactionen (I. Band) . . B PA8QU1BB. Cours de Mécanique analytique G. DB LONGCHAMpfl. Coors de problèmes de géométrie analytique . Annuaire du bureau des longitudes • . 238 288 239 239 239 239 262 262 263 263 280 QDBSTlOlfS D'EXAMEN. Questions 776 à 820 .... 30, SI, '78, 103, 127^ 151, 176, 215, 2i0, 263, 280 École polytechnique de Paris. Composition de mathématiques 152 Concours général des lycées de France 152 SÏÏPPLfiMENTS (48 pages). 1. Lbchalas. Identité des plans de Biemann et des sphères d*Buolide, pp. 1-11. — P. Mamsion. Sur la non identité du plan riemannien et de la sphère euclidienne pp. 12-16 2. M. D*OCAaNB. Karl Weierstrass pp. 1-24 S. P. ICansiom. Sur la géométrie non euclidienne pp. 1-8 posii G) I on (2) I 95. . 206(28) (1) m 011(2)1 252 . 143 (28) 267 . 175 (28) (1) 17 on (2) I '^SSS . . 119 (29) 353 . 159 ^^7 . 159 387, 2« p. 281(29) (1) 7 011(2) I 411. . 23(29) 415. . 46. . (2)7U 94 42 164 NR 258 NR I QUESTIONS (*). posii tésoL (1)71 011(2) I (2) 7a ^«513 . 71(30) NR (1) 7n on (2) I 594. . 264(31) NR 597. . 280 598. . 280(31) NR (1)1 699 .. 279 (2)n 767 .. 128 778. . 176. . NR '<788. . 216 . 117 posii (Sin . 216 784. 785 . 216. ^^89. . 240 ^^803. 815. 825. 857. 876. 882. ><886. X889. 892. 892bi« (2) m 31 . 56 80. 176 216. 240 240 264 264 280 aitoL (S)7n NR 43 NR NR (*) La rédaction de Matketit a en portefeuille de bonnes solutions des questions qui ne sont pas marquées des lettres NR (non résolues); elle engage ses collabo- rateurs à porter de préférence leurs efforts sur celles-ci. - 286 — posii (2) IV 901 . 31. 905. 32. X909. 55 910. . 55 932. . 104. 939. . 127 ><944. . 128 946. . 151. X948. . 151 . X949. . 151 . 952. . 152. 953- . 152 X959. . 175. 971 . . 216 X973. . 216 91B. . 239 . 979. . 240. 985. . 263. X986 . . 263 X989. . 264 990. . 264 994. . 279. 999. . 280. 1000. . . 280. (2) V X1002 . . 32 1003. . 32. 1005. 32. 1013. , . 80. 1014. . 104 X1015. 1( M et 240 X1016 . . 104. xion . . 104. X1018. . 104. X1019 . . 1S8 X1020 . . 128. 1021 . . 128. 1022. . 128. X102.S . . J52 1025. . 152 . 1026. . 152. 5<10*/7 . . 176. 1028. . 176. X10i9 . . 176 1030. . 176 X1031 . . 215. 1032. . . 215. 1033. . 215 X1034 . , . 216. 1035. . 216 1036. . . 2J0. 1031. 216 X1038. . 216. X1039. . 240. JOiO. . 210. X1041 . 24 0 et 264 tisoL (2>?n . 142 . NR 1 . 168 \ 1 . 145 . 119 18 . 120 XJ . 147 1 . 45 . 229 1 19 I •<] 68,109 XI . 122 1 . 2a XI 25 ^\ . NR X] . 26 69 XI 196 . 71 73 74 X| . 198 •77 xl . 199 . 202 . 171 x\ . 202 77 ] . 206 X] . 207 1 . 97 X] . 2H0 ) . ns . 174 1 . 209 XI . 124 ] 1 FOfil (2)V 042. . . 240 043. . . 264 < 044. . . 264 045 264 046. . 264 047. . . 280 048. . . 2>^0 049. . 280 .050. 280 (2)71 051 . . 32 052. 32 053. . 32 054 . 32 055 32 056 56 057 , 56 058. . 56 059. . 56 060. , 80 061 . 80 062. . 80 063 . . 80 064. . . 104 065. . 104 066. , , 104 067. . , 104 068. . 128 069 . . Iv8 071 . 128 072. . . 142 073. . 142 074 . . . 142 075. . 142 076. 192 0';7 . 192 078. . H)2 079 . 192 ()80 . . 215 081 . 215 082 . . . 215 0>-3. . 215 084 215 085 . . . 216 0H6. . 216 087 . , 216 0S8 216 089. 240 090. 2i0 091 . *^40 01)2. 240, (93 . . 264 094 . *^VA 095 . . i64 0U6 . . 264 097. , ^80 aisoL (2)Vn NR 98 . 149 . 100 . 255 . 231 NR 132 256 211 . NR ! . NR . . NR 280 NR . . i57 . . 101 48 NR 098 099. 100 101. 102 103, 104 105 106, 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 180 131 132 133 134 135 1;h6 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 NR NR 258 284 235 NR 276 NR 212 260 276 POfil RÉBOL (2) IV (2)Vn 280. . NR 280. . NR 280. . 272 (2) vn. 31,51. 31 . . 31 . . 31. . 32 32. . 51 . . 52,80. 52. . 52. . bO, 102 80 80. . 80 102. . 102 102 102 125 126 126 127 150 . . 150. . 150 151 175 175. . 175. . 175 213 213 . 214. . 214 214 214,237 NR 214 260 NR 286 286 NR NR NR 215 . .- NR 287 . . NR 287. . NR 238 238 261 . . NR 261 . . NR 2t)2 262 . . NR 279 . . NR 279 . . NR 279 . . NR 279 . . NR NCM,Dxcviii,t.VI,525 27 CLXXII, t. II . 50 TABLE DES NOMS. Abonna, 16, 2SB. Catalan, 43, 13. 835,255,286,858,261, Agnmi (Muriel. 238. Alembart (D') 250. Ampère, in. Cauchy, 52, 250. 215, 27). 280. Caïl8j.l60. 163.194,845 Dubouii,2t8. Cazamiaa, 31,91. Dui>orrq, 91,855. Anùri, 119. Cesâro lE.), M, 171. Dnran LoriRa, 180. Andrieo, ïU, 2T5. Ce.a, 141 Eekwehr (Ton), 195. Antomari, 4». Cbatelet (Uarquiee du). Euclide, 32, 47, 86, 104, AnoaTme, 11 238, ll:l.2Gli. ApolloDiu8,193,2îa.25T Chaslea,83. 120,221. Eu 1er. ÏU7. ArKand, llH. S&O. ArODhold, 249. tlebsch, 249. rairoo, 119. Clillord, ï45. Aubry. 129. Colart, 25.26, 68. 1ï,n, 50 » ■ . . Audibert, »^6, 2Sl,S7e. in. 124, 149. m, 113, Ferrnli,241, Aïiiieiid'i, ana. ]y5,2iw,aio,aii, asi, Finck, 105. B. (K.). 23. 251, 27ï, 219,2-^. Koul>-në 151. liariy, ÏSI. Col.olte, :(2, 40. 50, 69, Koui UT, 37, 850. BalUer. lOO.SffJ. 11.Ï35.258. François, 98, 118. 236. Fri.Qcu,i6,1l, 17, 78,99, BarbarÎD, S67. Cor, 23S. Barbette.SI. 86.251. Cornu. 2». 12â. 210, 256. ItarisisD, 19, 23, 36, Si Conturior 86,13,77,112. Premier. 256. *), 31. Si, 82. 14, 78, 113 Fri>.ke,SSt. 19, 88. loa, 108, lao. Ci-dle,130. Froiow. 32. 104. m, I£4, IVI. 138, 141, Cristeeco, 19, !6. 43, 73, naldt-auo de), 32. 141,113, 193, 1B9, a«. n, 18, T45, U1, 113, Galois,251. iU. 830, ï34, »;«(. -1*1. B36,2W.151.k60. liaiiss. JUl, 194. 210,241,^57,261,273. Cnsa, lï9. Geiin,3i:, 167. BMtin, ïl, 26, 110, 120, ■>urbaux,244. Ganly. i3. 145. DaTidofclou. 26. Gérard, 104,218,865. Bellachi. 18, «64. DcrtekiDd.150. Gerurdyille. 239. Beman,26i;. Deg-n. iOI. Gerui'.m (3i>pbiu), 238. BurBmsrm. 836. DeKUsldre, 99, 151, 112, CiUei.eS. Beraoulli.SI, JS6 2IU,'<3j, v60,212. Delabnje,ï6, 18. Gob,6*, 73,124, 175.208, BézDut, '^dO. 806.210,214,229,256, Bolyai, 191. I>i! Land. ïOI. 26ï. IJo>riiiite, 94, ï39. Brocar.1 II.j.Sl, 5H, 98, Desaint. 19H. Horner. 251. 149,18a, 193. ans, 235, DencBries, 250. HuvK-DB, !>. 238. Ï4l,an, 219. DfTiily,37, 114. Hyt>atie. 238. Budan, 250. Diodes, 7. J. (LiëiKI. toi. Buifser^t. 122. Dincblet, 150. J^.DRfl^n, 280. Buy»en«.ï6. 11. 100,1k, 113.2.0.855,211. Dtot briroy, 80, 23. 86, J«Fabel.,lH,a56. 58,68,78.13, 11, 101, Jo]ichim8[hal, 121. C.IA), 13,112, 150, 214, lil2, 1111. lï."). 143. i;i. JoB«sTOiH.),i6. 13.77,178. 231, 219. 178, 173, 115, IM, iLOa, Joneaco (J.). SO, 26, 49, Cantor (U.), 87. 210, 813, 215, 230, 234, a», 10. 72, 13, 77. 78, ). 210. JoublQ. S25. 96^. Kaelhoff, 173. Klein (F.|, £68. iLlompers, 20,96,69. Koenigs, 151. KoTalewBki(U*),28». Erahâ, 33. ErQfrer, &2. 67. IiagronK«,351. LnisaDt, 17, H, 106, 23». LakhtiDa, 179. LaiDp«,10g,lS9,153,I83, itë. LaurenB, 100. Laurent (H.), 69,249. Lâcbaliu, 37. Latébvra, 239. Leiboiii. 134. Lemoine, 17, 26, 86, 57, 68. 71, 80, 105, 120, 176, £34. 239. 241, S6U, ses. Le Paige. 5. Libert, ^72, ZTl. Lipkine. 246. Listray, 18. Lobalchersky. 37. 112, 136. 1&8, 160,239. Loewy, 28u. LoQftchampB (de), 236. Lorent. 142. Lorenb, 32. Lu<;fta'(Bd.),94, -17,270. IHaclaurîD, 106. Uaea, 234, 236. Mandart, £0, 26, 39, 52, 70, 73, 77, 'S, 80, 98. 126, 172. 173, 196. 198, 199, 806, S07. 230, 276. Uannheim, 16. MaDSiOD. 37, 40, 62, 104, 109,117,129, 160.226, 2:^.205. Maxwell, 32, 24S. Uaseau. 1^9. Mathot, 139. 193,216. ydrav, 5Î. Merlin, 77, 78, 172.173. Uetmce, 168,249,269. Uonteiro. 371. Uontaaari, 196. Moore, i79. UDirhead,262. lVBiiberg,8,U,n,8B,40, 46, 59, 6J, 152, 77, 78, 87, 100, JUa, 119, 126, 143.176, 191. 199,193, 201, 209. :jI!, 212,214, 276. NewtoD, 106. 109, 1£9, 188. 246, 2G0. Niflwenglowiki, 69, 106. Ocafcne (d'), 191, 239. 262. Oltramare, 28. Pascal, 126, i:41, 261. Paequier, 263. Patemo.&l. Peaueelller, 246. Pell, 270. P«rria, 239. l'ervouchina, 179. PetarBeii,G9,24tl. Peiit-BoiH, 1:41. Patresco, 146. Picard, 245. PlakhoTo, 87. PlQcber, 104. PoiQc 5.280. Polain. 277. Prime (V'>, 69, 108. Puiaeui. 980. Realis, 27. Bebiàre,238. Retali, 74,126,127,142, 173.207,913,230,284, 266,277. Beye, 107. R^yea, 86. Riemann (6), 113,156. Riei n (J.J, i Rit sel lie. 24a. RopQuiBny (de), 18, 150, 217, iae, 264,179. Romieux, 151. House, 195. Rowe. 1S4 gHCchen. 37. Salmon.75, 207, 223. B■^]ano,^^. Sarrua, 106. ScheriDR. 20S. gchlOmtlch, 129. ScbiMider, lOS. SchoDte, 76, 10t. SelifrniBiio, 71, T7, SB, 128, 178. Serret. 130, 350. Beriaia, 06, 83, 130, m, 122. Smith (D), 362. Smith (B.). 345. SoilartiiiBky. 100,36*7. Somarville lUary), 338. SoooB, 8(t, 9S, 103. 147, 175, 176.215,231,336, 2S6. 256, 260. Standt(Ton), 66, 81. SteiDer,77, 106,192. Stewart, 158. Strymeersch, 147. Sturm. 260, Stuyvaert, 31, 42, 45, 51, 6;t, 81. 94. 150.161,161, 168, I9(, 195, 21S, 328. 249, 252. SylveBler, 246. Tait, ^0. Tannerv(J.). 287. Tarry iG.),n6. 198. Taylor (H. M.), 164. ThieU, 101. ThIriOD. 127. Thomson, 315. Tiele, 77. 78, 173. Torrieelli, 106. Tiitiéica, 199. Va]eatiaer,32,104. Vallée PoDBsin (d* la). Van DoTBlen, 11^. Van By>«elbergba, 43. Verrteyen, 123. Verhelst.gs. Vuibi-rt,"9. 108.104, 127, 1^8, 151. n-aatralsa ), 13. WeiersirasB, 62. Wessel, 104. Wilson. 163. Wolalenholme.SSI. Keathan, 76, 101. Bitrail cIm Anmmhê i9 la Soeiéle ioientifiqmê de Bruxtllêê, 1896, t. XX, f* piirlie. IDENTITÉ DES PLANS DE RIEMANN KT DES SPHÈRES D'EUCLIDE PAR M. 6. LBGHALAS, Ingénieur en chef des PonU et Chaussées. Chacun sait que la irigonométrie des plans de Riemann est identique à celle des sphères d*Euclide el qu*il y a de même identité entre la trigonométrie des plans de Lobatchefsky et celle des pseudo-sphères, surfaces euclidiennes étudiées par Beltrami. Il n'en a pas fallu davantage pour que certains adversaires des géoméiries non euclidiennes aient cru pouvoir plaisanter leurs partisans, en prétendant que leur découverte se réduisait à un changement dans les noms des surfaces. Les géomètres non euclidiens n*ont pas manqué de protester contre cette assertion et de soutenir énergiquemeut la distinction des surfaces que Ton prétendait confondre. Cependant un philosophe aux allures indépendantes et aux intuitions parfois géniales, M. Delbœuf, reprit la thèse des euclidiens, mais en en transformant complètement la portée : pour lui, plans de Riemann et plans de Lobatchefsky ne sont bien que des sphères euclidiennes, mais envisagées dans des espaces à trois dimensions différents du nôtre et dans lesquels elles présentent des propriétés également différentes (*). n Voir Repue phUosophique d'avril iS94, pp. 373 k 3T7 [L'ancienne et let twm- meUet géométries). — « — L'idée nous parut profonde el mériter le plus sérietti examen. Pour qu*on puisse admettre l*idcntité de deux surfaces, une première condition est nécessaire, à savoir Fidenlité de leurs géométrics propres, c'est-à-dire abstraction Taite de tout espace à trois dimensions dans lequel elles seraient contenues. Or, cette condition permet d*écarter immédiatement Tideniité des pseudo-sphères et des plans de Lobatchefsky, car les géode- siques des premières se coupent deux à deux un nombre infini de fois, et celles des derniers une seule fois ; par deux points d*une pseudo-sphère il passe de même une infinité de gëodésiques, au lieu d*une géodésique unique; et enfin, si le déplacemeoi d'une figure s*opère, en un sens, sans déformation sur une pseudo-sphère, cette propriété n'est pas absolue, car le déplace- ment peut faire naître ou évanouir certaines intersections, ou seulement changer les points où elles se produisent et les angles qu'elles engendrent. On peut, il est vrai, faire évanouir ces différences en considé- rant une pseudo*sphère sur laquelle une infinité de feuillets seraient enroulés et en faisant abstraction des intersections résul tant de la superposition des divers feuillets : c'est ainsi qu'on peut considérer un cylindre de révolution comme ayant identi- quement la géométrie du plan. Mais cet artifice, intéressant assu- rément, ne saurait permettre de poser l'identité des surfaces. Ajoutons que l'arc de géodésique qui joint deux points d'une pseudo-sphère est plus long que la droite euclidienne, alors que celle-ci est plus longue elle-même que toute droite de Lobal- chefsky allant également de l'un de ces points à l'autre ; mais cette considération oblige à sortir de la surface étudiée. A l'égard des sphères euclidiennes et des plans de Riemann, rien de tel ne peut être objecté : les géométrics de ces deux classes de surfaces, considérées en elles-mêmes, exclusivement comme des espaces à deux dimensions, sont absolument iden- tiques. Ce fait ne saurait toutefois constituer une preuve de l'identité de ces surfaces elles-mêmes, car il est parfaitement conciliable av<'e Tapparition de propriétés différentes dans un même espace à trois dimensions: ainsi en est-il du plan et des cylindres — 5 — à flirectriee ouverte, comme les cylindres paraboliques, dont les géométries à deux dimensions ne diffèrent nullement. Aussi n'avons-nous été convaincu que par des considérations complé- mentaires présentées par M. Delbœuf, considérations que nous allons reprendre en leur donnant un développement analytique, mais qui nous parurent immédiatement démonstratives, la pos- sibilité de ce développement étant évidente pour nous. Port de cette conviction, nous avons exposé à notre tour la thèse de M. Delbœuf, réduite au cas des plans de Riemann et des sf)hères d*Euclide, dans notre Étude sur l'espace et le temps (*). Le cadre de cet ouvrage ne comportait d*ailleurs pas le déve- loppement analytique qui aurait pu é(re utile, et, en tout état de cause, nous pensions bien que cette conception soulèverait des objections, à moins qu'elle ne passât inaperçue. Nous sommes reconnaissant à M. iMansion de nous avoir fourni Toceasion de reprendre cette question avec plus d'am- pleur, en critiquant notre manière de voir dans un compte rendu, d'ailleurs beaucoup trop bienveillant, de notre ouvrage, qu*il a publié dans la Beime des questions scientifiques (**). Disons tout de suite pour quel motif la raison invoquée à Tappui de cette critique ne nous parait aucunement convaincante. La sphère euclidienne, dit M. Mansion. a un centre unique, ce qui n^est pas le cas pour un plan riemannien. Or, la propriété invoquée est évidemment relative à Tespace à trois dimensions dans lequel on considère la sphère, et notis aurons simplement à voir si elle subsiste lorsqu^on envisage cette surface dans Pespace h trois dimensions ayant mêmes géodésiques quVIle ; dans cet espace, nous devrons exactement retrouver les propriétés des plans de Riemann (***). Au risque d'être un peu long, mais afin de préparer le terrain vi de faciliter l'interprétation géométrique du développement a Page 3K (") Janvier 4896, p. â66; voir spécialement p. S69. (***) Nous devons dire que, dans le tirage k part de son compte reoda, M. Mansion a rapprimé l'argument toot en maintenant la critique. - 4 — analytique que nous allons présenter, nous réduirons d*abord d'une unité le nonobre des variables, parce qu'ainsi nous ne sor- tirons pas de la géométrie euclidienne la plus élémentaire. Dans un espace à trois dimensions euclidien, cVst-à-dire ayant la droite euclidienne pour géodésique, soit la sphère : x' H- y' -♦- z* — R», que nous coupons par le plan Xi=«0; la courbe d'intersection est le cercle y* + z* ^=9 R<. Si maintenant je rends ce plan mobile autour de Taxe des z, en lui donnant pour équation x>=> y tang a, la courbe d'intersection restera la même, quel que soit a, en raison de la parfaite symétrie de l'équation de la sphère, et ainsi du reste qu'on le vérifierait lacilement au moyen d'un change- ment de coordonnées qui ferait du plan sécant le nouveau plan des yz (*). Il résulte de là que, lorsque le plan sécant tourne autour de Taxe des z, le grand cercle qu'il détermine constamment sur la sphère engendre celle-ci, et l'on peut ajouter que, lorsque a est égal à ic, chaque moitié du grand cercle vient en coïncidence avec la position primitive de l'autre moitié (**) : il y a eu retour- nement du cercle. Ce retournement, d'ailleurs, au lieu d'être considéré comme résultant de la rotation d'un plan autour de l'axe des z dans l'espace à trois dimensions, peut être regardé comme opéré par une rotation sur la sphère elle-même autour des points où cet axe perce cette surface, X =» 0, y — 0, 2 -» db R. On peut donc dire que le cercle est une ligne retoumable D Les fonniiles de trtnsformttion seraient x^x^ C08 « -i- y* siD «, y ses — j:' sin jc -«- y' cos a, J — 1'. **) Ceei résalta immédiatemeat de U symétrie de réquatioD du eercJt. -5 — autour de deux de ses points, sur les sphères dont il est grand cercle. Remarquons d'ailleurs que, pendant la rotation, les points situés sur le plan des xy ont décrit le grand cercle x^ -hy^mm R* et sont, durant tout le mouvement, restés à une distance constante iicR des deux points autour desquels s*cst effectuée la rotation : un grand cercle a donc deux centres sur la sphère, auxquels répondent deux rayons égaux. Tout point, à une dis- tance PR d'un des centres de rotation, décrit également un cer- cle ayant aussi deux cenlres,mais auxquels répondent des rayons inégaux, |3R et (n — |3)R, ayant tcR pour somme. La parfaite symétrie de Féqualion de la sphère montre la généralité de ces propriétés. Nous allons prendre maintenant une variable de plus, et nous demandons qu'on veuille bien nous suivre, sans préoccupation sur le point d'arrivée et les conclusions à tirer de ce que nous établirons, mais en contrôlant simplement l'exactitude de la géométrie que nous développerons (*)• Dans un espace euclidien à quatre dimensions, c'csi-à-dire ayant la droite euclidienne pour géodésique, l'équation X* H- y* -♦- 2?* -♦- v' = R', représente un espace à trois dimensions que nous appellerons sphérique. Dans cet espace d'ailleurs, une équation du premier degré représente un espace euclidien à trois dimensions, et celui qui a pour équation x « 0, coupe l'espace sphérique suivant la sphère y« -♦.«*-♦. r' = R', qu'on peut appeler grande sphère^ car tout autre espace, tel que X «s a, déterminerait une sphère de plus petit rayon : y« H- »« ^ I?' — R* — a\ (*) L« principe de rei|»osé qui sait nous a été indiqaé par notre ami, M. Ctlinoa. — 6 — Rendons mobile l'espace x «» 0 autour du plan des tv, tm chanj^eant son équation en : X's^y tanga; la sphère d'intersee- tion restera la même en raison de la parfaite symétrie de Tëqua- tioii (le lespace spliériquc et ainsi du reste qu*on le vériBerait facilement au moyen d'un changement de coordonnées qui ferait de fespaoc sécant celui des nouveaux axes des y, des z et des V C). Il résulte de là que, lorsque Pespace sécant tourne autour du plan des zv^ la grande sphère qu'il détermine dans Fespaoe sphérique engendre celui-ci, et Ton peut ajouter que, lorsque c est égal à ic, chaque moitié de la sphère vient en eolneidenoe avec la position primitive de l'autre moitié : il y a eu retourne- ment de la sphère. Ce retournement, d'ailleurs, au lieu d*é(re considéré comme résultant de la rotation d*un espace euclidien à trois dimensions dans un espace également euclidien à quatre dimensions, peut être regardé comme opéré dans l'espace sphé- rique à trois dimensions lui-même, autour du grand cercle sui- vant lequel le plan dos zv coupe cet espace sphérique : X — 0, y = 0, z* -I- V* «= R*. On peut donc dire que la sphère est une surface retournable autour de ses grands cercles, dans les espaces sphériques è trois dimensions dont elle est grande sphère. Pendant cette rotation autour d'un des grands cercles, chaque point de la sphère reste à des distances constantes de chacun des points de ce grand cercle; si donc nous considérons im des points de celui-ci et le grand cercle dont il est le centre (ou le pôle), tous les points de la surface engendrée par ce grand cer- eli* seront également distants de lui et formeront une sphère dont il sera un centre, mais qui en aura un second, à savoir le second centre du grand cercle générateur. Les deux rayons de cette grande sphère seront tous deux égaux à i ic R. Si au lieu d'un grand cercle, nous prenons un petit corde, il engendrera une petite sphère ayant deux rayons (JR et (jz — ^)R. (*) I^es s et les y ne changent |»as, et les formule» de transformation des x et des y son eellei qve ooni avons vues précédemment — 7 - Les propriétés dont jouissent ainsi les sphères euclidiennes dans les espaces sphériques è trois dimensions sont exactement celles des plans ou des sphères de Riemann, f uivant que Ton considère ime grande sphère ou une petite sphère dans Tespace sphérique. Il est bien évident d'ailleurs que, les formules rieman- niennes ^ deux dimensions étant identiquement celles de la géo- métrie sphérique euclidienne*, leur généralisation par Tintroduc- tion d*une troisième variable doit forcément conduire aux formules des espaces sphériques è trois dimensions. Si Ton peut qualifier « euclidienne » une sphère, pour expri- mer qu'elle peut être située dans un espace euclidien à trois dimensions, nous pouvons qualifier de même nos espaces spbé* riqucs, puisque nous les avons précisément déterminés au sein d*un espace euclidien à quatre dimensions. Ces qualifications n'empêchent pas qu'on puisse dire très justement que, dans un espace sphérique à deux ou à trois dimensions, tout est sphériqtie; mais il n'en est pas moins vrai que ces espaces contiennent cer- taines figures, les cercles et les sphères, qui leur sont communes avec les espaces euclidiens à deux et à trois dimensions. Seule- ment, les propriétés de ces figures communes différent profon- dément quand, sortant d'elles-mêmes, on les envisage dans un espace euclidien ou dans un espace sphérique. Sur l'espace eucli- dien à deux dimensions, le cercle n*est ni géodésique ni retour- nable et n'a qu'un centre; sur un espace sphérique à deux dimensions, il a deux centres et peut être géodésique et retour- nable. De même, dans un espace euclidien à trois dimensions, la sphère n'est pas retournable et a un centre unique; dans un espace sphérique h trois dimensions, la sphère a deux centres, el elle y est retournable lorsqu'elle a même géodésique que lui. Or^ dans Vun et l'autre cas, cercles et sphères sont bien identiques^ puisque nous les avons obtenus en coupant les espaces sphériques à deux et trois dimensions par des espaces euclidiens à deux et trois dimensions : c'est la superposition sous sa forme la plus immédiate. La conclusion de tout cela est simple : les plans et sphères de Riemann sont des sphères identiques à celles d'Euclide, et ses — 8- espaces à trois dimensions sont des espaces sphériques suscep- tibles d*entrer dans un espace euclidien à quatre dimensions. M. Mansion, dans les lettres qu'il a bien voulu nous écrire, parle des espaces sphériques à trois dimensions euclidien, rie- manniens et lobatchefskiens ; mais il ne saurait les distinguer les uns des autres plus qu'il ne le fait pour les sphères : tout ce qui est possible, c'est de placer ces espaces sphériques dans des espaces à quatre dimensions euclidien, riemanniens et lobat- chefskiens, ce qui fera sans doute apparaître des propriétés dis- tinctes, mais propriétés relatives h ces divers espaces à quatre dimensions et n'établissant aucune distinction entre les espaces sphériques. Si, dans un de ces derniers espaces, on prend cinq points quel- conques, leurs dix distances vérifient la relation riemannienne, du moment qu'on les a mesurées dans cet espace, c'est-à-dire suivant les arcs de grand cercle qui en sont les géodésiques; mais, si on les mesure suivant des droites euclidiennes, lesquelles ne peuvent entrer dans cet espace sphérique, ces distances véri- fient naturellement la relation euclidienne de Lagrange, puis- qu'on s*est ainsi placé dans l'espace euclidien déterminé par ces cinq points. Nous croyons avoir bien marqué en quel sens nous admet- tons cette proposition que « tout est euclidien dans un espace euclidien, riemannien dans un espace riemannien >, comme nous l'a écrit M. Mansion. Il semble que, pour lui, cette proposition ait un sens beaucoup plus absolu et signifie qu aucune figun^ euclidienne ne peut entrer dans un espace riemannien, et réci- proquement. De Id résulterait d'abord Timpossibilité de comparer les distances de deux points dans un espace riemannien et un espace euclidien, puisque, en l'absence d'une unité commune, ne pouvant être fournie que par une ligne entrant dans les deux espaces, l'application des formules correspondantes ne saurait fournir des résultats comparables. Logiquement d'ailleurs, cette interprétation, erronée selon nous, devrait être poussée beau- coup plus loin, la même impossibilité, comme nous l'a fait remarquer M. Mansion lui-même à la suite de la communica- — 9 — tîon de la remarque précédente, devant être étendue aux figures de deux espaces riemanniens (ou^ lobatchefskiens) de paranoétres différents (*)• De Ifty nous pensons qu'on devrait conclure Timpossibilité de distinguer deux espaces riemanniens» comme deux espaces lobatchefskiens, fun de lautre, car deux espaces de même nature ne diffèrent que pr les valeurs données a un paramètre, et, ce paramètre étant une longueur (ou le carré d*une longueur suivant les formules adoptées), on ne peut le déterminer que par une mesure dans Tespace correspondant : si aucune communica- tion n*existe d^un espace à Tautre, aucune comparaison n^est possible entre les paramètres. On ne saurait plus dès lors que prendre le paramètre pour unité, ainsi que Ta fait Lobat- chefsky. M. Mansion a trouvé une réponse ingénieuse, mais non démonstrative selon nous, à ces réflexions. Si, dit-il, on mesure sur une sphère euclidienne (**) les côtés d*un triangle rec- tangle isocèle, avec un arc de grand cercle quelconque pris pour unité, et si Ton trouve 45, 45 et 60 pour mesures des trois côtés, le paramètre ou rayon de la sphère doit vérifier la relation cos d*où Ton tire : (tI^^^ItI^^^^Ij) 180 Si ensuite un autre observateur, mesurant le même triangle, trouve 45, 45, 59, le paramètre y sera donné par la relation cos ■y (vl^'^l?)^''*!?) (*) L'espace eodidieo éunt la limite commune des espaces riemaoniens et lobatchefs- kiens dont les paramètres croissent indéfiniment, il n'y aurait aucune raison pour poser l'exclusion de toute figure commune entre lui et les espaces de ces deux classes, si l'on admettait la communauté de figures entre les divers espaces d'une même classe malgré la différence de leurs paramètres. (**j On sait que, pour nous, les sphères de tous les espaces sont identiques quand elle ont même courbure. - 40- et 8a valeur sera plus petite que x : de là Tidée de paramètres diiïérents; mais nous pouvons être assurés que» cette idée ne pouvant avoir de base rationnelle dans Thypothèse faite, une hypothèse contraire s*est glissée subrepticement dans le raison- ncnienl. Or, on nous parle de rayon, ce qui suppose toute une théorie de la sphère dans un espace à trois dimensions où les rayons sont comparables; à supposer même qu*on ne parlât que de paramètres dont on cherche la valeur, Tinterprétation en serait tout autre si Ton s*en tenait à la notion de sphères entre lesquelles toute comparaison de longueurs serait impossible, A s*en tenir, en effet, à la sphère sur laquelle ils se trouvent, la recherche expérimentale de nos deux observateurs se réduit à ceci : trouver le rapport qui existe entre Tare pris pour unité et la longueur x figurant dans les formules. S*ils obtiennent deux valeurs différentes, c'est que Pun an moins s*est trompé ; mais, dit-on, cela leur fait concevoir que, sur une autre surface, x pourrait avoir une autre valeur. Or, pour que x y eût une autre valeur, il faudrait que Ton put comparer les longueurs de cette autre surface à noire unité, et cVst précisément ce que Ton s'est interdit. Cette unité n*a de sens que sur la surface où elle rsl prise : c*est une certaine fraction de la géodésique totale et eo n*est que cela; sur toute autre sphère, il en sera de même. La véritable conclusion h tirer par lobservateur maladroit et ne croyant pas Tètre serait qu*il n*est pas sur une sphère, car il ne saurait concevoir dautres sphères où son unité de mesure serait contenue dans la géodésique totale un p!us ou moins grand nombre de fois. En terminant cette discussion, nous dirons quelques mots d*une suite naturelle au désaccord sur les espaces de Riemann. Dans ceux de Lobatchefsky entrent des sphères de toute cour- bure, notamment des sphères de courbure nulle, qu*on appelle horisphères et dont la géométrie est exactement celle du plan euclidien, à Icxception des propriétés qui, supposant la retour- nabilité, sont relatives à lespace à trois dimensions dans lequel ou envisage ces surfaces. Pour nous, sphères et horisphères sont des sphères et des plans d'Euclide transportés dans un espace à - Il — trois dimensions. On établirait d'ailleurs cette proposition par le procédé employé ci-dessus pour les plans de Riemann. Toutefois, comme certaines figures des espaces de Lobatcbefsky» notam- ment leurs géodésiques, ne peuvent entrer dans un espace euclidien, quel que soit le nombre de ses dimensions, c*est dans un espace de Lobatchefsky à quatre dimensions qu'il faudrait placer un espace euclidien à trois dimensions, de même que, tout à l'heure, nous placions un espace sphérique à trois dimen- sions dans un espace euclidien à quatre dimensions. On pourrait à ceci faire une objection : vous prenez un espace de Lobatcbefsky à quatre dimensions, et vous y introduisez, dites-vous, un espace euclidien à trois dimensions où Phorisphère est retournable; en réalité, vous n'introduisez qu'un espace iso- métrique de l'espace euclidien. L'objection est irréfutable, en ce sens que nous ne pouvons distinguer un espace euclidien d*un autre espace ayant même géométrie; cela est si vrai qu*on n arrive jamais qu'à faire des géométries générales, convenant à tous les espaces isométriques. Ce qu'on démontre donc, c'est ridentité deux à deux des sphères et des plans de tous les espaces qui vériGent la géométrie euclidienne avec les sphères et les borisphères de tous les espaces vérifiant la géométrie de Lobat- cbefsky. Il serait aisé de montrer que, de même, nous n*avons d'abord prouvé que Tidentité deux à deux des surfaces sphé- riques des espaces vérifiant la géométrie d'Euclide avec les sphères et les plans de même courbure des espaces vérifiant la géométrie de Riemann. — 12 — SUR LA NON-IDËHITlTii DU PLAN RIËMANNIEN ET DE LA SPHÈRE EUCLIDIENNE PAH P. MA.IVSIOM^, Professeur a rLJiiiver»itc de G4ii(l. Bien que nous trouvions irréprochables les calculs de M. Lechalas, dans sa note intitulée : Identité des plans de Rie- mann et des sphères d*Eucl%de^ nous ne pouvons admettre la conclusion finale que fauteur en tire. Pour faire comprendre la raison de notre dissentiment, nous devons remonter aux prin- cipes mêmes de la géométrie générale. La droite euclidienne est, par définition, telle qu*clle vérifie à la fois les postulats 5 cl 6 d'Euclide, savoir : « (5). Deux droites d*un plan se rencontrent si elles font d*un même côté avec une transversale des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux droits. (6). Deux droites ne peuvent enclore un espace. » Dans un triangle rectangle euclidien, on a entre les nombres a, 6, c qui mesurent Thypoténuse et les côtés, la relation fonda- mentale o« — 6«-^c« (E) L*e$pace euclidien est caractérisé par une relation de Lagrange, qui se déduit de (E) et que nous appellerons (£'), entre les dix distances mutuelles de cinq quelconques de ses points. On peut définir analytiquement de même un espace euclidien à quatre — 13 — dimensions, par une relation (E**) entre Içs quinze distances mutuelles de six quelconques de ces points. La droite lobatchefskienne est, par déûnition, celle qui ne vérifie que le postulat 6 d*Euclide. Dans un triangle rectangle lobateherskieny on a une relation de la forme Ch(j)-Ch(^)ch(î) (t) où / est un paramètre numérique dont rien, en géométrie tbéo- rique, ne détermine la valeur. Un espace lobateherskien à trois (ou quatre) dimensions est caractérisé par une relation qui se déduit de (L) et que nous appellerons (L') [ou (L")], entre les dix (ou les quinze) distances mutuelles de cinq (ou six) quelconques de ses points. La droite riemannienne est, par définition, celle qui ne vérifie que le postulat 5 d*Euclide. Dans un triangle rectangle rieman- nien, on a une relation de la forme cos (;)-«««(;)^«v) ^^^ où r (comme / dans le cas précédent) est un paramétre numérique dont rien, en géométrie théorique, ne détermine la valeur. Un espace riemannien a trois (ou quatre) dimensions est caractérisé par une relation qui se déduit de (R) et que nous appellerons (R') [ou (R")]i entre les dix (ou les quinze) distances mutuelles de cinq (ou six) quelconques de ses points. Cela posé, considérons dans un plan euclidien, lobatcliefskien ou riemannien, deux axes recuingulaires. Soient a, ^, p les dis- tances d*un point du plan à ces axes et à leur point de rencontre. L*équation d*un cercle sera dans les trois systèmes de géométrie, pourvu que Ion suppose * — «» y — P» R — f en géométrie euclidienne; — 14 — x-Sh(j), y-Shg). R«Sh(0 en géométrie lobtlcheffkieniie ; en géométrie riemannienne. Dans ce dernier cas, si R «=» 1 , on obtient, comme cerele-limite la droite riemannienne. La droite riemannienne joait de la propriété d*avoir deui centres; la distance de Tun quel* conque de ses points i Tun de ces centres (rorigine des coor- données) est la même que la distance de ce point à Paatre centre (point opposé à Torigine). Considérons, dans un espace euclidien, lobatchefskien ou rie- mannien, trois plans rectangulaires. Soient a, P, y^ p les distances d*un des points de cet espace i ces plans et i leur point d*inter- section. L*équation d*une sphère sera pourvu que Ton suppose x = a, y = p, z = r, R-=^ en géométrie euclidienne; en géométrie lobatchefskicnne; X— sin (^]. y = 810 (-). z— sin (^j. R-.sia (îj. en géométrie riemannienne. Dans ce dernier cas, si R =» 1, on obtient, comme sphère- limite, le plan riemannien. Le plan riemannien jouit de la pro- priété d*avoir deux centres. La distance de Tun quelconque de 9e% points à Tun de ces centres (Forigine des coordonnées) est — 15 — la même que la distance de ce point à Tautre centre (point opposé à Torigine). On conçoit de même ce que signifie, en analyse» un espace •pbérique à trois dimensions, situé dans un espace à quatre dimensions, euclidien, lobatehefskien ou riemannien, et défini par une relation de la forme ac» -•- y* -♦- z* -H V*— R*. x« y» z, t% R ayant encore une signification différente, dans les trois cas, que nous supprimons pour abréger. Dans le cas où Rk3 ly on obtient, comme espace sphérique limite riemannien, Fespace riemannien à trois dimensions, lequel a, dans Pespaee riemannien i quatre dimensions, deux centres qui sont situés à la même distance d*un point quelconque de cet espace. Les propriétés qui constituent la géométrie de la circonférence considérée sur la sphère de même rayon ; celle de la sphère considérée dans Tespace sphérique de même rayon sont les mêmes que celles de la droite dans le plan riemannien, du plan riemannien dans lespaee riemannien. En effet, ces propriétés ne dépendent pas de la valeur de R ; elles subsistent donc pour R«M 1. En particulier, un cercle de rayon R sur une sphère de rayon R a deux centres équidistants sur cette sphère, une sphère de rayon R, dans un espace sphérique de rayon R, a deux cen- tres équidistants dans cet espace sphérique, les distances étant comptées sur des circonférences de rayon R. A cause de cela, M. Lechalas dit que le plan riemannien est identique à une sphère d*Euclide (ou de Lobatchefsky). Nous ne pouvons admettre cette proposition de M. Lechalas, i moins qu elle ne se réduise à une tautologie. En effet, la définition d*une circonférence, d*une sphère, d*un espace sphérique d'Eudide ou de Lobatchefsky implique la con- sidération du centre de celte circonférence, de cette sphère ou de eet espace sphérique, la distance de ce centre aux points de ces diverses figures étant comptée suivant des droites eucli- diennes ou lobatchefskiennes, tandis que les distances, dans — 16 — la géométrie propre de ces figures, sont comptées suivant des circonférences. Or, la droite riemannienne, le plan riemannien, Fespace riemaimien ont deux centres* symétriques par rapport à ces figures : les distances de ces centres aux points de ces Ggurrs sont comptées sur des droites riemanniennes, comme les dis- Isinces considérées dans la géométrie propre de ces figures. Ces propriétés sont différentes de celles des figures corrt»spon- dantcs d*Ëuclide ou de Lobatcliersky, si on les eoiisidère avec leur centre, et alors la proposition de M. Lechalas nous semble inexacte. Si, au contraire, on considère ces figures sans leur centre, elle revient à cette identité : La géométrie du plan et de Tespaee de Kiemann est la même que celle de la splière et de Tespace sphé- rique d*Euclide ou de Lobatchcrsky, pourvu que, dans cette dernière géométrie, on mesure les distances sur certaines ligues tracées sur la sphère ou dans Tespace sphérique,ees lignes ayant dans cet espace les mêmes propriétés que les droites de Rie- mann. En réalité, dans ce cas, aucune propriété justifiant rem- ploi des mots d'Euclide ou de Lobatchefëky n*intervient dans la définition de la splière ou de Tespace sphérique considéré; au contraire, par définition, cette sphère et cet espace sphérique sont le plan et Tespace de Ricmann (*). En résumé, le plan riemannien peut être considéré comme identique à la sphère euclidienne, si Ion n'étudie que les pro- priétés intrinsèques de ces surfaces; mais par le fait qu*on les qualifie d*euclidicnne et de riemannienne, on leur attribue des propriétés extrinsèques qui les différencient. n On peut concevoir des espaces de Riemann et de Lok>atchef»kj de divers paramètres de la manière suivante : Si l'on connaît b, longueur rapportée è une certaine unité, du cUé d'un triangle rectangle isoscèle déterminé, dont on ignore s'il est euclidien, riemaa- nien ou lobalchef»kien, on pourra iuppoier, avant toute meaure, que la iMigueor a de l'hypoténuse a n'imiKurte quelle valeur, égale, inférieure ou supérieure à b I^S Cela implique la possibilité de valeurs en nombre infini pour r et /, mais non la possibilité de comparer des longueurs dans deui espaces différenu. Druielles. ~ Havez, imp. de l'Acad. rojale. KARL WEIERSTRASS PAR M. D OGAGNE Professeur à l'École des Ponts et Chaussées Répétiteur à l'École Polytechnique. L'année qui va finir a vu disparaître une des plus hautes figures mathématiques de notre temps. L'illustre professeur berlinois Karl Weierstrass s'est éteint le 19 février 1897, chargé dans et de gloire, après ^voir, pendant plus d'un demi-siècle, au cours d'admirables découvertes, semé à profusion des idées non moins origi- nales que profondes, qui, ayant déjà puissamment contri- Ijué à changer à notre époque la face de l'analyse, feront, pendant de longues années encore, lever de riches mois- sons dans le domaine de cette science. Salué partout comme un maître, il a, par sa mort, on peut le dire, plongé dans le deuil l'univers mathématique. Certes, la nation allemande peut avec fierté le proclamer son enfant, de même que la France se glorifie d'avoir compté Cauchy parmi les siens. M. Emil Lampe — auquel, par la suite, nous aurons à faire de nombreux emprunts — a même pu dire, non sans raison, qu'avec Weierstrass son pays s'était acquitté envers le nôtre de ce qu'il lui avait emprunté avec Cauchy ; à cette occasion même, le nom de Riemann eût pu être joint à celui de Weierstrass- Mais quelque légitimes et respectables que soient ces revendications du sentiment national, elles ne sauraient primer le tribut d'admiration et de reconnais- sance que, dans un élan spontané, l'humanité pensante tout entière s'empresse de décerner à de tels génies. N'est-ce point un des plus beaux et des plus nobles privilèges de la science pure, que de faire oublier aux — 2 — « hommes les divisions nées en ce bas monde des imperfec- tions de leur nature et du jeu de leurs passions, et de les arracher aux conflits qui en sont la suite, pour les unir tous dans un effort commun qui ne connaît ni les fron- tières ni les partis : la recherche de la vérité ? El les grands esprits qui nous tracent les voies de cette recherche n'appartiennent-ils point, par dessus tout, à Thumanité prise dans sa plus large expression ? I Cest à Ostenfeld. en Westphalie, où son père exerçait les fonctions de bourgmestre, que Karl Weierstrass vint au monde le 3i octobre i8i5 (i). Ainsi que son frère Peter, devenu depuis lors professeur de philologie, et ses sœurs Elise et Clara (2), qui, restées comme lui céliba- taires, devaient plus lard unir leur existence à la sienne en une touchante association, il appartenait à la religion catholique à laquelle son père s'était converti. A rencontre de nombre de grands mathématiciens dont l'exemple est souvent cité, il ne semble pas que ses puis- santes facultés se soient révélées de bonne heure. Après avoir achevé ce que nous appellerions ses études secon- daires, au Gymnase de Paderborn, il entra à l'Université de Bonn où, de 1834 à i838, il suivit les cours de la Faculté de Droit. Ce n'est qu'à cette époque, ses regards ayant été attirés vers la mécanique céleste, qu'il sentit s'éveiller en lui sa véritable vocation. Il avait alors 23 ans ! A cet âge, comme le remarque M. Lampe, Gauss était sur le point de publier ses immortelles Disquisiiiones arith)neticae , Constatons à notre tour que Galois, dont les (1) Tous les renseignements biographiques contenus dans cet arlicle, sont empruntés à l'intéressante Notice lue i>ar M. Kmil Lampe devant la Société physique de Berlin, te 5 mars 18U7 (Leipzig, Johann Ambrosius Barlh, 1S97). (i) Sa sœur Clara Ta précédé d*uQ an dans la tombe. 3 — :onc€ptions géniales, relatées en une vingtaine de pages, ont jeté les fondements d'une science nouvelle, et dont on sait la fin tragique, n'a même pas vécu ce nombre d'années ! Mais cette sorte de retard dans l'éclosion de son génie ne devait point, par la suite, nuire à Weierstrass. Il semble, au contraire, qu'en abordant, avec un esprit déjà mûr et exempt de tout parti pris d'école, les graves pro- blèmes auxquels il devait s attaquer, il ait pu de prime abord y pénétrer plus profondément et se soit trouvé mieux à même d'approprier à des recherches d'un nouveau genre un instrument analytique également nouveau. Cest à Munster, sous la direction de Gudermann, que, de i838 à 1840, il poursuivit ses études mathématiques dans le silence du cabinet. L'initiation aux principes de la science par l'enseignement public, avec la lenteur qu'exige la moyenne d'intelligence des auditeurs, ne pouvait convenir à cet esprit vigoureux, capable par sa seule intuition de se rendre maître du premier coup des théories réputées les plus difficiles et seulement acces- sibles pour le commun des étudiants par une longue et patiente application. C'est en quelque sorte de plain-pied que Weierstrass a pénétré dans le domaine où, par prédestination, son activité devait se dépenser. Il n'avait pas fallu trois ans à l'écolier improvisé pour se révéler comme un maître. A l'occasion d'un examen d'aptitude au professorat (pro facuUate dccendi) qu'il subit pendant l'été de 1841, il eut à fournir une composition écrite portant sur trois questions ; ayant obtenu pour Tune d'elles le libre choix du sujet, il étonna ses juges par une dissertation où la profondeur des aperçus et l'habileté des moyens pouvaient déjà faire prévoir l'auteur des belles découvertes qui, par la suite, devaient jeter tant d'éclat sur son nom (1). (1) Ce premier travail de Weierstrass est resté inédit jusqu'il fimpression — 4 — En dépit de ce brillant début dans la science, Weie^ strass dut tout d'abord se contenter des modestes fonctiot* de maître (Lehycv) au Progyinnase de Deutscli-Krorif. dans la Prusse Rhénane. Ce que pouvaient être ces fi>ï:- tions, un seul détail suffira à en donner une idée : aiu enfants confiés à ses soins, Weierstrass devait enseifnw jusqu'à l'écriture et à la gymnastique (Schreib- und Tunt stunden) ! Quelle besogne pour un homme dont le cerve:ifi était déjà livré à ses profondes méditations sur la théorie des fonctions abéliennes ! Et ce n'est pas seulement pen- dant quelques mois, c'est pendant six ans — soit jusqui l'âge de 33 ans — que Weierstrass resta dans cette situa- tion si peu en rapport avec son mérite. Qui donc, après un tel exemple, croirait pouvoir se plaindre de ses débuts! Jamais, d'ailleurs, Weierstrass, arrivé au faite des grandeurs accessibles à un savant, n'a songé à effacer de sa mémoire ces années de vulgaire labeur. Il y reportaii, au contraire, sa pensée avec une complaisance particulière, en évoquant même le souvenir avec bonhomie lors de la célébration, au milieu d'un concert unanime d'hommages, de son quatre-vingtième anniversaire. Son humeur philo- sophique qui le portait à ne voir, en toute chose, que le bon côté, lui faisait même envisager cette situation comme présentant des avantages pour un chercheur, doni l'esprit ne se trouve pas ainsi détourné de l'objet auquel il s'est attaché, et il désapprouvait ceux dont lambitiûo trop impatiente ne pouvait s'y complaire. Il devint, on 1848, professeur fOô^rteArei-j au Gymnase (le Braunsberg, en Prusse, résidence qu'il ne quittait, à 1 époque des vacances, ijuc pour revenir auprès des siens restés en Westphalie et avec qui il n'avait jamais cesse d entretenir h?s rapports do la plus cordiale affection. C est à Westernkotien, où son pore s'occupait alors de l'exploi- (le s(>s OEuvros roinplôtos. où il li^un* dans le premier volume. Une partif seulement en avait vu le juur au milieu d'un mémoire paru dans le Jouikal DE Creixe. — 5 — »tation de salines, que la famille se réunissait; c'est de là s^qoest daté (u septembre i853) son premier Mémoire '^inséré dans le Journal de Crellb. S! Le temps passé par Weierstrass à Braunsberg fut celui îi où les idées, qui fermentaient en lui depuis qu'il s'était :r adonné aux sciences mathématiques, vinrent, en quelque I sorte, à maturité. Tous les loisirs que lui laissaient t ses fonctions étaient consacrés à ces recherches, que l'am- L pie moisson de ses découvertes lui faisait poursuivre avec une ardeur fébrile. A ce propos, M. Lampe rapporte un trait qui peint bien l'état d'âme, à cette époque, du grand analyste: le directeur du Gymnase entendit, certain matin, on grand vacarme dans une de ses classes ; informations prises, c'étaient les élèves de Weierstrass qui, par des gamineries de leur âge, célébraient l'absence de leur maî- tre. N'ayant point été avisé de cette absence, le directeur courut chez le jeune professeur et fut tout étonné, en péné- trant dans la chambre sombre qu'il habitait, de le trouver écrivant à sa table sur laquelle une lampe achevait de brû- ler. Weierstrass, absorbé dans une recherche difficile qu'il avait poursuivie toute la nuit, n'avait pas pris garde au lever du jour, dont l'arrivée seule du directeur venait de l'avertir. Sur l'observation, d'ailleurs indulgente, que lui fit celui-ci, il répliqua simplement qu'il était dans l'im- possibilité d'interrompre son travail, au bout duquel il entrevoyait une découverte qui ferait quelque bruit dans le monde scientifique. Ce jour-là, sans doute, il s'était rendu maître de quelqu'une de ces vérités fondamentales dont il a enrichi le domaine de nos connaissances. L'apparition des premiers Mémoires de Weierstrass, qui eut lieu pendant son séjour à Braunsberg, ne tarda pas à faire sensation parmi le public savant. L'un des premiers, Richolot, que l'infl nonce do Jacobi avait engagé dans une voie de recherches analogue, sut y discerner les marques du véritable génie; c'est sur sa proposition que Weierstrass reçut, en 1854, le titre de Docteur honoris 6 — causa de TUniversité de Kônîgsberg. Vers la môme épo- que, Borchardt entra en relations personnelles avec le professeur de Braunsberg, nouant avec lui une étroite ei solide amitié qui subsista sans un nuage jusqu'à la mort du premier (1880). Voyant sa réputation de mathématicien défînitivemeot consacrée, Weierstrass aspirait à vivre dans un centre de haute culture intellectuelle où il trouvât, en hommes et en livres, les ressources qui lui faisaient défaut dans le fond de sa province. Une occasion favorable s'offrit enfin à lui ; il obtint, au mois de juin i856, la chaire de mathématiques à l'Institut industriel de Berlin, et fut nommé, au mois de novembre de la même année, profes- seur extraordinaire à l'Université; il se trouvait dès lors en mesure de donner libre carrière à son génie. S'il avait fallu au grand géomètre attendre au delà de la quarantième année pour obtenir une situation à peu près digne de lui, son éclatant mérite ne tarda pas, eD revanche, dans le milieu où il venait de pénétrer, à être hautement reconnu, et dès la seconde année de son séjour à Berlin, soit en iSSy, il était admis à l'unanimité comme membre de l'Académie des Sciences de cette ville. Malheureusement, l'effort cérébral dépensé par Weier- strass dans ses difficiles recherches, joint à son excessif labeur de professeur, ne tarda pas à ébranler gravement sa santé : c'était le tribut de la gloire. Des troubles ner- veux se manifestèrent chez lui dès le mois de mars 1860, et, à la suite d'une crise violente dont il fut victime à la fin de Tannée 1861, il dut se résigner à suspendre pen- dant quelque temps toutes ses occupations. Peu à peu cependant il se remit au travail mais sans pouvoir, comme professeur, se multiplier ainsi qu'il l'avait fait précédem- ment. Fort heureusement, la création en sa faveur, à l'Université de Berlin, d'une troisième chaire ordinaire de mathématiques — les deux premières étant occupées par — 7 — Ohm (i) et par Kuminer — lui assura, dès l'année 1864, une existence aisée sans l'astreindre comme professeur à de trop pénibles obligations. Cette situation, à laquelle ses collègues de l'Université joignirent, en iSyS, la dignité de Recteur magnifique, fut celle qu'il conserva jusqu'à sa mort et dans laquelle il fera figure devant la postérité ; c'est de là, en efiet, qu'il a, comme nous l'indiquerons plus loin, rayonné sur le monde mathématique. II En dépit des souffrances physiques qui s'étaient abat- tues sur lui et de la tension de son esprit toujours en travail, jamais Weierstrass ne se départit de l'affabilité de caractère, voire même de l'humeur joviale, qui étaient innées chez lui. Etudiant, il s'était distingué dans les joyeuses et bruyantes réunions de ses camarades par son entrain et sa gaîté ; cette heureuse disposition de carac- tère ne l'abandonna à aucune époque de sa vie. Par un singulier contraste avec la gravité de ses travaux, la plaisanterie conserva toujours à ses yeux un charme par- ticulier. C'est qu'aussi l'esprit livré à de sévères spécula- tions ressent, à de certains moments, le besoin de se délasser. Ne raconte-t-on pas qu'Euler trouvait un sen- sible plaisir aux grosses farces des théâtres de marion- nettes ? Loin de s'enfermer dans une tour d'ivoire, le grand mathématicien s'efforçait, dans le monde, où il plaisait par la simplicité de ses manières et le tour enjoué de sa conversation, de faire oublier sa qualité de savant. Mais c'était surtout sur ses élèves que, par la double influence de la bonté de son cœur et de l'élévation de (1) Le frère du grand physicien. — 8 ses pensées, il exerçait une irrésistible attraction, et Ton peut affirmer que nul maître ne fut jamais entouré d*une vénération plus universelle et plus profonde. C'est ici le lieu de dire quel professeur incomparable fut Weierstrass et d'insister sur le caractère tout parti- culier de son enseignement. Par une rencontre qui n'est pas aussi rare qu*on pour- rait le croire, le grand penseur, si puissamment armé pour la découverte, éprouvait une sorte de malaise lors- qu'il s'agissait de jeter sur le papier les résultats de ses travaux. Avant avec une rare netteté la vision intérieure des choses auxquelles s'appliquait son esprit, il lui sem- blait sans doute que leur expression écrite, avec son caractère définitif et permanent, ne fût jamais suffisam- ment adéquate à sa pensée ; de là une sorte de répugnance à prendre la plume. Aussi, dès qu'il se trouva en posses- sion d'une chaire lui permettant do s'adresser directe- ment au public, renonça-t-il à peu près complètement à la forme écrite pour répandre ses idées. Son enseignement devint ainsi peu à peu pour lui un mode oral de publica- tion du fruit de ses labeurs. C'est assez dire l'attrait puis- sant qi'il dut exercer sur les auditeurs capables de le suivre (i). I^ consècjuenoe de cette façon de procéder fut que, tout d'abord, les idées du maître ne pénétrèrent guère à l'éirangor que par les écrits de ses disciples. Aussi un éminent maihémaiicien français a-i-il pu dire qu'il avait subi rintluencr de la ponsôe île Weierstrass avant d'avoir lu une ligne sortie de sa main. En particulier, rillusrre géomètre avait, depuis de ^1 DclJil 5i[.;:uiior : \Vi .t'rs:r.iss, >ii'{>'.i:< ({ii'il ('tuil sujet k des Iroubtcs nor\eux, no pi.>u\aii U'i:: «io\.>ru le t:ibleiiii noir sans éire pns «le verti^'o ; itii<>i conti e oonUMiuiii «te ^ii.tUT «iu mmî- un dii i: ro^Mit assis |»our |iarler, fermant les >eu\ .iu\ [>j>s v''^ il:Mi<'!.''> <*o!iiii:r si. du M. Uim|K*, il eût voulu abriter ses i»onsees ooniro :«•> iiitluoncfs o\UTieuri*s. — 9 — longues années déjà, opéré dans la théorie des fonctions elliptiques la révolution dont il sera dit un mot plus loin, lorsqu'elle nous fut en quelque sorte révélée par Halphen, dans le beau Traité où il en tire de si heureuses consé- quences. Ce n'est d'ailleurs pas la seule circonstance qui contribua à faire bénéficier le public français des con- quêtes dues au génie de Weierstrass. Une étroite affinité intellectuelle avait, dès longtemps, établi les rapports les plus cordiaux entre le grand mathématicien berlinois et le maître vénéré qui, tant par ses belles découvertes que par son haut enseignement, a, plus que tout autre, con- tribué à développer en France les études de pure analyse. Très au courant des idées de son ami avec lequel il entre- tenait une correspondance suivie, M. Hermite leur faisait dans ses cours une large place, sachant d'ailleurs, avec l'art incomparable dont il possède le secret, leur impri- mer la forme didactique propre à les rendre le plus faci- lement assimilables, les éclaircissant aussi et les complé- tant par des remarques personnelles que leur auteur n'eût certes pas désavouées. Tous ceux qui ont eu l'heureux privilège d'entendre l'illustre professeur français exposer les théories de son collègue de Berlin, pourront témoigner de l'enthousiasme communicatif qu'il y mettait et par lequel ses auditeurs se laissaient envahir, s'unissant en quelque sorte avec lui dans l'hommage qu'il rendait au grand géomètre allemand. On eût pu craindre que les richesses prodiguées par Weierstrass dans ses leçons fussent, au moins en partie, perdues pour la postérité. Une telle éventualité ne doit plus, grâce à Dieu, être maintenant redoutée. Plusieurs de ses anciens élèves, dont le nom est à lui seul une garantie, MM. Hettner, Knoblauch, Kôtter, Phragmen et Stickelberger ont, à sa demande même, assumé la tâche pjirticulièrement honorable de rédigor ses principales leçons qui seront publiées dans le recueil de ses Œuvres complètes. — lO — La puissance créatrice de Weierstrass n'eat de comfÊr rable que sa parfaite modestie, exempte de toute affectif lioa. >rayant jamais brigué aucun hooneiir, il accueillii joyeusement ceux qui lui furent prodigués à la fin de sa carrière !>. Cest là un trait quil convient dénoter: le grand géomètre, sans les avoir désirées, ne dédaigm jamais, comme étant au-dessous de son mérite, les dis- tinctions par lesquelles se récompensent des dtres le plus souvent bien inférieurs aux siens. Il n'était point acces- sible aux inspirations de l'orgueil, qui poussent parfois certains hommes de génie à se placer eux-mêmes aundessus des autres hommes en affichant le mépris des honneurs qui ne sont pas à leur destination exclusive. L etFacemeni dans lequel, s'il n eût tenu qu'à lui, Weier strass eilt laisse sa personnalité, laisse entrevoir combiai poii lui importaient L*s questions de priorité; loin de jumais élever aucune réclamation à ce propos, il prodi- giiait, au contraire, sans compter, les indications les plus précieuses à tous ceux qui l'entouraient, trop heureux de voir fructiiîer entre leurs mains les germes qu'il y avait déposes. Aussi bien un de ses disciples a-t-il pu dire qu'il se réjouissait de lo ;:e idée qui lui avait été dérobée, lors- qu'il la retrouvait ohez le larron t2'. La geiierosit'^ avoo laquelle il ouvrait à ses élèves le îrr^sor .le ses i^lùs iniiines pensées, la j «ie sincère qui r laîai: en lui a îa : ouvollo des succès qu'ils remportaient o:. suivaru ses i::si>ira:io:.s. lui attachaient inébranlable- :i'!.i t'iis les *.i*.;i>. Au . T^i ^ ■ > \ > ' ;-r-, > xî v j - '.> J u mv^nUe entier, Weierstrass - \ . .-: e.:\ ^* : * H; ,. >' .•.■.•:'• u:: Jrtîi tlx fsiaîeui!» d*.i«sorit* -■^e: yi. :\\ r. >:o>s .' \.'«.:: v. î^ .::> S: e::;^^> :t ,\r.si\îai de France i lU-.> .:» :o\.:- ..M i u • .r* . t\ : w^ ,'-^ -ii;s fnpue sieh Uber jeden i;r\: .. :: kf' :*. . :er ■ . V ^ • - ..» ■ .o- a - - : ;• , v\ . r r. •-■ - ■ ! :* r.>€* tK* n beî de m Enlirender KiiiMer ànôe. — 11 — vaincu par les infirmités de Tâge, se vit condamné à ne plus quitter sa maison, ses anciens élèves s'entendirent pour venir chaque jour, à tour de rôle, l'entretenir tant des sujets scientifiques auxquels il s'intéressait encore, que des événements de la vie quotidienne. La célébration du jour anniversaire de sa naissance était l'occasion de réunions amicales, au cours desquelles il prenait lui-même plaisir, sur le ton de bonhomie et de simplicité qui lui était habituel, à revenir sur les incidents de sa longue carrière et, tout particulièrement, sur ses modestes débuts. Pour son quatre- vingtième anniversaire, S. M. l'Empereur d'Allemagne commanda au peintre R. von Voigtlànder le portrait du vénéré savant pour le musée national alle- Doand. L'artiste, nous dit M. Lampe, saisit admirablement l'expression vive et intelligente des traits du grand pen- seur dans cette toile qui perpétuera son image aux yeux des générations à venir. III Après cette rapide esquisse de l'homme, nous allons, aussi brièvement que possible, essayer do donner une idée de son œuvre, sans nous dissimuler d'ailleurs les difficultés de cette tâche. D'une part, en effet, l'étroitesse des limites qui nous sont imposées ; de l'autre, le carac- tère de la Revue des Questions scientifiques, qui n'est pas spécialement mathématique, ne nous permettent de traiter le sujet ni avec l'ampleur ni avec les détails qu'il comporterait. Au moins nous efforcerons-nous d'en souli- gner les traits les plus essentiels. PONCTIONS analytiques Ce qui domine l'œuvre de Weierstrass, ce qui, au regard de la postérité, en restera la principale caracté- — 12 — ristique, c'est rétablissement « d'une théorie complète, définitive et maintenant classique " (i) des fonctions ana- lytiques. Cette théorie n'avait été qu'ébauchée par Cauchy, qui lavait d'ailleurs abordée par la voie détournée du calcul intégral. Weierstrass s'y attaque directement, prenant comme unique point de départ la propriété qu'ont les fonctions analytiques d'être déoeloppables en séries de Taf/lor. Cette méthode entraîne des longueurs pour l'éta- blissement de certaines propriétés, comme le théorème fondamental qui porte le nom de Laurent et qui, pour Cauchy, est intuitif. Mais, en n'introduisant aucun élément parasite, tel que ceux que Cauchy emprunte au calcul intégral, elle va plus au fond des choses et conduit à des notions do la plus haute importance, à celle notamment du prolongement anahjtique que, le premier, Weierstrass a admirablement élucidée, et sur laquelle nous nous arrê- terons quelques instants. C)nand on connaît une fonction analytique dans un domaine D, si petit qu il soit, et qui peut se réduire à un simple élément de ligne, on peut smis anibiguïié la pro- longer (inabjtiqHement le long d'un chemin C quelconque issu d'une origine contenue dans D, en ayant recours à une succession de séries de Taylor, à moins qu'on ne rencontre sur le chemin C un point A qui soit un point singHlier de la fonction, c'est-à-dire un point autour (lih|uel 1m foDctioii ne soit pas ilêveloppable en séries de Taylor. Si, conservant la même origine, ou fait varier •Tune fa(;o!i ri>:iiinue le ch«»min C en marquant, pour chaque position lie oe v'heniin, le premier point singulier A qu'on V reiiconire à partir de l'onirine, il peut se faire que ce point A enire:ulre une litrne; il peut aussi se faire que cette liiriit» s.»ii fiTnii"^ ei eîitoure complèiemoni le do- n HtTiîiî»', No'.. •.■ <: Wf.iv -;:.!>< l'.OMlMtS KtNUlS DE L'ACADUUE W& S«:iE.M.E>, I" mv:< \^y.\ T. i.WIV, j. i^y. — i3 -^ maine D. Dans ce dernier cas, la fonction considérée n existe qu'à Tintérieur de cette ligne singulière essentielle qui limite, en quelque sorte, le domaine naturel de la fonction. C'est là une idée profonde que Weierstrass, le premier, a mise en pleine lumière. Il a donné des exemples de fonctions analytiques n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle et non prolongeables au-delà. Il a donné également des exemples d^ expressions ancUytigues, de séries notam- ment, représentant dans une certaine aire une fonction analytique, d'ailleurs prolongeable au-delà, et dans une autre aire une fonction toute différente. De cette étude, il a lumineusement fait ressortir la distinction entre la fonction analytique, nettement définie dans tout son do- maine d'existence dès qu'on la connaît pour un élément de ce domaine, et les diverses expressions analytiques (séries, intégrales définies, etc.) qu'on peut lui donner et qui, représentant la fonction dans une certaine aire seule- ment, peuvent représenter autre chose ou même ne rien représenter du tout en dehors de cette aire. Cest assurément là une des conquêtes fondamentales de Weierstrass. La notion de prolongement analytique joue un rôle essentiel dans les travaux de M. Schwarz sur la représentation conforme, dans ceux de M. Félix Klein sur les fonctions modulaires, ainsi que dans diverses parties de l'œuvre de M. Poincaré. Conduit par sa méthode même à l'étude d'une fonction analytique wm/orme (monodrome ou à une seule détermina- tion) dans le domaine d'un point singuJiei^ wo/^, Weierstrass établit l'admirable distinction entre les pôles, où la fonc- tion devient infinie comme une fonction rationnelle, et les points essentiellement singuliers ou points essentiels, où la fonction est complètement indéterminée, c'est-à-dire dans le voisinage desquels la fonction peut s'approcher autant qu'on le veut de toute valeur donnée. Dans le premier cas, si a est l'affixe du point singulier, la série de Laurent relative au point a ne renferme qu'un nombre fini de — 14 — termes en . — -t.; dans le second, elle en contient un [Z — à) nombre infini. Ces belles propositions ont été compiéie^ plus lard, comme ou sait, par le célèbre théorème de M. Picard sur ies zéros de i équation i\z) — h => o dans le voisinage d*un point essentiel. C'est encore le développement logique de sa méthode qui conduisit Weierstrass à une de ses plus belles ei plus élégantes découvertes : la décomposition en un produii indni de facteurs primaires des fonctions erUiè^'es (nayani dans le plan aucun point singulier) laquelle constitue, dii M. Picard ^ij, - un des plus admirables théorèmes de l'Analyse moderne *. De la découle immédiatement la représentation, par un quotient de deux fonctions entières, de toute lonction rnérottiurphe ^:rajant dautres singola- ntês que des pôles;. Nombreuses ei brillantes sont les applications de ces deux théorèmes, notamment aui fonctions elliptiques. 11 convient de citer à part la belle proposition relative a linte^rale eulérienne de seconde espèce que Weierstrass démontre être Tinverse d'une fonction entière. Une extension des pias iaiporunies a, depuis lors, été doniiee aux tneorèmes de Weierstrass par M. Mittag- Ledler, pour le cas de;> tonotions uniiormes possédant une mdnite do pôles ou de singularités essentielles. Oo peùi dire que le lùeoreuie de M. Mittag-Letller elfectue la repi'ec>euiaiio:i d'u!ie luucuoii uiiiiorme quelconque. Pour compléter riiidicaiiuii de ce qui, dans Tœuvre du graiid geoaioîro alioaiaiul, concerne les fonctions eu geiicraL, u convient de ci;or les iàe«>rêmes fondamentaux sur 105 ùnicuor.s do pias.i'àrs variaoies, sur les fonctions iai^ùicn<^>. don; :. :i lo^i partie ulièrement pénétre la :.a;ùrc. >ar »os :o..v :*.-..> àoâ...vs p,ir des équations diffe- re:.;.Ci..vS. >-.•> .it ..u^.siraLio:;^, oïdereutes de celles de Lâucav, Sv'..; i .^s vO^i-icio^i sur ceriaius points. ^ Rl%is ûfcx^fkALK [^KS NiFAvXN ^^ t^ :r««rs lï^T ,S* année. o*5). p. 173 - i5 — Ayant édifié cet admirable corps de doctrine, Weier- strass s'est tout naturellement trouvé amené à en faire l'application à diverses classes particulières de fonctions. FONCTIONS ALGÉBRIQUES C'est par le problème de l'inversion des intégrales abéliennes oue Weierstrass fut, dès iSSy, amené à l'étude des fonctions algébriques. Quelques semaines après la com- munication qu'il fit à ce sujet à l'Académie des Sciences de Berlin, le Journal db Crbllb publia le Mémoire si juste- ment célèbre et tant admiré de Riemann sur la question. Weierstrass, soucieux de rattacher aux siens les résultats de son émule, retira son manuscrit de l'imprimerie, pour se livrer à des recherches algébriques que lui-même jugeait très difficiles et qui, interrompues par d'autres travaux, lui prirent beaucoup de temps. Aussi n'est-ce quen 1869 qu'il fit connaître ses résultats définitifs dans cet ordre d'idées. A rencontre de celle de Riemann, fondée sur des notions de géométrie de situation aujourd'hui classiques, la doc- trine de Weierstrass, non moins originale et non moins profonde, n'emprunte rien qu'à la seule analyse. Sa défi- nition du rang p (égal au genre augmenté d'une unité) d'une courbe algébrique par la réduction de proche en proche de ses singularités, est très belle, très purement algébrique, en même temps que très utile, car elle s'étend aux surfaces, comme l'a montré M. Picard. Elle le conduit à une forme canonique dépendant de 3p modules pour toute courbe, algébrique de rang p, si toutefois p est supérieur à 2. Cette doctrine entraîne en outre une théorie complète, admirablement enchaînée, des intégrales abéliennes, de leurs périodes, de leurs formes normales. Moins intuitive sans doute que la théorie de Riemann, celle de Weierstrass peut, en revanche, être citée comme - i6 — une merveille de construction logique. Non seulement elle oermet deiablir tous les résultats déduits de U première, mais elle semble être d'une application pli^^ sAre 01 va plus loin sur certains points. On en peut citer ::rî exemple célèbre. H s'agit d'un des plus importanî? théorèmes de la théorie des courbes algébriques* enseigne par Weierstrass longtemps avant que M. Schwarz le retrouvât sous une torme d'ailleurs moins complète, et qui consiste en ce que toute courbe de genre supérieur à I n'admet qu'un nombre dni de transformations bira- tiorineiles en ello-mème i . D'eminents géomètres, en se pla^^ant au seul point de vue de Rieuiann, ont pu, pendant longtemps, regarder ce théorème comme simplement miùt^fi^b:iib't\ alors qu'il est bien, en réalité, une consé- quence immédiate des m- ihoiles de Weierstrass. 11 ne laudnùt d'ailleurs pas inférer de ce qui précède, que Weierstrass mésestimait le moins du monde la voie suivie par Rieiaann, Personne, au contraire, plus que lui ne rendai; justice a la merveilleuse pénétration de ce grand ceomètre: :na:> il faisai; u::e distinction fondamentale en:re la recherche des vérités analytiques, pour laquelle tou;e li't»ene lui se:abl:ûî permise dans le choix des me- thcsies, eî la forme Sv^.is lii^uvlle ces vérités, une fois acq.:ises, devaîor.: vo:ùr s'a;.^u:or :i Tedincede la science. .\ ce dem:er >:•::.: do vue, :' se uio:;;rait fermement con- v:ii:.:.i 4;:e Ic^ i^r.^?-. s::.. ::s ie .a i*:;re anaivse ne devaient -?-:rt- df:n,^:::rc:s rit^ y.ir .îos uir^;hx>Jes purement analy- ::^.:es r". \ku^i:>. i..:.> >o< ;rA\.i^x ;>er?on:îels, il ne s'est î V..- -, -:. -> }■ -< ■ ■••.■.- :* --'W/ f^:-i, g^ K et (T remplacent su, Z, 6, l'invariant I = jrjoue le rôle de A-, la fonction I ^M, w et «' étant les périodes, devient la nouvelle fonction modulaire, etc. Weierstrass adjoint d'ailleurs à la fonction p une fonction entière désignée par kl (z), fort importante et dont l'analogue joue un rôle considérable dans la théorie des fonctions hyperelliptiques. Les fonctions de Weierstrass se prêtent admirablement - i8 — à l'exposé systématique de la théorie des fonctions ellip- tiques, prise dans ses grandes lignes, comme le prouvent aujourd'hui lesTraités d'Halphen, de MM.Tannery et Molk, de MM. Appell et Lacour, fondés sur leur emploi (i). Avec elles, les idées générales ressortent très bien et devien- nent plus facilement assimilables pour les commençants. Enfin elles présentent d'indiscutables avantages dans cer- taines questions comme le problème de l'inversion des intégrales elliptiques, pour lequel elles dispensent d'exa- miner la réalité des racines du polynôme placé sous le radical. Halphen a d'ailleurs montré, dans le Tome H de son grand Traité, tout le parti qu'on en pouvait tirer dans les applications à la géométrie, à la mécanique, à la géo- désie, etc. Mais ce n'est pas à dire que la belle théorie de Jacobi ait pour cela perdu tout son intérêt. Là où les applica- tions doivent être poussées jusqu'au calcul numérique, voire même pour approfondir certaines théories, celle de la transformation par exemple, elle présente encore de grands avantages. Si, par exemple, au point de vue théorique, il est d'un haut intérêt de voir que le développement en produit infini de la fonction c est donné immédiatement, sans qu'on ail à recourir à aucun artifice, par le théorème général de Weierstrass sur les décompositions en facteurs primaires dont il a été parlé plus haut, il faut bien remar- quer aussi que ce produit infini, qui est double, ne saurait se prêter au calcul numérique avant d'avoir été trans- formé en produit simplement infini, ce qui est une sujé- tion assez ennuyeuse. Avec les fonctions 0, au contraire, le résultat, obtenu moins directement il est vrai, est immé- diatement utilisable. Si donc l'élégante théorie de Weierstrass doit incontes- (1) Voir les comptes rendus bibliographiques que nous avons donnas de ces divers Traités dans la Revue des questions soentifiques (Livraisons d'octobre 1886, juillet 1893, juillet 1896, janvier 1897). — 19 - tablement se substituer à celle de Jacobi pour Texposition des propriétés générales des fonctions elliptiques, il n'en est pas moins vrai que celle-ci ne saurait être complètement passée sous silence et qu'une place doit encore lui être faite dans l'enseignement, quitte à la faire dériver de la |)i'emière. C'est, d'ailleurs, ce qu'ont parfaitement compris les auteurs des traités didactiques cités plus haut. Cette théorie des fonctions elliptiques est une de celles que Weierstrass n'a fait connaître que par son enseigne- ment oral. En en donnant un résumé, et comme le for- mulaire, dans ses Fwnnein und Lehrsàtze zum Gebi'^auche dei^ elliptischen Functionen, M. Schwarz a rendu un ser- vice éminent au public mathématique. On pouvait toute- fois regretter de ne pas posséder la complète expression de la pensée du maître. Cette lacune va se trouver com- blée dans le recueil de ses Œuvres complètes, qui contien- dra une rédaction détaillée de ses leçons sur ce sujet, due à M. Phragmen dont on sait l'impeccable érudition. FONCTIONS ABÉLIENNES La théorie des fonctions abéliennes semble avoir été le domaine de prédilection de Weierstrass, et c'est peut-être à son occasion qu'il a entrepris les belles recherches sur la théorie générale des fonctions dont nous avons déjà parlé. Le problème de l'inversion des intégrales hyperellip- tiques, posé par Jacobi, n'avait été résolu par Gôpel et Roscnhain que dans le cas le plus simple des intégrales de première classe ; mais leur solution, justement admi- rée pourtant de tous les analystes, n'était susceptible d'aucune généralisation ; dès la seconde classe, se présen- tent des difficultés insurmontables. A Weierstrass devait revenir l'honneur de résoudre, par une voie absolument différente de celle de ces auteurs, le problème pris dans — 30 — toute sa généralité. Cette solution constitue aux yeux de M. Hermite, juge éminent en la matière, une des plus importantes et des plus belles découvertes qui aient été faites en analyse. Weierstrass avait fait voir que les fonctions de plu- sieurs variables qui résolvent la question sont uniformes: '^ Au point de vue de la doctrine, dit Tillustre géomètre français, ce résultat est extrêmement remarquable; il anticipait sur notre époque, il dégageait en Analyse une de ces idées fondamentales préparées par une lente élabo- ration, qui contiennent en germe les progrès de la Science. Une méthode profonde, des calculs rappelant la perfec- tion et Télégance de Gauss et de Jacobi conduisent ensuite au quotient de deux fonctions holomorphes, généralisa- tion de la fonction 6. -^ La belle exposition systématique de Weierstrass est d'ailleurs calquée sur sa théorie des fonctions elliptiques. Il est remarquable que Weierstrass n'ait jamais publié ni eiiSeigné la démonstration du théorème fondamental qu ila pris comme point do dopari. Ce théorème consiste en ce que, si its tonctions / ('^ r et :: {//, n admettent un théorème d'addition — cesi-?i-dire si /' ?^ — ?/., r -^ v^ et 9 (u + tf,, r — /" S exprimorn alirébriqiement au moyen de /"(u, p), z »/, ri, /■"' . '• ', :: ?/ , r — ce sont des fonctions algé- briques de tV»!kni.vis :n'^ri«:n'rphos quadruplement périodi- q'.;os ou de doirenoresA^iKvs de celles-ci. Dans ses dernières anr.ees nv>a)o. ri:.vontei;r du ihéorème n'arrivait plus, parait-il. a rooo!:sîi:uor cette dem"nst ration. Fort heu- re iisemoîu, !o îhoorômo a eio démontré dans le cas de i^uairr IV ri. .îos par MM. P^iniaîo, Picard. AppelU dans crhii do u:.o. doux ou tn^is périodes, par M. Painlevé. 11 fa.;; 0!..:oro oitor do !«ollos pr. posiûons arithmétiques sur la rod ^ lio:. d.i :^mbro lios périodes des intégrales aholionr.os do i-roiiiiOro osiHve. d. :.nees par Weierstrass • da!.s so> O'M:"^ -rauv, o:n:''..-vo.^x rii^iamment par Sophie Kov;ik'V>kv oî do:ni':.:roos par M. ['ioardpour le geure 2, par M. Poinoaro pour :;:. ^rer.ro quelconque. — 21 — SUJETS DIVBRS Le souci d'extrême rigueur qui était en Weierstrass,le poussait à élucider les principes qui servent de fondement à l'analyse, de façon à les mettre à Tabri de toute espèce de doute. Cest ainsi not^imment qu'en creusant la notion de continuité^ il arriva à former les premiers exemples, aujourd'hui classiques, de fonctions continues n'ayant pas de dérivée. La même tendance le conduisit à refaire, en quelque sorte, de fond en comble le Caicul des variations^ non seu- lement pour une, mais pour un nombre quelconque de variables indépendantes, de façon à préciser les notions qui y jouent un rôle fondamental. A diverses reprises aussi il élucida dans ses cours les principes fondamentaux de la théorie des Équations diffé- rentielles. Un Mémoire sur les Facultés analytiques, qui remonte aux premiers temps de sa carrière, outre qu'il épuise véritablement le sujet, secondaire il est vrai, présente encore cet intérêt qu'on y voit poindre certaines idées qui s'épanouiront dans la théorie générale des fonctions. Préoccupé de la généralisation possible des calculs symboliques opérés au moyen des imaginaires, Weierstrass a, sur le tard, entamé l'étude des grandeurs complexes formées avec n unités fondamentales, et fourni par là une preuve nouvelle de la vigueur et de l'ingéniosité de son esprit. On peut craindre malheureusement, comme l'a montré M. Poincaré, que cette savante conception ne conduise, dans les applications, à rien de vraiment distinct de ce que donnent les seules imaginaires. Nous devons encore à Weierstrass des travaux accom- plis sur la transformation des formes bilincaircs et qua- dratiques, sur la transcendance du nombre ic, dont il a été amené à s'occuper à la suite de la démonstration célè- — 2? — bre de M. Lindemann, inspirée de celle de M. Hermite, pour le nombre e\ etc. La méthode de Weierstrass a été, depuis lors, amenée au dernier degré de simplicité par MM. Molk et Tannery, F. Klein, Hurwitz, Hilbert. Analyste dans toute la force du terme, Weierstrass, bien qu'ayant, pendant quelques années, donné de façon tout à fait supérieure l'enseignement de la géométrie ana- lytique à l'Institut industriel de Berlin, n'a guère jeté ses regards du côté de la géométrie. Toutefois une des plus belles théories de cette science, théorie présentant, il esl vrai, un haut intérêt au point de vue de l'analyse, celle des stwfaces minimal lui doit d'importants progrès. Les découvertes réalisées par Weierstrass dans ce domaine, après avoir servi de base aux travaux bien connus de M. Schwarz, ont été exposées et développées par M. Dar- boux dans le tome premier de ses magistrales Leçons sur la théorie généi^ale des sur/aces. Il est remarquable qu'ayant, comme il a été dit plus haut, été amené aux mathématiques par l'attrait de la mécanique céleste, Weierstrass n'ait jamais, par la suite, rien publié dans cet ordre d'idées. A l'encontre de grands géomètres comme Lagrange, Laplace, Ampère, Gauss, Poisson, Cauchy. . . . qu'il a égalés par son génie dans l'ana- lyse, il semble n'avoir eu que peu de souci des applications de la science du calcul aux sciences physiques. Dans toute son œuvre on ne rencontre qu'une courte Note, fort inté- ressante d'ailleurs, qui traite d'un sujet de physique. Cette Note fait connaître une construction géométrique permet- tant de suivre rigoureusement la marche d'un rayon lumi- neux à travers un système de lentilles épaisses (i) ; encore est-ce là une simple question d'optique géométrique sans lien avec l'œuvre analytique du grand mathématicien. vl) Cette construction, publiée en I8S(5, dans le Tagebi.att der Wib.^br Natukforscheu versammlung, a été reproduite par M. Luinmer dans le Traite d'Optique géonuHriiiue qu'il a rédigé pour rEncyclopédie physique de Pfoundler. — 23 — Il s'en faut, d'ailleurs, que ce dont la science est rede- vable à Weierstrass se borne à la contribution, d'une si belle ampleur pourtant et d'une si haute importance, qu'il y a apportée personnellement. Ce que nous avons dit plus haut de la façon dont il prodiguait les inspirations à ses disciples, laisse entrevoir comment il a, en outre, fait naî- tre autour de lui toute une école de mathématiciens de talent qui, en suivant les voies par lui ouvertes, ont enrichi la science d'une foule d'importantes découvertes. Déjà, à l'occasion des surfaces minima, nous avons eu à citer M. Schwarz. C'est encore en mettant en œuvre des idées de Weierstrass, que le même géomètre a entrepris ses belles recherches sur les représentations conformes, notamment sur celle des polygones, recherches auxquelles il faut joindre celles de M. Schottky, puisées à la même inspiration. MM. Fuchs et Frobenius doivent encore être cités parmi les plus éminents disciples de Weierstrass, devenus, comme M. Schwarz, des maîtres à leur tour. En dépit de la spécialisation relative de ses propres recherches, Weierstrass était doué, en mathématiques, d'un génie universel qui lui permettait non seulement d'apprécier des travaux conçus dans toute autre direction que celle où il s'était engagé personnellement, mais encore d'y guider ceux de ses élèves qui s'y sentaient portés par une aptitude spéciale. Son influence, d'ailleurs, est bien loin de ne s'être fait sentir qu'en Allemagne. On peutdire, au contraire, qu'elle a rayonné partout où se cultivent les mathématiques. Il faut d'abord remarquer que la grande réputation de professeur de Weierstrass attira à Berlin nombre d'étran- gers, désireux de recueillir directement sa parole et de se former à sa sévère discipline intellectuelle. Parmi ceux-ci une place spéciale revient à M. Mittag-Leffler, dont les beaux travaux ont contribué à étendre les résul- tats obtenus par Weierstrass dans la théorie générale des fonctions, et à Sophie Kovalevsky qui, supérieurement — 24 — douée pour les mathémaiiques, s'instruisit en particulier auprès du vieux maître berlinois, comme celui-ci Tatait lui-même faii jadis auprès de Gudermann. On saii assez quel profit 1 eminente mathématicienne russe sut reiirer de rinspiration de Weierstrass, notamment dans son célèbre travail sur la rotation d'un solide pesant autour d*un point fixe. Mais ce n'est pas seulement sur les géomètres étran- gers à r Allemagne, qui allèrent écouter les leçons Je Weierstrass à Berlin, que ses idées exercèrent une pro- fonde et durable influence. La trace de cette influence se retrouve encore, particulièrement en France, dans les travaux des mathématiciens qui, sans s'être pourtant formés directement à son école, ont le plus contribué à révolution contemporaine de lanalvse. Il y aurait même là matière à une étude fort intéressante que nous oe pouvons qu'indiquer. Quil nous suffise ici de citer les chefs incontestés de la jeune école mathématique fran- çaise. MM. Poincaré, Picard et Appell, dont les belles Jéoouvenes jouissent aujourd'hui d'une notoriété univer- selle. A ces noms illustres, on peut joindre maintenant celui de M. P;iinlevé, dont les profondes recherches sur la théorie des équations différentielles, qui commencent seulement à se répandre dans le public mathématique, ont eu. dès leur apparition, l'heureux privilège de fixer pariioulièremeni lattoniion de Weierstrass et de lui apporter, sur le doolin de sa vie, le témoignage suprême que les progrès de la haute an:ilyse étaient loin de se ralentir dans la voie où lui-même, pendant sa longue et glorieuse carrière, avait réalisé de si admirables con- quêtes ^i . I L\;r^.i 00 i.i Ri \ u f-rs cl iiSTio>!i s^icxTinoiES, livraison d'octobre W7. — i — RELATIONS ENTRE LES DISTANCES DE CINQ OU DE SIX POINTS EN GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET EN GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE (*). 1. Objet de la présente note. Lagrangc a fait connailre, an siècle passé, une relation remarquable qui existe entre les dis- tances de cinq points, en géométrie euclidienne. M. Scliering, en 1870 et en 1873, a donné la relation ana- logue, en géométrie non euclidienne, sans aucun développe- ment, mais en en signalant tonte Timporlance. M. De Tilly, dans son Essai de géométrie analytique gêné* rale^ a montré comment on pouvait déduire, de ces relations, les principes fondamentaux tant de la géométrie euclidienne que de la géométrie non euclidienne. Dans la présente note, nous nous proposons de montrer com- ment on peut inversement établir, d'une manière simple, les rela- tions de Lagrange et de Schering au moyen des premiers prin- cipes de la géométrie euclidienne et de la géométrie non euclidienne. Si nous ne nous trompons, la chose n*a pas encore été faite pour la relation de Schering. RELATION DE SCHERING. 2. Lbiimb I. Considérons quatre points 1, 2, 3, x dont les trois premiers sont sur une droite, 2 étant situé, par exemple, entre I et 3. On a, comme Ton sait, en géométrie riemanniennr, ces (^) = ces [^j C08 (-^j ^ 8in (^j 8in (^j cos I2x, C08 (-.) - cos (-^j cos [jj - 8in (-^j 8in (-^) cos I2x, (*) Communication faite à la séance du 'A avril 1895 de la première section de la Société tcienti/ique de BritxeUeê, et insérée dans les Annalex, 1895, t. Xl\, t" partie, pp. 489-llK>. I — Î2 — r (iôsignanl la conslante caractérisiique de ce système de gëo- niétrie. Pour éliminer cos 1 2 x, ajoutons la première relation, multi- pliée par sin |-^|, h la seconde multipliée par sin f^j. Il viendn cos (7) *•" (7) ■*- "•' (7) "'" (7) = *'~ (7) •^'" (7)' à cause de la relation sm Posons '"(7)~''(7)*-'''"(7)"**(7)-"''°(7) m«=sm '"(7)' '»=-«'°(7)' P-»sin(i?). et écrivons, pour abréger, en général, (ik) ou (ki) au lieu de cosi — j« fit étant la distance de deux points t et k. L*avant-dernière rela- tion prendra alors la forme très simple : iii(xl)-4-fi(x2)-*-p(x5) — 0 (I) Elle subsiste évidemment aussi en géométrie lobaieherskîenne, si Ton pose (lA) « C/i (^ ] » m « S* (y] • etc., / désignant la constante lobatchefskienne. 3. Relation entre trois points siiués en ligne droite. Faisons coïncider successivement le point x avec 1, 9, 3. La relalioo (f ) donnera m{\î)^ N(l9)-Hp(15)-»0, jii(ei)^ii(i2)^p(i5)-0. m (3 1 ) -4- Il (33) ^ p (33) — 0. — 3 — On déduit de li^ (M) 02) (13) (2i) (22) (23) =0, (3i) (32) (33) ce qui est la relation cherchée. Évidemment, on a (H) =3 (22) — (33)= i; (2i) — (i2). clc. 4. Lemmb II. Considérons quaire points 1,2,3,4 dans un plan. Soit a le point où la droite 12 rencontre la droite 34. On aura, pour un point x quelconque du plan, une relation de la forme m' (xi) H- n' (x2) h- p' (xo) — 0, puisque 1, 2, a sont en ligne droite; et une relation de la forme iw" (x3) H- fi" (x4) -+- p" (xo) = 0, puisque 3, 4, a sont en ligne droite aussi. On déduit de là, par élimination de (xa), une nouvelle rela- tion m (xl) -♦- w (x2) -»- p (x3) -♦- q (x4) = 0, ... (2) liant, d^une manière simple, les distances des points 1, 2, 3, 4, à un point quelconque x du plan. Rbmarque. En géométrie lobatchefskienne, 12 pourrait ne pas rencontrer 34, et même 13 pourrait aussi ne pas rencontrer 24; mais alors 14 rencontrerait nécessairement 23 en un point a. Dans ce cas, on appliquerait le raisonnement précédent aux points 1 4a, 23a. 6. Relation entre quatre points situés dans un plan. Faisons coïncider successivement le point x avec 1, 2, 3,4; éliminons m, n, p, q entre les quatre égalités obtenues ; il viendra (11) (12) (13) (14) (21) (22) (23) (24) ^^ (31) (32) (53) (34) ^ * (41) (42) (43) (44) — 4 - 6. Lemmr III. Considérons cinq points 1, 9, 3, 4, 5 dans Tes- paec. Soii a le poinl où la droite 12 rencontre le plan 345. Od aura, pour un poinl quelconque x de Tespace, une relation de It forme m' (xi ) H- n (x2) -♦- p" (xa) = 0, parce que 1, 2, a sont en ligne droite ; et, parce que a, 3, 4, 5 sont dans un plan, une autre, de la forme m" (xa) -♦. n" (x3) -4- p" (x4) -h q" (x5) = 0. On déduit de là, par élimination de (xa), une nouvelle rela- tion que Ton peut écrire ainsi : m (xi) -♦- Il (x2) -»- p (x5) -H q («4) -4- r (x5) — 0 . (3) Hemarqcb. En géométrie lobatchefskienne, il peut arriver que 12 ne rencontre pas le plan 345. Mais en tout cas, il est pos- sible, parmi les cinq points, d*en choisir trois qui déterminent un plan tel que les deux autres points soient, Tun d*un côté de ce plan, l'autre de Tautre. 7. Relation de Schering. La relation (3) conduit immédiate- ment à celle de Schering, si Ton fait coïncider x avec 1 , 9, 3, 4,5. On trouve (H) (12) (13) (14) (15) (21) (22) (23) (24) (25) (3!) (32) (33) ;34) (35) («) (42) (43) (44) (45) (51) (52) (53) (54) (55) Remarque. Il n est pas sans intérêt de remarquer que Ton peut remplacer Tune des lignes ou dos colonnes du déterminant pré- cédent, la dernière ligne, par exemple, par (xl), (x2), (xS). (x4). (x5). — 5 — La relation ohlenuc ainsi est évidemment équivalente à la relation (3); elle existe entre les quinze distances de six points ly % Zyi, 5, x; elle est du premier degré, par rapport aux cosi- nus des quantités 15 25 ix 2x r r > » • • 9 relatives aux points 5 et x, ce qui la rend souvent plus maniable que la relation de Schering. II RELATION DE LAGRANGE. 8. Lemmb I. Soient 1, 2, 3 (rois points en ligne droite, 2 étant compris, par exemple, entre 1 et 3. On a, pour un point quel- conque X du plan, xî* — î? -+- X? — 2.12.X2.C0S I2x, x3* =ï? -♦- X? -*. 2.23.X2.C0S !2x. On déduit de là, en éliminant cos I Sx, xT.iS-f-xS' i2-Hx?(— i3)=-iî.23.43. Nous écrirons cette relation, en abrégé, comme il suit: a(x1)-+-p(x2)-^r(x3)= « (1) en posant 23 — iS i2 P 42.23.13 "^ iS.23.i3 42.23. 13 et représentant par (t'A:) le carré de la distance de deux points i, k. On observera que «^p4-r — 0 (i') — 6 — Celle relalion peut se déduire de (1), en la divisant par (xl) el faisant s'éloigner x à Pinfini. La relation (1), è la forme près, est due à Robert Simsoo, mais s'appelle souvent théorème deStewarl. 9. Relalion entre trois points situés en ligne droite. Dans la relalion (1), faisons coïncider x avec 1, 2, 3; éliminons a, p, 7 entre (T) el les égalités obtenues; il viendra, en observant que (11 ) -(22) = (33) = 0, 0 i i i 0. i 0 (12) (i5) i (ii) 0 (23) \ (51) (32) 0 10. Lbiime II. On prouve, comme au n® 4, la proposition suivante : On a, entre les dislances de 4 poinis 1, 2, 3, 4 d*UD plan à un cinquième x, une relalion de la forme a {xi) ^- j3 1x2) -H r (x3) -H (^(x4) = i , . . . (2) avec la condition a -♦ P H- y -4- (^ = 0. . . {i') Celle dernière égalité se démontre directement; mais on peut aussi la déduire de (2) en faisant s'éloigner x à l'infini. 11. Relation entre quatre points situés dans un plan. Dans (2), faisons coïncider x avec t , 2, 3, 4; éliminons a, p, y^ 3 entre (2') el les égalités obtenues. Nous trouverons la relalion : 0 i i i i 0 02) (15) (U) 1 (21) 0 (23) (24) 1 (3i) (52) 0 (34) 1 (41) (42) (43) 0 0. — 7 - 12. Lrmme III. On prouve, comme au n* 6, la relation suivanle entre les distances à un point x de cinq points quel- conques de Tespace, 1, 2, 3, 4, 5 : a(x1)-t-|3(x2)-^r(«3) -f-olxi)^ f(x5) = i, . . (5) avec la condition P 0. (30 18. Relation de Lagrange. Dans (3), faisons coïncider x avec t, 2, 5, 4, 5 ; éliminons ensuite a, P, y, J, e, entre (3') el les cinq égalités obtenues. Nous trouverons ainsi la relation de Lagrange, sous la forme de Cayley : 0 i i i 0 (12) (15) (14) (18) (41) 0 (23) (24) (25) (3<) (32) 0 (34) (35) (41) (42) (43) 0 (45) (51) (52) (53) (54) 0 = 0. Remarques. I. On peut remplacer la dernière ligne du déter- minant par 1, (xi), (x2), (x3), (x4), (x5). II. Il est assez facile de déduire toutes les relations de ce paragraphe de celles du § I en faisant r^^co^ ou /b^oo. SUR L*(XPRESSI01 ANALYTIQUE DU VOLUMK D'UN GORPi EN GtoHÉTRIB NON EUCLIDIENNE. Soient, dans un espace riemannien, a, P, y, p les distances d*un point è trois plans coordonnés rectangulaires et à leur point de rencontre, r la constante riemannienne. Posons : 8m-> V r ^ B r sîn-» « = sin-» r r C0S-» r -"fjf dxdydz u — 8 — rintégraie étant étendue è tout Tespace compris è Pintérieur «run corps quelconque. On prouve aisément que Ton a jr' -♦- iy* -♦- z* -1- M* as I , et que V se transforme en une expression de même forme, au moyen de nouvelles coordonnées x', y\ z\ u\ quand on prend de nouveaux plans coordonnés roctangiiiairrs. Par suite, on peut prendre Texpression V pour définiiion du volume du corps considéré. Dans un espace lobaichcrskien, la même formule où r* est remplacé par P peut aussi servir à déGnir le volume d*un corps, pour\'u que Ion pose jri.Sli7« «/ — Shf- r«SliT. ti»Cli^* étant la constante lobaichefskienne. Dans ce cas, X* -♦- y' -♦- r' — •!* e- — t. Pour r ou / iplini» V devient l'expression connue du volume d'un corps en géométrie euclidienne. O qui précède sappliquo évidemmeol aux aires planes, La théorie puremont analytique des ain» ei des voluaies que MUS vouons d'esquisser est probablement la seule qui permette de surmooter toute» les diAicuhès que présente, au point de vue punetuent logh)ue« U ihéorie de rèquiv^ience des figures même eta géouiéfrie ètèmeniainr. Dè> j^\n premKT èent sur U pNMBMirie qui p^wie son nom, L^biicïielsk) cm arri^t*. par indueikvi* aux kraides exides p^'mr ks a«nrs (Janes f< i<$ xvJuwes ^"^ai^ uw Citme Jiliêifmt Ar criie ^ue ikmis iad^u^MAs fias bauu hms c^MaqplètCflaesit IJNIVERSITV LIBRARIES STANFORD UNIVERSI1 Y LIBRAHIES . STANFORD UNIVERSITY LIBRARIES STANFORD UNIVERSITY LIBRARIES STANFORD STANFORD UNIVERSITY ubraries ST/!''' UNIVERSITY STANFORD UNIV. LIBRARIES NIVERSITY LIBRA STANFORD UNIVERSITY STANFORD UNIVERSITY UBRART Stanford, CulifonOa STANFOR UNIVERSI LIBRARIES ■^